• Nie Znaleziono Wyników

Rozwiązywanie obwodów prądu sinusoidalnego

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Rozwiązywanie obwodów prądu sinusoidalnego"

Copied!
12
0
0

Pełen tekst

(1)

ROZDZIAŁ 7

R o z w i ą z y w a n i e o b w o d ó w p r ą d u s i n u s o i d a l n e g o

Podobnie jak przy prądzie stałym, istotnych informacji dostarcza analiza prostych układów, utwo- rzonych z idealnych elementów. Układy z cewkami sprzężonymi magnetycznie można zastępować równoważnymi układami bez tych sprzężeń.

Obwody związane ze sobą strukturalnie, zawierające po jednym sinusoidalnym źródle napięciowym o tej samej częstotliwości, tworzą obwody wielofazowe. Zwykle rozważa się obwody trójfazowe ze źródłami symetrycznymi (trzy obwody, napięcia źródłowe o tej samej amplitudzie i przesunięciu fazowym równym ±120°). Stosownie do podanej definicji, autonomiczne obwody z jednym sinuso- idalnym źródłem napięciowym określa się jako obwody jednofazowe.

Jest regułą, że rozwiązując obwód jednofazowy lub trójfazowy – najpierw szkicuje się wykres wskazowy, a potem przystępuje do obliczeń. Rozwiązywanie takich obwodów trudno sobie wyobra- zić bez wykresów wskazowych. Jeśli wykres wskazowy stanowi podstawę procesu obliczeniowego, to musi być wykonany ze szczególną starannością.

I3 I3N I23

I1N

I1N

I1N I1

I12 ϕ U23

U13

U1

U12

-I23

I2

U3

ϕ1N

I12.a

I12.b

-I12

IN

(2)

Oznaczenia wielkości występujących w rozdziale 7 B susceptancja

BC susceptancja pojemnościowa BC susceptancja indukcyjna

ϕ

cos współczynnik mocy C pojemność elektryczna e napięcie źródłowe

E wartość skuteczna napięcia źródłowego Ef napięcie fazowe źródła trójfazowego

(wartość skuteczna)

E wskaz i wartość symboliczna (skutecz- na zespolona) napięcia źródłowego f częstotliwość

G konduktancja i prąd

I wartość skuteczna prądu; prąd liniowy (wartość skuteczna)

IA wskazanie amperomierza

If prąd fazowy źródła trójfazowego; prąd fazowy odbiornika trójfazowego (war- tość skuteczna)

Im amplituda prądu sinusoidalnego I wskaz i wartość symboliczna (skutecz-

na zespolona) prądu

 I moduł I (długość wskazu równa I) IN wskaz i wartość symboliczna prądu w

przewodzie neutralnym

Io wartość symboliczna prądu oczkowego Iźr wskaz i wartość symboliczna prądu

źródłowego

j liczba urojona; operator obrotu wskazu L indukcyjność własna

M indukcyjność wzajemna P moc czynna

Pgen moc czynna „generatorowa”

Podb moc czynna „odbiornikowa”

PW wskazanie watomierza Q moc bierna

Qgen moc bierna „generatorowa”

Qodb moc bierna „odbiornikowa”

R rezystancja S moc pozorna S moc zespolona

Sgen moc zespolona „generatorowa”

Sodb moc zespolona „odbiornikowa”

t czas u napięcie

U wartość skuteczna napięcia; napięcie międzyfazowe linii trójfazowej; napię- cie międzyfazowe odbiornika trójfazo- wego (wartość skuteczna)

Uf napięcie fazowe linii trójfazowej; na- pięcie fazowe odbiornika trójfazowego (wartość skuteczna)

UV wskazanie woltomierza

Um amplituda napięcia sinusoidalnego U wskaz i wartość symboliczna (skutecz-

na zespolona) napięcia

 U moduł U (długość wskazu równa U) UN’N wskaz i wartość symboliczna napięcia

między punktami neutralnymi źródła i odbiornika trójfazowego

U0 wskaz i wartość symboliczna napięcia źródła zastępczego

V wartość skuteczna potencjału

V wartość symboliczna (skuteczna zespo- lona) potencjału

VN wskaz i wartość symboliczna potencja- łu w punkcie neutralnym źródła trójfa- zowego (zwykle równe zeru)

VN’ wskaz i wartość symboliczna potencja- łu w punkcie neutralnym odbiornika trójfazowego (zwykle równe UN’N ) W wartość wyznacznika

X reaktancja

XC reaktancja pojemnościowa XL reaktancja indukcyjna własna XM reaktancja indukcyjna wzajemna Y admitancja

Y admitancja zespolona Yw admitancja zespolona źródła Z impedancja

Z impedancja zespolona Zw impedancja zespolona źródła ϑ przekładnia transformatora ϕ kąt przesunięcia fazowego

ψ początkowy kąt fazowy (faza począt- kowa) przebiegu sinusoidalnego ω pulsacja przebiegu sinusoidalnego

Literatura do rozdziału 7 [1], [2], [4], [7], [8]

(3)

Wykład XVI. WYBRANE KONFIGURACJE OBWODÓW PRĄDU SINUSOIDALNEGO

Przekształcenie trójkąt-gwiazda i odwrotne, przy prądzie sinusoidalnym

Wymuszeniem są prądy zaciskowe (traktuje się je jak źródłowe), a odpowiedzią – napięcia międzyzaciskowe, przy czym 1. i 2. są niezależne, a 3. – zależne: I3 = – I1 – I2 ; U31 = – U12 – U23 . Potencjały węzłów niezależnych (zacisków 1 i 2) trójkąta wyznacza się z równania:





=



⋅

+

− +

2 1

2 1

23 12 12

12 31

12

I I V

V Y Y Y

Y Y

Y

.

We wzorach Cramera przedstawiających rozwiązanie tego równania występują wyznaczniki:

12 31 31 23 23

12 Y Y Y Y Y

Y

W = ⋅ + ⋅ + ⋅ ,

3 12 1 23 2 12 1 23 12

1 (Y Y ) I Y I Y I Y I

W = + ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ ,

3 12 2 31 2 31 12 1 12

2 Y I (Y Y ) I Y I Y I

W = ⋅ + + ⋅ = ⋅ − ⋅ ,

więc napięcia międzyzaciskowe trójkąta jako funkcje odpowiednich prądów wyrażają się wzorami:

W I Y I Y W

W V W

V

U12 1 2 1 2 231312

− =

=

= ,

W I Y I Y W V W

U23 2 2 312123

=

=

= ,

W I Y I Y W V W

U31 1 1 123231

− =

=

= .

Napięcia międzyzaciskowe gwiazdy jako funkcje tychże prądów mają postaci:

2 2 1 1 2 1

12 Y

I Y U I U

U = − = − ,

3 3 2 2 3 2

23 Y

I Y U I U

U = − = − ,

1 1 3 3 1 3

31 Y

I Y U I U

U = − = − .

Porównując współczynniki przy tych samych prądach – w wyrażeniach na napięcia międzyzaci- skowe gwiazdy i trójkąta – otrzymuje się

W Y Y

23 1

1 = ,

W Y Y

31 2

1 = ,

W Y Y

12 3

1 = ; stąd formuły:

23 31 12 31 12

1 Y

Y Y Y

Y

Y

+ +

= ,

31 23 12 23 12

2 Y

Y Y Y

Y

Y

+ +

= ,

12 31 23 31 23

3 Y

Y Y Y

Y

Y

+ +

= ; (7.1)

31 23 12

31 12

1 Z Z Z

Z Z Z

+ +

= ⋅ ,

31 23 12

23 12

2 Z Z Z

Z Z Z

+ +

= ⋅ ,

31 23 12

31 23

3 Z Z Z

Z Z Z

+ +

= ⋅ ; (7.2)

3 2 1 2 1

12 Z

Z Z Z

Z

Z

+ +

= ,

1 3 2 3 2

23 Z

Z Z Z

Z

Z

+ +

= ,

2 1 3 1 3

31 Z

Z Z Z

Z

Z

+ +

= ; (7.3)

3 2 1

2 1

12 Y Y Y

Y Y Y

+ +

= ⋅ ,

3 2 1

3 2

23 Y Y Y

Y Y Y

+ +

= ⋅ ,

3 2 1

1 3

31 Y Y Y

Y Y Y

+ +

= ⋅ . (7.4)

U3

U2

U1

I1

I2

I3

U31

U12

U23

1

2

3

Y1

Y2

Y3

I1

I2

I3

U31

U12

U23

V1

V2

V3 = 0 1

2

3

Y12

Y23

Y31

(4)

Układy dzielników napięcia i prądu sinusoidalnego

Dzielniki napięcia i prądu sinusoidalnego różnią się tym od dzielników napięcia i prądu stałego, że miejsce rezystorów, łączonych szeregowo bądź równolegle, zajmują dwójniki (gałęzie) R, L, C.

Oczywiście, mogą to być – w szczególności – same rezystory, jak w dzielnikach stałoprądowych.

Zachodzi wtedy podział napięcia bądź prądu w „czystej” postaci, bez przesunięć fazowych. Ogólnie jednak, w układach dzielników napięcia sinusoidalnego występuje przesunięcie fazowe napięć, zaś w układach dzielników prądu sinusoidalnego – przesunięcie fazowe prądów. Są więc te układy jed- nocześnie dzielnikami i przesuwnikami fazowymi (napięcia bądź prądu), co pokazano na przykła- dowych wykresach wskazowych dla kątów przesunięcia fazowego dwójników ϕA = 0 i ϕB > 0.

Dzielnik napięcia sinusoidalnego:

Z U Z I Z Z U

B A

A

A A

= +

= , (7.5a)

Z U Z I Z Z U

B A

B B

B

= +

= ; (7.5b)

Z U Z U Z

B A

A

A

= + , U

Z Z U Z

B A

B

B

= + . (7.6)

Dzielnik prądu sinusoidalnego:

Z I Z I Z Y Y U Y Y I

B A

B B

A A A

A

= + + ⋅

=

= , (7.7a)

Z I Z I Z Y Y U Y Y I

B A

A B

A B B

B

= + + ⋅

=

= ; (7.7b)

Z I Z I Z

B A

B

A

= + , I

Z Z I Z

B A

A

B

= + . (7.8) Z powyższych wzorów korzysta się często przy rozwiązywaniu obwodów metodą przekształcania sieci (na etapie „rozwijania” sieci zastępczej do sieci pierwotnej).

Charakterystyki zewnętrzne sinusoidalnych źródeł napięciowych

Charakterystyką zewnętrzną sinusoidalnego źródła napięciowego nazywa się wykres zależności napięcia wyjściowego U od prądu obciążenia I, przy stałej wartości kąta ϕ (argumentu Z).

a) b) c)

Na rysunku „a” pokazano układ sinusoidalnego źródła napięciowego E, Zw z odbiornikiem pasyw- nym Z. Szeregowe połączenie impedancji Zw i Z tworzy dzielnik napięcia E. Napięcie U zależy w tym układzie zarówno od Z, jak i od Zw , toteż obie te impedancje mają wpływ na kształt charakte- rystyki zewnętrznej źródła.

U UA

UB

ZA

ZB

I

ϕA = 0 ϕB

U

UA

UB

I

U

IA IB

ZA ZB

I

ϕA = 0 ϕB

U

IA

IB

I

U Zw

Z I

E

E

0 E/Zw

U

I poj.

rez.

ind.

U ϕw

E

ϕ1 I ϕ

Rw I jXw I

Zw I

j(Xw+X)I

(Rw+R)I

(5)

Impedancja wewnętrzna źródła Zw = Rw + j Xw ma zwykle charakter indukcyjny (oprócz rezystancji zawiera reaktancję indukcyjną, tzn. Xw > 0), natomiast impedancja odbiornika Z = R + j X jest do- wolnego rodzaju. Na rysunku „b” pokazano wykres wskazowy prądu i napięć przy obciążeniu o charakterze indukcyjnym, zaznaczając przesunięcie fazowe

R R

X arc X

Z Z

w w

w +

= + +

=arg( ) tg

ϕ1 .

Charakterystyki zewnętrzne źródła wyznacza się obliczając wartości skuteczne I i U – dla kolejnych wartości Z: od bliskich ∞ do 0, przy ϕ = const. – wg wzorów:

ϕ

⋅cos

= Z

R , X = Z⋅sinϕ ,

2

2 ( )

)

(R R X X

I E

w

w+ + +

= , U =ZI .

Otrzymane w ten sposób, przykładowe charakterystyki zewnętrzne źródła napięciowego z rezystan- cyjno-indukcyjną impedancją wewnętrzną, pracującego z obciążeniem różnego typu, przedstawiono na rys. „c”. Wykresy dotyczą obciążeń o następujących (stałych) wartościach kąta ϕ : – 45° (poj.), 0° (rez.), + 45° (ind.).

Z różnego charakteru impedancji od Zw i Z przy obciążeniu typu pojemnościowego wynika wystę- powanie – w pewnym zakresie – wartości napięcia U większych od E, oraz prądu I większych od E/Zw (prądu zwarcia). Prąd I jest największy w stanie rezonansu (X = – Xw ). Warunku na maksi- mum napięcia U nie można wyrazić w prostej formie; zależy on od modułu i argumentu Zw oraz argumentu Z (kąta ϕ).

Równoważność rzeczywistych sinusoidalnych źródeł napięciowych i prądowych

Równoważność źródeł dotyczy ich wielkości zaciskowych, tj. zgodności prądów i napięć co do modułów i faz (jednakowych wartości symbolicznych).

Źródło napięciowe:

I Z E

U = − w⋅ . Źródło prądowe:

I I

Iw = źr − czyli YwU =IźrI ,

więc I

Y Y U I

w w

źr − ⋅

= 1

.

Otrzymuje się I

Y Y I I Z E

w w źr

w⋅ ≡ − ⋅

− 1

, stąd warunki równoważności układów:

w

w Y

Z 1

= czyli

w

w Z

Y 1

= , (7.9a)

w źr

Y

E = I czyli E =ZwIźr lub Iźr =YwE . (7.9b)

Dopasowanie odbiornika do źródła napięciowego ze względu na moc czynną

Dopasowanie odbiornika (pasywnego) do źródła ze względu na moc czynną oznacza taki dobór obciążenia, że moc czynna odbiornika jest największa z możliwych.

Moc czynna odbiornika o impedancji Z =R+ jX =Zejϕ , zasila- nego ze źródła o napięciu E=Eejψe i impedancji wewnętrznej

j w w w

w Rw jX Z e

Z = + = ⋅ ϕ , wyraża się następująco:

) cos(

2 cos )

( )

( 2

2 2

2 2 2

ϕ ϕ ϕ

− +

+

= ⋅ + + +

= ⋅

=

w w

w w

w Z Z

Z Z

E X

X R R

R I E

R

P .

Zw

I

E

U Yw

I

Iźr U

Iw

U Zw

Z I

E

(6)

Dopasowanie odbiornika do źródła odbywa się z założenia przy E = const. i ma związek ze zmiana- mi wartości parametrów odbiornika: X i R, albo Z i ϕ (impedancja Z to moduł impedancji Z).

Z warunków na ekstrema: =0

X

P , =0

R

P , =0

Z

P , =0

∂ ϕ

P , otrzymuje się wyrażenia:

0 ) (

2 + =

R Xw X , (Rw+R)2+(Xw+ X)2−2R(Rw+R)=0 ; (7.10a, b) 0

2 1

2

= ZZw

, sin 2cos( )−2cos ⋅sin( − )=0



 + + −

⋅ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ w w

w w

Z Z Z

Z . (7.10c, d)

W celu dopasowania odbiornika do źródła, można sterować jego mocą czynną na różne sposoby.

1. R = const.; dopasowanie X ⇒ wg (7.10a): Xdop =−Xw (rezonans) . 2. X = const.; dopasowanie R ⇒ wg (7.10b): Rdop = Rw2 +(Xw+X)2; gdy X = 0 (odbiornik rezystancyjny), to Rdop = Rw2 +Xw2 =Zw . 3. ϕ = const.; dopasowanie Z ⇒ wg (7.10c): Zdop =Zw .

4. R i X – dowolne, różne od 0; dopasowanie Z ⇒ wg (7.10a, b): X =−Xw i R= Rw ; wg (7.10c, d): Z =Zw i ϕ =−ϕw ; stąd ogólnie Zdop =Zw (rezonans) .

W pierwszym wariancie stan rezonansu jest wynikiem doboru samej reaktancji Xdop =−Xw, w czwartym – wynikiem doboru impedancji zespolonej Zdop = Rdop + jXdop =RwjXw .

Wartość mocy czynnej przy dopasowaniu Zdop =Zw jest największa i wynosi

w

dop R

P E 4

2

= .

A zatem, jeśli nie ma narzuconych ograniczeń co do charakteru zmian obciążenia, to dopasowanie odbiornika do źródła ze względu na moc czynną zachodzi przy warunku

= w dop Z

Z . (7.11) Układ źródło-odbiornik pracuje w tym wypadku ze sprawnością równą 0,5 .

Dopasowanie odbiornika do źródła napięciowego ze względu na moc pozorną

Dopasowanie odbiornika (pasywnego) do źródła ze względu na moc pozorną oznacza taki dobór obciążenia, że moc pozorna odbiornika jest największa z możliwych.

Moc pozorna odbiornika o impedancji Z =R+ jX =Zejϕ , zasila- nego ze źródła o napięciu E= Eejψe i impedancji wewnętrznej

j w w w w

w R jX Z e

Z = + = ⋅ ϕ , wyraża się następująco:

) cos(

) 2 (

)

( 2

2 2

2

2 2 2 2

2 2

ϕ ϕ − +

+ + =

+ +

+

= ⋅ +

= ⋅

=

w w

w w

w w Z Z

Z Z

E X

X R R

X R E Z

Z E I Z

Z

S .

Dopasowanie odbiornika do źródła odbywa się z założenia przy E = const. i ma związek ze zmia- nami wartości parametrów odbiornika: X i R, albo Z i ϕ (impedancja Z to moduł impedancji Z).

Z warunków na ekstrema: =0

X

S , =0

R

S , =0

Z

S , =0

∂ ϕ

S , otrzymuje się wyrażenia:

[

(R R)2 (X X)2

]

2(R2 X2)(X X)

X w+ + w+ = + w+ , (7.12a)

[

(R R)2 (X X)2

]

2(R2 X2)(R R)

R w+ + w+ = + w+ ; (7.12b) U

Zw

Z I

E

(7)

0

2 1

2

=

Z Zw

, sin(ϕw−ϕ)=0 . (7.12c, d) W celu dopasowania odbiornika do źródła, można sterować jego mocą pozorną na różne sposoby . 1. Z = jX (czyli R=0, X ≠0) ⇒ wg (7.12a): X

[

Rw2+(Xw+ X)2

]

=2X2(Xw+X)2 ,

stąd Xdop = Rw2 +Xw2 = Zw , przy czym Xdop i Xw (ϕ i ϕw) są przeciwnych znaków;

w szczególności, gdy Rw = 0 , to Xdop = – Xw i źródło jest zwarte (bezrezystancyjny obwód jest w stanie rezonansu; moc i prąd odbiornika są nieskończenie duże).

2. Z =R (czyli R≠0, X =0) ⇒ wg (7.12b): R

[

(Rw+R)2+Xw2

]

=2R2(Rw+R)2 , stąd Rdop = Rw2 +Xw2 =Zw .

3. ϕ = const.; dopasowanie Z ⇒ wg (7.12c): Zdop =Zw . 4. Z =R+ jX (R≠0, X ≠0) ⇒ wg (7.12a, b): warunek

w w

X R X

R = , spełniony przez ϕ =ϕw i Z =Zw ; wg (7.12c, d): Z =Zw i ϕ =ϕw ; stąd ogólnie Zdop =Zw .

Łatwo zauważyć, że dla każdego typu odbiornika (dopasowania) ważny jest warunek Zdop =Zw . Przy dopasowaniu 1. rodzaju, kiedy to XdopXw < 0 , otrzymuje się moc pozorną odbiornika

(

w w

)

dop w w

dop

dop w

w dop

dop Z X

E X

X R

E X jX

jX R

E X

S = ⋅ −

+ +

= ⋅ +

+

= ⋅

) 2 (

2 2 2

2 2

2 )

1

( ,

która jest ona zdecydowanie większa niż przy dopasowaniu 4. rodzaju, kiedy to

w

dop Z

S E

4

2 ) 4

( = .

Jeśli nie ma narzuconych ograniczeń co do charakteru obciążenia, to dopasowanie odbiornika do źródła ze względu na moc pozorną zachodzi przy odbiorniku reaktancyjnym, spełniającym warunki określone dla 1. wariantu, tj.: przeciwne znaki Xdop i Xw (ϕ i ϕw) i zależność wyrażona wzorem

w w w

dop R X Z

X = 2+ 2 = . (7.13) Uwaga. Należy zaznaczyć, że dopasowanie odbiornika do źródła ze względu na moc czynną bądź pozorną jest stanem szczególnym, niekoniecznie pożądanym.

Dopasowanie impedancji odbiornika do źródła poprzez dołączenie reaktancji

Zdarza się, że posiadany odbiornik pasywny trzeba dopasować do źródła nie ingerując w strukturę tego obiektu, a tylko dołączając jakieś elementy. W praktyce dotyczy to dopasowania ze względu na moc czynną. Elementami dołączanymi do odbiornika są w tym wypadku reaktancje. W efekcie, mimo że wartość impedancji zmodyfikowanego odbiornika jest inna niż odbiornika właściwego, to moc czynna wydawana przez źródło rzeczywiste wydziela się niezmiennie w rezystancji odbiornika właściwego. Operację taką można nazwać dopasowaniem impedancji odbiornika do źródła, bo- wiem impedancja zespolona zmodyfikowanego odbiornika staje się równa impedancji dopasowa- nia. Wyłączając szczególne przypadki, trzeba do odbiornika dołączyć dwie reaktancje – równolegle oraz szeregowo, jak na rysunku obok.

Impedancja zespolona wewnętrzna źródła wynosi

w w

w R jX

Z = + . Wobec tego impedancja zespolo- na zmodyfikowanego odbiornika, złożonego z

jX R

Z = + , Zr = jXr i Zs = jXs (odbiornika właściwego z dołączonymi doń reaktancjami), po- winna być równa Zdop =RwjXw :

jX jXs

R jXr

-jXw

Rw

(8)

w w s r

r jX R jX

X X j R

jX jX

R + = −

+ +

⋅ +

) (

)

( ,

czyli w

r

r R

X X R

X

R =

+ +

2 2

2

)

( i r s w

r

r X X X

X X R

X X X

R ⋅ + =−

+ +

⋅ + +

2 2

2

) (

)

( .

Rozwiązaniem pierwszego równania są dwie wartości Xr :

w

w w

w

r R R

R R X R R R X X R

− +

= ⋅ m ( 2 2 )

II

I, ; (7.14a)

z drugiego równania, dla dwóch wartości Xr , oblicza się dwie wartości Xs :



 

 ⋅

+ +

⋅ + + +

= r

r r w

s X

X X R

X X X X R

X 2 2

2

) (

)

( . (7.14b)

Z postaci wzoru (7.14a) wynika, że dopasowanie przez dołączenie Xr i Xs jest możliwe, gdy

R Z R

X Rw R

2 2 2

+ =

≤ oraz RwR . Przy odbiorniku rezystancyjnym (X = 0) otrzymuje się prostsze zależności:

−1

=

w r

R R

X m R

II

I, ;





 ⋅ −

= 1

w w w

s R

R R X

X m

II

I, . (7.15a, b)

W tym wypadku dopasowanie przez dołączenie reaktancji jest możliwe, gdy Rw < R . Przykład. Do odbiornika o impedancji Z = (20 + j 20) Ω,

zasilanego ze źródła napięciowego o parametrach:

E = 120 V, Zw = (10 + j 10) Ω, dobierane są takie reaktancje Xr i Xs (rys. obok), aby wydzielała się w nim największa moc czynna. Obliczana jest również wartość tej mocy.

Korzystając ze wzorów (7.14a, b), otrzymuje się wartości reaktancji:

64 ,

−14

I

Xr Ω (pojemnościowa), ≅54,64

rII

X Ω (indukcyjnościowa), 32

,

≅7

sI

X Ω (indukcyjnościowa), ≅−27,32

sII

X Ω (pojemnościowa).

W stanie dopasowania prąd źródła 6

20 120

2 = =

= Rw

I E A , a moc czynna odbiornika, równa mocy

wydzielanej w rezystancji dopasowania PR =RwI2 =10⋅62 =360 W .

Poprawność obliczeń można sprawdzić obliczając (z dzielnika prądu) I jX Z I X

r r

odb

= + ;

71 , 20 ) 64 , 14 20 (

202+ − 2

= + jXrI

Z Ω , Z + jXrII = 202+(20+54,64)2 ≅77,27 Ω ; dla obu wartości Xr wynikiem jest Iodb ≅ 4,24 A ;

stąd moc czynna odbiornika PR = RIodb2 =20⋅4,242 ≅360 W .

Rw

E jX

jXs

R jXr

jXw

Iodb

I

(9)

Dopasowanie impedancji odbiornika do źródła za pomocą transformatora

Dopasowanie impedancji odbiornika do źródła (ze względu na moc czynną) poprzez dołączanie reak- tancji jest kłopotliwe i nie zawsze możliwe. Prost- szym sposobem dopasowania jest użycie transforma- tora dopasowującego i reaktancji szeregowej. Przy takim dopasowaniu można posłużyć się modelem transformatora idealnego (rys. obok).

Impedancja zespolona wewnętrzna źródła wynosi Zw = Rw+ jXw . „Przeniesienie” i „przetrans- formowanie” (z obwodu wtórnego do obwodu pierwotnego) impedancji zespolonych odbiornika właściwego Z =R+ jX i szeregowo dołączonego doń elementu reaktancyjnego Zs = jXs , po- winno dać impedancję dopasowania Zdop = RwjXw :

Rw

R=

2

ϑ , ϑ2⋅(X + Xs)=−Xw , zatem

R Rw

=

ϑ , 



 + ⋅

=

w w

s R

X R X

X . (7.16a, b) Na ogół przekładnię transformatora definiuje się jako większą od jedności, jeśli więc z obliczenia wg powyższego wzoru otrzyma się ϑ < 1 , to trzeba dobrać transformator o przekładni ϑ ’ = 1 /ϑ i zamienić miejscami jego uzwojenia (przełożenie układowe 1 : ϑ ’).

Dwójnik z połączonymi szeregowo dwiema cewkami sprzężonymi magnetycznie

Układ zastępczy rzeczywistej cewki składa się z indukcyjności i rezystancji. Łącząc zaciski dwóch cewek magnetycznie sprzężonych można utworzyć dwójnik lub trójnik. Dwójnik jest wynikiem połączenia szeregowego lub równoległego.

Na podstawie równań wiążących wielkości, które występują w układzie szeregowym cewek sprzę- żonych magnetycznie, wyznaczone zostaną parametry dwójnika zastępczego.

Przy połączeniu szeregowym cewek, zależnie od wzajemnego położenia końców jednoimiennych, napięcie pochodzące od prądu i indukcyjności wzajemnej sumuje się ze znakiem „+” lub „–” z napięciem pochodzącym od prądu i indukcyjności własnej.

a)

Przy szeregowym, zgodnym – ze względu na zwrot prądu względem położenia końców jednoimien- nych – połączeniu cewek sprzężonych magnetycznie (rys. „a”), otrzymuje się zależności:

I R

UR1= 1⋅ , UR2 =R2I , UR =UR1 +UR2 =(R1+R2)⋅I= RI , I

M L j I X X j I jX I jX

UX1= 1⋅ + M ⋅ = ( 1+ M)⋅ = ω( 1+ )⋅ , I M L j I X X j I jX I jX

UX2 = 2⋅ + M ⋅ = ( 2+ M)⋅ = ω( 2+ )⋅ ,

I L j I jX I M L L j I X X X j U U

UX = X1+ X2 = ( 1+ 2+2 M)⋅ = ω( 1+ 2 +2 )⋅ = ⋅ = ω ⋅ , gdzie: X1L1 , X2L2 , XMM , XL ;

zatem R=R1+R2 , X = X1+X2+2XM , L=L1+L2+2M . (7.17a, b, c) -jXw

Rw

jX jXs

R ϑ : 1

M I

L1 R1 L2 R2 UX 1 UR 1 UX 2 UR 2

U1 U2

U

I L1+M R1 L2+M R2

UX 1 UR 1 UX 2 UR 2

U1 U2 U

I L R UX UR

U

≡ ≡

(10)

b)

Przy szeregowym, przeciwsobnym – ze względu na zwrot prądu względem położenia końców jedno- imiennych – połączeniu cewek sprzężonych magnetycznie (rys. „b”), otrzymuje się zależności:

I R

UR1 = 1⋅ , UR2 =R2I , UR =UR1 +UR2 =(R1+R2)⋅I= RI , I

M L j I X X j I jX I jX

UX1 = 1⋅ − M ⋅ = ( 1M)⋅ = ω( 1− )⋅ , I M L j I X X j I jX I jX

UX2 = 2⋅ − M ⋅ = ( 2M)⋅ = ω( 2− )⋅ ,

I L j I jX I M L L j I X X X j U U

UX = X1+ X2 = ( 1+ 2−2 M)⋅ = ω( 1+ 2−2 )⋅ = ⋅ = ω ⋅ , gdzie, jak poprzednio: X1L1 , X2L2 , XMM , XL ;

zatem R= R1+R2 , X = X1+X2−2XM , L=L1+L2−2M . (7.18a, b, c) c)

d)

Napięciu indukowanemu o znaku „+”, pochodzącemu od sprzężenia magnetycznego połączonych szeregowo cewek, odpowiada element indukcyjny o impedancji + jXM (rys. „c”), napięciu ze zna- kiem „–” odpowiada element pojemnościowy o impedancji – jXM (rys. „d”). Użycie symbolu po- jemności służy podkreśleniu przeciwnych zwrotów wskazów napięć związanych z L i M, czyniąc schematy zastępcze układów bardziej czytelnymi.

Przy połączeniu przeciwsobnym cewek i odpowiednio silnym ich sprzężeniu może się zdarzyć, że jedna z cewek przedstawia sobą element pojemnościowy (druga – indukcyjny).

Trójnik z dwiema cewkami sprzężonymi magnetycznie

Dwie cewki sprzężone magnetycznie, połączone ze sobą w jednym, wyprowadzonym na zewnątrz

„wspólnym końcu” (trzecim zacisku), tworzątrójnik. a)

Dla trójnika o cewkach sprzężonych magnetycznie z jednoimiennymi końcami usytuowanymi jed- nakowo względem wspólnego końca (rys. „a”) otrzymuje się zależności:

M I

L1 R1 L2 R2 UX 1 UR 1 UX 2 UR 2

U1 U2 U

I L1−M R1 L2−M R2

UX 1 UR 1 UX 2 UR 2

U1 U2

U

I L R UX UR

U

≡ ≡

I j XLj XM

UL UM

UX I j (XL – XM )

UX

I j (XL + XM )

UX

I j XL j XM

UL UM UX

M U1 R1 L1 I1

R2 L2

I I2

U2

U1

R1 jXL 1 –jXM I1

jXM I

U2

R2 jXL 2 –jXM I2

(11)

2 1

1 1

1

1 R I jX I jX I

U = ⋅ + L ⋅ + M ⋅ , U2 =R2I2+ jXL 2I2 + jXMI1 , które po podstawieniu: I2 =II1 oraz I1=II2 , przyjmują następujące postaci:

U1 =R1I1+ j(XL1XM)⋅I1+ jXMI , U2 =R2I2+ j(XL2XM)⋅I2+ jXMI , pozwalające przedstawić układy równoważne bez sprzężeń magnetycznych – z kondensatorami

„przed” oraz indukcyjnościami „za” nowym wspólnym węzłem.

b)

Podobnie, dla trójnika o cewkach sprzężonych magnetycznie z jednoimiennymi końcami usytuowanymi odmiennie względem wspólnego końca (rys. „b”) otrzymuje się zależności:

2 1

1 1

1

1 R I jX I jX I

U = ⋅ + L ⋅ − M ⋅ , U2 =R2I2+ jXL 2I2jXMI1 , które po podstawieniu: I2 =II1 oraz I1=II2 , przyjmują następujące postaci:

U1 =R1I1+ j(XL1+XM)⋅I1jXMI , U2 =R2I2+ j(XL2+ XM)⋅I2jXMI , pozwalające przedstawić układy równoważne bez sprzężeń magnetycznych – z indukcyjnościami

„przed” oraz kondensatorami „za” nowym wspólnym węzłem.

Dwójnik z połączonymi równolegle dwiema cewkami sprzężonymi magnetycznie

Układy równoważne trójników z dwiema cewkami sprzężonymi magnetycznie można wykorzystać do wyznaczenia impedancji dwójnika o dwóch gałęziach z takimi cewkami.

a)

b)

Przy równoległym, zgodnym – ze względu na usytuowanie jednoimiennych końców cewek wzglę- dem węzłów – połączeniu dwóch cewek sprzężonych magnetycznie (rys. „a”), impedancja zespolo- na dwójnika wynosi

[ ] [ ]

) 2 (

) (

) (

) 2 (

) (

) (

1 1 2

1

2 2 2

1 1

1 1 2

1

2 2

1 1

M L

L

M L

L M

M L

L

M L M

L

X X

X j R R

X jX

R jX jX R

X X

X j R R

X X j R X X j Z R

− + +

+

+ +

= +

− + + +

+

− +

= + ,

a przy równoległym, przeciwsobnym połączeniu cewek (rys. „b”) –

[ ] [ ]

) 2 (

) (

) (

) 2 (

) (

) (

1 1 2

1

2 2 2

1 1

1 1 2

1

2 2

1 1

M L

L

M L

L M

M L

L

M L M

L

X X

X j R R

X jX

R jX jX R

X X

X j R R

X X j R X

X j Z R

+ + +

+

+ +

= + + −

+ +

+

+ +

⋅ +

= + ,

gdzie: X1L1 , X2L2 , XMM .

M U1

R1 L1 I1

R2 L2

I I2

U2

U1

R1 jXL 1 jXM I1

jXM I

U2 R2 jXL 2 jXM I2

M R1 L1

R2 L2

R1 jXL 1 –jXM

jXM

R2 jXL 2 –jXM

Z

M R1 L1

R2 L2

Z

R1 jXL 1 jXM

R2 jXL 2 jXM

jXM

(12)

Rozwiązywanie obwodów ze sprzężeniami magnetycznymi metodą oczkową

W metodzie oczkowej, w impedancjach zespolonych oczkowych (własnych i wzajemnych) wystę- pują dodatkowe wyrazy reaktancyjne, reprezentujące sprzężenia magnetyczne. Ważne, by nie po- minąć tych wyrazów, ani nie pomylić ich znaków. Reaktancję indukcyjności wzajemnej cewek oznaczono symbolem XM .

Impedancja własna oczka z cewkami sprzężonymi ze sobą w tym oczku zawiera wyraz j 2 XM ze znakiem „+”, jeśli sprzężenie cewek względem prądu w oczku jest dodatnie, a ze znakiem „–”, jeśli ujemne (rys.: odpowiedni znak przy jXM w Z11).

Impedancja wzajemna oczek z cewkami sprzężonymi ze sobą w tych oczkach zawiera wyraz jXM ze znakiem „+”, jeśli prądy w oczkach są jednakowo zwrócone względem końców jednoimiennych cewek, a ze znakiem „–”, jeśli odwrotnie (rys.: odpowiednie znaki przy jXM w Z12 , Z23 i Z31).

M B

A jX j X

jX

Z11 =...+ + + 2

M A jX jX Z12 =− −

jXM

Z23 =

M B jX jX Z31 =− −

M B

A jX j X

jX

Z11 =...+ + − 2

M A jX jX Z12 =− +

jXM

Z23 =−

M B jX jX Z31 =− +

Przykład. Dany obwód ze sprzężeniem magnetycznym został przedstawiony w równoważnej po- staci bez tego sprzężenia.

Impedancje własne i wzajemne, wyznaczone tak dla jednego, jak dla drugiego obwodu, wynoszą: )

2 4 ( 4 6

11 4 j j j

Z = + − = + Ω, Z12 =−(2+ j3)+ j2=(−2− j1)Ω, Z22 =(4− j1)Ω. Równanie obwodu jest następujące:





=

⋅



− +

6 3 1

4 1 2

1 2 2

4 1

j I

I j j

j j

o

o

2

. Rozwiązaniem tego równania są wartości symboliczne prądów oczkowych:

Io 1 = (1,2 – j 1,0) A, Io 2 = (1,2 – j 1,4) A .

Rozwiązaniem obwodu są wartości symboliczne prądów gałęziowych:

I1 = Io 1 = (1,2 – j 1,0) A, I2 = Io 2 = (1,2 – j 1,4) A, I3 = Io 1 – Io 2 = j 0,4 A.

j XM

j XA j XB

Io 3

Io 1

Io 2

j XM

j XA j XB

Io 3

Io 1

Io 2

2Ω

I1 2Ω j3Ω I2 2Ω –j4Ω

3V

I3

j6V

Io1

j2Ω

j3Ω

Io2 2Ω

3V j6V

j2Ω j3Ω

2Ω j3Ω –j2Ω j2Ω 2Ω –j4Ω

Io1

Io2

Cytaty

Powiązane dokumenty

Każdy, kto ma dostęp do internetu, będzie mógł bez wychodzenia z domu czytać w niej książki z zasobów lubelskich bibliotek publicznych i największych uczelni.. W

5. Nauczyciel prezentuje pracę Andrzeja Mleczki z cyklu „Niebo i piekło” jako przykład podejścia do motywu raju utraconego z humorem. Należy również zwrócić uwagę uczniów,

3 – do jednego ze zbiorów danych trzeba było dopasować funkcję

Treści zadań nie trzeba przepisywać, ale należy zapisać numer karty, tematykę i numer zadania.. Rozwiązania muszą być

nia nowy, ortogonalny do pozostałych składnik prędu, nazwany prądem asymetrii, którego wartość skuteczna jest miarę wpływu asymetrii impedancyjnej odbiornika na

Jak stanowczo chrześcijanin powinien sprzeciwić się próbie dokonania transfuzji krwi nakazanej lub aprobowanej przez sąd.. wskazano na możliwość „umknięcia”

Rzut tego wektora na oś liczb uro- jonych wynosi u(0), czyli wartość chwilowa sygnału sinusoidalnego jest równa rzutowi wektora wirującego na oś liczb urojonych.. (rzeczywista)

Oznacza to, że moc pozorna jest równa największej wartości mocy czynnej, którą można otrzymać przy danym napięciu U oraz prądzie I. Porównując zależność (8.7) z (8.3)