Przykład Porównywanie jakości danych towarów

Nie wszystkie interesujące nas zależności w świecie rzeczywistym, czy też w modelach ekonomicznych można opisać jako funkcje. Czasami, ograniczenie do przyporządkowania każdemu argumentowi funkcji dokładnie jednego obiektu jest zbyt silne.

Przykład Znajomości lub więzy rodzinne między ludźmi.

Przykład Dostawcy danej firmy, klienci danego sklepu.

Przykład Porównywanie jakości danych towarów.

I. Relacje - podstawowe definicje

Relację możemy sobie wyobrażać jako „funkcję wielowartościową” tj. takie „odwzorowanie”, które argumentowi może przypisywać wiele wartości (albo i żadnej). Oczywiście, cudzysłowy są tu konieczne, bo relacja zwykle nie jest funkcją (acz każda funkcja jest relacją).

Definicja 1. Dla danych zbiorów 𝑋, 𝑌 relacją nazywamy dowolny podzbiór iloczynu kartezjańskiego 𝑋 × 𝑌 . Jeśli para (𝑥, 𝑦) należy do relacji 𝑅 ⊂ 𝑋 × 𝑌 , to zapisujemy ten fakt: 𝑥𝑅𝑦 i czytamy: „𝑥 jest w relacji 𝑅 z 𝑦”.

Przykłady matematyczne 𝑥 ≤ 𝑦, 𝑥 = 𝑦, 𝑥 ∕= 𝑦, 𝑥 ∧ 𝑦 (lub inne funktory logiczne), 𝑥 ∈ 𝑦, 𝑥 ⊂ 𝑦...

Przykłady inne Przedstawione przed tym podrozdziałem.

II. Relacje preferencji i obojętności producentów

Rozważmy producenta, który chce zmaksymalizować zysk (albo przychód, albo wielkość produkcji). W tym celu musi wybrać, jak duże nakłady poszczególnych czynników pro- dukcji musi zainwestować w proces produkcyjny. Dla uproszczenia, zajmiemy się sytu- acją, w której mamy do czynienia tylko z dwoma homogenicznymi czynnikami produkcji:

pracą (𝑙) i kapitałem (𝑘). Każda para (𝑘,𝑙) symbolizuje pewną technologię uzyskania konkretnej ilości produktu.

Wtedy możemy zdefiniować funkcję zysku 𝑍(𝑘, 𝑙) (która może być np. wspomnianą na poprzedniej części wstępu funkcją Cobba-Douglasa), jako zysk producenta przy użyciu danej technologii. Oczywiście, 𝑍 : ℝ² → ℝ. Dzięki tej funkcji, możemy porównać każde dwa poziomy nakładów. Zapisujemy (𝑘₁, 𝑙₁) ≾ (𝑘2, 𝑙₂) ⇔ 𝑍(𝑘₁, 𝑙₁) ≤ 𝑍(𝑘₂, 𝑙₂). Relację ≾, będącą podzbiorem ℝ+×ℝ+nazywamy relacją preferencji producenta: w istocie, pokazuje ona, które z rozwiązań producent preferuje (a przynajmniej, nie uznaje za gorsze).

Zbiory, na których funkcja dwóch zmiennych przyjmuje stałą wartość nazwiemy izokwan- tami. W tym konkretnym przypadku izokwanty funkcji zysku (ew. przychodu, produkcji) nazywamy krzywymi obojętności. Innymi słowy, całą przestrzeń możliwych par nakładów możemy podzielić na części takie, że zysk uzyskany przez dwie pary nakładów należące do każdej z tych części jest taki sam. W ten sposób definiujemy relację obojętności (lub indyferencji) ∼ : dwie technologie wchodzą ze sobą w relację obojętności, jeśli zysk jest taki sam dla obu par nakładów. Formalnie zapisujemy:

(𝑥₁, 𝑦₁) ∼ (𝑥₂, 𝑦₂) ⇔ 𝑍(𝑥₁, 𝑦₁) = 𝑍(𝑥₂, 𝑦₂).

Rysunki

Przykłady 𝑍(𝑘, 𝑙) = 𝑥 + 𝑦 - dobra doskonale substytucyjne, 𝑍(𝑘, 𝑙) = min{𝑥, 𝑦} - dobra doskonale komplementarne.

Problem Zazwyczaj producent nie może zupełnie dowolnie wybierać par (𝑘,𝑙) - jest ograniczony np. swoim budżetem. Dlatego, w praktyce konieczne będzie rozwiązanie tzw.

zagadnienia optymalizacyjnego: wybranie takiej pary poziomów nakładów, dla której pro- ducent osiąga maksymalny zysk (przychód, wielkość produkcji) w danym zbiorze „możli- wych do użycia” par. Takie zagadnienia będą typowe dla dalszej części wykładu z analizy.

III. Relacje preferencji i obojętności konsumentów. Funkcje użyteczności Powyższą konstrukcję stosuje się częściej w kontekście relacji preferencji i funkcji użyteczności konsumenta. Jednak przykład producenta jest bardziej klarowny i wymaga mniej filozoficznych dywagacji o istocie używanych konstrukcji.

1

Dla uproszczenia, załóżmy, że konsument wybiera spośród koszyków złożonych z pewnych ilości dwu dóbr. Dopuszczamy zadłużenie, więc koszyki (𝑥, 𝑦) pochodzą z przestrzeni ℝ². Zakładamy, że konsument niczego nie produkuje ze wspomnianych dóbr, dlatego nie będziemy budować modelu od jakiejś funkcji „zysku”, ale od relacji preferencji konsumenta (którą w praktyce, poprzez jego wybory, można zaobserwować).

Analogicznie do poprzedniego modelu, zapisujemy, że koszyk (𝑥₁, 𝑦₁) jest nie bardziej preferowany przez konsumenta niż koszyk (𝑥₂, 𝑦₂) następująco: (𝑥₁, 𝑦₁) ≾ (𝑥2, 𝑦₂). Relację

≾, będącą podzbiorem ℝ² nazywamy relacją preferencji konsumenta (czasem dodając na początku słowo: racjonalną). Jeśli konsument ocenia obydwa koszyki równo (czyli (𝑥1, 𝑦1) ≾ (𝑥², 𝑦2) i (𝑥2, 𝑦2) ≾ (𝑥¹, 𝑦1)), to zapisujemy: (𝑥1, 𝑦1) ∼ (𝑥2, 𝑦2) i tę relację również nazywamy relacją obojętności.

Ze względów technicznych (i dlatego, że się da) zazwyczaj konstruuje się funkcję ana- logiczną do funkcji zysku producenta. Zakłada się, że konsument również coś produkuje z danego koszyka dóbr: tzw. użyteczność (dla siebie samego). W swoich wyborach, konsument kieruje się maksymalizacją użyteczności.

Definicja 2. Dla zadanej relacji preferencji ≾, funkcja 𝑢(𝑥, 𝑦) jest funkcją użyteczności danego konsumenta, jeśli 𝑢(𝑥₁, 𝑦₁) ≤ 𝑢(𝑥₂, 𝑦₂) ⇔ (𝑥₁, 𝑦₁) ≾ (𝑥2, 𝑦₂) dla każdych liczb 𝑥₁, 𝑦₁, 𝑥₂, 𝑦₂ ∈ ℝ.

Co ważne, funkcja użyteczności dla danej relacji preferencji nie jest jedyna. Jeśli 𝑢 jest funkcją użyteczności dla relacji preferencji≾, a 𝑓 : ℝ → ℝ jest dowolną funkcją rosnącą, to 𝑓 ∘ 𝑢 jest również funkcją użyteczności dla relacji preferencji ≾.

Przykład Jeśli 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 jest funkcją użyteczności dla relacji preferencji ≾, to tę samą relację preferencji można modelować za pomocą funkcji użyteczności takich jak 𝑢₀(𝑥, 𝑦) = 1000𝑥𝑦, 𝑢₁(𝑥, 𝑦) = (𝑥𝑦)³, 𝑢2(𝑥, 𝑦) = 2^𝑥𝑦, czy 𝑢3(𝑥, 𝑦) = arctg 𝑥𝑦.

Znów tak jak w poprzednim modelu, izokwanty funkcji użyteczności nazywa się krzywymi obojętności konsumenta.

Uwaga Warto pamiętać (choć czasem się zapomina), że funkcja użyteczności jest tylko wygodną abstrakcją, ułatwiającą modelowanie. Nic nie wskazuje na to, by konsumenci, dokonując wyborów ekonomicznych, obliczali wartości użyteczności - raczej kierują się je- dynie porównaniem dóbr (czyli relacją preferencji). Nawet stwierdzenia typu „pomidora mogę wymienić na 3 ogórki” nie świadczą o tym, że użyteczność pomidora dla wypowiada- jącego tę opinię konsumenta jest 3 razy większa od użyteczności ogórka (wręcz zazwyczaj tak nie jest ze względu na tzw. prawo malejącej użyteczności krańcowej, którym zajmiemy się kiedy indziej).

Uwaga Wnioskiem z poprzedniego przykładu jest fakt, że o ile funkcji użyteczności możemy używać do modelowania wyborów pojedynczego konsumenta, to nie możemy (przynajmniej w matematycznie rozsądny sposób) w ten sposób porównywać użyteczności dwóch różnych konsumentów lub wykonywać na nich działań. Można sobie wyobrazić, że „utyle” konsumenta A są innymi jednostkami niż „utyle” konsumenta B i ich porówny- wanie lub dodawanie jest równie uprawnione jak porównywanie lub dodawanie metrów z sekundami. Istnieją nurty w ekonomii próbujące ominąć to ograniczenie (np. utyli- tarianizm), jednak prowadzi to najczęściej do trudnych do wyjaśnienia paradoksów.

Przykład Załóżmy, że preferencje zarówno konsumenta A, jak i konsumenta B są dane relacją: (𝑥₁, 𝑦₁) ≾ (𝑥2, 𝑦₂) ⇔ 𝑥₁𝑦₁ ≤ 𝑥₂𝑦₂. Naturalnymi funkcjami użyteczności są 𝑢_𝐴(𝑥, 𝑦) = 𝑢_𝐵(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦. Jeśli konsument 𝐴 posiada koszyk dóbr (6, 1), a konsument 𝐵 ma koszyk dóbr (3, 5), to wydaje się, że konsument 𝐵 osiąga ze swojego koszyka dóbr większą użyteczność niż konsument 𝐴 (bo 𝑢(6, 1) = 6 < 15 = 𝑢(3, 5)). Dodatkowo, suma użyteczności tych koszyków (naturalna „wspólna użyteczność”) jest mniejsza, niż gdybyśmy dobro drugie w ilości 1 przekazali od konsumenta 𝐵 do konsumenta 𝐴 (bo 𝑢(6, 1) + 𝑢(3, 5) = 21 < 24 = 𝑢(6, 2) + 𝑢(3, 4)). Jednakże, konsumentowi 𝐴 można równie dobrze przypisać funkcję użyteczności 𝑢_𝐴(𝑥, 𝑦) = 10𝑥𝑦 i wtedy nagle staje się

„bogatszy w użyteczność” od konsumenta 𝐵 (bo 𝑢_𝐴(6, 1) = 60 > 15 = 𝑢(3, 5)). Z drugiej strony, wybory konsumenta 𝐵 mogą być opisane funkcją użyteczności 𝑢_𝐵(𝑥, 𝑦) = 100𝑥𝑦

i wtedy wspomniana „redystrybucja” dobra drugiego zmniejsza sumę użyteczności (bo 𝑢(6, 1) + 𝑢_𝐵(3, 5) = 1506 < 1212 = 𝑢(6, 2) + 𝑢_𝐵(3, 4)).

Jak widać, założenie o tym, że funkcje użyteczności są bytami rzeczywistymi może prowadzić do absolutnie dowolnych (nawet przeciwstawnych) wniosków. Niemniej, os- trożnie używane, mogą w wielu okolicznościach ułatwić obliczenia. Np. maksymalna wartość funkcji użyteczności na jakimś zbiorze zawsze wypada dla tych samych koszyków towarów, niezależnie jaką funkcję użyteczności wybierzemy, dlatego analiza funkcji uży- teczności w zagadnieniach optymalizacyjnych (dla pojedynczego konsumenta) jest uprawniona.

Uwaga Specjaliści od aksjomatycznych podstaw ekonomii nadal się spierają, czy również relacja obojętności konsumenta nie jest czasem tylko abstrakcyjną konstrukcją, ułatwia- jącą matematyczną interpretację: obserwując wybory konsumenta, zawsze widzimy, że wybiera jakieś dobro kosztem innego, a zaobserwowanie tego, że „ jest mu wszystko jedno”

jest niezwykle trudne.

Uwaga ostateczna Modele z ostatnich dwu podrozdziałów można z łatwością dos- tosować do sytuacji, kiedy dóbr bądź czynników produkcji jest więcej. Ograniczyliśmy się do przypadku dwuargumentowego ze względu na prostotę zapisu i rysowania wykresów.

IV. Ogólna definicja relacji preferencji i równoważności

Często lepsze spojrzenie na daną sytuację można sobie zapewnić, jeśli uświadomimy sobie, że badane przez nas zjawiska są szczególnymi przypadkami zjawisk ogólniejszych. Tak jest i w tym wypadku: relacje preferencji i obojętności są szczególnymi przypadkami typów relacji, które nazywamy relacjami słabej preferencji, bądź relacjami równoważności.

Własności relacji

Niech będzie dana relacja 𝑅 ⊂ 𝑋 × 𝑋 - dla niej zadajemy poniższe definicje. Badając relację, możemy sprawdzać następujące własności:

Definicja 3. Relację nazywamy zwrotną jeśli dla każdego 𝑥 ∈ 𝑋 zachodzi 𝑥𝑅𝑥.

Przykłady Relacja równości liczb =⊂ ℝ×ℝ jest zwrotna, bo dla każdego 𝑥 ∈ ℝ zachodzi 𝑥 = 𝑥. Zresztą to samo będzie dla każdej równości (np. zbiorów, wektorów, macierzy itp.). Relacja równoważności ⇔⊂ 𝑋 ×𝑋, gdzie 𝑋 jest zbiorem zdań, jest relacją zwrotną, ponieważ dla każdego 𝑝 ∈ 𝑋 zachodzi 𝑝 ⇔ 𝑝. Ale też relacją zwrotną jest relacja ≤ na zbiorze liczb rzeczywistych (bo zawsze 𝑥 ≤ 𝑋) oraz relacja na zbiorze studentów „bycia w tej samej grupie dziekańskiej” (bo każdy jest „ze sobą” w tej samej grupie).

Z kolei relacją zwrotną nie jest „bycie rodzicem kogoś” zadane na zbiorze ludzi, bo nikt nie jest rodzicem samego siebie. Również relacja 𝑅 ⊂ ℝ × ℝ dana przez 𝑥𝑅𝑦 ⇔ 𝑥 + 𝑦 ∈ ℤ nie jest relacją zwrotną , gdyż nie zawsze zachodzi 𝑥𝑅𝑥 np. nieprawdą jest, że ¹₃𝑅¹₃, gdyż

1

3 +¹₃ ∈ ℤ(choć czasami 𝑥𝑅𝑥 np. 1𝑅1, bo 1 + 1 ∈ ℤ, ale wystarczy jeden kontrprzykład,/ by obalić twierdzenie). Nie jest zwrotna również np. koniunkcja na zbiorze zdań, gdyż dla zdań fałszywych nieprawdą jest, że 𝑝 ∧ 𝑝.

Definicja 4. Relację nazywamy symetryczną jeśli dla każdych 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 zachodzi 𝑥𝑅𝑦 ⇔ 𝑦𝑅𝑥.

Przykłady Relacja równości liczb =⊂ ℝ × ℝ jest symetryczna, bo dla każdych 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ zachodzi 𝑥 = 𝑦 ⇔ 𝑦 = 𝑥. Zresztą to samo będzie dla każdej równości (np. zbiorów, wektorów, macierzy itp.). Relacja alternatywy ∨ ⊂ 𝑋 × 𝑋, gdzie 𝑋 jest zbiorem zdań, jest relacją symetryczną, ponieważ dla każdego 𝑝, 𝑞 ∈ 𝑋 zachodzi 𝑝 ∨ 𝑞 ⇔ 𝑞 ∨ 𝑝 (to samo dla koniunkcji i równoważności). Na zbiorze ludzi „bycie rodzeństwem” jest symetryczne, bo 𝐴 jest bratem lub siostrą 𝐵 wtedy i tylko wtedy, gdy 𝐵 jest bratem lub siostrą 𝐴. Na zbiorze firm „bycie kontrahentem handlowym” jest symetryczne, bo 𝐴 jest kontrahentem handlowym 𝐵 wtedy i tylko wtedy, gdy 𝐵 jest kontrahentem handlowym 𝐴.

Relacja słabej nierówności liczb ≤⊂ ℝ × ℝ nie jest symetryczna, bo np. 2 ≤ 3, ale nieprawdą jest, że 3 ≤ 2 (choć czasem symetria jest: 2 ≤ 2 i 2 ≤ 2, ale wystarczy jeden kontrprzykład...). Analogicznie nie jest symetryczne zawieranie ⊂ na zbiorach. Tym

bardziej symetryczna nie jest relacja <. Nie jest symetryczna relacja na zbiorze ludzi 𝑥𝑅𝑦 ⇔ 𝑥 jest potomkiem 𝑦, bo nie zdarza się, by 𝑥 był potomkiem 𝑦, a 𝑦 jednocześnie potomkiem 𝑥. Nie jest symetryczna relacja na zbiorze ludzi 𝑥𝑅𝑦 ⇔ 𝑥 lubi 𝑦 (bo może 𝑥 lubić 𝑦, a 𝑦 nie lubić 𝑥).

Definicja 5. Relację nazywamy przechodnią jeśli dla każdych 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 zachodzi (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) ⇒ 𝑥𝑅𝑧.

Przykłady Relacje równości i nierówności na liczbach są przechodnie: jeśli 𝑥 = 𝑦 i 𝑦 = 𝑧 to oczywiście 𝑥 = 𝑧. Tak samo, jeśli 𝑥 < 𝑦 i 𝑦 < 𝑧 to 𝑥 < 𝑧. Zresztą to samo będzie dla każdej równości (np. zbiorów, wektorów, macierzy itp.) oraz np. relacji zawierania zbiorów. Szczególnie ważny jest fakt, że relacja wynikania jest przechodnia: jeśli 𝑝 ⇒ 𝑞 i 𝑞 ⇒ 𝑟 to 𝑝 ⇒ 𝑟. Na tej własności (zasada przechodniości implikacji) opierają się wszelkie rozumowania dedukcyjne, w szczególności dowody matematyczne.

Nie jest przechodnią na przykład relacja 𝑅 ⊂ ℝ × ℝ dana przez 𝑥𝑅𝑦 ⇔ 𝑥 + 𝑦 ∈ ℤ, gdyż

1

3𝑅²₃, ²₃𝑅⁴₃, ale nie zachodzi ¹₃𝑅⁴₃ (bo ¹₃+⁴₃ = ⁵₃ ∈ ℤ). A jeden kontrprzykład wystarcza.../ Relacja bycia znajomym również nie jest przechodnia: może zajść sytuacja, że 𝐴 jest znajomym 𝐵, 𝐵 jest znajomym 𝐶, a 𝐴 nie jest znajomym 𝐶.

Definicja 6. Relację nazywamy spójną jeśli dla każdych 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 zachodzi 𝑥𝑅𝑦 ∨ 𝑦𝑅𝑥.

Przykłady Spójna jest relacja słabej nierówności ≤⊂ ℝ × ℝ, bo dla każdej pary liczb rzeczywistych, pierwsza jest niemniejsza od drugiej lub druga jest niemniejsza od pierwszej. Relacją spójną jest też na przykład relacja „stania nie dalej niż druga osoba” zadana na zbiorze osób stojących w kolejce.

Zauważmy, że relacja spójna jest zawsze zwrotna, więc wszystkie relacje, które nie były zwrotne, nie są też spójne.

Z kolei np. relacja podzielności na liczbach naturalnych nie jest spójna, mimo, że jest zwrotna: np. 5 nie dzieli się przez 3, ani 3 nie dzieli się przez 5.

Definicja 7. Relację nazywamy relacją słabej preferencji jeśli jest zwrotna, przechodnia i spójna .

Przykłady Znane z poprzednich części tego wykładu relacje preferencji producenta i konsumenta (≾) są relacjami słabej preferencji.

Definicja 8. Relację nazywamy relacją równoważności lub równoważnością jeśli jest zwrotna, przechodnia i symetryczna.

Przykłady Relacjami równoważności są wszelkie relacje równości, czy też równoważności zdań. Najistotniejszą w ekonomii relacją równoważności jest wspomniana wcześniej relacja obojętności (proszę sprawdzić jej zwrotność, przechodniość i symetryczność we własnym zakresie).

Definicja 9. Niech 𝑅 będzie równoważnością. Wtedy [𝑥] := {𝑦 : 𝑥𝑅𝑦} nazywamy klasą równoważności (lub klasą abstrakcji) elementu 𝑥.

Twierdzenie 1. Jeśli 𝑦 ∈ [𝑥], to [𝑥] = [𝑦]. Innymi słowy, klasy abstrakcji relacji równoważności są albo jednakowe, albo rozłączne.

Wniosek 2. Relacja jest relacją równoważności, jeśli dzieli zbiór 𝑋 na klasy abstrakcji tj.

gdy jej klasy abstrakcji, jeśli nie są jednakowe, to są rozłączne, a ich suma mnogościowa jest całym zbiorem 𝑋.

Z tych ostatnich twierdzeń wynika, że na relację równoważności można patrzeć w inny sposób: jest to podział naszej przestrzeni na rozłączne między sobą części, zwane właśnie klasami abstrakcji tej relacji.

Przykłady Zbiór koszyków podzielony na krzywe obojętności konsumenta (relacja obo- jętności).

Zbiór studentów podzielony na grupy dziekańskie (relacja 𝑥𝑅𝑦 ⇔ 𝑥 jest w tej samej grupie dziekańskiej co 𝑦).

Podział zbioru wszystkich zdań na prawdziwe i fałszywe (relacja równoważności zdań).

Podział firm ze względu na sektor rynku w którym działają - przy założeniu, że każda firma działa w jednym sektorze (relacja 𝑥𝑅𝑦 ⇔ 𝑥 działa w tym samym sektorze co 𝑦).

Podział ludzi ze względu na kolor włosów (relacja 𝑥𝑅𝑦 ⇔ 𝑥 ma ten sam kolor włosów, co 𝑦).