• Nie Znaleziono Wyników

1. Dla każdego z następujących języków nad alfabetem {a, b} proszę ustalić, czy jest to język regularny, czy jest to język bezkontekstowy i czy należy do klasy P.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "1. Dla każdego z następujących języków nad alfabetem {a, b} proszę ustalić, czy jest to język regularny, czy jest to język bezkontekstowy i czy należy do klasy P."

Copied!
2
0
0

Pełen tekst

(1)

Złożoność obliczeniowa (bioinformatyka) - egzamin 31 stycznia 2018

1. Dla każdego z następujących języków nad alfabetem {a, b} proszę ustalić, czy jest to język regularny, czy jest to język bezkontekstowy i czy należy do klasy P.

(a) L

1

= {a

n

bw | n ∈ N ∧ |w| = n};

(b) L

2

= {a

n

bw | n ∈ N ∧ |w| = 4};

(c) L

3

= {a

n

bw | n ∈ N ∧ |w| = n

2

}.

Wskazówka: W punkcie (c) można zacząć od języka L

03

= {a

n

b

n2+1

| n ∈ N}.

2. Które z następujących stwierdzeń jest prawdziwe?

(a) Jeśli L

1

log

L

2

, to −L

1

log

−L

2

. (b) Jeśli L

1

jest Pspace-zupełny, to −L

1

też.

(c) Jeśli L

1

jest Pspace-zupełny i L

1

⊆ L

2

, to L

2

też jest Pspace-zupełny.

(d) Jeśli L

1

i L

2

są Pspace-zupełne, to L

1

∪ L

2

lub L

1

∩ L

2

jest Pspace-zupełny.

(e) Jeśli L jest Pspace-zupełny, to L jest NP-trudny.

3. Zbiór A ⊆ N jest obliczalny (rekurencyjny), funkcja f : N → N jest też obliczalna. Czy obraz f (A) musi być obliczalny? Czy musi być rekurencyjnie przeliczalny? Co się zmieni jeśli zamiast o obraz zapytamy o przeciwobraz f

−1

(A)?

4. Udowodnić, że jeśli NP = co-NP, to Nexptime = co-Nexptime.

(2)

Przykładowe rozwiązania

1a: Język L1jest bezkontekstowy. Generuje go gramatyka o produkcjach ξ0::= b | aξ0b | aξ0a.

Nie jest to język regularny, bo ma nieskończenie wiele ilorazów. Istotnie, wszystkie języki postaci L1\an = {ambw | m ∈ N ∧ |w| = n + m} są różne. Ponieważ każdy język bezkontekstowy należy do klasy P, więc L1 też.

1b: Język L2 jest regularny, bo L2= ab(a ∪ b)4. W szczególności L2jest bezkontekstowy i L2∈ P . 1c: Język L3 jest w klasie P. Deterministyczna maszyna Turinga zlicza litery a na początku słowa wejściowego oraz wszystkie litery tego słowa, używając dwóch liczników binarnych c1 i c2 na dwóch taśmach roboczych. Wymaga to czasu rzędu O(n). Następnie maszyna oblicza wartość c21 na trzeciej taśmie (w czasie rzędu O(log2n)) i sprawdza, czy c1+ 1 + c21= c2(w czasie rzędu O(log n)). Wszystko razem wymaga więc czasu liniowego.

Język L3nie jest bezkontekstowy. Wystarczy udowodnić, że język L03= L3∩ ab= {anbn2+1| n ∈ N}

nie jest bezkontekstowy (bo iloczyn języka bezkontekstowego i regularnego jest bezkontekstowy).

Załóżmy przeciwnie. Niech N będzie stałą dla języka L03z lematu o pompowaniu i niech w = aNbN2+1. Wtedy w = xyzuv, gdzie |yzu| ≤ N , yu 6= ε, oraz wr = xyrzurv ∈ L03 dla dowolnego r. Niech k i m będzie odpowiednio liczbą liter a i b w słowie yu. Dla r = 2 otrzymujemy, że słowo w2ma N + k liter a i N2+ 1 + m liter b. Natomiast przy r = 3 mamy N + 2k liter a i N2+ 1 + 2m liter b w słowie w3. Ponieważ w2, w3 ∈ L03, więc (N + k)2+ 1 = N2+ 1 + m oraz (N + 2k)2+ 1 = N2+ 1 + 2m. Z tych równań łatwo wynika, że m = k = 0, czyli yu = ε i mamy sprzeczność.

2a: Tak. Jeśli L1logL2, to dla każdego słowa x zachodzi równoważność x ∈ L1⇔ f (x) ∈ L2, gdzie f jest odpowiednią funkcją obliczalną w pamięci logarytmicznej. Jasne, że wtedy x 6∈ L1⇔ f (x) 6∈ L2. 2b: Tak. Skoro L1jest Pspace-zupełny, to należy do Pspace, zamkniętego ze względu na dopełnienie.

Stąd −L1∈ Pspace. A jeśli L ∈ Pspace, to −L ∈ Pspace, więc −L ≤logL1, skąd także L ≤log−L1. 2c: Nie. Język QBF jest zawarty w zbiorze Σ wszystkich słów, który nie jest Pspace-zupełny, bo łatwo widzieć, że jeśli L ≤log Σ, to L = Σ.

2d: Nie. Z części 2b wynika, że język −QBF jest Pspace-zupełny, tymczasem QBF ∪ −QBF = Σ, oraz QBF ∩ −QBF = ∅. Tymczasem ani Σ ani ∅ = −Σ nie są Pspace-zupełne.

2e: Tak. Wprost z definicji, bo NP ⊆ Pspace.

3: Obraz f (A) = {f (a) | a ∈ A} jest zbiorem rekurencyjnie przeliczalnym (częściowo obliczalnym), bo istnieje częściowy algorytm sprawdzający, że dana liczba n ∈ N należy do f (A). Dla a = 0, 1, 2, . . . wystarczy sprawdzać, czy a ∈ A i czy f (a) = n, aż się takie a znajdzie. Obraz zbioru obliczalnego nie musi być obliczalny. Na przykład niech k ∈ K = {m | Mm akceptuje m} i niech f (m, n) = m, jeśli maszyna Mmakceptuje m w co najwyżej n krokach, a w przeciwnym razie niech f (m, n) = k. Wtedy f (N × N) = K. Dwuargumentową funkcję f można zastąpić przez jednoargumentową funkcję f ◦ g, gdzie g : N−→1−1

na N × N jest obliczalna, np. taka że g(2m(2n + 1) − 1) = hm, ni.

Przeciwobraz f−1(A) = {x ∈ N | f (x) ∈ A} jest obliczalny, bo aby ustalić czy x ∈ f−1(A) wystarczy obliczyć f (x) i sprawdzić, czy f (x) ∈ A.

4: Załóżmy, że NP = co-NP. Pokażemy, że Nexptime ⊆ co-Nexptime. Niech L ∈ Nexptime, tj. L ∈ Ntime(2nk) dla pewnego k. Wtedy L0 = {w$2|w|k−|w| | w ∈ L} należy do Ntime(O(n)) ⊆ NP, ponieważ słowa postaci w$2|w|k−|w| o długości n można rozpoznawać niedeterministycznie w czasie proporcjonalnym do 2|w|k = n. Z naszego założenia wynika, że L0 ∈ co-NP, czyli −L0 ∈ NP, powiedzmy −L0 ∈ Ntime(nr). Ale wtedy język −L jest w klasie Nexptime. Istotnie, aby sprawdzić, że dane słowo w długości n należy do −L wystarczy ustalić, że w$2|w|k−|w| ∈ −L0. To można zrobić niedeterministycznie w czasie wielomianowym od długości słowa w$2|w|k−|w|, dokładniej w czasie (2nk)r= 2rnk≤ 2nk+1 (prawie wszędzie). Zatem −L ∈ Ntime(2nk+1), więc L ∈ co-Nexptime.

Inkluzja co-Nexptime ⊆ Nexptime wynika natychmiast z Nexptime ⊆ co-Nexptime. Jeśli bowiem L ∈ co-Nexptime, to −L ∈ Nexptime, skąd −L ∈ co-Nexptime i wreszcie L ∈ Nexptime.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Maszyna Turinga przesuwa głowicę wejś- ciową w prawo, zwiększając w każdym kroku licznik o 1, aż do pierwszej litery b (jeśli jej nie ma, to jest jeszcze łatwiej, bo

Natomiast języki kontekstowe (3g), zwane też monotonicznymi (3h), stanowią właściwą podklasę języków rekurencyjnych.. Kontrprzykładem

Żeby sprawdzić, czy słowo jest postaci ww R w można policzyć jego długość (musi to być liczba postaci 3k) a następnie użyć 3 liczników zmieniających się odpowiednio od 1 do

Rozwiązania proszę starannie i samodzielnie zredagować i wpisać do zeszytu prac domowych.. Zadania dotyczą sposobu wybiarania posłów do Parlamentu Europejskiego

§ 2. Jeżeli małżonkowie zajmują wspólne mieszkanie, sąd w wyroku rozwodowym orzeka także o sposobie 

„Język grecki jest najcudniejszy” 237 Wyrazy greckie okazały się tak uniwersalne, że społeczności cywilizacji euroatlantyckiej uznały za zbędne zastępowanie ich

Odszukajcie 2–3 różne rodzaje roślin takie, których jest najwięcej na powierzchni wyznaczonej sznurkiem.. Zbieracie po jednym liściu lub kawałku łodygi z liściem lub

Także komórek na- sion, które zwykle kojarzą się ze stanem spoczynku.. i