Dariusz Wrzosek
28 listopada 2018
Plan:
1 przestrze ´n kartezja ´nska
2 funkcje wielu zmiennych i pochodne cz ˛astkowe
3 metoda najmniejszych kwadratów- wyznaczanie trendu liniowego
4 fraktale
Przestrze ´n kartezja ´nska n
Produkt zło˙zony z n kopii zbioru liczb rzeczywistych, czyli
n
z }| {
× . . . ×
nazywa si ˛eprzestrzeni ˛a kartezja ´nsk ˛ai oznaczan. Elementami tej przestrzeni s ˛a uporz ˛adkowane ci ˛agi n liczb
(x1,x2, . . . ,xn), które nazywamy punktami o n współrz ˛ednych.
1 n=1— zbiór liczb rzeczywistych uto˙zsamiamy z lini ˛a prost ˛a;
2 n=2— zbiór2 uto˙zsamiamy z płaszczyzn ˛a,
3 n=3— zbiór3 uto˙zsamiamy z przestrzeni ˛a trójwymiarow ˛a.
Liczb ˛e n nazywamy wymiarem przestrzeni.
Je´sli na płaszczy´znie wybierzemy pewien punkt odniesienia — ´srodek układu współrz ˛ednych o współrz ˛ednych(0,0), to aby okre´sli´c poło˙zenie dowolnego innego punktu płaszczyzny potrzeba i wystarcza poda´c dwie współrz ˛edne.
identyfikujemy jako czas mierzony od pewnej ustalonej chwili.
Idea wprowadzenia układu współrz ˛ednych dla reprezentowania punktów przestrzeni i rozwi ˛azywania zagadnie ´n geometrycznych pochodzi od Kartezjusza (Rene Descartesa (1596-1650)) i nale˙zy do kluczowych osi ˛agni ˛e´c maj ˛acych wpływ na rozwój matematyki i nauk przyrodniczych.
Wektory
Ka˙zda uporz ˛adkowana para punktów zn,(P,Q), okre´slawektor−−→
P,Q o pocz ˛atku w punkcie P (zaczepiony w P) i ko ´ncu w punkcie Q.
Z drugiej strony ka˙zdy punkt P mo˙zna identyfikowa´c z wektorem−→
0,P, gdzie 0 oznacza punkt(0,0, . . . ,0)zwany tak˙ze ´srodkiem układu współrz ˛ednych.
Je´sli P = (p1, . . . pn)i Q = (q1, . . . ,qn), to wektor−−→
P,Q ma współrz ˛edne
−−→P,Q= [q1−p1, . . . ,qn−pn]T =
q1−p1 ... qn−pn
. p2 P
p1
q2 Q
q1
−−→ P,Q
Litera T u góry oznaczatranspozycj ˛e wektora, czyli zamian ˛e wektora o współrz ˛ednych zapisanych w wierszu na wektor kolumnowy i odwrotnie.
Szczególnie wa˙zny jest zbiór wszystkich wektorów zaczepionych w 0, który oznaczymy przezV.
W zbiorze tym mo˙zna okre´sli´c działania dodawania wektorów i mno˙zenia wektorów przez liczby, wykonuj ˛ac wszystkie operacje oddzielnie na współrz ˛ednych.
Dla a ∈ i~v = [v1, . . . ,vn]T ∈ V oraz~z= [z1, . . . ,zn]T ∈ V definiujemy
1 a~v= [av1, . . . ,avn]T
2 ~v+ ~z= ~w= [v +z , . . . ,v +z ]T
Funkcje wielu zmiennych
Rozpatrzmy funkcj ˛e dwóch zmiennych okre´slon ˛a na zbiorze D ⊂ 2, f :D → , Mo˙zemy przyj ˛a´c, ˙ze np. D to prostok ˛at bez brzegu . Funkcje dwóch zmiennych zapisujemy jako
f(x) =f(x1,x2) dla x= (x1,x2) ∈D. Wybierzmy dowolny punkt˜x = (˜x1, ˜x2)ze zbioru D.
Zamiast x2wstawmy warto´s´c˜x2i potraktujmy funkcj ˛e f jako funkcj ˛e jedynie zmiennej x1. Tak ˛a funkcj ˛e obci ˛et ˛a do jednej współrz ˛ednej oznaczmy dla wygody f1(x1) =f(x1, ˜x2).
Je˙zeli funkcja f1ma pochodn ˛a w punkcie x1 = ˜x1, to warto´s´c tej pochodnej w punkcie˜x1nazywamypochodn ˛a cz ˛astkow ˛afunkcji f po x1w punkcie˜x
i oznaczamy ∂f
∂x1(˜x).
Analogicznie ustalaj ˛ac pierwsz ˛a zmienn ˛a x1 = ˜x1, definiujemy funkcj ˛e jednej zmiennej f2 =f2(x2). Je´sli ta funkcja ma pochodn ˛a, to jej warto´s´c nazywamy pochodn ˛a cz ˛astkow ˛a po x2w punkcie˜x i oznaczamy
∂f
∂x2(˜x).
Przykład 1
We´zmy funkcj ˛ef(x1,x2) =x12+x1x2 okre´slon ˛a na2i wybierzmy punkt
˜
x = (2,3). Obliczamy f1(x1) =f(x1,3) =x12+3x1, a wi ˛ec f10(x1) =2x1+3 i f10(2) =7, czyli
∂f
∂x1(2,3) =7.
Aby otrzyma´c ogólny wzór okre´slaj ˛acy pochodn ˛a cz ˛astkow ˛a wykonuje si ˛e ró˙zniczkowanie funkcji powybranej zmiennej traktuj ˛ac pozostał ˛a jako parametr— nie wstawiaj ˛ac konkretnych współrz ˛ednych.
Otrzymujemy wzór, za pomoc ˛a którego mo˙zna obliczy´c, pochodn ˛a cz ˛astkow ˛a w dowolnym punkcie dziedziny.
W naszym przykładzie mamy
∂f
∂x1(˜x) =2x˜1+ ˜x2, ∂f
∂x2(˜x) = ˜x1.
W przypadku funkcji n zmiennych
f(x) =f(x1,x2, . . .xn) dla (x1,x2, . . . xn) ∈D ⊂ n post ˛epuje si ˛e analogicznie.
Aby obliczy´c pochodn ˛a cz ˛astkow ˛a po zmiennej xi, czyli
∂f
∂xi(˜x)
traktuje si ˛e wszystkie pozostałe zmienne (poza xi) jako stałe parametry i liczy pochodn ˛a funkcji jednej zmiennej xi.
Policzmy pochodne cz ˛astkowe funkcji
f(x,y,z) =z+e2xsiny, (x,y,z) ∈ 3
w punkcie(x0,y0,z0). Uwaga: zamiast(x1,x2,x3)piszemy(x,y,z)— typowo dla funkcji 3 zmiennych!
Mamy
∂f
∂x(x0,y0,z0) =2e2x0sin y0,
∂f
∂y(x0,y0,z0) =e2x0cosy0,
∂f
∂z(x0,y0,z0) =1.
Pochodna funkcji jednej zmiennej w punkcie˜x wyznacza prost ˛a styczn ˛a do wykresu funkcji w punkcie(˜x,f(˜x)).
Dla funkcji dwóch zmiennych ka˙zda z pochodnych cz ˛astkowych w punkcie x˜= (˜x1, ˜x2)zadaje prost ˛a styczn ˛a przechodz ˛ac ˛a przez punkt
(˜x1, ˜x2,f(˜x1, ˜x2)) ∈ 3.
Obie proste zadaj ˛a płaszczyzn ˛e styczn ˛a do wykresu funkcji.
Odpowiednikiem pochodnej funkcji jednej zmiennej jest w przypadku funkcji wielu zmiennych gradient.
Gradient funkcji wielu zmiennych
Definicja
Pochodn ˛afunkcji wielu zmiennychf :D 7→ w punkciex˜∈D ⊂ n nazywamy wektor∇f(˜x)(zwanygradientem funkcji), którego współrz ˛edne równe s ˛a kolejnym pochodnym cz ˛astkowym funkcji f czyli
∇f(˜x) =
∂f
∂x1(˜x), . . . , ∂f
∂xi(˜x), . . . , ∂f
∂xn(˜x)
Bywa, ˙ze przyrodnicy nazywaj ˛a gradientem tak˙ze pochodn ˛a funkcji jednej zmiennej. Nie prowadzi to do sprzeczno´sci, je´sli kontekst jest jasny.
Stwierdzenie, ˙ze w jakim´s procesie fizycznym jest du˙zy gradient temperatury, jako funkcji poło˙zenia, znaczy, ˙ze warto´s´c bezwzgl ˛edna pochodnej|f0(x)|przyjmuje stosunkowo du˙ze warto´sci, a wi ˛ec temperatura zmienia si ˛e szybko z miejsca na miejsce.
W przypadku funkcji wielu zmiennych mówi ˛ac, ˙ze gradient temperatury jako funkcji poło˙zenia jest du˙zy oznacza, ˙ze długo´s´c wektora gradientu funkcji jest du˙za. Wtedy tak˙ze wiemy, znaj ˛ac zwrot wektora gradientu, w którym kierunku temperatura wzrasta najbardziej.
Mo˙zna udowodni´c, ˙ze
Gradient wyznacza kierunek najszybszego wzrostu warto´sci funkcji.
Wykres funkcji f(x,y) =x2+y2 okre´slonej na kole K o ´srodku w(0,0) i promieniu 2. Tutaj∇f(x,y) = [2x,2y].
zmiennych
Warunkiem koniecznym wyst ˛epowania ekstremum (czyli minimum lub maksimum) lokalnego funkcji ró˙zniczkowalnej wielu zmiennych w danym punkcie jest, analogicznie do funkcji jednej zmiennej, zerowanie si ˛e pochodnej, czyli wektora gradientu w tym punkcie.
Powy˙zszy warunek jest warunkiem koniecznym. Nie jest dostateczny.
f (x, y) = (1 + x2) cos(y)
Obok wykres funkcji, której gradient si ˛e zeruje, w punkcie(0,0), a funkcja
nie ma w tym punkcie ani minimum, −2 −2
0 2 4
z
Metoda najmniejszych kwadratów
Zmienna x reprezentuje warto´sci cechy C1. Zmienna y — warto´sci cechy C2.
Wykonano n pomiarów warto´sci obu cech, w wyniku których otrzymali´smy n punktów na płaszczy´znie
(x1,y1) , (x2,y2) , . . . (xn,yn).
Zakładamy, ˙ze zmienna y zale˙zy od zmiennej x liniowo, albo inaczej szukamy wzoru opisuj ˛acego trend liniowy ukryty w danych.
Chcemy wi ˛ec znale´z´c funkcj ˛e liniowa y =l(x), której wykres le˙zy (w pewnym sensie) najbli˙zej punktów(xi,yi), i=1,2, . . . ,n.
Prosta ta jest zadana przez liczby rzeczywiste m i b, takie ˙ze y=l(x) =mx+b.
Zale˙zno´s´c liniowa jest najprostsza i mo˙zna j ˛a zawsze traktowa´c jako wst ˛epne przybli˙zenie.
Jednak tak˙ze wykres funkcji pot ˛egowej w logarytmicznym układzie współrz ˛ednych i funkcji wykładniczej w układzie pół-logarytmicznym s ˛a liniami prostymi, a wi ˛ec po przeniesieniu danych empirycznych na wykres logarytmiczny lub odpowiednio półlogarytmiczny mo˙zemy stosowa´c regresj ˛e liniow ˛a.
Pozostaje wyznaczy´c warto´sci parametrów m∈ oraz b∈ .
Postulujemy teraz, ˙ze poszukiwana prosta przechodzi w pewnym sensie najbli˙zej wszystkich n punktów.
By to sprecyzowa´c policzmy „odchylenia”
ei=yi−l(xi) i =1,2, . . .n.
i za˙z ˛adajmy, aby poszukiwana prosta miała t ˛e własno´s´c, ˙ze dla niej suma wszystkich odchyle ´n jest najmniejsza.
le˙z ˛a na ˙zadnej prostej.
By tego unikn ˛a´c bierze si ˛e sum ˛e kwadratów odchyle ´n czyli E =
n
X
i=1
ei2 =
n
X
i=1
|yi−l(xi)|2=
n
X
i=1
[yi− (mxi+b)]2. St ˛ad nazwa –metoda najmniejszych kwadratów.
Zadanie sprowadza si ˛e do znalezienia takiej pary(m,b) ∈ × , dla której funkcja odchylenia
E(m,b) =
n
X
i=1
[yi− (mxi+b)]2 przyjmuje warto´s´c najmniejsz ˛a.
Pochodne cz ˛astkowe funkcji wielu zmiennych Metoda najmniejszych kwadratów (regresji liniowej)
Pochodne cz ˛ astkowe funkcji odchylenia E ( m , b )
E(m,b) =
n
X
i=1
[yi− (mxi+b)]2
Pochodna wzgl ˛edemb— zmienn ˛a m traktujemy jak parametr.
∂
∂bE(m,b) = ∂
∂b
n
X
i=1
[yi− (mxi+b)]2=
n
X
i=1
∂
∂b[yi− (mxi+b)]2
=
n
X
i=1
2[yi− (mxi+b)](−1) = −
n
X
i=1
2yi+2m
n
X
i=1
xi+2bn
∂
∂mE(m,b) =
n
X
i=1
∂
∂m[yi− (mxi+b)]2=
n
X
i=1
2[yi− (mxi+b)](−xi)
= −
n
X
i=1
2xiyi+2m
n
X
i=1
xi2+2b
n
X
i=1
xi
E(m,b) =
n
X
i=1
[yi− (mxi+b)]2
Pochodna wzgl ˛edemb— zmienn ˛a m traktujemy jak parametr.
∂
∂bE(m,b) = ∂
∂b
n
X
i=1
[yi− (mxi+b)]2=
n
X
i=1
∂
∂b[yi− (mxi+b)]2
=
n
X
i=1
2[yi− (mxi+b)](−1) = −
n
X
i=1
2yi+2m
n
X
i=1
xi+2bn Pochodna wzgl ˛edemm— zmienn ˛a b traktujemy jak parametr.
∂
∂mE(m,b) =
n
X ∂
∂m[yi− (mxi+b)]2=
n
X2[yi− (mxi+b)](−xi)
Z danych empirycznych obliczamy
sx =
n
X
i=1
xi, sx2 =
n
X
i=1
xi2, sy =
n
X
i=1
yi, sxy =
n
X
i=1
xiyi
i rozwi ˛azujemy układ równa ´n:
−2sy+ 2sxm + 2n b = 0, −2sxy+ 2sx2m + 2sxb = 0.
Przy takiej notacji mo˙zemy wynik zapisa´c nast ˛epuj ˛aco:
m= nsxy−sxsy
nsx2−sx2 , (?)
b= s
x2sy− (sx)(sxy)
nsx2−sx2 = sy−msx
n . (??)
Na podstawie tych wzorów pakiety statystyczne wyliczaj ˛a poszukiwane współczynniki trendu liniowego.
u dzieci
Dokonano 7 pomiarów wysoko´sci i ustalono wiek badanych dzieci (n=7).
Kolejno w parach(xi,yi)oznacza, ˙ze i-te dziecko ma wiek xii wysoko´s´c yi. (1,76) , (3,91) , (5,109) , (7,120) , (9,131) , (11,144) (13,154)
Obliczamy
sx =49, sx2 =450, sy =825, sxy =6794. Podstawiaj ˛ac do wzorów (?) i (??) otrzymujemy
m= 7×6794−49×825
=9,523,
Zale˙zno´s´c pomi ˛edzy wiekiem i wzrostem u dzieci
dostaniemy oczywi´scie nieco inne wyniki.
Jest to konsekwencja nie tylko bł ˛edów pomiarowych, ale głównie zró˙znicowania osobniczego.
Przebieg prostej przechodz ˛acej „najbli˙zej” punktów okre´slonych przez dane empiryczne nie wynika bezpo´srednio z jakiego´s prawa przyrody.
Jest to jedynie sposób przedstawienia danych empirycznych i punkt wyj´sciowy do dalszych bada ´n maj ˛acych na celu wyja´snienie, dlaczego zale˙zno´s´c jest wła´snie taka a nie inna.
Jest jasne równie˙z, ˙ze zale˙zno´s´c liniowa dotyczy osobników w fazie wzrostu (tu dzieci do wieku dojrzewania).
Po zbadaniu starszych osobników okazałoby si ˛e, ˙ze zale˙zno´s´c dalej ju˙z
Fraktale
Fraktale- krzywa Kocha
Przegl ˛ad zagadnie ´n analizy matematycznej zako ´nczymy dygresj ˛a o dziwnych zbiorach zwanych fraktalami wykazuj ˛acymi zdumiewaj ˛ace podobie ´nstwo do form spotykanych w przyrodzie. Słynnym przykładem fraktala jest krzywa ci ˛agła i ograniczona o niesko ´nczonej długo´sci zwana od Helge von Kocha(1870-1924) krzyw ˛a Kocha lub płatkiem ´sniegu Kocha.
Krzyw ˛a Kocha otrzymuje si ˛e przechodz ˛ac do granicy, wykonuj ˛ac niesko ´nczenie wiele kroków nast ˛epuj ˛acej procedury. Figur ˛a wyj´sciow ˛a jest trójk ˛at równoboczny o boku d.
trzy cz ˛e´sci z których usuwamy ´srodkow ˛a i w to miejsce wklejamy trójk ˛at równoboczny o bokud3 z usuni ˛etym jednym bokiem, tak aby powstał zamkni ˛ety wielok ˛at.
Otrzymujemy zatem wielok ˛at o 3·4=12 bokach.
Przegl ˛ad zagadnie ´n analizy matematycznej zako ´nczymy dygresj ˛a o dziwnych zbiorach zwanych fraktalami wykazuj ˛acymi zdumiewaj ˛ace podobie ´nstwo do form spotykanych w przyrodzie. Słynnym przykładem fraktala jest krzywa ci ˛agła i ograniczona o niesko ´nczonej długo´sci zwana od Helge von Kocha(1870-1924) krzyw ˛a Kocha lub płatkiem ´sniegu Kocha.
Krzyw ˛a Kocha otrzymuje si ˛e przechodz ˛ac do granicy, wykonuj ˛ac niesko ´nczenie wiele kroków nast ˛epuj ˛acej procedury. Figur ˛a wyj´sciow ˛a jest trójk ˛at równoboczny o boku d.
W pierwszym kroku dzielimy ka˙zdy z boków na trzy cz ˛e´sci z których usuwamy ´srodkow ˛a i w to miejsce wklejamy trójk ˛at równoboczny o bokud3 z usuni ˛etym jednym bokiem, tak aby powstał
Fraktale
Krzywa Kocha
dzielimy na trzy cz ˛e´sci, usuwamy ´srodkow ˛a i w jej miejsce wklejamy trójk ˛at równoboczny o boku 3d2, czyli trzykrotnie krótszym ni˙z poprzedni.
Otrzymujemy wielok ˛at o 3·4·4=3·42bokach.
Powtarzamy t ˛e sam ˛a procedur ˛e otrzymuj ˛ac w trzecim kroku wielok ˛at o 3·43 bokach o długo´sci 3d3 ka˙zdy.
Ogólnie w kroku n. otrzymamy wielok ˛at o 3·4n bokach długo´sci 3dn ka˙zdy. Długo´s´c Lnwszystkich boków wielok ˛ata w n. kroku konstrukcji wynosi
Ln =3·d
4 3
n
.
Fraktale
Krzywa Kocha
W drugim kroku ka˙zdy z boków tego wielok ˛ata dzielimy na trzy cz ˛e´sci, usuwamy ´srodkow ˛a i w jej miejsce wklejamy trójk ˛at równoboczny o boku 3d2, czyli trzykrotnie krótszym ni˙z poprzedni.
Otrzymujemy wielok ˛at o 3·4·4=3·42bokach.
Ogólnie w kroku n. otrzymamy wielok ˛at o 3·4n bokach długo´sci 3dn ka˙zdy. Długo´s´c Lnwszystkich boków wielok ˛ata w n. kroku konstrukcji wynosi
Ln =3·d
4 3
n
.
Krzywa Kocha
W drugim kroku ka˙zdy z boków tego wielok ˛ata dzielimy na trzy cz ˛e´sci, usuwamy ´srodkow ˛a i w jej miejsce wklejamy trójk ˛at równoboczny o boku 3d2, czyli trzykrotnie krótszym ni˙z poprzedni.
Otrzymujemy wielok ˛at o 3·4·4=3·42bokach.
Powtarzamy t ˛e sam ˛a procedur ˛e otrzymuj ˛ac w trzecim kroku wielok ˛at o 3·43 bokach o długo´sci 3d3 ka˙zdy.
Ogólnie w kroku n. otrzymamy wielok ˛at o 3·4n bokach długo´sci 3dn ka˙zdy.
Długo´s´c Ln wszystkich boków wielok ˛ata w n. kroku konstrukcji wynosi Ln =3·d
4 3
n
.
Krzyw ˛a Von Kocha nazywa si ˛e krzyw ˛a ci ˛agł ˛a, któr ˛a definiuje si ˛e jako zbiór otrzymany w granicy po przej´sciu wszystkich niesko ´nczenie wielu kroków.
Poniewa˙z
n→+∞lim Ln = lim
n→+∞
3·d
4 3
n
= +∞,
jej długo´s´c jest niesko ´nczona, mimo ˙ze jest to krzywa ograniczona.
Krzywa Von Kocha jest przykładem obiektu matematycznego, który nie ma bezpo´sredniej reprezentacji w rzeczywisto´sci empirycznej, gdy˙z ta
procedura musiałaby si ˛e zatrzyma´c na tym kroku, w którym dojdziemy do subatomowej skali długo´sci.
Wa˙zne jest to, ˙ze ten obiekt idealny mo˙zemy przybli˙za´c z dowoln ˛a
Fraktale
Ciekaw ˛a cech ˛a krzywej Von Kocha jestsamopodobie ´nstwo. Wyobra´zmy sobie mikroskop powi ˛ekszaj ˛acy w skali 1:10 nakierowany centralnie na punkt na krzywej Kocha.
Zwi ˛ekszamy skal ˛e dziesi ˛eciokrotnie, nast ˛epnie stokrotnie itd.
Za ka˙zdym razem widzimy to samo — dowolnie mały fragment wygl ˛ada tak jak fragment powi ˛ekszony.
Figury o tej własno´sci nazywa si ˛efraktalami.
Poj ˛ecie to wprowadził Benoit Mandelbrot (1924-2010) w latach siedemdziesi ˛atych XX wieku.
W literaturze spotka´c mo˙zna ró˙zne definicje zbiorów fraktalnych ró˙zni ˛ace si ˛e zakresami. Ich zrozumienie wymaga znajomo´sci zaawansowanych poj ˛e´c matematycznych i dlatego poprzestaniemy na przedstawieniu ogólnych idei.
Fraktale fascynuj ˛a naukowców z ró˙znych dziedzin mi ˛edzy innymi dlatego,
˙ze wiele z nich przypomina obiekty o skomplikowanej morfologii znane ze
´swiata przyrody o˙zywionej i nieo˙zywionej.
Wielok ˛aty przybli˙zaj ˛ace krzyw ˛a Von Kocha przypominaj ˛a płatki ´sniegu.
Samopodobn ˛a struktur ˛e ma niew ˛atpliwie kwiatostan kalafiora i brokuła.
Klifowa, pełna małych zatoczek o ró˙znej skali wielko´sci, linia brzegowa Walii ma równie˙z pewne cechy fraktala, nastr ˛eczaj ˛ac rzeczywistych problemów z dokładnym obliczeniem długo´sci linii brzegowej Wielkiej Brytanii.
Do tej pory nie ma ogólnej teorii, która wyja´sniałaby sk ˛ad bierze si ˛e zadziwiaj ˛ace podobie ´nstwo mi ˛edzy fraktalami matematycznymi i fraktalopodobn ˛a struktur ˛a wielu obiektów przyrodniczych. Na pewno zrozumienie tego zwi ˛azku wymaga lepszego zrozumienia mechanizmów wzrostu, które w wielu przypadkach polegaj ˛a na dobudowywaniu
podobnych struktur do ju˙z istniej ˛acych, ale w zmniejszonej skali.
Matematyczna teoria fraktali dała narz ˛edzia umo˙zliwiaj ˛ace klasyfikacj ˛e ró˙znych struktur o skomplikowanej, nieregularnej budowie. Teori ˛e fraktali wykorzystano do diagnostyki guzów nowotworowych, gdy˙z dostrze˙zono struktury fraktalne na ´scianach komórek nowotworowych:
http://www.icsjournal.org/articles/2016/12/16/fractal-geometry-of-tumors- how-certain-scientists-use-fractal-models-to-understand-tumors-and- develop-treatments
http://physicsworld.com/cws/article/news/2015/mar/11/fractal-patterns- seen-on-emerging-cancerous-cells
Warto odwiedzi´c cho´c jedn ˛a z licznych bogato ilustrowanych stron internetowych po´swi ˛econych fraktalom.