ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria III: MATEMATYKA STOSOWANA XX (1982)
EDWARD STACHOWSKI (Warszawa)
Systemy sieciowe obsługi masowej
(Praca przyjęta do druku 1.10.1979)
A. Wstęp. System sieciowy jest to system złożony z kilku jednocześnie dzia-
łających stacji obsługi. Oprócz normalnych założeń przyjmujemy, że jednostka po
zakończeniu obsługi w jednej stacji móże z pewnym prawdopodobieństwem przejść
do innej stacji lub opuścić system; jednostka jak gdyby odbywa losowy spacer po stacjach. Proste systemy sieciowe rozpatrywali G. O'Brien [2] (tandem) i R. R. P.
Jackson [8]. J. R. Jackson [7] otrzymał dla sieci o ogólnym schemacie przejść wzory na rozkład stanu równowagi przy założeniach strumienia przybyć Poissona, wy- kładniczych rozkładów długości czasów obsługi i nieograniczonej pojemności każdej stacji. K. Arya i E. Stachowski [1] rozpatrywali sieć taką jak w [7], z tym,
że intensywność przybyć do systemu zależała od aktualnej liczby jednostek w sy- stemie. System przedstawiony przez K. Mudana [15] jest szczegolnym przypadkiem systemu omawianego w [7]. Prace W. Gordona i G. Newella [5], [6] oraz M. Po- snera i B. Bernholtza [17] dotyczą zamkniętych systemów sieciowych oraz syste- mów cyklicznych (szczególny przypadek systemu sieciowego). W [2] i [3] rozpa- trywano systemy sieciowe pod kątem analizy pracy EMC. P. Le Gall [13] rozpatry-
wał systemy sieci telekomunikacyjnej.
W niniejszej pracy przedstawione zostały systemy sieciowe z wejściem poisso- nowskim, o parametrze zależnym od aktualnego stanu systemu. Zdefiniowano proces opisujący pracę systemu, podano twierdzenie ergodyczne (konstrukcja pro- cesu i idea twierdzenia oparte zostały na pracy I. Kowalenki [12], dotyczącej
procesów przedziałami liniowych) oraz wyprowadzono wzory na rozkłady stanu równowagi dla pewnej szerokiej klasy systemów.
Miło mi podziękować profesorowi Józefowi Łukaszewiczowi za bardzo cenne wskazówki i uwagi poczynione w trakcie przygotowywania tej pracy.
B. Wstępne założenia dotyczące systemu sieciowego. O systemach sieciowych rozpatrywanych dalej będziemy zakładali:
B 1. System zawiera N stacji obsługi.
82. Stacja o numerze j zawiera kj (kj > O) równoległych kanałów obsługi o jedna- kowym rozkładzie czasów obsługi oraz poczekalnię dla Wj (Wj ~ O) jednostek.
[31]
B3. Momenty przybyć z zewnątrz systemu tworzą strumień Poissona z parametrem
zależnym od aktualnego stanu systemu. W momentach przybyć jednostki mogą zgła
szać się pojedynczo lub grupowo.
B4. Natychmiast po zakolzczeniu obsługi w stacji o numerze k, k = I, 2, „., N, jednostka przechodzi do stacji o numerze j, j = I, 2, „., N, lub opuszcza system.
Prawdopodobieństwa przejść mogą zależeć od aktualnego stanu systemu.
B5. Strumień wejść, czasy obsługi i losowe decyzje o przejściach są wzajemnie
niezależne.
C. Proces stochastyczny opisujący pracę systemu sieciowego. Twierdzenie ergody- czne. Przy analizie systemów sieciowych interesują nas często liczby jednostek
obsługiwanych i oczekujących w poszczególnych stacjach obsługi. Pod tym kątem
będziemy rozpatrywali pracę systemu. Pracę systemu sieciowego będziemy opisy- wali za pomocą przedziałami liniowego procesu Markowa X(t)
(I)
gdzie
{
{n(t); x1,1(t), j = 1, 2, „.,N, i= 1, 2, „., lnJ(t)I}
X(t) = dla
{O} dla
n(t) = ln1 (t)I + ln2(t)I + „. + lnN(t)I,
n(t) > o,
ii(t) = O,
skonstruowanego analogicznie jak np. w [4], str. 205-207, lub [11], str. 266-269.
Jedyna różnica polega na tym, że jeżeli składowa x1,i(t) w chwili t0 osiąga O, to proces n(t) doznaje skokowej zmiany, ze stanu n do stanu m z prawdopodobieństwem P~. m· Prawdopodobieństwo P~. m może być dodatnie jedynie wtedy, gdy m = n -1
lub m =ii. Jeżeli zrealizowało się przejście, przy którym m = n-1, to w momencie to skreślamy składową Xj,i wektora (1). W przypadku, gdy m =n, jednocześnie
ze skreśleniem tej składowej dopisujemy składową xk, 1m!1 = Yk, ,0, jeżeli lmkl =
= lnkl+l, k = 1, 2, „.,N, k #-j, lm11 = ln11 dla k =j.
Yk,t0 jest nieujemną zmienną losową o rozkładzie niezależnym od t0 •
Przejdziemy teraz do analizy granicznych rozkładów prawdopodobieństwa
stanu procesu X(t) opisującego pracę systemu sieciowego. Niech F(t; n; x1,h
j= 1,2,„.,N, i= 1,2, ... ,ln1!)=P(n(t)=n; x1,i(t)<x1,i, j= 1,2,„.,N, i= 1, 2, „., Jn1J), F(t; O) = P(n(t) = O) będzie rozkładem prawdopodobieństwa stanu procesu X(t). Prawdziwe jest następujące twierdzenie ergodyczne:
TWIERDZENIE I. Jeżeli:
(a) zbiór możliwych stanów procesu n(t) jest skończony,
(b) dla każdego n#- O
(2)
(an.; oznacza '), szybkość obsługi i-tej jednostki na j-tej stacji w stanie n),
•
I·
Systemy sieciowe obsługi masowej 33
(c) istnieje dystrybuanta G, G(O) = O,
oo
~ [1-G(x)]dx < +oo, o
ograniczająca z dołu dystrybuanty sumarycznego zapotrzebowania na pracę obsłu
gową podczas pobytu w systemie każdej jednostki,
to przy dowolnym rozkładzie początkowym istnieją granice F(n; x1,i, j = 1, 2, ... ,N, i= I, 2, „., ln11) =
= lim F(t; n; x1,h j = 1, 2, „.,N, i= I, 2, „., ln11),
l-+00
F(O) = lim F(t; O)
1-+00
oraz spełniona jest równość
Ł lim F(n;x1,hj= 1,2,.„,N, i= I,2, ... ,ln11)= I.
n XJ,1-+00
j=l,2, ... ,N, i= 1,2„.„Jn1J.
Twierdzenie to jest uogólnieniem twierdzenia Kowalenki [12] dotyczącego procesów przedziałami liniowych. Dowód przebiega podobnie jak dla twierdzenia Kowalenki (zob. np. [12] lub [4], str. 213-221).
D. Specyfikacja założeń o systemie sieciowym i własności prawdopodobieństwa przejścia. O systemach sieciowych rozpatrywanych dalej będziemy zakładali, że spełnione są założenia BI i B2. Założenia B3 i B4 zawęzimy obecnie do postaci:
D3. Jednostki z zewnątrz przybywają pojedynczo, zgodnie ze strumieniem Pois- sona, z intensywnością A.f(n) zależną od aktualnej liczby jednostek w systemie, gdzie A. > O, a f jest funkcją nieujemną, ograniczoną, określoną dla nieujemnych całkowitych argumentów.
Jednostka przybywająca do systemu zgłasza się do stacji o numerze j z prawdo- podobieństwem A.1/ A., j = I, 2, . „, N, tzn.
"n,m·.= 1Ji
0
(n)A.1 dla n = (n1, n2, ... , n1, „., nN),
11. .,, m = (n1, n2, . „, n1 +I, „., n N), j = 1,2, ... ,N,
w pozostałych przypadkach, gdzie A.1 ~ O i 2:: ).N 1 = A.
J=l
D4. Po zakończeniu obsługi w stacji o numerze j jednostka przechodzi natychmiast do stacji o numerze i z prawdopodobieństwem q(j, i) (niezależnym od stanu systemu)
i = 1, 2, ... , N, i = 1, 2, ... , N, a z prawdopodobieństwem
N
q*U) = 1-Łq(j, i)
i=l
opuszcza system.
Dalsza specyfikacja systemu będzie wymagała przyjęcia założenia B5 oraz D6. Jednostka, która przybywa do stacji i zastaje co najmniej jeden wolny kanał obsługi, natychmiast rozpoczyna obsługę.
D7. Rozkłady długości czasów obsługi jednostek przybyłych do stacji o numerze j, j = 1, 2, ... , N, są takie same dla jednostek, które przybyły zarówno z innych stacji, jak i z zewnątrz systemu.
D8. Jednostka, która przybywa do stacji o numerze j, zablokowanej (brak wolnych
kanałów obsługi i miejsc w poczekalni) zachowuje się tak jak gdyby zakończyła obsługę
na tej stacji), to znaczy przechodzi natychmiast do stacji o numerze i, i = I , 2, ... , N, z prawdopodobieństwem q(j, i) lub opuszcza system z prawdopodobie11stwem q*(j).
Macierz
A=
-q(l, I) q(2, 1)
q(l, 2) „. q(l, N) q(2,2) ... q(2,N)
q*(l)- q*(2)
q(N, 1) q(N, 2) . „ q(N, N) q*(N)
o o ' „. o
jest macierzą stochastyczną, można ją uważać za macierz przejść pewnego łańcucha
Markowa o N+ 1 stanach. Stany 1 , 2, ... , N odpowiadają stacjom o tych nume- rach, a stan N+ 1 otoczeniu systemu. Zakładamy, że stany o numerach 1, 2, ... , N
są chwilowe, a stan o numerze N+ 1 jest jedynym stanem pochłaniającym.
Przejdziemy teraz do szczegółowej analizy własności systemów sieciowych.
Oznaczymy przez q<n>(j, i) prawdopodobieństwo przejścia ze stanu j do stanu i w n krokach. Jeżeli i,j = 1, 2, „., N, to z faktu, że są to stany chwilowe, wynika (zob. [9]), że istnieją stałe b > O, O < c < 1 takie, że
(3)
Macierz A ma następującą własność:
Niech K = {k1 , k2 , „., kr}, r ~N, będzie niepustym podzbiorem numerów stacji (stanów łańcucha Markowa). Po skreśleniu z macierzy A kolumn i wierszy~
których numery nie należą do tego zbioru, otrzymujemy macierz Q(K) q(k1, k2) „ · q. (k1, kr)]
q(k2, k2) • · · q(k2, kr)
...
q(kn k1) „ · q(kn kr) Dla każdego podzbioru K
(4) det[Q{K)-J] # O (I - macierz jednostkowa).
Do wód (metodą niewprost). Oznaczymy elementy macierzy Q(K) przez p(kh k1), i,j = 1, 2, „., r. Załóżmy, że
det[Q(K0)-J] = O dla pewnego podzbioru Ko·
' Systemy sieciowe obsługi masowej 35
J , Oznacza to, że I jest wartością własną operatora o macierzy Q(K0 ), czyli istnieje wektor własny x #-O, taki, że Q(K0 ) x = x, a stąd przez kolejne iteracje otrzy- jmujemy, że
Q<n>(Ko)X = X.
Ale na podstawie (3) dla ki, ki E K0
p<">(ki, k1) ~ q<">(k" k1) ~ b · c" ~ O,
czyli jedynie x = O może być wektorem odpowiadającym wartości własnej I. Otrzy- mana sprzeczność kończy dowód.
(5)
W dalszych rozważaniach będziemy korzystali z następujących oznaczeń:
Rm oznacza rozwiązanie układu równań N
Rm = Am+ ŁRA(j, m), m = I, 2, ... ,N.
j=l
Warunek (3) zapewnia istnienie oraz jednoznaczność Rm.
Niech K = { k 1 , k2 , ••. , kr} będzie podzbiorem numerów stacji;
R(K) =
[J::J.
Q(K ;j) = [q(k1 ,j), q(k2 ,j), ... , q(kr,j)], Q*(K) = [q*(k1), q*(k2 ), ••• , q*(kr)],
A(K) =
['.~J
a(K) = {I, ( -1 Y det [Q(K)-1], gdy K gdy K = = { 0, k1 , k2 , ••• , kr}, r ~ 1,
(A1' gdy K = 0, b(j; K) =
t(-
IYdetr[.· A(K) IQ(K)-1 ' --~--\_q~~iLL]gdy K = {k1 , k2 , ••• ,kr}, r ~ l,j <f=K, (q(j, i), gdy . . K ~ 0, .
c(j, i; K) = { ( - I y det [-~J_L~Q_ j _ą_~_i_9_]
l Q(j; K) gdy K l Q(K)-J ' = {k1 , k2 , .„, kr}, r ~I, j <f=K; i <f=K, stąd dla i = j mamy
a(Ku{j}) = -c(j,j;K)+a(K),
lą*(j), gdy K = 0,
. „ [ ą*(j) I Q*(K) ] d(j; K) ,(-1) det -Q(,f;K:yj"Q(K)-=T ,
gdy K ={ki, k2 , ••• , k„}, r ~ 1, j f/:K.
LEMAT. Dla ustalonego niepustego podzbioru K = {ki, k2 , ••• , k„} spełnione są następujące związki:
(6) dla i f/; K
b(i; K)+ Ii HK Rjc(j, i; K) = R,a(Ku {i}),
N I
(7) dla k1 E K, i = 1 , 2, ... , r,
(8)
b(k1;K-{k1})+ LR1c(j, k,;K-{k,}) = Rk, ·a(K),
JtlK
L b(i; K) = L R,d(i; K).
itlK l'IK
D o w ó d. Dla dowodu (6), z układu równań (5) wybieramy równania odpowia-
dające wartości wskaźnika m = i, ki, k2 , ••• , k„ i zapisujemy w postaci [!J(i, Q(i;K) IQ(K)-1 R(K) i)-_!_j_gi~; i)_][-~.!.-] = _[--A_!__]-A(K) ~ ~ R1[_q_(j, Q(j; K) . !L]
Ni
Ze wzorów Cramera (warunek (4) zapewnia istnienie dokładnie jednego rozwią
zania) otrzymujemy:
( -1y+1a(Ku {i})
(:-1y+1b(i;K)+(-1y+i L R1c(j, i; K) HK }#i
(- Iy+ia(Ku{i})
Po pomnożeniu obu stron przez ( - ly+ia(Ku{i}) otrzymujemy (6).
Dowód (7) jest analogiczny. Rozpatrujemy układ równań (5) odpowiadający
m =kh k2 , ••• , k„ i obliczamy Rk,, i= 1, 2, ... , r.
(9)
Dla dowodu (8) udowodnimy najpierw równość pomocniczą
d(i; K) = a(Ku{i})-L HK c(i, j; K).
}=Fi
Systemy sieciowe obsługi masowej 37 Po odjęciu od a(Ku{i}) wyrażenia L c(i,j; K) według pierwszego wiersza otrzy-
HK Ni
mujemy:
[ L q(i,j) l I Q(K; j)
l
[ (" ") 1 I Q ( K. ·) ] iitK f HK
( - l)r+ 1 det !i Q(i; K) 1 !.!__.=_ f---'~-I Q(K)-1 - ( - 1 Y det N~---j.ł~---Q(i; K) =
1 Q(K)-1
I-
1-I q(i,j) 1 - I Q(K;j)]= (-IYdet _---if~;R)--1-~~KFT- ;
odejmując kolejno wszystkie wiersze od pierwszego i korzystając z określenia q*(j) otrzymujemy d(i; K).
Przejdziemy teraz do dowodu (8). Na podstawie (9) otrzymujemy LR,d(i;K) = LR,(a(Ku{i})- Lc(i,j;K)} =
it!K itfK i;K
Ni
W ostatnim przejściu wykorzystaliśmy (6). W ten sposób zakończyliśmy dowód lematu.
Wprowadźmy oznaczenia:
Z(t)- zbiór numerów stacji zablokowanych w chwili t-0,
q(j, i; A) - prawdopodobieństwo, że jednostka opuszczająca stację o numerze j, w chwili t, zostanie przyjęta do stacji o numerze i f/: A, pod warunkiem, że Z(t) = A.
Ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite otrzymujemy układ równań r
q (j, i; A) = q (j, i) + L q (j, ks) q (ks, i; A), j f/: A,
ks=l 5eA
r
q(ks, i; A)= q(ks, i)+ L q(kn ku)q(ku, i; A), ks EA.
kNeA u=l
Rozwiązując ten układ wzorami Cramera, otrzymujemy
(IO) ą(j, i; A)= -~~,c~tL dla j f/: A, (k . A) c(ks, i; A-{ks})
q s' l; = - - - 0 - - - - ' - -
a(A) dla ks EA;
dla i =jmamy
(I 1) 1 - (. ąJ,J, ·.A)= -~~Au a(A) . {j})
P(j; A) - prawdopodobieństwo, że jednostka, która przybyła z zewnątrz w chwili t, zostanie przyjęta do stacji o numerze j ~A pod warunkiem, że Z(t) = A.
Ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite otrzymujemy
kseA r
Aia(A)+ L Aksc(k5,j; A-{ks})
- - - ---S=l Aa(A) b(j; A) la(A)
(licznik jest rozwinięciem b(j; A) według pierwszej kolumny). D(j; A)-prawdo-
podobieństwo, że jednostka po opuszczeniu stacji o numerze j w chwili t opuści
system, pod warunkiem, że Z(t) = A. Ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite
otrzymujemy układ równań r
D(j;A)=q*(j)+ Lq(j,k5)D(k5;A) dla j<f;A,
ks s=l EA r
D(ks; A) = q*(ks)+ I U=l q(k5 , ku)D(ku; A) dla ks EA.
ku EA
Ze wzorów Cramera otrzymujemy
{13) D("· A)= d(j; A)
J' a(A) dla j </=A.
Równości (6), (7) i (8) z lematu możemy teraz napisać w postaci:
(14) (1-q(i, i; A-{i}))R, = XP(i; A-{i})+ LRjq(j, i; A-{i}),
iH Ni
(15) I AP(j; A)= I RjD(j; A).
HA HA
Powyższe wzory pozwolą nam udowodnić twierdzenia precyzujące postać stacjo- narnych rozkładów różnych systemów sieciowych.
E. Sieć stacji typu M/G/k bez oczekiwania. Rozpatrzymy system spełniający
warunki: Bł, B5, D3, D4, D6, 07, D8 oraz następujące założenia:
E2. Stacja o numerze j zawiera ki (k1 > O, skończone) równoległych kanałów obsługi o jednakowym rozkładzie czasów obsługi, brak poczekalni, j = I , 2, ... , N.
E9. Długości czasów obsługi jednostek przybyłych zarówno z zewnątrz, jak i z in- nych stacji, w stacji o numerze j są niezależnymi zmiennymi losowymi o dystrybuancie G1(x) ( Gj(O) = O) i wartości oczekiwanej r1 , j = 1, 2, ... , N.
Systemy sieciowe obsługi masowej 39 Do opisu pracy systemu wystarczy w tym przypadku rozważać proces stocha- styczny
X(t)= {n(t);x1,1(t),j= 1,2, ... ,N, i= l,2,„.,n1}
(n1 oznacza liczbę jednostek w stacji o numerze j).
Wprowadźmy oznaczenia
F(t;n1,n2 , ••• ,nJ\r;X1,1, ... ,xN,nN) =
= P(n(t) = (n1, n2 , .„, nN); x1,1(t) < X1,1, •.. , xN,nN(t) < XN,nN), F(t;O) = P(n(t) =O),
F(n1 , n2 , „., n N; x1,tt ... , xN,nN) = lim F(t; n1 , n2 , ••• , n N; x1, 1 , .„, xN,nN),
t-->OO
F(O) = lim F(t; O),
t-->00
XJ,l-->00 }=1,2,„„N, i=l,2,.„,nJ,
Prawdziwe jest następujące twierdzenie:
TWIERDZENIE 2. Dla procesu X(t), opisującego pracę systemu s1ec1owego ze stacjami typu M/G/k bez oczekiwania, istnieje rozkład stanu równowagi, który nie
zależy od rozkładu początkowego oraz (16) F(n1 , n2 , ••• , nN; X1 , 1 , „., xN,nN) =
n-1 N R"r nr xr.~
= F(O) TI f(m) IJ-r1 IT ~ [1-G,(u)]du,
m=O r=l n,. s=l O
gdzie F(O) wyznaczamy z warunku normującego
L F(n1,n2 , ••• ,nN)= 1,
O:;;,n1:;;,k1 j= 1,2, ... ,N,
N
Do wód. Z założenia E2 wynika, że proces n(t) ma D. (k1+1) stanów. Ponie- 1= l
waż wszystkie jednostki, które zostały przyjęte na którejkolwiek stacji są natych- miast obsługiwane, tzn. wszystkie x1,;(t), j = I, 2, „., N, i= 1, 2, ... , nj, maleją z jednostkową szybkością, czyli dla każdego n i:- O an1 ,1 . = 1, j = 1, 2, „., N, i = 1, 2, „., n1. Z warunku (3) wiemy, że istnieją takie stałe b > O, O < c < 1, że q<m> (j, i)~ b ·cm, j, i= 1, 2, „., N, czyli dla każdego i,j zbieżny jest szereg
L O() mq<m>(j, i). Stąd oraz z założenia, że czasy obsługi w poszczególnych stacjach
m=l
są zmiennymi losowymi o skończonych wartościach oczekiwanych, wynika, że dystrybuanta łącznego czasu obsługi jednostki, która przybyła do systemu, jest
ograniczona z dołu przez dystrybuantę zmiennej losowej o skończonej wartości
oczekiwanej. Spełnione są więc założenia twierdzenia ergodycznego (Tw. I), czyli istnieje rozkład stanu równowagi (rozkład graniczny dla F(t; n1 , n2 , ••. , nN;
X1,1, X1,2, ···' XN,nN)).
Dowód wzoru (16) jest czyst~ rachunkowy i bardzo długi, w związku z tym pomijamy go. Jest on podobny do dowodu znanego twierdzenia Sewastianowa przedstawionego np. w [11], str. 273-279, przy czym należy skorzystać z prawdo-
podobieństw warunkowych zdefiniowanych w ustępie D i wzorów (14) i (15).
Wzór (17) otrzymujemy przechodząc do granicy w (16), dla x1,i ~ + oo, j =
= 1,2, .„,N, i= 1,2, ... ,n1.
PRZYKŁAD 1. Rozpatrzmy system złożony z N stacji (będą to stacje główne).
W stacji o numerze r, r = 1, 2, ... , N, jest k, identycznych, równoległych kanałów obsługi. Czas obsługi jednostki, która przybyła do stacji o numerze r, r = 1, 2, .. ; , N, w chwili t, jest zmienną losową Y,,1 o dystrybuancie F,(x). Kanały obsługi w stacji o numerze r mogą podczas pracy ulegać awariom m, typów, jednostka obsługiwana
jest wtedy stracona. Jeżeli kanał jest zajęty obsługą jednostki, która przybyła w chwili t, to odcinek ciągłej pracy (od początku obsługi do momentu awarii typuj, j =
= 1, 2, ... , m,) jest zmienną losową Z,,i,t o dystrybuancie H,,ix). Natychmiast po wystąpieniu awarii kanał przechodzi do urządzenia naprawczego. Czas naprawy awarii typu j kanału ze stacji o numerze r jest zmienną losową o dystrybuancie G,,1(x) i skończonej wartości oczekiwanej Tr.i· Zakładamy, że wszystkie zmienne losowe są wzajemnie niezależne i mają rozkłady niezależne od t. Stąd wynika, że rzeczywisty czas obsługi jednostki, która przybyła do stacji o numerze r, w chwili t jest równy min (Y,,t, Z,,1,t, Z,,2,r. ... , Z,,111„r); jest to zmienna losowa o dystry- buancie
1- [1-F,(x)][I -Hr, 1 (x)] ... [1-H r,m,(x)].
Zakładamy istnienie skończonej wartości oczekiwanej {J,. Jeżeli jednostka została
całkowicie obsłużona w stacji o numerze j, to z prawdopodobieństwem q(j, i) prze- chodzi do stacji o numerze i (i, j = 1, 2, ... , N), a z prawdopodobieństwem
ij*U) = 1-I N q(j, i) opuszcza system.
Po zakończeniu i=l naprawy awarii typuj kanału ze stacji o numerze r, z prawdo-
podobieństwem q,(j, i) (i,j = 1, 2, ... , m,) ujawnia się awaria typu i, a z prawdo-
mr
podobieństwem ą:(j) = 1-I q,(j, i) kanał jest sprawny. W tym przypadku sieć
i=l
składa się z sieci głównej (stacje 1, 2, .„, N) oraz N sieci pomocniczych, w których usuwa się awarie; przejścia pomiędzy stanowiskami naprawczymi różnych stacji
są niemożliwe. Aby opis był pełny, należy jeszcze określić prawdopodobieństwa:
bezawaryjnego wykonania obsługi, wystąpienia awarii typuj oraz przejścia pomiędzy
stacjami głównymi.
Prawdopodobieństwo, że jednostka, której obsługa w stacji o numerze r roz-
poczęła się w chwili t, nie będzie stracona w wyniku awarii, jest równe
Systemy sieciowe obsługi masowej 41 q,,0 = P(Y,,, = min(Y,,„ Z,,1,r, ... , Z,,mr,,)) =
mr oo
=IT~ i=l o [I-H,jx)]dF,(x), r = 1, 2, ... ,N.
Prawdopodobieństwo, że w trakcie obsługi jednostki w stacji o numerze r, która
rozpoczęła się w chwili t, wystąpi awaria typu j, j = 1, 2, ... , m„ jest równe q,,0 ,1 = P(Z,,J,t = min(Y,,t, Z,,1,,, .„, Z,,mr,t)) =
oo mr oo
~ [1-F,(x)]dH,,/x) IT ~ [1-H,,i(x)]dH,,i(x).
o i=l o
i#
Jednostka, która przybyła do stacji o numerze r, r = 1, 2, ... , N, zablokowanej (nie ma wolnego kanału obsługi), traktowana jest jako obsłużona całkowicie z praw-
dopodobieństwem q,, 0 , a z prawdopodobieństwem 1-q,, 0 jest stracona.
Opisany model jest szczególnym przypadkiem ogólnego systemu sieciowego.
Mamy
N
R,,o =A.,+ 'ŁR1,0q1,0q(j,r), r = 1,2, ... ,N,
i=l
mr
R,,J = R,,0q,,0 ,1+ .2:R,,1q,(i,j), r = 1,2, .„,N,j = 1,2, ... ,m,.
i=l
Podstawiając te wartości do (16) i (17) otrzymujemy F(n1,o,n1,1, ... ,nN,mN;x1,o,1,X1,o,2, ... ,xN,mN•"N,mN) =
;j'"_l N Rn1,0 n1.o Xj,0.11
= IT!(k)F(O) IT~ IT ~ [1-FJ(u)][l-H1,1(u)] ...
k=O i=l nj,O• .f=l O
oraz
~1 N ~
rr
IT (RJ,O fJ1)nJ,o IT (RJ,r T1,r)nJ.rF(n1,o,ni.1, ... ,nN,mN) = f(k)F(O) 1 1
k=O i=l nj,O• r=l nj,r•
Otrzymane wyniki są uogólnieniem rezultatów Marianowicza [14]
F. Sieć stacji typu M/M/k z ograniczonymi poczekalniami. Rozpatrzmy system sieciowy spełniający warunki BI, B2, D3, D6, D7, D8 oraz następujące założenia:
F2. Stacja o numerze j zawiera k1 (ki > O, skończone) równoległych kanałów obsługi i WJ (w1 ~ O, skończone) miejsc do oczekiwania, j = 1, 2, „., N.
F9. Intensywności obsługi są funkcjami aktualnego stanu systemu i są równe µ1gin1, n2, ... , nN),
gdzie µi > O, a g1(n1 , n2 , ••• , nN), j = 1, 2, „., N, są funkcjami o wartościach do- datnich, określonymi dla nieujemnych całkowitych argumentów (n1 , n2 , ••• , n N), przy czym
Zakładamy ponadto, że funkcje g1(n1 , n2 , ••• , nN) spełniają następujące warunki
zgodności:
dla każdego i, j = 1 , 2, ... , N, i =/:: j oraz dla każdego układu trzech punktów postaci:
(n1 , ••. ,n,+1, ... ,ni+1, ... ,nN), (n1 , ••• ,n,+1, „.,n1 , •.. ,nN), (n1 , ••• ,n" ... ,n1+1, ... ,nN), i,j = 1,2, ... ,N, i =/::j,
spełniona jest równość
(18) g,(n1 , ••• ,n,+1, ... ,n1+1, ... ,nN)·gi{n1, ... ,n,, ... ,n1+1, ... ,nN) =
= gi{n1 , ••• ,n1+1, ... ,n1+1, „.,nN)·g,(n1 , „.,n,+l, ... ,n1 , „.,nN).
Na przykład, funkcje
gi(n1,n2, ... ,nN)= 1, j= 1,2, ... ,N, lub
lub
spełniają warunki zgodności (18).
Określmy funkcję G(n1, n2, ... , nN) rekurencyjnie:
(19) G(O, O, ... , O) = 1 ,
Warunki zgodności (18) zapewniają poprawność określenia (19). Z faktu, że odstępy pomiędzy przybyciami jednostek z zewnątrz systemu i czasy obsługi mają własność
braku pamięci, wynika, że proces
X(t) = n(t) = (n 1(t), n2(t), ... , nN(t))
jest jednorodnym procesem Markowa o skończonej liczbie stanów (proces ma
N .
n (k; +W;+ 1) stanów). z założeń o prawdopodobieństwach przejścia q(j' i)
i= 1
i z faktu, że w niepustej stacji jest obsługiwana co najmniej jedna jednostka, wynika istnienie takiej stałej t0 , że dla każdego t i dla każdego stanu (nu n2 , ••• , nN)
P(X(t) = (n1,n2 , ••• ,nN);X(t+t0 ) = (0,0, ... ,0)) > 0.
Systemy sieciowe obsługi masowej 43 Stała t0 dla stanu (k1+w1 , •.. ,kN+wN)jest dobra dla pozostałych stanów, czyli wystarczy przyjąć
N
10 =N L i=l (k,+w,).
Spełnione są więc założenia twierdzenia Markowa ([11], str. 35), z którego wynika,
że granice
P(n1' n2, ... , nN) =lim P(X(t) = (n1, 1lz, .•• , nN)),
t-+OO
istnieją, nie zależą od rozkładu początkowego oraz
(20) L P(n1,n2 , ••• ,nN)= 1.
ni,n2 , ••• ,nN;;i.O
Przejdziemy teraz do znalezienia wzorów określających P(n1, n1, ... , nN).
TWIERDZENIE 3. Prawdopodobieństwa stanu równowagi dane są wzorem
(21) P(n1 , n2 , ••• , n N) = - - - - N - -
CT f3Cki, n,)µi'
i=l
gdzie
ni
{J(kh ni)= Il ll.(k" i), ll.(k" i)= min(k,, i),
i=l
a stalą P(O) wyznaczamy z warunku normującego (20).
D o w ó d. Niech B oznacza zbiór numerów stacji niezablokowanych w chwili . t+h. Stosując standardową metodę polegającą na rozpatrzeniu procesu X(t) w dwóch sąsiednich chwilach t i t+h, t ~ O, h > O, a następnie na przejściu z h do zera, otrzymujemy układ równań algebraicznych dla rozkładu granicznego. Układ ten spełniają prawdopodobieństwa P(n1 , n2 , ••• , n N), dane wzorem (21), gdyż po pod- stawieniu i redukcji otrzymujemy:
N
Af(n) L P(i; A)+ L cx(k" nt)µig,(n1 , n2 , ••• , nN)(l -q(i, i; A-{i})) =
ieB i=l
N
= AL i=l P(i; A-{i})cx(kt, ni)µ;gt(n1 , n2, ... , nN) -~. i + f(n) L ieB RtD(i; A)+
