• Nie Znaleziono Wyników

Matematyka dla biologów — Zaj˛ecia nr 8.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Matematyka dla biologów — Zaj˛ecia nr 8."

Copied!
39
0
0

Pełen tekst

(1)

Dariusz Wrzosek

28 listopada 2018

(2)

Plan:

1 przestrze ´n kartezja ´nska

2 funkcje wielu zmiennych i pochodne cz ˛astkowe

3 metoda najmniejszych kwadratów- wyznaczanie trendu liniowego

4 fraktale

(3)

Przestrze ´n kartezja ´nska ’n

Produkt zło˙zony z n kopii zbioru liczb rzeczywistych’, czyli

n

z }| {

’× . . . × ’

nazywa si ˛eprzestrzeni ˛a kartezja ´nsk ˛ai oznacza’n. Elementami tej przestrzeni s ˛a uporz ˛adkowane ci ˛agi n liczb

(x1,x2, . . . ,xn), które nazywamy punktami o n współrz ˛ednych.

(4)

1 n=1— zbiór liczb rzeczywistych uto˙zsamiamy z lini ˛a prost ˛a;

2 n=2— zbiór’2 uto˙zsamiamy z płaszczyzn ˛a,

3 n=3— zbiór’3 uto˙zsamiamy z przestrzeni ˛a trójwymiarow ˛a.

Liczb ˛e n nazywamy wymiarem przestrzeni.

Je´sli na płaszczy´znie wybierzemy pewien punkt odniesienia — ´srodek układu współrz ˛ednych o współrz ˛ednych(0,0), to aby okre´sli´c poło˙zenie dowolnego innego punktu płaszczyzny potrzeba i wystarcza poda´c dwie współrz ˛edne.

(5)

identyfikujemy jako czas mierzony od pewnej ustalonej chwili.

Idea wprowadzenia układu współrz ˛ednych dla reprezentowania punktów przestrzeni i rozwi ˛azywania zagadnie ´n geometrycznych pochodzi od Kartezjusza (Rene Descartesa (1596-1650)) i nale˙zy do kluczowych osi ˛agni ˛e´c maj ˛acych wpływ na rozwój matematyki i nauk przyrodniczych.

(6)

Wektory

Ka˙zda uporz ˛adkowana para punktów z’n,(P,Q), okre´slawektor−−→

P,Q o pocz ˛atku w punkcie P (zaczepiony w P) i ko ´ncu w punkcie Q.

Z drugiej strony ka˙zdy punkt P mo˙zna identyfikowa´c z wektorem−→

0,P, gdzie 0 oznacza punkt(0,0, . . . ,0)zwany tak˙ze ´srodkiem układu współrz ˛ednych.

Je´sli P = (p1, . . . pn)i Q = (q1, . . . ,qn), to wektor−−→

P,Q ma współrz ˛edne

−−→P,Q= [q1p1, . . . ,qnpn]T =

q1p1 ... qnpn

. p2 P

p1

q2 Q

q1

−−→ P,Q

(7)

Litera T u góry oznaczatranspozycj ˛e wektora, czyli zamian ˛e wektora o współrz ˛ednych zapisanych w wierszu na wektor kolumnowy i odwrotnie.

Szczególnie wa˙zny jest zbiór wszystkich wektorów zaczepionych w 0, który oznaczymy przezV.

W zbiorze tym mo˙zna okre´sli´c działania dodawania wektorów i mno˙zenia wektorów przez liczby, wykonuj ˛ac wszystkie operacje oddzielnie na współrz ˛ednych.

Dla a ∈ ’i~v = [v1, . . . ,vn]T ∈ V oraz~z= [z1, . . . ,zn]T ∈ V definiujemy

1 a~v= [av1, . . . ,avn]T

2 ~v+ ~z= ~w= [v +z , . . . ,v +z ]T

(8)

Funkcje wielu zmiennych

Rozpatrzmy funkcj ˛e dwóch zmiennych okre´slon ˛a na zbiorze D ⊂ ’2, f :D → ’, Mo˙zemy przyj ˛a´c, ˙ze np. D to prostok ˛at bez brzegu . Funkcje dwóch zmiennych zapisujemy jako

f(x) =f(x1,x2) dla x= (x1,x2) ∈D. Wybierzmy dowolny punkt˜x = (˜x1, ˜x2)ze zbioru D.

Zamiast x2wstawmy warto´s´c˜x2i potraktujmy funkcj ˛e f jako funkcj ˛e jedynie zmiennej x1. Tak ˛a funkcj ˛e obci ˛et ˛a do jednej współrz ˛ednej oznaczmy dla wygody f1(x1) =f(x1, ˜x2).

(9)

Je˙zeli funkcja f1ma pochodn ˛a w punkcie x1 = ˜x1, to warto´s´c tej pochodnej w punkcie˜x1nazywamypochodn ˛a cz ˛astkow ˛afunkcji f po x1w punkcie˜x

i oznaczamy f

x1(˜x).

Analogicznie ustalaj ˛ac pierwsz ˛a zmienn ˛a x1 = ˜x1, definiujemy funkcj ˛e jednej zmiennej f2 =f2(x2). Je´sli ta funkcja ma pochodn ˛a, to jej warto´s´c nazywamy pochodn ˛a cz ˛astkow ˛a po x2w punkcie˜x i oznaczamy

f

x2(˜x).

(10)

Przykład 1

We´zmy funkcj ˛ef(x1,x2) =x12+x1x2 okre´slon ˛a na’2i wybierzmy punkt

˜

x = (2,3). Obliczamy f1(x1) =f(x1,3) =x12+3x1, a wi ˛ec f10(x1) =2x1+3 i f10(2) =7, czyli

f

x1(2,3) =7.

Aby otrzyma´c ogólny wzór okre´slaj ˛acy pochodn ˛a cz ˛astkow ˛a wykonuje si ˛e ró˙zniczkowanie funkcji powybranej zmiennej traktuj ˛ac pozostał ˛a jako parametr— nie wstawiaj ˛ac konkretnych współrz ˛ednych.

Otrzymujemy wzór, za pomoc ˛a którego mo˙zna obliczy´c, pochodn ˛a cz ˛astkow ˛a w dowolnym punkcie dziedziny.

W naszym przykładzie mamy

f

x1(˜x) =2x˜1+ ˜x2, f

x2(˜x) = ˜x1.

(11)

W przypadku funkcji n zmiennych

f(x) =f(x1,x2, . . .xn) dla (x1,x2, . . . xn) ∈D ⊂ ’n post ˛epuje si ˛e analogicznie.

Aby obliczy´c pochodn ˛a cz ˛astkow ˛a po zmiennej xi, czyli

f

xi(˜x)

traktuje si ˛e wszystkie pozostałe zmienne (poza xi) jako stałe parametry i liczy pochodn ˛a funkcji jednej zmiennej xi.

(12)

Policzmy pochodne cz ˛astkowe funkcji

f(x,y,z) =z+e2xsiny, (x,y,z) ∈ ’3

w punkcie(x0,y0,z0). Uwaga: zamiast(x1,x2,x3)piszemy(x,y,z)— typowo dla funkcji 3 zmiennych!

Mamy

f

x(x0,y0,z0) =2e2x0sin y0,

f

y(x0,y0,z0) =e2x0cosy0,

f

z(x0,y0,z0) =1.

(13)

Pochodna funkcji jednej zmiennej w punkcie˜x wyznacza prost ˛a styczn ˛a do wykresu funkcji w punkcie(˜x,f(˜x)).

Dla funkcji dwóch zmiennych ka˙zda z pochodnych cz ˛astkowych w punkcie x˜= (˜x1, ˜x2)zadaje prost ˛a styczn ˛a przechodz ˛ac ˛a przez punkt

(˜x1, ˜x2,f(˜x1, ˜x2)) ∈ ’3.

Obie proste zadaj ˛a płaszczyzn ˛e styczn ˛a do wykresu funkcji.

Odpowiednikiem pochodnej funkcji jednej zmiennej jest w przypadku funkcji wielu zmiennych gradient.

(14)

Gradient funkcji wielu zmiennych

Definicja

Pochodn ˛afunkcji wielu zmiennychf :D 7→ ’w punkciex˜D ⊂ ’n nazywamy wektorf(˜x)(zwanygradientem funkcji), którego współrz ˛edne równe s ˛a kolejnym pochodnym cz ˛astkowym funkcji f czyli

f(˜x) =

 f

x1(˜x), . . . , f

xi(˜x), . . . , f

xn(˜x)



(15)

Bywa, ˙ze przyrodnicy nazywaj ˛a gradientem tak˙ze pochodn ˛a funkcji jednej zmiennej. Nie prowadzi to do sprzeczno´sci, je´sli kontekst jest jasny.

Stwierdzenie, ˙ze w jakim´s procesie fizycznym jest du˙zy gradient temperatury, jako funkcji poło˙zenia, znaczy, ˙ze warto´s´c bezwzgl ˛edna pochodnej|f0(x)|przyjmuje stosunkowo du˙ze warto´sci, a wi ˛ec temperatura zmienia si ˛e szybko z miejsca na miejsce.

W przypadku funkcji wielu zmiennych mówi ˛ac, ˙ze gradient temperatury jako funkcji poło˙zenia jest du˙zy oznacza, ˙ze długo´s´c wektora gradientu funkcji jest du˙za. Wtedy tak˙ze wiemy, znaj ˛ac zwrot wektora gradientu, w którym kierunku temperatura wzrasta najbardziej.

Mo˙zna udowodni´c, ˙ze

Gradient wyznacza kierunek najszybszego wzrostu warto´sci funkcji.

(16)

Wykres funkcji f(x,y) =x2+y2 okre´slonej na kole K o ´srodku w(0,0) i promieniu 2. Tutajf(x,y) = [2x,2y].

(17)

zmiennych

Warunkiem koniecznym wyst ˛epowania ekstremum (czyli minimum lub maksimum) lokalnego funkcji ró˙zniczkowalnej wielu zmiennych w danym punkcie jest, analogicznie do funkcji jednej zmiennej, zerowanie si ˛e pochodnej, czyli wektora gradientu w tym punkcie.

Powy˙zszy warunek jest warunkiem koniecznym. Nie jest dostateczny.

f (x, y) = (1 + x2) cos(y)

Obok wykres funkcji, której gradient si ˛e zeruje, w punkcie(0,0), a funkcja

nie ma w tym punkcie ani minimum, −2 −2

0 2 4

z

(18)

Metoda najmniejszych kwadratów

Zmienna x reprezentuje warto´sci cechy C1. Zmienna y — warto´sci cechy C2.

Wykonano n pomiarów warto´sci obu cech, w wyniku których otrzymali´smy n punktów na płaszczy´znie

(x1,y1) , (x2,y2) , . . . (xn,yn).

Zakładamy, ˙ze zmienna y zale˙zy od zmiennej x liniowo, albo inaczej szukamy wzoru opisuj ˛acego trend liniowy ukryty w danych.

Chcemy wi ˛ec znale´z´c funkcj ˛e liniowa y =l(x), której wykres le˙zy (w pewnym sensie) najbli˙zej punktów(xi,yi), i=1,2, . . . ,n.

Prosta ta jest zadana przez liczby rzeczywiste m i b, takie ˙ze y=l(x) =mx+b.

(19)

Zale˙zno´s´c liniowa jest najprostsza i mo˙zna j ˛a zawsze traktowa´c jako wst ˛epne przybli˙zenie.

Jednak tak˙ze wykres funkcji pot ˛egowej w logarytmicznym układzie współrz ˛ednych i funkcji wykładniczej w układzie pół-logarytmicznym s ˛a liniami prostymi, a wi ˛ec po przeniesieniu danych empirycznych na wykres logarytmiczny lub odpowiednio półlogarytmiczny mo˙zemy stosowa´c regresj ˛e liniow ˛a.

Pozostaje wyznaczy´c warto´sci parametrów m∈ ’oraz b∈ ’.

(20)

Postulujemy teraz, ˙ze poszukiwana prosta przechodzi w pewnym sensie najbli˙zej wszystkich n punktów.

By to sprecyzowa´c policzmy „odchylenia”

ei=yil(xi) i =1,2, . . .n.

i za˙z ˛adajmy, aby poszukiwana prosta miała t ˛e własno´s´c, ˙ze dla niej suma wszystkich odchyle ´n jest najmniejsza.

(21)

le˙z ˛a na ˙zadnej prostej.

By tego unikn ˛a´c bierze si ˛e sum ˛e kwadratów odchyle ´n czyli E =

n

X

i=1

ei2 =

n

X

i=1

|yil(xi)|2=

n

X

i=1

[yi− (mxi+b)]2. St ˛ad nazwa –metoda najmniejszych kwadratów.

Zadanie sprowadza si ˛e do znalezienia takiej pary(m,b) ∈ ’ × ’, dla której funkcja odchylenia

E(m,b) =

n

X

i=1

[yi− (mxi+b)]2 przyjmuje warto´s´c najmniejsz ˛a.

(22)

Pochodne cz ˛astkowe funkcji wielu zmiennych Metoda najmniejszych kwadratów (regresji liniowej)

Pochodne cz ˛ astkowe funkcji odchylenia E ( m , b )

E(m,b) =

n

X

i=1

[yi− (mxi+b)]2

Pochodna wzgl ˛edemb— zmienn ˛a m traktujemy jak parametr.

bE(m,b) =

b

n

X

i=1

[yi− (mxi+b)]2=

n

X

i=1

b[yi− (mxi+b)]2

=

n

X

i=1

2[yi− (mxi+b)](−1) = −

n

X

i=1

2yi+2m

n

X

i=1

xi+2bn

mE(m,b) =

n

X

i=1

m[yi− (mxi+b)]2=

n

X

i=1

2[yi− (mxi+b)](−xi)

= −

n

X

i=1

2xiyi+2m

n

X

i=1

xi2+2b

n

X

i=1

xi

(23)

E(m,b) =

n

X

i=1

[yi− (mxi+b)]2

Pochodna wzgl ˛edemb— zmienn ˛a m traktujemy jak parametr.

bE(m,b) =

b

n

X

i=1

[yi− (mxi+b)]2=

n

X

i=1

b[yi− (mxi+b)]2

=

n

X

i=1

2[yi− (mxi+b)](−1) = −

n

X

i=1

2yi+2m

n

X

i=1

xi+2bn Pochodna wzgl ˛edemm— zmienn ˛a b traktujemy jak parametr.

mE(m,b) =

n

X

m[yi− (mxi+b)]2=

n

X2[yi− (mxi+b)](−xi)

(24)

Z danych empirycznych obliczamy

sx =

n

X

i=1

xi, sx2 =

n

X

i=1

xi2, sy =

n

X

i=1

yi, sxy =

n

X

i=1

xiyi

i rozwi ˛azujemy układ równa ´n:

−2sy+ 2sxm + 2n b = 0, −2sxy+ 2sx2m + 2sxb = 0.

Przy takiej notacji mo˙zemy wynik zapisa´c nast ˛epuj ˛aco:

m= nsxysxsy

nsx2sx2 , (?)

b= s

x2sy− (sx)(sxy)

nsx2sx2 = symsx

n . (??)

Na podstawie tych wzorów pakiety statystyczne wyliczaj ˛a poszukiwane współczynniki trendu liniowego.

(25)

u dzieci

Dokonano 7 pomiarów wysoko´sci i ustalono wiek badanych dzieci (n=7).

Kolejno w parach(xi,yi)oznacza, ˙ze i-te dziecko ma wiek xii wysoko´s´c yi. (1,76) , (3,91) , (5,109) , (7,120) , (9,131) , (11,144) (13,154)

Obliczamy

sx =49, sx2 =450, sy =825, sxy =6794. Podstawiaj ˛ac do wzorów (?) i (??) otrzymujemy

m= 7×679449×825

=9,523,

(26)

Zale˙zno´s´c pomi ˛edzy wiekiem i wzrostem u dzieci

(27)

dostaniemy oczywi´scie nieco inne wyniki.

Jest to konsekwencja nie tylko bł ˛edów pomiarowych, ale głównie zró˙znicowania osobniczego.

Przebieg prostej przechodz ˛acej „najbli˙zej” punktów okre´slonych przez dane empiryczne nie wynika bezpo´srednio z jakiego´s prawa przyrody.

Jest to jedynie sposób przedstawienia danych empirycznych i punkt wyj´sciowy do dalszych bada ´n maj ˛acych na celu wyja´snienie, dlaczego zale˙zno´s´c jest wła´snie taka a nie inna.

Jest jasne równie˙z, ˙ze zale˙zno´s´c liniowa dotyczy osobników w fazie wzrostu (tu dzieci do wieku dojrzewania).

Po zbadaniu starszych osobników okazałoby si ˛e, ˙ze zale˙zno´s´c dalej ju˙z

(28)

Fraktale

Fraktale- krzywa Kocha

Przegl ˛ad zagadnie ´n analizy matematycznej zako ´nczymy dygresj ˛a o dziwnych zbiorach zwanych fraktalami wykazuj ˛acymi zdumiewaj ˛ace podobie ´nstwo do form spotykanych w przyrodzie. Słynnym przykładem fraktala jest krzywa ci ˛agła i ograniczona o niesko ´nczonej długo´sci zwana od Helge von Kocha(1870-1924) krzyw ˛a Kocha lub płatkiem ´sniegu Kocha.

Krzyw ˛a Kocha otrzymuje si ˛e przechodz ˛ac do granicy, wykonuj ˛ac niesko ´nczenie wiele kroków nast ˛epuj ˛acej procedury. Figur ˛a wyj´sciow ˛a jest trójk ˛at równoboczny o boku d.

trzy cz ˛e´sci z których usuwamy ´srodkow ˛a i w to miejsce wklejamy trójk ˛at równoboczny o bokud3 z usuni ˛etym jednym bokiem, tak aby powstał zamkni ˛ety wielok ˛at.

Otrzymujemy zatem wielok ˛at o 3·4=12 bokach.

(29)

Przegl ˛ad zagadnie ´n analizy matematycznej zako ´nczymy dygresj ˛a o dziwnych zbiorach zwanych fraktalami wykazuj ˛acymi zdumiewaj ˛ace podobie ´nstwo do form spotykanych w przyrodzie. Słynnym przykładem fraktala jest krzywa ci ˛agła i ograniczona o niesko ´nczonej długo´sci zwana od Helge von Kocha(1870-1924) krzyw ˛a Kocha lub płatkiem ´sniegu Kocha.

Krzyw ˛a Kocha otrzymuje si ˛e przechodz ˛ac do granicy, wykonuj ˛ac niesko ´nczenie wiele kroków nast ˛epuj ˛acej procedury. Figur ˛a wyj´sciow ˛a jest trójk ˛at równoboczny o boku d.

W pierwszym kroku dzielimy ka˙zdy z boków na trzy cz ˛e´sci z których usuwamy ´srodkow ˛a i w to miejsce wklejamy trójk ˛at równoboczny o bokud3 z usuni ˛etym jednym bokiem, tak aby powstał

(30)

Fraktale

Krzywa Kocha

dzielimy na trzy cz ˛e´sci, usuwamy ´srodkow ˛a i w jej miejsce wklejamy trójk ˛at równoboczny o boku 3d2, czyli trzykrotnie krótszym ni˙z poprzedni.

Otrzymujemy wielok ˛at o 3·4·4=3·42bokach.

Powtarzamy t ˛e sam ˛a procedur ˛e otrzymuj ˛ac w trzecim kroku wielok ˛at o 3·43 bokach o długo´sci 3d3 ka˙zdy.

Ogólnie w kroku n. otrzymamy wielok ˛at o 3·4n bokach długo´sci 3dn ka˙zdy. Długo´s´c Lnwszystkich boków wielok ˛ata w n. kroku konstrukcji wynosi

Ln =3·d

4 3

n

.

(31)

Fraktale

Krzywa Kocha

W drugim kroku ka˙zdy z boków tego wielok ˛ata dzielimy na trzy cz ˛e´sci, usuwamy ´srodkow ˛a i w jej miejsce wklejamy trójk ˛at równoboczny o boku 3d2, czyli trzykrotnie krótszym ni˙z poprzedni.

Otrzymujemy wielok ˛at o 3·4·4=3·42bokach.

Ogólnie w kroku n. otrzymamy wielok ˛at o 3·4n bokach długo´sci 3dn ka˙zdy. Długo´s´c Lnwszystkich boków wielok ˛ata w n. kroku konstrukcji wynosi

Ln =3·d

4 3

n

.

(32)

Krzywa Kocha

W drugim kroku ka˙zdy z boków tego wielok ˛ata dzielimy na trzy cz ˛e´sci, usuwamy ´srodkow ˛a i w jej miejsce wklejamy trójk ˛at równoboczny o boku 3d2, czyli trzykrotnie krótszym ni˙z poprzedni.

Otrzymujemy wielok ˛at o 3·4·4=3·42bokach.

Powtarzamy t ˛e sam ˛a procedur ˛e otrzymuj ˛ac w trzecim kroku wielok ˛at o 3·43 bokach o długo´sci 3d3 ka˙zdy.

Ogólnie w kroku n. otrzymamy wielok ˛at o 3·4n bokach długo´sci 3dn ka˙zdy.

Długo´s´c Ln wszystkich boków wielok ˛ata w n. kroku konstrukcji wynosi Ln =3·d

4 3

n

.

(33)

Krzyw ˛a Von Kocha nazywa si ˛e krzyw ˛a ci ˛agł ˛a, któr ˛a definiuje si ˛e jako zbiór otrzymany w granicy po przej´sciu wszystkich niesko ´nczenie wielu kroków.

Poniewa˙z

n→+∞lim Ln = lim

n→+∞

 3·d

4 3

n

= +∞,

jej długo´s´c jest niesko ´nczona, mimo ˙ze jest to krzywa ograniczona.

Krzywa Von Kocha jest przykładem obiektu matematycznego, który nie ma bezpo´sredniej reprezentacji w rzeczywisto´sci empirycznej, gdy˙z ta

procedura musiałaby si ˛e zatrzyma´c na tym kroku, w którym dojdziemy do subatomowej skali długo´sci.

Wa˙zne jest to, ˙ze ten obiekt idealny mo˙zemy przybli˙za´c z dowoln ˛a

(34)

Fraktale

Ciekaw ˛a cech ˛a krzywej Von Kocha jestsamopodobie ´nstwo. Wyobra´zmy sobie mikroskop powi ˛ekszaj ˛acy w skali 1:10 nakierowany centralnie na punkt na krzywej Kocha.

Zwi ˛ekszamy skal ˛e dziesi ˛eciokrotnie, nast ˛epnie stokrotnie itd.

Za ka˙zdym razem widzimy to samo — dowolnie mały fragment wygl ˛ada tak jak fragment powi ˛ekszony.

Figury o tej własno´sci nazywa si ˛efraktalami.

Poj ˛ecie to wprowadził Benoit Mandelbrot (1924-2010) w latach siedemdziesi ˛atych XX wieku.

W literaturze spotka´c mo˙zna ró˙zne definicje zbiorów fraktalnych ró˙zni ˛ace si ˛e zakresami. Ich zrozumienie wymaga znajomo´sci zaawansowanych poj ˛e´c matematycznych i dlatego poprzestaniemy na przedstawieniu ogólnych idei.

(35)

Fraktale fascynuj ˛a naukowców z ró˙znych dziedzin mi ˛edzy innymi dlatego,

˙ze wiele z nich przypomina obiekty o skomplikowanej morfologii znane ze

´swiata przyrody o˙zywionej i nieo˙zywionej.

Wielok ˛aty przybli˙zaj ˛ace krzyw ˛a Von Kocha przypominaj ˛a płatki ´sniegu.

(36)

Samopodobn ˛a struktur ˛e ma niew ˛atpliwie kwiatostan kalafiora i brokuła.

(37)
(38)

Klifowa, pełna małych zatoczek o ró˙znej skali wielko´sci, linia brzegowa Walii ma równie˙z pewne cechy fraktala, nastr ˛eczaj ˛ac rzeczywistych problemów z dokładnym obliczeniem długo´sci linii brzegowej Wielkiej Brytanii.

Do tej pory nie ma ogólnej teorii, która wyja´sniałaby sk ˛ad bierze si ˛e zadziwiaj ˛ace podobie ´nstwo mi ˛edzy fraktalami matematycznymi i fraktalopodobn ˛a struktur ˛a wielu obiektów przyrodniczych. Na pewno zrozumienie tego zwi ˛azku wymaga lepszego zrozumienia mechanizmów wzrostu, które w wielu przypadkach polegaj ˛a na dobudowywaniu

podobnych struktur do ju˙z istniej ˛acych, ale w zmniejszonej skali.

(39)

Matematyczna teoria fraktali dała narz ˛edzia umo˙zliwiaj ˛ace klasyfikacj ˛e ró˙znych struktur o skomplikowanej, nieregularnej budowie. Teori ˛e fraktali wykorzystano do diagnostyki guzów nowotworowych, gdy˙z dostrze˙zono struktury fraktalne na ´scianach komórek nowotworowych:

http://www.icsjournal.org/articles/2016/12/16/fractal-geometry-of-tumors- how-certain-scientists-use-fractal-models-to-understand-tumors-and- develop-treatments

http://physicsworld.com/cws/article/news/2015/mar/11/fractal-patterns- seen-on-emerging-cancerous-cells

Warto odwiedzi´c cho´c jedn ˛a z licznych bogato ilustrowanych stron internetowych po´swi ˛econych fraktalom.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Matematyka dla biologów Zaj ˛ecia 7.. Im dokładniejsze przybli˙zenie, tym mniejsze musz ˛ a by´c kwadraty wypełniaj ˛ ace w sumie trójk ˛ at, ale ˙zadna sko ´nczona

( ? ) jest podstawowym liniowym równaniem ró˙zniczkowym opisuj ˛ acym zmiany zag ˛eszcze ´n populacji w czasie ci ˛ agłym. Równanie to zwane jest równaniem Malthusa (Thomas

Je´sli zbiór zdarze ´n elementarnych jest zbiorem sko ´nczonym to zdarzeniem mo˙ze by´c dowolny podzbiór zbioru zdarze ´n elementarnych, a w przypadku gdy zbiór zdarze

1 Jakie jest prawdopodobie ´ nstwo zdarzenia, ˙ze w losowo wybranej rodzinie dwudzietnej jest dwóch chłopców pod warunkiem, ˙ze w tej rodzinie jest przynajmniej jeden

Trzeba podkre´sli´c, ˙ze sam rozkład prawdopodobie ´nstwa nie niesie pełnej informacji o zmiennej losowej jako o funkcji, okre´sla jedynie z jakimi prawdopodobie ´nstwami dana

Ta ostatnia własno´s´c powoduje, ˙ze najcz ˛e´sciej zmienna losowa o rozkładzie wykładniczym bywa interpretowana jako czas oczekiwania na jakie´s zdarzenie je´sli mo˙zna przyj

Zbiór w przestrzeni metrycznej nazywamy zwartym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ciąg jego elementów zawiera podciąg zbieżny do elementu tego zbioru.

Badamy, czy fumkcja F przyjmuje ekstremum lokalne w punkcie będącym rozwią- zaniem powyższego układu