19 XII WYZNACZANIE NAJWIĘKSZEJ (NAJMNIEJSZEJ) WARTOŚCI FUNKCJI W PRZEDZIALE Jeśli największa lub największa wartość jest w środku przedziału to f

19 XII

WYZNACZANIE NAJWIĘKSZEJ (NAJMNIEJSZEJ) WARTOŚCI FUNKCJI W PRZEDZIALE Jeśli największa lub największa wartość jest w środku przedziału to f⁰ w tym punkcie przyjmuje war- tość 0.

ALGORYTM ZNAJDOWANIA NAJWIĘKSZEJ (NAJMNIEJSZEJ) WARTOŚCI FUNKCJI W PRZE- DZIALE

KROK 1. Obliczamy f⁰ i przyrównujemy do zera znajdując w ten sposób punkty stacjonarne.

KROK 2.Obliczamy wartości funkcji w tych punktach i na końcach przedziału.

KROK 3. Wybieramy z gtych wartości największą (najmniejszą).

ZADANIE 6 zestaw 58.

1. f⁰ = 21 · (1/x)⁰+ 1/7 · (x²) = 21 · (−1/x²) + 1/7 · 2x = 0 / ·x²

−21 + 2/7 · x³ = 0 2/7 · x³ = 21 / ·7/2 x³ = (21 · 7)/2 = 73, 5 x =√³

73, 5 = 4, 19.

2. f (4, 19) = 21/4, 19 + 4, 19²/7 = 7, 52 f (1/70) = 21/(1/70) + (1/70)²/7 = 1470 f (60) = 21/60 + 60²/7 = 514, 64

3. Największą wartością 1470, a najmniejszą 7,52.

Gdyby pytania brzmiały: 1. w jakim punkcie tego przedziału funkcja przyjmuje największą wartość? 2.

w jakim punkcie tego przedziału funkcja przyjmuje najmniejszą wartość?

Zadanie rozwiązujemy identycznie. Tylko odpowiedzi szukamy nie w wartościach tylko w argumentach.

W tym konkretnym przypadku odpowiedzi brzmią:

1. Funkcja przyjmuje największą wartość w tym przedziale w punkcie 1/70.

2. Funkcja przyjmuje najmniejszą wartość w tym przedziale w punkcie 4,19.

Ten drugi problem jest ważniejszy w praktyce.

Np. Mamy funcję zysku f (x) gdzie x - wielkość produkcji. x jest z przedziału [0; b]. b - maksymalne możliwości produkcyjne.

Naturalnym pytaniem jest: na jakim poziomie ustalić wielkość produkcji, aby zysk był największy.

Czyli decydujemy o x, a nie o f (x). Zatem musimy wyznaczyć ”najlepsze” x.

1

ZADANIE DODATKOWE

Mamy wykonać czarkę w kształcie stożka. Mamy do dyspozycji 4 dcm² materiału (blachy, papieru itp.).

Przy jakich wymiarach objętość czarki będzie największa?

Oznaczmy przez r, promień podstawy, h - wysokość, l - tworzącą stożka. Wtedy mamy h =√

l²− r².

P = πr²l = 4.

Stąd l = _πr⁴ . Dalej

V = 1

3πr²h = 1 3πr²

s 4²

π²r² − r²= 1 3π

s 16r²

π² − r⁶. r > 0.

Funkcja V będzie największa gdy funkcja pod pierwiastkiem będzie największa (oznaczmy ja przez g).

Mamy

g⁰ = 2 · 16r π² − 6r⁵. Przyrównując do 0 otrzymujemy

r

 16 3π² − r⁴



= 0.

Stąd

r = ⁴ r 16

3π² = 0.86.

Dalej l = _π·0.8774⁴ = 1.49, h =√

1.49²− 0.86² = 1.21

2