Matematyczne podstawy mechaniki nieba 2012/13.
Zagadnienia egzaminacyjne.
1. Na czym polega formalizm newtonowski, jakie s¡ jego zalety i wady ? 2. Jak usuwamy jawn¡ zale»no±¢ od czasu w równaniach ruchu formalizmu
newtonowskiego ?
3. Na czym polega metoda uzmienniania staªych dla zaburzonego ukªadu ze znanymi caªkami ruchu ?
4. Co to s¡ elementy oskulacyjne orbity ?
5. Wyprowadzi¢ równania dla uzmiennionych staªych h, ⃗G, ⃗e przy dowol- nej sile zaburzaj¡cej ⃗P .
6. Wyprowadzi¢ równanie Gaussa dla zmian póªosi wielkiej orbity elip- tycznej przy ogólnej postaci zaburzenia ⃗P .
7. Przedstawi¢ twierdzenie o pr¦dko±ci k¡towej wywoªanej zmianami k¡- tów Eulera i zastosowa¢ je do wyprowadzenia równania Gaussa dla Ω˙.
8. Omówi¢ trzy podstawowe bazy stosowane do rozkªadu siªy zaburzaj¡cej P⃗.
9. Wymieni¢ ograniczenia w stosowaniu równa« Gaussa, wyja±ni¢ pocho- dzenie osobliwo±ci i sposób ich usuwania.
10. Wypisa¢ równania Gaussa (15) gdy P jest siª¡ tarcia styczn¡ do orbity i P = −γ2v. Jakie wnioski na temat ruchu w tym zagadnieniu mo»na wysnu¢ bez rozwi¡zywania równa« ?
11. Manewr zmiany nachylenia w ±wietle równa« Gaussa.
12. Zde niowa¢ dwuliniow¡ form¦ symplektyczn¡ i macierze symplektyczne.
13. Udowodni¢, »e macierze symplektyczne tworza grup¦.
14. Udowodni¢, »e jednoformy Φ i Φ′ = c (Φ + dS) generuj¡ te same rów- nania Pfaa.
15. Przedstawi¢ trzy rodzaje formy Pfaa, które generuj¡ równania ka- noniczne Hamiltona. Wyprowadzi¢ te równania z jednej z podanych jednoform.
1
16. Kiedy jedna ze zmiennych kanonicznych jest caªk¡ ruchu i kiedy ha- miltonian jest caªk¡ ruchu ?
17. Zde niowa¢ kanoniczne nawiasy Poissona i wyprowadzi¢ wzór f =˙ {f, H} + Dtf.
18. Poda¢ funkcj¦ Hamiltona i równania ruchu ukªadu N ciaª z potencja- ªem V w zmiennych kartezja«skich i ukªadzie inercjalnym. Wykaza¢
ich zgodno±¢ z II zasad¡ dynamiki Newtona.
19. Na jakiej podstawie mo»na ruch jednego ciaªa opisa¢ równaniami ka- nonicznymi u»ywaj¡c p¦du i energii na jednostk¦ masy ?
20. Co to jest transformacja kanoniczna ? Poda¢ jej warunek dostateczny.
21. Wykaza¢ niezmienniczo±¢ nawiasów Poissona wzgl¦dem transformacji kanonicznej.
22. Zde niowa¢ transformacje Mathieu i zilustrowa¢ de nicj¦ dowolnie wy- branym przykªadem.
23. Przeprowadzi¢ kanoniczne rozszerzenie transformacji punktowej ⃗p = A(t)⃗q. (Tw. 5)
24. Transformacja do ukªadu jednostajnie obracaj¡cego si¦ jako transfor- macja Mathieu. Jak interpretujemy p¦dy w ukªadzie obracaj¡cym si¦ ? 25. Poda¢ funkcj¦ Hamiltona peªnego zagadnienia dwóch ciaª w ukªadzie barycentrycznym i przeprowadzi¢ redukcj¦ do zagadnienia wzgl¦dnego.
26. Przedstawi¢ zmienne Hilla-Whittakera i poda¢ funkcj¦ Hamiltona oraz równania ruchu zaburzonego zagadnienia wzgl¦dnego dwóch ciaª w tych zmiennych.
27. Udowodni¢, »e je±li
Q =⃗ ∇⃗qF2, ⃗p =∇P⃗F2,
to funkcja tworz¡ca F2(⃗q, ⃗P , t) generuje transformacj¦ kanoniczn¡ z reszt¡ R = DtF2.
2
28. Zde niowa¢ zmienne k¡t-dziaªanie i uzasadni¢, »e zmienne Poincarégo (l, L), dla których
x =√
2Lω−1sin l, X =√
2Lω cos l,
s¡ zmiennymi k¡t-dziaªanie oscylatora harmonicznego. (Uwaga: nie zapominamy o sprawdzeniu kanoniczno±ci !)
29. Zmienne Delaunaya: de nicja przy pomocy elementów keplerowskich i wªasno±ci.
30. Wyprowadzi¢ dwa dowolnie wybrane równania planetarne Lagrange'a:
jedno z trójki (˙a, ˙e, ˙I) i jedno z ( ˙M , ˙ω, ˙Ω). Dodatek: Równania Gaussa
˙a = 2 a2
µ P· v = 2 n√
1− e2 [
R e sin f + T p r ]
= 2 v
n2aS, (1)
˙e = 1 µ a e
[
(r· v) r + (a p − r2) v ]· P
=
√1− e2
n a [R sin f + T (cos f + cos E)]
= 1
v [
S 2 p
r cos E + N√1− e2 sin E ]
, (2)
I˙ = r cos (f + ω)
µ p (r× v)· P = r cos (f + ω)
õ p B, (3)
˙
ω = − r
µ p e
[õ p
r (cos E + e) r− (p + r) sin f v ]
· P − c ˙Ω
= 1
e
√p µ
[
−R cos f + T (
1 +r p
) sin f
]
− c ˙Ω
= 1
e v [2 S sin f− N (e + cos E)] − c ˙Ω, (4) Ω˙ = r sin (f + ω)
s µ p (r× v)· P = r sin (f + ω)
sõ p B, (5)
M˙ = n− 1 n a2
[
2 P· r +√
µp(ω + c ˙˙ Ω)]
= n− 1
n a2e [ R (2 r e− p cos f) + T (r + p) sin f ]
= n−
√1− e2 v e
[
N (cos f− e) − S (
1 +2 r e2 p
) sin f
]
. (6)
3
