Rozwiązywanie równań różniczkowych za pomocą transformacji Laplace’a
Marcin Orchel
Spis treści
1 Wstęp 1
1.1 Transformacja Laplace’a . . . 1 1.2 Rozwiązywanie równań różniczkowych . . . 3
2 Zadania 4
2.1 Zadania na 3.0 . . . 4 2.2 Zadania na 4.0 . . . 5 2.3 Zadania na 5.0 . . . 5
1 Wstęp
Transformacja całkowa to zależność między dwiemia funkcjami f (t) i F (p) określona następująco:
F (p) =
∞
Z
−∞
K (p, t) f (t) dt (1)
gdzie zmienna t jest rzeczywista, zaś zmienna p jest zespolona p = σ + iω. Zależność ta jest oznaczana symbolem T :
F (p) = T {f (t)} (2)
Twierdzenie 1.1. Jeśli f1(t) i f2(t) są T -transformowalnymi funkcjami, to
T {k1f1(t) + k2f2(t)} = k1T {f1(t)} + k2T {f2(t)} (3) gdzie k1 i k2 są dowolnymi liczbami.
1.1 Transformacja Laplace’a Transformacja Laplace’a:
L {f (t)} =
∞
Z
0
e−ptf (t) dt = F (p) (4)
gdzie t >= 0, oraz gdy t → ∞ rośnie nie szybciej niż eαt, α > 0.
Właściwości transformacji Laplace’a.
Twierdzenie 1.2. Addytywność i liniowość:
L {λ1f1(t) + λ2f2(t) + . . . + λnfn(t)} = λ1F1(p) + λ2F2(p) + . . . + λnfn(p) (5) Twierdzenie 1.3. Skalowanie:
L {f (at)} = 1 aF
p a
(6) gdzie a > 0.
Twierdzenie 1.4. Prawo przesunięć:
Przesunięcie w prawo:
L {f (t − a)} = e−apF (p) (7)
gdzie a > 0.
Przesunięcie w lewo:
L {f (t + a)} = eap
F (p) − Za
0
e−ptf (t) dt
(8)
Twierdzenie 1.5. Tłumienie oryginału
Lne−btf (t)o= F (p + b) (9)
Dowód:
Lne−btf (t)o=
∞
Z
0
e−btf (t) e−ptdt =
∞
Z
0
f (t) e−(p+b)tdt = F (p + b) (10)
Twierdzenie 1.6. Różniczkowanie oryginału
Lf0(t) = pF (p) − f (+0) (11)
Dowód.
Lf0(t) =
∞
Z
0
e−ptf0(t) dt = e−ptf (t)i∞
0 −
∞
Z
0
−pe−ptf (t) dt = −f (0) + pF (p) (12)
Twierdzenie 1.7.
Lf00(t) = p2F (p) − f (+0) p − f0(+0) (13)
Dowód.
Lf00(t) = Ln f0(t)0o= −f0(0) + pLf0(t) = (14)
= −f0(0) + p (−f (0) + pF (p)) = p2F (p) − pf (0) − f0(0) (15)
Przykłady transformacji Laplace’a:
•
f (t) = 1, F (p) = 1
p (16)
Dowód:
L {1} =
∞
Z
0
e−ptdt = lim
R→∞
R
Z
0
e−ptdt = lim
R→∞
e−pR
−p +1 p = 1
p, p > 0 (17)
•
f (t) = t, F (p) = 1
p2 (18)
•
f (t) = tn, F (p) =n
pLntn−1o (19)
1.2 Rozwiązywanie równań różniczkowych
Aby rozwiązać równanie różniczkowe za pomocą transformacji Laplace’a należy:
1. dokonać L transformacji
2. rozwiązać przekształcone równanie 3. dokonać L−1 transformacji
Przykład 1. Rozwiązać równanie różniczkowe z warunkami początkowymi:
y00− y = e−t (20)
y (0) = 1 (21)
y0(0) = 0 (22)
Rozwiązanie: prawa strona z twierdzenia o tłumieniu oryginału, gdy
f (t) = 1 (23)
to
Lne−bto= F (p + b) = 1
p + b (24)
dla b = 1
Lne−to= 1
p + 1 (25)
p2Y (p) − py (0) − y0(0) − Y (p) = 1
p + 1 (26)
p2Y (p) − p − Y (p) = 1
p + 1 (27)
Rozwiązanie:
Y (p)p2− 1− p = 1
p + 1 (28)
Y (p) = p2+ p + 1
(p + 1)2(p − 1) (29)
Następnie należy przedstawić prawą stronę w postaci ułamków prostych o stałych liczni- kach:
p2+p+1
(p+1)2(p−1)= A
(p+1)2 +p+1B +p−1C = A(p−1)+B(p2−1)+C(p+1)2 (p+1)2(p−1)
= −
1 2
(p+1)2 +p+1B +
3 4
p−1 == −
1 2
(p+1)2 +
1 4
p+1+
3 4
p−1
(30)
Dokonujemy następnie transformacji odwrotnej, stałe możemy zostawić, a ułamki z pierw- szą potęgą ze wzoru na Lne−bto. A co z drugą potęgą? Gdy f (t) = t to z tłumienia oryginału:
Lne−btto= F (p + b) = 1
(p + b)2 (31)
y (t) = −1
2te−t+1
4e−t+3
4et (32)
2 Zadania
2.1 Zadania na 3.0
Stosując transformacje Laplace’a rozwiązać następujące zagadnienia początkowe:
•
y0− y = xe2x, y (0) = 0 (33)
•
y00− 2y0=x2+ x − 3ex, , y (0) = 0, y0(0) = 2 (34)
•
y00+ 2y0+ 2y = 2e−xsin x, y (0) = 1, y0(0) = 1 (35) Rozwiązać również powyższe równania symbolicznie w Matlabie.
2.2 Zadania na 4.0
Stosując transformacje Laplace’a rozwiązać następujące układy równań różniczkowych:
•
y0+ 2y + 4z = 4t + 1, z0+ y − z = 3
2t2, y (0) = 0, z (0) = 0 (36)
•
y00+ y − z = 0, z00− 3y + 3z = 0, y (0) = 4, y0(0) = 0, z (0) = 0, z0(0) = 0 (37) Rozwiązać również powyższe równania symbolicznie w Matlabie.
2.3 Zadania na 5.0
Rozwiązać metodą Laplace’a następujące równanie różniczkowe cząstkowe:
ut+ ux= 0, u (0, x) = sin (x) , u (t, 0) = 0 (38) gdzie t > 0, x > 0.
Rozwiązać również powyższe równania symbolicznie w Matlabie.
