5. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość
Grzegorz Kosiorowski
Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie
Badanie przebiegu zmienności funkcji - wstęp
Podstawowym i najpopularniejszym zastosowaniem rachunku
pochodnych jest tak zwane badanie przebiegu zmienności funkcji. Na czym to polega?
Jeśli nawet wyznaczymy wzór na zależność między jakimiś wielkościami np. ekonomicznymi, niekoniecznie kończy to analizę danego problemu. Wzór może być na tyle skomplikowany, że nie widać na pierwszy rzut oka jakościowych zależności między tymi wartościami: kiedy jedna z nich rośnie, bądź maleje? kiedy osiąga wartość optymalną? czy rośnie/maleje coraz szybciej, czy coraz wolniej? czy rośnie szybciej niż jakaś inna wielkość?
Na wszystkie te pytania możemy odpowiedzieć, obliczając pochodne odpowiedniej funkcji i stosując informacje z tej części wykładu.
Badanie przebiegu zmienności funkcji - wstęp
Podstawowym i najpopularniejszym zastosowaniem rachunku
pochodnych jest tak zwane badanie przebiegu zmienności funkcji. Na czym to polega?
Jeśli nawet wyznaczymy wzór na zależność między jakimiś wielkościami np. ekonomicznymi, niekoniecznie kończy to analizę danego problemu. Wzór może być na tyle skomplikowany, że nie widać na pierwszy rzut oka jakościowych zależności między tymi wartościami: kiedy jedna z nich rośnie, bądź maleje? kiedy osiąga wartość optymalną? czy rośnie/maleje coraz szybciej, czy coraz wolniej? czy rośnie szybciej niż jakaś inna wielkość?
Na wszystkie te pytania możemy odpowiedzieć, obliczając pochodne odpowiedniej funkcji i stosując informacje z tej części wykładu.
Badanie przebiegu zmienności funkcji - wstęp
Podstawowym i najpopularniejszym zastosowaniem rachunku
pochodnych jest tak zwane badanie przebiegu zmienności funkcji. Na czym to polega?
Jeśli nawet wyznaczymy wzór na zależność między jakimiś wielkościami np. ekonomicznymi, niekoniecznie kończy to analizę danego problemu. Wzór może być na tyle skomplikowany, że nie widać na pierwszy rzut oka jakościowych zależności między tymi wartościami: kiedy jedna z nich rośnie, bądź maleje? kiedy osiąga wartość optymalną? czy rośnie/maleje coraz szybciej, czy coraz wolniej? czy rośnie szybciej niż jakaś inna wielkość?
Na wszystkie te pytania możemy odpowiedzieć, obliczając pochodne odpowiedniej funkcji i stosując informacje z tej części wykładu.
Badanie przebiegu zmienności - przykłady zastosowań
Optymalizacja np. wyznaczenie wielkości produkcji dla której firma osiągnie maksymalny zysk.
Badanie trendu np. badanie czy dla danego przedziału
procentowego, podwyższenie podatków zwiększy, czy zmniejszy dochody budżetu państwa, albo czy w danym okresie czasowym liczba emigrantów wzrośnie, czy zmaleje.
Badanie przebiegu zmienności - przykłady zastosowań
Optymalizacja np. wyznaczenie wielkości produkcji dla której firma osiągnie maksymalny zysk.
Badanie trendu np. badanie czy dla danego przedziału
procentowego, podwyższenie podatków zwiększy, czy zmniejszy dochody budżetu państwa, albo czy w danym okresie czasowym liczba emigrantów wzrośnie, czy zmaleje.
Badanie przebiegu zmienności - przykłady zastosowań
Optymalizacja np. wyznaczenie wielkości produkcji dla której firma osiągnie maksymalny zysk.
Badanie trendu np. badanie czy dla danego przedziału
procentowego, podwyższenie podatków zwiększy, czy zmniejszy dochody budżetu państwa, albo czy w danym okresie czasowym liczba emigrantów wzrośnie, czy zmaleje.
Pochodne i monotoniczność
Zaczniemy od przypomnienia twierdzenia, które pojawiło się już w rozdziale 3, a które odgrywa decydującą rolę w tej części wykładu:
Pochodne i monotoniczność
Jeśli f jest funkcją różniczkowalną w przedziale (a, b), to:
a) Jeśli dla każdego x ∈ (a, b) zachodzi f′(x ) > 0, to funkcja f jest rosnąca w (a, b).
b) Jeśli dla każdego x ∈ (a, b) zachodzi f′(x ) < 0, to funkcja f jest malejąca w (a, b).
Jeszcze raz podkreślę: to, że funkcja jest rosnąca/malejąca w przedziale (a, b) i w przedziale (c, d ) nie oznacza, że jest rosnąca/malejąca w sumie tych przedziałów.
Pochodne i monotoniczność
Zaczniemy od przypomnienia twierdzenia, które pojawiło się już w rozdziale 3, a które odgrywa decydującą rolę w tej części wykładu:
Pochodne i monotoniczność
Jeśli f jest funkcją różniczkowalną w przedziale (a, b), to:
a) Jeśli dla każdego x ∈ (a, b) zachodzi f′(x ) > 0, to funkcja f jest rosnąca w (a, b).
b) Jeśli dla każdego x ∈ (a, b) zachodzi f′(x ) < 0, to funkcja f jest malejąca w (a, b).
Jeszcze raz podkreślę: to, że funkcja jest rosnąca/malejąca w przedziale (a, b) i w przedziale (c, d ) nie oznacza, że jest rosnąca/malejąca w sumie tych przedziałów.
Ekstrema lokalne
Ekstrema lokalne
Mówimy, że f ma w punkcie x0 maksimum lokalne, jeśli istnieje takie otoczenie punktu x0, że każde x z tego otoczenia spełnia zależność f (x ) < f (x0). Dla x0 ∈R możemy ten warunek formalnie zapisać:
∃>0∀x∈(x
0−,x0+)f (x ) < f (x0).
Mówimy, że f ma w punkcie x0 minimum lokalne, jeśli istnieje takie otoczenie punktu x0, że każde x z tego otoczenia spełnia zależność f (x ) > f (x0). Dla x0 ∈R możemy ten warunek formalnie zapisać:
∃>0∀x∈(x0−,x0+)f (x ) > f (x0).
Wszystkie minima i maksima nazywamy ekstremami funkcji.
Jeśli w powyższych zdaniach możemy uzyskać tylko słabe nierówności to mówimy o słabym maksimum/minimum lokalnym.
Ekstrema lokalne
Ekstrema lokalne
Mówimy, że f ma w punkcie x0 maksimum lokalne, jeśli istnieje takie otoczenie punktu x0, że każde x z tego otoczenia spełnia zależność f (x ) < f (x0). Dla x0 ∈R możemy ten warunek formalnie zapisać:
∃>0∀x∈(x
0−,x0+)f (x ) < f (x0).
Mówimy, że f ma w punkcie x0 minimum lokalne, jeśli istnieje takie otoczenie punktu x0, że każde x z tego otoczenia spełnia zależność f (x ) > f (x0). Dla x0 ∈R możemy ten warunek formalnie zapisać:
∃>0∀x∈(x0−,x0+)f (x ) > f (x0).
Wszystkie minima i maksima nazywamy ekstremami funkcji.
Jeśli w powyższych zdaniach możemy uzyskać tylko słabe nierówności to mówimy o słabym maksimum/minimum lokalnym.
Ekstrema - rysunek
Na powyższym rysunku A, B, C są maksimami lokalnymi, a D i E - minimami lokalnymi. Wszystkie nazywamy ekstremami lokalnymi.
Uwaga o „lokalności” ekstremów
Słowo „lokalne” w powyższych definicjach definicjach jest istotne (aczkolwiek często opuszczane). W szczególności oznacza to, że ekstremum lokalne wykryte za pomocą pochodnych nie musi być rozwiązaniem optymalnym badanego procesu. Może się okazać, że bardziej optymalne wartości badana funkcja przyjmuje w innych ekstremach, a nawet poza ekstremami. Na przykład na powyższym rysunku A i B są maksimami lokalnymi, ale na pewno nie globalnymi (wartość maksimum C jest większa).
Uwaga o „lokalności” ekstremów
Słowo „lokalne” w powyższych definicjach definicjach jest istotne (aczkolwiek często opuszczane). W szczególności oznacza to, że ekstremum lokalne wykryte za pomocą pochodnych nie musi być rozwiązaniem optymalnym badanego procesu. Może się okazać, że bardziej optymalne wartości badana funkcja przyjmuje w innych ekstremach, a nawet poza ekstremami. Na przykład na powyższym
Pochodne i ekstrema lokalne
Warunek konieczny istnienia ekstremum
Jeśli funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie x0 oraz jest w tym punkcie różniczkowalna to f′(x0) =0.
Twierdzenie to oznacza, że, jeśli funkcja jest różniczkowalna, to nie może mieć ekstremów w punktach innych niż te, w których pochodna się zeruje.
Pochodne i ekstrema lokalne
Warunek konieczny istnienia ekstremum
Jeśli funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie x0 oraz jest w tym punkcie różniczkowalna to f′(x0) =0.
Twierdzenie to oznacza, że, jeśli funkcja jest różniczkowalna, to nie może mieć ekstremów w punktach innych niż te, w których pochodna się zeruje.
Warunek konieczny istnienia ekstremum - założenia
Założenie o różniczkowalności w warunku koniecznym istnienia ekstremum jest ważne:
Na przykład f (x ) = ∣x ∣ ma minimum lokalne w 0, a nie da się tego udowodnić jedynie za pomocą pochodnych, bo funkcja ta nie jest różniczkowalna w 0.
Warunek konieczny istnienia ekstremum - założenia
Założenie o różniczkowalności w warunku koniecznym istnienia ekstremum jest ważne:
Na przykład f (x ) = ∣x ∣ ma minimum lokalne w 0, a nie da się tego
Warunek konieczny istnienia ekstremum - twierdzenie odwrotne
Twierdzenie odwrotne do warunku koniecznego nie musi być prawdziwe tj. z faktu, że pochodna funkcji w jakimś punkcie się zeruje nie wynika istnienie ekstremum lokalnego w tym punkcie, a jedynie taka możliwość.
Na przykład f (x ) = x3 nie ma ekstremum lokalnego w 0, mimo, że f′(0) = 0.
Warunek konieczny istnienia ekstremum - twierdzenie odwrotne
Twierdzenie odwrotne do warunku koniecznego nie musi być prawdziwe tj. z faktu, że pochodna funkcji w jakimś punkcie się zeruje nie wynika istnienie ekstremum lokalnego w tym punkcie, a jedynie taka możliwość.
Warunek wystarczający istnienia ekstremum
Warunek wystarczający istnienia ekstremum - postać formalna
Jeśli funkcja f jest ciągła w otoczeniu punktu x0∈R oraz
różniczkowalna w jego otoczeniu oraz istnieje > 0 takie, że f′(x ) > 0 dla każdego x ∈ (x0−, x0) i f′(x ) < 0 dla każdego x ∈ (x0, x0+), to w punkcie x0 funkcja f ma maksimum lokalne.
Jeśli funkcja f jest ciągła w otoczeniu punktu x0∈R oraz
różniczkowalna w jego otoczeniu oraz istnieje > 0 takie, że f′(x ) < 0 dla każdego x ∈ (x0−, x0) i f′(x ) > 0 dla każdego x ∈ (x0, x0+), to w punkcie x0 funkcja f ma minimum lokalne.
Warunek wystarczający istnienia ekstremum
Warunek wystarczający istnienia ekstremum - postać nieformalna
Jeśli pochodna funkcji ciągłej f zmienia (patrząc od lewej strony) w punkcie x0 znak z + na −, to w tym punkcie funkcja f ma maksimum lokalne.
Jeśli pochodna funkcji ciągłej f zmienia (patrząc od lewej strony) w punkcie x0 znak z − na +, to w tym punkcie funkcja f ma minimum lokalne.
Warunek wystarczający istnienia ekstremum - ilustracja graficzna
To twierdzenie można sobie zawsze logicznie wyprowadzić, analizując wykres funkcji: jeśli najpierw rośnie, a potem maleje, to w „punkcie przejścia” musi mieć „górkę” czyli maksimum. Gdy jest na odwrót, mamy „dolinkę”, czyli minimum.
Badanie monotoniczności - przykład
Zadanie
Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x ) = 3x5−154 x4−40x3+90x2+1
Zaczynamy zawsze od wskazania dziedziny funkcji, którą w tym przypadku jest R.
Następnie obliczamy pochodną:
f′(x ) = 15x4−15x3−120x2+180x = 15x (x + 3)(x − 2)2.
Badanie monotoniczności - przykład
Zadanie
Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x ) = 3x5−154 x4−40x3+90x2+1
Zaczynamy zawsze od wskazania dziedziny funkcji, którą w tym przypadku jest R.
Następnie obliczamy pochodną:
f′(x ) = 15x4−15x3−120x2+180x = 15x (x + 3)(x − 2)2.
Badanie monotoniczności - przykład
Zadanie
Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x ) = 3x5−154 x4−40x3+90x2+1
Zaczynamy zawsze od wskazania dziedziny funkcji, którą w tym przypadku jest R.
Następnie obliczamy pochodną:
f′(x ) =
15x4−15x3−120x2+180x = 15x (x + 3)(x − 2)2.
Badanie monotoniczności - przykład
Zadanie
Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x ) = 3x5−154 x4−40x3+90x2+1
Zaczynamy zawsze od wskazania dziedziny funkcji, którą w tym przypadku jest R.
Następnie obliczamy pochodną:
f′(x ) = 15x4−15x3−120x2+180x =
15x (x + 3)(x − 2)2.
Badanie monotoniczności - przykład
Zadanie
Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x ) = 3x5−154 x4−40x3+90x2+1
Zaczynamy zawsze od wskazania dziedziny funkcji, którą w tym przypadku jest R.
Następnie obliczamy pochodną:
f′(x ) = 15x4−15x3−120x2+180x = 15x (x + 3)(x − 2)2.
Badanie monotoniczności - przykład
f′(x ) = 15x (x + 3)(x − 2)2.
Porównujemy wartość pochodnej z zerem.
f′(x ) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −3) ∪ (0, 2) ∪ (2, +∞). f′(x ) < 0 ⇔ x ∈ (−3, 0).
f′(x ) = 0 ⇔ x ∈ {−3, 0, 2}.
Badanie monotoniczności - przykład
f′(x ) = 15x (x + 3)(x − 2)2. Porównujemy wartość pochodnej z zerem.
f′(x ) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −3) ∪ (0, 2) ∪ (2, +∞). f′(x ) < 0 ⇔ x ∈ (−3, 0).
f′(x ) = 0 ⇔ x ∈ {−3, 0, 2}.
Badanie monotoniczności - przykład
f′(x ) = 15x (x + 3)(x − 2)2. Porównujemy wartość pochodnej z zerem.
f′(x ) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −3) ∪ (0, 2) ∪ (2, +∞).
f′(x ) < 0 ⇔ x ∈ (−3, 0). f′(x ) = 0 ⇔ x ∈ {−3, 0, 2}.
Badanie monotoniczności - przykład
f′(x ) = 15x (x + 3)(x − 2)2. Porównujemy wartość pochodnej z zerem.
f′(x ) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −3) ∪ (0, 2) ∪ (2, +∞).
f′(x ) < 0 ⇔ x ∈ (−3, 0).
f′(x ) = 0 ⇔ x ∈ {−3, 0, 2}.
Badanie monotoniczności - przykład
f′(x ) = 15x (x + 3)(x − 2)2. Porównujemy wartość pochodnej z zerem.
f′(x ) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −3) ∪ (0, 2) ∪ (2, +∞).
f′(x ) < 0 ⇔ x ∈ (−3, 0).
f′(x ) = 0 ⇔ x ∈ {−3, 0, 2}.
Badanie monotoniczności - przykład
f′(x ) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −3) ∪ (0, 2) ∪ (2, +∞),
więc funkcja f jest rosnąca w przedziale (−∞, −3) i w przedziale (0, +∞) (jako, że w 2 wzrost się nie zatrzymuje). Nie można powiedzieć jednak, że jest rosnąca w sumie tych przedziałów!
f′(x ) < 0 ⇔ x ∈ (−3, 0), więc funkcja f jest malejąca w przedziale (−3, 0).
f′(x ) = 0 ⇔ x ∈ {−3, 0, 2}. Ze zmian znaków w tych punktach odczytujemy, że w (−3) funkcja f ma maksimum (zmiana znaku pochodnej z + na −), a w 0 f ma minimum (zmiana znaku pochodnej z − na +). W punkcie 2 f nie ma ekstremum, bo pochodna nie zmienia znaku. Warto jeszcze obliczyć wartości funkcji f w tych wyróżniających się punktach f (3) = 85814, f (0) = 1, f (2) = 77.
Badanie monotoniczności - przykład
f′(x ) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −3) ∪ (0, 2) ∪ (2, +∞), więc funkcja f jest rosnąca w przedziale (−∞, −3) i w przedziale (0, +∞) (jako, że w 2 wzrost się nie zatrzymuje).
Nie można powiedzieć jednak, że jest rosnąca w sumie tych przedziałów!
f′(x ) < 0 ⇔ x ∈ (−3, 0), więc funkcja f jest malejąca w przedziale (−3, 0).
f′(x ) = 0 ⇔ x ∈ {−3, 0, 2}. Ze zmian znaków w tych punktach odczytujemy, że w (−3) funkcja f ma maksimum (zmiana znaku pochodnej z + na −), a w 0 f ma minimum (zmiana znaku pochodnej z − na +). W punkcie 2 f nie ma ekstremum, bo pochodna nie zmienia znaku. Warto jeszcze obliczyć wartości funkcji f w tych wyróżniających się punktach f (3) = 85814, f (0) = 1, f (2) = 77.
Badanie monotoniczności - przykład
f′(x ) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −3) ∪ (0, 2) ∪ (2, +∞), więc funkcja f jest rosnąca w przedziale (−∞, −3) i w przedziale (0, +∞) (jako, że w 2 wzrost się nie zatrzymuje). Nie można powiedzieć jednak, że jest rosnąca w sumie tych przedziałów!
f′(x ) < 0 ⇔ x ∈ (−3, 0),
więc funkcja f jest malejąca w przedziale (−3, 0).
f′(x ) = 0 ⇔ x ∈ {−3, 0, 2}. Ze zmian znaków w tych punktach odczytujemy, że w (−3) funkcja f ma maksimum (zmiana znaku pochodnej z + na −), a w 0 f ma minimum (zmiana znaku pochodnej z − na +). W punkcie 2 f nie ma ekstremum, bo pochodna nie zmienia znaku. Warto jeszcze obliczyć wartości funkcji f w tych wyróżniających się punktach f (3) = 85814, f (0) = 1, f (2) = 77.
Badanie monotoniczności - przykład
f′(x ) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −3) ∪ (0, 2) ∪ (2, +∞), więc funkcja f jest rosnąca w przedziale (−∞, −3) i w przedziale (0, +∞) (jako, że w 2 wzrost się nie zatrzymuje). Nie można powiedzieć jednak, że jest rosnąca w sumie tych przedziałów!
f′(x ) < 0 ⇔ x ∈ (−3, 0), więc funkcja f jest malejąca w przedziale (−3, 0).
f′(x ) = 0 ⇔ x ∈ {−3, 0, 2}.
Ze zmian znaków w tych punktach odczytujemy, że w (−3) funkcja f ma maksimum (zmiana znaku pochodnej z + na −), a w 0 f ma minimum (zmiana znaku pochodnej z − na +). W punkcie 2 f nie ma ekstremum, bo pochodna nie zmienia znaku. Warto jeszcze obliczyć wartości funkcji f w tych wyróżniających się punktach f (3) = 85814, f (0) = 1, f (2) = 77.
Badanie monotoniczności - przykład
f′(x ) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −3) ∪ (0, 2) ∪ (2, +∞), więc funkcja f jest rosnąca w przedziale (−∞, −3) i w przedziale (0, +∞) (jako, że w 2 wzrost się nie zatrzymuje). Nie można powiedzieć jednak, że jest rosnąca w sumie tych przedziałów!
f′(x ) < 0 ⇔ x ∈ (−3, 0), więc funkcja f jest malejąca w przedziale (−3, 0).
f′(x ) = 0 ⇔ x ∈ {−3, 0, 2}. Ze zmian znaków w tych punktach odczytujemy, że w (−3) funkcja f ma maksimum (zmiana znaku pochodnej z + na −),
a w 0 f ma minimum (zmiana znaku pochodnej z − na +). W punkcie 2 f nie ma ekstremum, bo pochodna nie zmienia znaku. Warto jeszcze obliczyć wartości funkcji f w tych wyróżniających się punktach f (3) = 85814, f (0) = 1, f (2) = 77.
Badanie monotoniczności - przykład
f′(x ) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −3) ∪ (0, 2) ∪ (2, +∞), więc funkcja f jest rosnąca w przedziale (−∞, −3) i w przedziale (0, +∞) (jako, że w 2 wzrost się nie zatrzymuje). Nie można powiedzieć jednak, że jest rosnąca w sumie tych przedziałów!
f′(x ) < 0 ⇔ x ∈ (−3, 0), więc funkcja f jest malejąca w przedziale (−3, 0).
f′(x ) = 0 ⇔ x ∈ {−3, 0, 2}. Ze zmian znaków w tych punktach odczytujemy, że w (−3) funkcja f ma maksimum (zmiana znaku pochodnej z + na −), a w 0 f ma minimum (zmiana znaku pochodnej z − na +).
W punkcie 2 f nie ma ekstremum, bo pochodna nie zmienia znaku. Warto jeszcze obliczyć wartości funkcji f w tych wyróżniających się punktach f (3) = 85814, f (0) = 1, f (2) = 77.
Badanie monotoniczności - przykład
f′(x ) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −3) ∪ (0, 2) ∪ (2, +∞), więc funkcja f jest rosnąca w przedziale (−∞, −3) i w przedziale (0, +∞) (jako, że w 2 wzrost się nie zatrzymuje). Nie można powiedzieć jednak, że jest rosnąca w sumie tych przedziałów!
f′(x ) < 0 ⇔ x ∈ (−3, 0), więc funkcja f jest malejąca w przedziale (−3, 0).
f′(x ) = 0 ⇔ x ∈ {−3, 0, 2}. Ze zmian znaków w tych punktach odczytujemy, że w (−3) funkcja f ma maksimum (zmiana znaku pochodnej z + na −), a w 0 f ma minimum (zmiana znaku pochodnej z − na +). W punkcie 2 f nie ma ekstremum, bo pochodna nie zmienia znaku.
Warto jeszcze obliczyć wartości funkcji f w tych wyróżniających się punktach f (3) = 85814, f (0) = 1, f (2) = 77.
Badanie monotoniczności - przykład
f′(x ) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −3) ∪ (0, 2) ∪ (2, +∞), więc funkcja f jest rosnąca w przedziale (−∞, −3) i w przedziale (0, +∞) (jako, że w 2 wzrost się nie zatrzymuje). Nie można powiedzieć jednak, że jest rosnąca w sumie tych przedziałów!
f′(x ) < 0 ⇔ x ∈ (−3, 0), więc funkcja f jest malejąca w przedziale (−3, 0).
f′(x ) = 0 ⇔ x ∈ {−3, 0, 2}. Ze zmian znaków w tych punktach odczytujemy, że w (−3) funkcja f ma maksimum (zmiana znaku pochodnej z + na −), a w 0 f ma minimum (zmiana znaku pochodnej z − na +). W punkcie 2 f nie ma ekstremum, bo pochodna nie zmienia znaku. Warto jeszcze obliczyć wartości funkcji f w tych wyróżniających się punktach f (3) = 85814, f (0) = 1, f (2) = 77.
Badanie monotoniczności - przykład
Zadanie
Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x ) = 3x5−15
4 x4−40x3+90x2+1
Rozwiązanie zadania najlepiej zapisać w tabelce (którą będziemy jeszcze rozwijać):
x (−∞, −3) −3 (−3, 0) 0 (0, 2) 2 (2, +∞)
f′(x ) + 0 - 0 + 0 +
f (x ) ↗ 85814(maks) ↘ 1 (min) ↗ 77 ↗
Badanie monotoniczności - przykład
Zadanie
Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x ) = 3x5−15
4 x4−40x3+90x2+1
Rozwiązanie zadania najlepiej zapisać w tabelce (którą będziemy jeszcze rozwijać):
x (−∞, −3) −3 (−3, 0) 0 (0, 2) 2 (2, +∞)
f′(x ) + 0 - 0 + 0 +
f (x ) ↗ 85814(maks) ↘ 1 (min) ↗ 77 ↗
Badanie monotoniczności - przykład
Zadanie
Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x ) = 3x5−15
4 x4−40x3+90x2+1
Rozwiązanie zadania najlepiej zapisać w tabelce (którą będziemy jeszcze rozwijać):
x (−∞, −3) −3 (−3, 0) 0 (0, 2) 2 (2, +∞)
f′(x ) + 0 - 0 + 0 +
f (x ) ↗ 85814(maks) ↘ 1 (min) ↗ 77 ↗
Badanie monotoniczności - przykład
Zadanie
Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x ) = 3x5−15
4 x4−40x3+90x2+1
Rozwiązanie zadania najlepiej zapisać w tabelce (którą będziemy jeszcze rozwijać):
x (−∞, −3) −3 (−3, 0) 0 (0, 2) 2 (2, +∞)
f′(x ) + 0 - 0 + 0 +
f (x ) ↗ 85814(maks) ↘ 1 (min) ↗ 77 ↗
Badanie monotoniczności - przykład
Zadanie
Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x ) = 3x5−15
4 x4−40x3+90x2+1
Rozwiązanie zadania najlepiej zapisać w tabelce (którą będziemy jeszcze rozwijać):
x (−∞, −3) −3 (−3, 0) 0 (0, 2) 2 (2, +∞)
f′(x ) + 0 - 0 + 0 +
f (x ) ↗ 85814(maks) ↘ 1 (min) ↗ 77 ↗
Przykład ekonomiczny
Konstrukcja modelu
Jeśli mamy dane różniczkowalne funkcje przychodu R(x ) i kosztu C (x ) od poziomu produkcji x to funkcja zysku π(x ) ma postać π(x ) = R(x ) − C (x ). Jak wskazać maksimum funkcji zysku? Jaka jest interpretacja ekonomiczna tego warunku?
Oczywiście R′(x ) > 0 i C′(x ) > 0 (przychody i koszty rosną z wielkością produkcji). By opłacało się rozpocząć produkcję, R′(0) > C′(0) (czyli π′(0) > 0). Dla odpowiednio dużego poziomu produkcji X wzrost kosztów będzie szybszy od wzrostu przychodów (R′(X ) < C′(X )), czyli π′(X ) < 0. Z własności Darboux, musi istnieć punkt x0 w (0, X ) taki, że π′(x0) =0 i pochodna ta zmienia znak z dodatniego na ujemny. W x0 funkcja zysku ma maksimum. Zachodzi wtedy R′(x0) =C′(x0), czyli przychód krańcowy dla optymalnej wielkości produkcji musi być równy kosztowi krańcowemu.
Przykład ekonomiczny
Konstrukcja modelu
Jeśli mamy dane różniczkowalne funkcje przychodu R(x ) i kosztu C (x ) od poziomu produkcji x to funkcja zysku π(x ) ma postać π(x ) = R(x ) − C (x ). Jak wskazać maksimum funkcji zysku? Jaka jest interpretacja ekonomiczna tego warunku?
Oczywiście R′(x ) > 0 i C′(x ) > 0 (przychody i koszty rosną z wielkością produkcji).
By opłacało się rozpocząć produkcję, R′(0) > C′(0) (czyli π′(0) > 0). Dla odpowiednio dużego poziomu produkcji X wzrost kosztów będzie szybszy od wzrostu przychodów (R′(X ) < C′(X )), czyli π′(X ) < 0. Z własności Darboux, musi istnieć punkt x0 w (0, X ) taki, że π′(x0) =0 i pochodna ta zmienia znak z dodatniego na ujemny. W x0 funkcja zysku ma maksimum. Zachodzi wtedy R′(x0) =C′(x0), czyli przychód krańcowy dla optymalnej wielkości produkcji musi być równy kosztowi krańcowemu.
Przykład ekonomiczny
Konstrukcja modelu
Jeśli mamy dane różniczkowalne funkcje przychodu R(x ) i kosztu C (x ) od poziomu produkcji x to funkcja zysku π(x ) ma postać π(x ) = R(x ) − C (x ). Jak wskazać maksimum funkcji zysku? Jaka jest interpretacja ekonomiczna tego warunku?
Oczywiście R′(x ) > 0 i C′(x ) > 0 (przychody i koszty rosną z wielkością produkcji). By opłacało się rozpocząć produkcję, R′(0) > C′(0) (czyli π′(0) > 0).
Dla odpowiednio dużego poziomu produkcji X wzrost kosztów będzie szybszy od wzrostu przychodów (R′(X ) < C′(X )), czyli π′(X ) < 0. Z własności Darboux, musi istnieć punkt x0 w (0, X ) taki, że π′(x0) =0 i pochodna ta zmienia znak z dodatniego na ujemny. W x0 funkcja zysku ma maksimum. Zachodzi wtedy R′(x0) =C′(x0), czyli przychód krańcowy dla optymalnej wielkości produkcji musi być równy kosztowi krańcowemu.
Przykład ekonomiczny
Konstrukcja modelu
Jeśli mamy dane różniczkowalne funkcje przychodu R(x ) i kosztu C (x ) od poziomu produkcji x to funkcja zysku π(x ) ma postać π(x ) = R(x ) − C (x ). Jak wskazać maksimum funkcji zysku? Jaka jest interpretacja ekonomiczna tego warunku?
Oczywiście R′(x ) > 0 i C′(x ) > 0 (przychody i koszty rosną z wielkością produkcji). By opłacało się rozpocząć produkcję, R′(0) > C′(0) (czyli π′(0) > 0). Dla odpowiednio dużego poziomu produkcji X wzrost kosztów będzie szybszy od wzrostu przychodów (R′(X ) < C′(X )), czyli π′(X ) < 0.
Z własności Darboux, musi istnieć punkt x0 w (0, X ) taki, że π′(x0) =0 i pochodna ta zmienia znak z dodatniego na ujemny. W x0 funkcja zysku ma maksimum. Zachodzi wtedy R′(x0) =C′(x0), czyli przychód krańcowy dla optymalnej wielkości produkcji musi być równy kosztowi krańcowemu.
Przykład ekonomiczny
Konstrukcja modelu
Jeśli mamy dane różniczkowalne funkcje przychodu R(x ) i kosztu C (x ) od poziomu produkcji x to funkcja zysku π(x ) ma postać π(x ) = R(x ) − C (x ). Jak wskazać maksimum funkcji zysku? Jaka jest interpretacja ekonomiczna tego warunku?
Oczywiście R′(x ) > 0 i C′(x ) > 0 (przychody i koszty rosną z wielkością produkcji). By opłacało się rozpocząć produkcję, R′(0) > C′(0) (czyli π′(0) > 0). Dla odpowiednio dużego poziomu produkcji X wzrost kosztów będzie szybszy od wzrostu przychodów (R′(X ) < C′(X )), czyli π′(X ) < 0. Z własności Darboux, musi istnieć punkt x0 w (0, X ) taki, że π′(x0) =0 i pochodna ta zmienia znak z dodatniego na ujemny.
W x0 funkcja zysku ma maksimum. Zachodzi wtedy R′(x0) =C′(x0), czyli przychód krańcowy dla optymalnej wielkości produkcji musi być równy kosztowi krańcowemu.
Przykład ekonomiczny
Konstrukcja modelu
Jeśli mamy dane różniczkowalne funkcje przychodu R(x ) i kosztu C (x ) od poziomu produkcji x to funkcja zysku π(x ) ma postać π(x ) = R(x ) − C (x ). Jak wskazać maksimum funkcji zysku? Jaka jest interpretacja ekonomiczna tego warunku?
Oczywiście R′(x ) > 0 i C′(x ) > 0 (przychody i koszty rosną z wielkością produkcji). By opłacało się rozpocząć produkcję, R′(0) > C′(0) (czyli π′(0) > 0). Dla odpowiednio dużego poziomu produkcji X wzrost kosztów będzie szybszy od wzrostu przychodów (R′(X ) < C′(X )), czyli π′(X ) < 0. Z własności Darboux, musi istnieć punkt x0 w (0, X ) taki, że π′(x0) =0 i pochodna ta zmienia znak z dodatniego na ujemny. W x funkcja zysku ma maksimum.
Zachodzi wtedy R′(x0) =C′(x0), czyli przychód krańcowy dla optymalnej wielkości produkcji musi być równy kosztowi krańcowemu.
Przykład ekonomiczny
Konstrukcja modelu
Jeśli mamy dane różniczkowalne funkcje przychodu R(x ) i kosztu C (x ) od poziomu produkcji x to funkcja zysku π(x ) ma postać π(x ) = R(x ) − C (x ). Jak wskazać maksimum funkcji zysku? Jaka jest interpretacja ekonomiczna tego warunku?
Oczywiście R′(x ) > 0 i C′(x ) > 0 (przychody i koszty rosną z wielkością produkcji). By opłacało się rozpocząć produkcję, R′(0) > C′(0) (czyli π′(0) > 0). Dla odpowiednio dużego poziomu produkcji X wzrost kosztów będzie szybszy od wzrostu przychodów (R′(X ) < C′(X )), czyli π′(X ) < 0. Z własności Darboux, musi istnieć punkt x0 w (0, X ) taki, że π′(x0) =0 i pochodna ta zmienia znak z dodatniego na ujemny. W x0 funkcja zysku ma maksimum. Zachodzi wtedy R′(x0) =C′(x0), czyli przychód krańcowy dla optymalnej
Przykład ekonomiczny 2
Analogicznie możemy podejść do funkcji użyteczności u dochodu pojedynczego konsumenta uzyskiwanego dzięki jego wysiłkowi: jeśli przez g oznaczymy funkcję pożytku jaki konsument może mieć z konsumpcji dóbr uzyskanych dzięki wysiłkowi, a przez c, koszt
pozyskania tych dóbr (np. włożony w to wysiłek), to u = g − c. Kiedy konsument zoptymalizuje swoją użyteczność? Jak zinterpretować ten warunek? (ćwiczenie)
Ekstrema lokalne i globalne
Globalnie, największe i najmniejsze wartości funkcji nie muszą
znajdować się w ekstremach lokalnych - a nawet funkcja nie musi ich w ogóle osiągać. Przykładowo, badana funkcja
f (x ) = 3x5−154 x4−40x3+90x2+1 osiąga największe wartości w pobliżu +∞, a najmniejsze w pobliżu −∞, mimo że posiada też lokalne maksimum i minimum.
Ekstrema lokalne i globalne
Jeśli jednak szukamy ekstremów globalnych funkcji na przedziale domkniętym, sprawa wygląda inaczej.
Zgodnie z twierdzeniem Wieierstrassa, na przedziale domkniętym każda funkcja ciągła przyjmuje najmniejszą i największą wartość. Jeśli funkcja jest różniczkowalna, globalne ekstrema na przedziale domkniętym może przyjmować tylko w swoich ekstremach lokalnych i na końcach przedziałów.
Szukając największej i najmniejszej wartości funkcji w takim przedziale, najpierw obliczamy wartości funkcji na krańcach
przedziału, a potem w punktach dla których f′(x ) = 0. Nie musimy sprawdzać, czy te punkty faktycznie są ekstremami. Jeśli istnieją punkty, w których funkcja nie jest różniczkowalna, to dla nich również musimy policzyć wartości. Następnie spośród wszystkich obliczonych wartości wybieramy największą i najmniejszą.
Ekstrema lokalne i globalne
Jeśli jednak szukamy ekstremów globalnych funkcji na przedziale domkniętym, sprawa wygląda inaczej. Zgodnie z twierdzeniem Wieierstrassa, na przedziale domkniętym każda funkcja ciągła przyjmuje najmniejszą i największą wartość.
Jeśli funkcja jest różniczkowalna, globalne ekstrema na przedziale domkniętym może przyjmować tylko w swoich ekstremach lokalnych i na końcach przedziałów.
Szukając największej i najmniejszej wartości funkcji w takim przedziale, najpierw obliczamy wartości funkcji na krańcach
przedziału, a potem w punktach dla których f′(x ) = 0. Nie musimy sprawdzać, czy te punkty faktycznie są ekstremami. Jeśli istnieją punkty, w których funkcja nie jest różniczkowalna, to dla nich również musimy policzyć wartości. Następnie spośród wszystkich obliczonych wartości wybieramy największą i najmniejszą.
Ekstrema lokalne i globalne
Jeśli jednak szukamy ekstremów globalnych funkcji na przedziale domkniętym, sprawa wygląda inaczej. Zgodnie z twierdzeniem Wieierstrassa, na przedziale domkniętym każda funkcja ciągła przyjmuje najmniejszą i największą wartość. Jeśli funkcja jest różniczkowalna, globalne ekstrema na przedziale domkniętym może przyjmować tylko w swoich ekstremach lokalnych i na końcach przedziałów.
Szukając największej i najmniejszej wartości funkcji w takim przedziale, najpierw obliczamy wartości funkcji na krańcach
przedziału, a potem w punktach dla których f′(x ) = 0. Nie musimy sprawdzać, czy te punkty faktycznie są ekstremami. Jeśli istnieją punkty, w których funkcja nie jest różniczkowalna, to dla nich również musimy policzyć wartości. Następnie spośród wszystkich obliczonych wartości wybieramy największą i najmniejszą.
Ekstrema lokalne i globalne
Jeśli jednak szukamy ekstremów globalnych funkcji na przedziale domkniętym, sprawa wygląda inaczej. Zgodnie z twierdzeniem Wieierstrassa, na przedziale domkniętym każda funkcja ciągła przyjmuje najmniejszą i największą wartość. Jeśli funkcja jest różniczkowalna, globalne ekstrema na przedziale domkniętym może przyjmować tylko w swoich ekstremach lokalnych i na końcach przedziałów.
Szukając największej i najmniejszej wartości funkcji w takim przedziale, najpierw obliczamy wartości funkcji na krańcach
przedziału, a potem w punktach dla których f′(x ) = 0. Nie musimy sprawdzać, czy te punkty faktycznie są ekstremami.
Jeśli istnieją punkty, w których funkcja nie jest różniczkowalna, to dla nich również musimy policzyć wartości. Następnie spośród wszystkich obliczonych wartości wybieramy największą i najmniejszą.
Ekstrema lokalne i globalne
Jeśli jednak szukamy ekstremów globalnych funkcji na przedziale domkniętym, sprawa wygląda inaczej. Zgodnie z twierdzeniem Wieierstrassa, na przedziale domkniętym każda funkcja ciągła przyjmuje najmniejszą i największą wartość. Jeśli funkcja jest różniczkowalna, globalne ekstrema na przedziale domkniętym może przyjmować tylko w swoich ekstremach lokalnych i na końcach przedziałów.
Szukając największej i najmniejszej wartości funkcji w takim przedziale, najpierw obliczamy wartości funkcji na krańcach
przedziału, a potem w punktach dla których f′(x ) = 0. Nie musimy sprawdzać, czy te punkty faktycznie są ekstremami. Jeśli istnieją punkty, w których funkcja nie jest różniczkowalna, to dla nich również musimy policzyć wartości. Następnie spośród wszystkich obliczonych
Ekstrema globalne - przykład
Zadanie
Wskazać najmniejszą i największą wartość funkcji f (x ) = x2(x − 2)2 w przedziale [−2, 3].
Obliczamy pochodną funkcji f :
f′(x ) = 2x (x −2)2+2x2(x −2) = 2x (x −2)(x −2+x ) = 4x (x −1)(x −2).
Jak widać, f′(x ) = 0, gdy x = 0, x = 1 lub x = 2 - i te punkty dopisujemy do listy „podejrzanych”. Dodatkowo na liście są końce przedziałów: x = −2 i x = 3.
Ekstrema globalne - przykład
Zadanie
Wskazać najmniejszą i największą wartość funkcji f (x ) = x2(x − 2)2 w przedziale [−2, 3].
Obliczamy pochodną funkcji f :
f′(x ) = 2x (x −2)2+2x2(x −2) = 2x (x −2)(x −2+x ) = 4x (x −1)(x −2).
Jak widać, f′(x ) = 0, gdy x = 0, x = 1 lub x = 2 - i te punkty dopisujemy do listy „podejrzanych”. Dodatkowo na liście są końce przedziałów: x = −2 i x = 3.
Ekstrema globalne - przykład
Zadanie
Wskazać najmniejszą i największą wartość funkcji f (x ) = x2(x − 2)2 w przedziale [−2, 3].
Obliczamy pochodną funkcji f :
f′(x ) = 2x (x −2)2+2x2(x −2) = 2x (x −2)(x −2+x ) = 4x (x −1)(x −2).
Jak widać, f′(x ) = 0, gdy x = 0, x = 1 lub x = 2 - i te punkty dopisujemy do listy „podejrzanych”. Dodatkowo na liście są końce przedziałów: x = −2 i x = 3.
Ekstrema globalne - przykład
Zadanie
Wskazać najmniejszą i największą wartość funkcji f (x ) = x2(x − 2)2 w przedziale [−2, 3].
Lista „podejrzanych”: x = 0, x = 1, x = 2, x = −2, x = 3.
Obliczamy wartości funkcji f w tych punktach: f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0, f (−2) = 64, f (3) = 9.
Z tej listy widzimy, że najmniejszą wartość funkcja przyjmuje w 0 i 2 i tą wartością jest 0, zaś największą wartość w −2 i tą wartością jest 64. Warto zauważyć, że maksimum globalne (−2) nie jest w tym wypadku maksimum lokalnym (bo f′(−2) ≠ 0).
Ekstrema globalne - przykład
Zadanie
Wskazać najmniejszą i największą wartość funkcji f (x ) = x2(x − 2)2 w przedziale [−2, 3].
Lista „podejrzanych”: x = 0, x = 1, x = 2, x = −2, x = 3.
Obliczamy wartości funkcji f w tych punktach: f (0) = 0,
f (1) = 1, f (2) = 0, f (−2) = 64, f (3) = 9.
Z tej listy widzimy, że najmniejszą wartość funkcja przyjmuje w 0 i 2 i tą wartością jest 0, zaś największą wartość w −2 i tą wartością jest 64. Warto zauważyć, że maksimum globalne (−2) nie jest w tym wypadku maksimum lokalnym (bo f′(−2) ≠ 0).
Ekstrema globalne - przykład
Zadanie
Wskazać najmniejszą i największą wartość funkcji f (x ) = x2(x − 2)2 w przedziale [−2, 3].
Lista „podejrzanych”: x = 0, x = 1, x = 2, x = −2, x = 3.
Obliczamy wartości funkcji f w tych punktach: f (0) = 0, f (1) = 1,
f (2) = 0, f (−2) = 64, f (3) = 9.
Z tej listy widzimy, że najmniejszą wartość funkcja przyjmuje w 0 i 2 i tą wartością jest 0, zaś największą wartość w −2 i tą wartością jest 64. Warto zauważyć, że maksimum globalne (−2) nie jest w tym wypadku maksimum lokalnym (bo f′(−2) ≠ 0).
Ekstrema globalne - przykład
Zadanie
Wskazać najmniejszą i największą wartość funkcji f (x ) = x2(x − 2)2 w przedziale [−2, 3].
Lista „podejrzanych”: x = 0, x = 1, x = 2, x = −2, x = 3.
Obliczamy wartości funkcji f w tych punktach: f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0,
f (−2) = 64, f (3) = 9.
Z tej listy widzimy, że najmniejszą wartość funkcja przyjmuje w 0 i 2 i tą wartością jest 0, zaś największą wartość w −2 i tą wartością jest 64. Warto zauważyć, że maksimum globalne (−2) nie jest w tym wypadku maksimum lokalnym (bo f′(−2) ≠ 0).
Ekstrema globalne - przykład
Zadanie
Wskazać najmniejszą i największą wartość funkcji f (x ) = x2(x − 2)2 w przedziale [−2, 3].
Lista „podejrzanych”: x = 0, x = 1, x = 2, x = −2, x = 3.
Obliczamy wartości funkcji f w tych punktach: f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0, f (−2) = 64,
f (3) = 9.
Z tej listy widzimy, że najmniejszą wartość funkcja przyjmuje w 0 i 2 i tą wartością jest 0, zaś największą wartość w −2 i tą wartością jest 64. Warto zauważyć, że maksimum globalne (−2) nie jest w tym wypadku maksimum lokalnym (bo f′(−2) ≠ 0).
Ekstrema globalne - przykład
Zadanie
Wskazać najmniejszą i największą wartość funkcji f (x ) = x2(x − 2)2 w przedziale [−2, 3].
Lista „podejrzanych”: x = 0, x = 1, x = 2, x = −2, x = 3.
Obliczamy wartości funkcji f w tych punktach: f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0, f (−2) = 64, f (3) = 9.
Z tej listy widzimy, że najmniejszą wartość funkcja przyjmuje w 0 i 2 i tą wartością jest 0, zaś największą wartość w −2 i tą wartością jest 64. Warto zauważyć, że maksimum globalne (−2) nie jest w tym wypadku maksimum lokalnym (bo f′(−2) ≠ 0).
Ekstrema globalne - przykład
Zadanie
Wskazać najmniejszą i największą wartość funkcji f (x ) = x2(x − 2)2 w przedziale [−2, 3].
Lista „podejrzanych”: x = 0, x = 1, x = 2, x = −2, x = 3.
Obliczamy wartości funkcji f w tych punktach: f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0, f (−2) = 64, f (3) = 9.
Z tej listy widzimy, że najmniejszą wartość funkcja przyjmuje w 0 i 2 i tą wartością jest 0, zaś największą wartość w −2 i tą wartością jest 64.
Warto zauważyć, że maksimum globalne (−2) nie jest w tym wypadku maksimum lokalnym (bo f′(−2) ≠ 0).
Ekstrema globalne - przykład
Zadanie
Wskazać najmniejszą i największą wartość funkcji f (x ) = x2(x − 2)2 w przedziale [−2, 3].
Lista „podejrzanych”: x = 0, x = 1, x = 2, x = −2, x = 3.
Obliczamy wartości funkcji f w tych punktach: f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0, f (−2) = 64, f (3) = 9.
Z tej listy widzimy, że najmniejszą wartość funkcja przyjmuje w 0 i 2 i tą wartością jest 0, zaś największą wartość w −2 i tą wartością jest 64. Warto zauważyć, że maksimum globalne (−2) nie jest w tym wypadku maksimum lokalnym (bo f′(−2) ≠ 0).
Wklęsłość i wypukłość - przypomnienie definicji
Wklęsłość i wypukłość
Funkcja f jest wypukła w przedziale [a, b] jeśli dla dowolnych, różnych punktów x1, x2 ∈ (a, b) i liczby α ∈ (0, 1) zachodzi f (αx1+ (1 − α)x2) <αf (x1) + (1 − α)f (x2).
Funkcja f jest wklęsła w przedziale [a, b] jeśli dla dowolnych, różnych punktów x1, x2 ∈ (a, b) i liczby α ∈ (0, 1) zachodzi
f (αx1+ (1 − α)x2) >αf (x1) + (1 − α)f (x2).
Jeśli w powyższych definicjach mamy do czynienia ze słabymi nierównościami, mówimy o słabej wypukłości/wklęsłości.
Wklęsłość i wypukłość - przypomnienie definicji
Wklęsłość i wypukłość
Funkcja f jest wypukła w przedziale [a, b] jeśli dla dowolnych, różnych punktów x1, x2 ∈ (a, b) i liczby α ∈ (0, 1) zachodzi f (αx1+ (1 − α)x2) <αf (x1) + (1 − α)f (x2).
Funkcja f jest wklęsła w przedziale [a, b] jeśli dla dowolnych, różnych punktów x1, x2 ∈ (a, b) i liczby α ∈ (0, 1) zachodzi
f (αx1+ (1 − α)x2) >αf (x1) + (1 − α)f (x2).
Jeśli w powyższych definicjach mamy do czynienia ze słabymi nierównościami, mówimy o słabej wypukłości/wklęsłości.
Wklęsłość i wypukłość - przypomnienie definicji
Wklęsłość i wypukłość
Funkcja f jest wypukła w przedziale [a, b] jeśli dla dowolnych, różnych punktów x1, x2 ∈ (a, b) i liczby α ∈ (0, 1) zachodzi f (αx1+ (1 − α)x2) <αf (x1) + (1 − α)f (x2).
Funkcja f jest wklęsła w przedziale [a, b] jeśli dla dowolnych, różnych punktów x1, x2 ∈ (a, b) i liczby α ∈ (0, 1) zachodzi
f (αx1+ (1 − α)x2) >αf (x1) + (1 − α)f (x2).
Jeśli w powyższych definicjach mamy do czynienia ze słabymi nierównościami, mówimy o słabej wypukłości/wklęsłości.
Interpretacja geometryczna wypukłości - przypomnienie
Dla funkcji wypukłej odcinek łączący dwa punkty wykresu
Dla funkcji wklęsłej odcinek łączący dwa punkty wykresu leży pod wykresem.
Interpretacja geometryczna wypukłości - przypomnienie
Dla funkcji wypukłej odcinek Dla funkcji wklęsłej odcinek
Wklęsłość i wypukłość - interpretacja
Inna interpretacja wypukłości i wklęsłości jest związana z monotonicznością funkcji:
otóż wypukłość oznacza, że funkcja „ma tendencję wzrostową”, a wklęsłość, że „ma tendencję spadkową”. Innymi słowy: jeśli funkcja jest rosnąca i wypukła, to znaczy, że rośnie coraz szybciej, jeśli jest rosnąca i wklęsła, to rośnie coraz wolniej, jeśli jest malejąca i wypukła to maleje coraz wolniej, a jeśli jest malejąca i wklęsła to maleje coraz szybciej.
Wklęsłość i wypukłość - interpretacja
Inna interpretacja wypukłości i wklęsłości jest związana z
monotonicznością funkcji: otóż wypukłość oznacza, że funkcja „ma tendencję wzrostową”, a wklęsłość, że „ma tendencję spadkową”.
Innymi słowy: jeśli funkcja jest rosnąca i wypukła, to znaczy, że rośnie coraz szybciej, jeśli jest rosnąca i wklęsła, to rośnie coraz wolniej, jeśli jest malejąca i wypukła to maleje coraz wolniej, a jeśli jest malejąca i wklęsła to maleje coraz szybciej.
Wklęsłość i wypukłość - interpretacja
Inna interpretacja wypukłości i wklęsłości jest związana z
monotonicznością funkcji: otóż wypukłość oznacza, że funkcja „ma tendencję wzrostową”, a wklęsłość, że „ma tendencję spadkową”.
Innymi słowy: jeśli funkcja jest rosnąca i wypukła, to znaczy, że rośnie coraz szybciej, jeśli jest rosnąca i wklęsła, to rośnie coraz wolniej, jeśli jest malejąca i wypukła to maleje coraz wolniej, a jeśli jest malejąca i wklęsła to maleje coraz szybciej.
Wklęsłość i wypukłość - przykłady
f (x ) = x2 jest wypukła w całej
f (x ) =√
x jest wklęsła w całej dziedzinie.
Wklęsłość i wypukłość - przykłady
f (x ) = x2 jest wypukła w całej dziedzinie.
f (x ) =√
x jest wklęsła w całej dziedzinie.
Druga pochodna i wklęsłość/wypukłość
Dzięki drugiej pochodnej, możemy określić, czy funkcja jest w danym przedziale wklęsła, czy wypukła - a w praktyce, jak zmienia się prędkość zmiany wartości funkcji.
Pochodne i wklęsłość/wypukłość
Jeśli f jest funkcją dwukrotnie różniczkowalną w przedziale (a, b), to: a) Jeśli dla każdego x ∈ (a, b) zachodzi f′′(x ) > 0, to funkcja f jest wypukła w (a, b).
b) Jeśli dla każdego x ∈ (a, b) zachodzi f′′(x ) < 0, to funkcja f jest wklęsła w (a, b).
Jeszcze raz podkreślę: to, że funkcja jest wklęsła/wypukła w przedziale (a, b) i w przedziale (c, d ) nie oznacza, że jest wklęsła/wypukła w sumie tych przedziałów.
Druga pochodna i wklęsłość/wypukłość
Dzięki drugiej pochodnej, możemy określić, czy funkcja jest w danym przedziale wklęsła, czy wypukła - a w praktyce, jak zmienia się prędkość zmiany wartości funkcji.
Pochodne i wklęsłość/wypukłość
Jeśli f jest funkcją dwukrotnie różniczkowalną w przedziale (a, b), to:
a) Jeśli dla każdego x ∈ (a, b) zachodzi f′′(x ) > 0, to funkcja f jest wypukła w (a, b).
b) Jeśli dla każdego x ∈ (a, b) zachodzi f′′(x ) < 0, to funkcja f jest wklęsła w (a, b).
Jeszcze raz podkreślę: to, że funkcja jest wklęsła/wypukła w przedziale (a, b) i w przedziale (c, d ) nie oznacza, że jest wklęsła/wypukła w sumie tych przedziałów.
Druga pochodna i wklęsłość/wypukłość
Dzięki drugiej pochodnej, możemy określić, czy funkcja jest w danym przedziale wklęsła, czy wypukła - a w praktyce, jak zmienia się prędkość zmiany wartości funkcji.
Pochodne i wklęsłość/wypukłość
Jeśli f jest funkcją dwukrotnie różniczkowalną w przedziale (a, b), to:
a) Jeśli dla każdego x ∈ (a, b) zachodzi f′′(x ) > 0, to funkcja f jest wypukła w (a, b).
b) Jeśli dla każdego x ∈ (a, b) zachodzi f′′(x ) < 0, to funkcja f jest wklęsła w (a, b).
Jeszcze raz podkreślę: to, że funkcja jest wklęsła/wypukła w przedziale (a, b) i w przedziale (c, d ) nie oznacza, że jest
Przykład ekonomiczny - prawo Gossena
Jak pamiętamy z wcześniejszych zajęć (oraz z mikroekonomii) prawo Gossena malejącej użyteczności krańcowej głosi, że wraz ze wzrostem ilości posiadanego dobra, użyteczność krańcowa z kolejnej jednostki dobra maleje (a przynajmniej nie rośnie).
W języku matematycznym można powiedzieć, że jeśli u(x ) jest funkcją użyteczności z
posiadanego dobra w zależności od ilości tego dobra (x ) to funkcja u′(x ) jest malejąca. Skoro funkcja różniczkowalna jest malejąca, gdy jej pochodna jest ujemna, to prawo Gossena można sformułować tak:
Prawo Gossena malejącej użyteczności krańcowej
Jeśli wartość dwukrotnie różniczkowalnej funkcji użyteczności u zależy tylko od ilości posiadanego pojedynczego dobra x , to u′′(x ) < 0 dla dowolnego x > 0 z dziedziny tej funkcji.
Czasem w prawie Gossena zakłada się tylko słabą nierówność na u′′.
Przykład ekonomiczny - prawo Gossena
Jak pamiętamy z wcześniejszych zajęć (oraz z mikroekonomii) prawo Gossena malejącej użyteczności krańcowej głosi, że wraz ze wzrostem ilości posiadanego dobra, użyteczność krańcowa z kolejnej jednostki dobra maleje (a przynajmniej nie rośnie). W języku matematycznym można powiedzieć, że jeśli u(x ) jest funkcją użyteczności z
posiadanego dobra w zależności od ilości tego dobra (x ) to funkcja u′(x ) jest malejąca.
Skoro funkcja różniczkowalna jest malejąca, gdy jej pochodna jest ujemna, to prawo Gossena można sformułować tak:
Prawo Gossena malejącej użyteczności krańcowej
Jeśli wartość dwukrotnie różniczkowalnej funkcji użyteczności u zależy tylko od ilości posiadanego pojedynczego dobra x , to u′′(x ) < 0 dla dowolnego x > 0 z dziedziny tej funkcji.
Czasem w prawie Gossena zakłada się tylko słabą nierówność na u′′.
Przykład ekonomiczny - prawo Gossena
Jak pamiętamy z wcześniejszych zajęć (oraz z mikroekonomii) prawo Gossena malejącej użyteczności krańcowej głosi, że wraz ze wzrostem ilości posiadanego dobra, użyteczność krańcowa z kolejnej jednostki dobra maleje (a przynajmniej nie rośnie). W języku matematycznym można powiedzieć, że jeśli u(x ) jest funkcją użyteczności z
posiadanego dobra w zależności od ilości tego dobra (x ) to funkcja u′(x ) jest malejąca. Skoro funkcja różniczkowalna jest malejąca, gdy jej pochodna jest ujemna, to prawo Gossena można sformułować tak:
Prawo Gossena malejącej użyteczności krańcowej
Jeśli wartość dwukrotnie różniczkowalnej funkcji użyteczności u zależy tylko od ilości posiadanego pojedynczego dobra x , to u′′(x ) < 0 dla dowolnego x > 0 z dziedziny tej funkcji.
′′
Wklęsłość/wypukłość w ekonomii
Podobnie formułuje się inne założenia na temat wielkości ekonomicznych. Zwykle te działające korzystnie mają drugą
pochodną ujemną (np. prawo malejących przychodów krańcowych), a te niepożądane dodatnią (np. rosnące koszty krańcowe).
Przykład
Wracamy do przykładu z użytecznością dochodu zaprezentowaną jako różnica pomiędzy korzyścią z jego „skonsumowania” g i kosztem uzyskania dochodu c (u(x ) = g (x ) − c(x ), gdzie x jest danym dochodem).
Założenia, które analizowaliśmy wcześniej sprowadzają się do
prostszego zapisu: g′′<0 i c′′>0, skąd wynika, że korzyść krańcowa jest malejąca, a koszt krańcowy - rosnący, co jak pokazaliśmy wcześniej (slajd 18) wystarcza by zapewnić, że istnieje optimum użyteczności.
Wklęsłość/wypukłość w ekonomii
Podobnie formułuje się inne założenia na temat wielkości ekonomicznych. Zwykle te działające korzystnie mają drugą
pochodną ujemną (np. prawo malejących przychodów krańcowych), a te niepożądane dodatnią (np. rosnące koszty krańcowe).
Przykład
Wracamy do przykładu z użytecznością dochodu zaprezentowaną jako różnica pomiędzy korzyścią z jego „skonsumowania” g i kosztem uzyskania dochodu c (u(x ) = g (x ) − c(x ), gdzie x jest danym dochodem).
Założenia, które analizowaliśmy wcześniej sprowadzają się do
prostszego zapisu: g′′<0 i c′′>0, skąd wynika, że korzyść krańcowa jest malejąca, a koszt krańcowy - rosnący, co jak pokazaliśmy wcześniej (slajd 18) wystarcza by zapewnić, że istnieje optimum użyteczności.
Wklęsłość/wypukłość w ekonomii
Podobnie formułuje się inne założenia na temat wielkości ekonomicznych. Zwykle te działające korzystnie mają drugą
pochodną ujemną (np. prawo malejących przychodów krańcowych), a te niepożądane dodatnią (np. rosnące koszty krańcowe).
Przykład
Wracamy do przykładu z użytecznością dochodu zaprezentowaną jako różnica pomiędzy korzyścią z jego „skonsumowania” g i kosztem uzyskania dochodu c (u(x ) = g (x ) − c(x ), gdzie x jest danym dochodem).
Założenia, które analizowaliśmy wcześniej sprowadzają się do
prostszego zapisu: g′′<0 i c′′>0, skąd wynika, że korzyść krańcowa jest malejąca, a koszt krańcowy - rosnący, co jak pokazaliśmy
Funkcje popytu i elastyczność
Przykład
Rozważmy Q(p) - funkcję popytu w zależności od ceny. Jak ze wzrostem ceny zmienia się wartość bezwzględna elastyczności cenowej popytu?
Wydaje się, że zazwyczaj przy dużej cenie, popyt powinien stawać się elastyczny. Jednak, np. dla funkcji Q(p) = √1p możemy obliczyć
EpQ(p) =
p ⋅ (− 1
2
√ p3)
√1 p
= − 1 2.
W takim przypadku elastyczność popytu jest stała i popyt dla każdej ceny jest nieelastyczny. Jednak możemy intuicyjny rezultat o
elastyczności uzyskać dla wklęsłych funkcji popytu.
Funkcje popytu i elastyczność
Przykład
Rozważmy Q(p) - funkcję popytu w zależności od ceny. Jak ze wzrostem ceny zmienia się wartość bezwzględna elastyczności cenowej popytu?
Wydaje się, że zazwyczaj przy dużej cenie, popyt powinien stawać się elastyczny.
Jednak, np. dla funkcji Q(p) = √1p możemy obliczyć
EpQ(p) =
p ⋅ (− 1
2
√ p3)
√1 p
= − 1 2.
W takim przypadku elastyczność popytu jest stała i popyt dla każdej ceny jest nieelastyczny. Jednak możemy intuicyjny rezultat o
elastyczności uzyskać dla wklęsłych funkcji popytu.
