Miary niezmiennicze w przestrzeniach z przechodnią grupą transformacji

Miary niezmiennicze w przestrzeniach z przechodnią grupą transformacji

1. Wiadomo i łatwo udowodnić, że dwa dowolne zbiory mierzalne A i В na kole o obwodzie 1 można tak względem siebie przesunąć, żeby miara ich części wspólnej równała się iloczynowi ich miar. Można postawić analogiczne pytanie co do sfery: Na powierzchni kuli o polu

dane są dwa zbiory mierzalne A i J5; czy istnieje taki obrót r, że т(А^тВ) —

= 7n(A)m(B) ?

Przede wszystkim udowodnimy, że iloczyn m( A)m(B) jest jedyną funkcją tych dwóch miar, która może mieć tę własność. Zachodzi miano­

wicie

Tw i e r d z e n i e

I. Niech f ( x , y ) będzie funkcją określoną dla 0 < x < 1, О ^ у Ni 1. Jeśli dla dowolnych dwóch zbiorów mierzalnych A i В na sferze 8 o polu

istnieje taki obrót r, dla którego

m(A r\

B) — f ( m ( A ), m(B)), to f(x, y) — xy.

D o wó d . Podzielmy sferę 8 południkami na n przystających odcin­

ków. Podzielmy dalej każdy z tych odcinków południkiem na dwie części:

„wschodnią” o polu afn i „zachodnią” o polu ( i —a)/n, gdzie a jest do­

wolnie ustaloną liczbą

< a <

). Niech A n będzie mnogościową sumą części wschodnich, а В czaszą o polu b. Oznaczając przez r obroty kuli, mamy

(1) lim m ( A nr\rB) = lim m ( A n)m(B) = ab jednostajnie względem r.

Tl—НЭО u—> OG

Zgodnie z założeniem istnieje dla każdego n taki obrót rn, że m ( A nr \t nB) = f(m (A), m(B)) = f {a, b),

a zatem wobec (

) jest f(a, b) — ab, c. n. d.

2. Aby udowodnić, że w przypadku f(x, y) = xy założenia twier­

dzenia 1 istotnie są spełnione, przypomnimy przede wszystkim, że jeśli G

jest grupą zwartą, у unormowaną miarą Haara na niej (tzn. taką, że

u\G) =

), В pewną podgrupą domkniętą grupy G, a GjB odpowiednią

A.

8.

H.

(Wroclaw)

przestrzenią jednorodną^1), to w G/H istnieje dokładnie jedna unormowana miara borelowska m, niezmiennicza względem G (zob. [

], §

i 9). Miara m jest określona dla. każdego zbioru borelowskiego A

G/H wzorem

m ( A ) = г ( Е [ т В е А } ) .

X

Jej niezmienniczość wynika z lewostronnej niezmienniczości miary p.

Miara Haara w grupie zwartej jest jednak obustronnie niezmiennicza.

Stąd wynikają równości

(

) p ( Z ) = t A { Z - 1),

(3) m(A) = p ( E [ t p e A ] ) ,

S X

gdzie p jest dowolnym punktem z G/H. Wzór (3) dla p = r9H otrzymamy z równości

р([?[треА]) = р(Е[тт0НеА]) = /г ( J E [<*HeAj r y 1) = [oHeA]) = m{A).

x x a a

Tw i e r d z e n i e

II. Jeśli G jest grupą zwartą, H jej podgrupą zamkniętą, fi unormowaną miarą Haara w G, a m unormowaną niezmienniczą miarą w G/H, to dla dowolnych zbiorów borelowskich A , B C G / H zachodzi równość

J т(Аг\тВ) p(dr) — m ( A ) m ( B ) .

G

D o wód. Mech %A{x) i

(x ) (xeG/H) oznaczają funkcje charakte­

rystyczne zbiorów A i B. Wtedy

a wobec tego

m ( A r , t B ) = f %

(

)

(

l%)m(dx),

G /H

J m ( A r \ t B ) p(dt) — f j Х

(

)Х

(

1x)m(dx)p(dr),

G G G / H t

zatem

W J m( A r\ rB)p(dr) = J %A{x){ J

{*

« )(a(dr)j m{dx) .

G G / H { G

Ponieważ jT[r lx e B ] = (^ [гж еБ ]) x, więc z (2) i (3) wynika

T T

J

(* lx)n{dt) = p ( E l T

G T

Stąd i z (4) wynika teza.

Хже-В]) = /.«(^[тжеБ]) — m{B).

X

(x) G / H jest przestrzenią złożoną ze wszystkich warstw o H ; otoczenie punktu er0ff składa się z tych warstw o H , dla których a należy do pewnego otoczenia ele­

mentu a 0 w G. Por. A. Weil [2].

Wn io s e k.

Jeśli grupa G jest spójna, to istnieje taki obrót t 0eG, że m(Ar^r0B) = m ( A) m( B) .

Jeśli Rn oznacza grupę obrotów n-wymiarowej przestrzeni eukli- desowej, a Sn n-wymiarową sferę, to między przestrzeniami Sn a Rn+1/Rn zachodzi homeomorfizm z zachowaniem przystawania względem obrotów należących do Rn+i (zob. [1], str. 33). Miara m przeniesiona przez ten homeomorfizm z przestrzeni R n+i/Rn jest unormowaną miarą niezmien­

niczą w Sn, oczywiście jedyną (wobec jednoznaczności unormowanej miary niezmienniczej m w Rn+i/Rn), a więc jest identyczna ze zwykłą miarą na sferze. Twierdzenie II można zatem zastosować w przypadku G = Rn+1, К ~ R n, przyjmując za i i В zbiory borelowskie w 8 n, a za m zwykłą miarę na 8 n. Ponieważ grupa Rn+1 jest spójna, więc dzięki wnio­

skowi z twierdzenia II otrzymujemy odpowiedź pozytywną na pytanie postawione w ustępie

(przy m =

).

3. Aby jeszcze uogólnić tę odpowiedź, sformułujemy pewne warunki, które wystarczy nałożyć na daną przestrzeń i grupę transformacji, żeby istniała niezmiennicza miara w tej przestrzeni, określona jednoznacznie z dokładnością do czynnika stałego. Chodzi nam tu o aspekt geometryczny, dlatego pierwotnie danym obiektem jest przestrzeń.

Niech E będzie przestrzenią metryczną zwartą, a G przechodnią grupą homeomorfizmów E na E. Jeśli o(P, Q) oznacza, odległość dwóch punk­

tów w E, to

d(a, r) — sup

(

P , rP) (a, reG)

nazywamy odległością dwóch przekształceń w G. Mówimy, że homeomor- fizmy z G są jednakowo ciągłe, jeśli dla każdego e >

, przy odpowiednim ó >

, warunek

( P, Q) < ó pociąga za sobą nierówność

(

P ,

Q) < e dla każdego aeG.

Tw ie r d z e n ie

III. Jeśli homeomorfizmy z G są jednakowo ciągłe, a przestrzeń G jest zupełna względem metryki d, to G stanowi grupę zwartą.

Jeśli H oznacza (domkniętą) podgrupę G, złożoną z tych elementów, które nie zmieniają ustalonego punktu NeE, to między przestrzeniami E a G/H zachodzi homeomorfizm zachowujący relację przystawania zbiorów względem transformacji z G.

D o w ó d . Najpierw wykażemy, że G jest grupą topologiczną. W tym celu udowodnimy przede wszystkim ciągłość działania grupowego to.

Wygodnie nam będzie ,,ponumerować” punkty przestrzeni E wska­

źnikami t. Dla ustalonej transformacji u

napiszmy a0P t — Qt i ogólnie aPt = Qt . Jeśli d{o, a0) < <5, to g(Qt,Qt) < ó dla każdego t. Gdy ó jest dostatecznie małe, a reG dowolne, wtedy wobec jednakowej ciągłości

Miary niezmiennicze w przestrzeniach z przechodnią grupą transformacji 141

homeomorfizmów z G, jest o{xQt, rQ°t) < £ przy z góry danym e. Z dru­

giej strony, jeśli d( x, r0) < e, to g(xQ°t , x0Q() < e, więc ostatecznie wa­

runki d(a,a0) < <5 i d(x, r0) < £ pociągają, za sobą g(xQ{, x0Q^) =

= g{xoPt , x0oQP t) <

e, skąd d(r<r, r

cr0) <

e.

Ciągłości transformacji er

dowodzimy tak: Jeśli d(a, or0) < 3, to

q

(aPt , OoA) < ó dla każdego t, a z jednakowej ciągłości homeomorfiz­

mów wynika, że g(a~laPt , a~la0P t) < s dla każdego o i t przy dosta­

tecznie małym 3. Jeśli w tej nierówności podstawimy G^xP t zamiast P t , otrzymamy o{o^lP t, o~1P i) < e, więc d(aó1, o~l) < £.

Zauważymy, że w tej części dowodu nie korzystaliśmy ani ze zwar­

tości E, ani z zupełności G, ani wreszcie z przechodniości G.

Udowodnimy teraz zwartość G, stosując proces przekątniowy jak w dowodzie twierdzenia Arzeli. Trzeba wykazać, że z każdego ciągu o-j, a2, ... elementów z G można wybrać ciąg zbieżny. Wobec zupełności przestrzeni G wystarczy wybrać ciąg fundamentalny. W E, jako w prze­

strzeni metrycznej zwartej, istnieje zbiór gęsty przeliczalny punktów P 1, P 2, ... Te same założenia co do E pozwalają z każdego ciągu o^Pj,

<r*P2, ... wybrać podciąg zbieżny. Wobec tego możemy za pomocą algo­

rytmu przekątniowego uzyskać taki podciąg xt ciągu аг , а 2, . . . , że dla każdego i ciąg XiP'n U' = .1,2, ...) jest zbieżny w E. Do danego £ > 0 dobierzmy 3 >

z warunku jednakowej ciągłości i znajdźmy taki wskaź­

nik W, że każdy punkt P e E jest odległy o mniej niż 3 od jednego z punk­

tów P u . . . , P N, co jest możliwe wobec zwartości E. Przy dostatecznie dużym N

jest

Ustalmy liczby n , m > N 0. Dla dowolnego punktu P e E istnieje taki wskaźnik i < N, że

Istotnie, jeśli P = xnP 0, to można wziąć wskaźnik spełniający nierówność g{P0, P i) < 3. Wybierzmy dowolną liczbę rj > 0. Jeżeli liczba e < r\

jest dostatecznie mała, to dzięki ciągłości przekształcenia xmx~l mamy wobec (

)

Z (5)-(7) otrzymujemy

(P, xmx~xP) < т]Р2в < 3^ (dla każdego P eE ), a więc g(xnP, xmP) < 3i? i wreszcie d(rn, rm) <

rj, co dowodzi fwndamen- talności ciągu xn.

Żeby wykazać, że między GIH a E istnieje homeomorfizm niezmien­

niczy względem przystawania, zastosujemy proste, znane rozumowanie.

{?(иЛ-^г)? Ui(-Pt)) ^ ® dla и, ш A 0, i —

,

, . .. , A .

(

6

O ( P , X

j,P<j,) '-C £ .

(T)

Transformacje z grupy G, które przeprowadzają „biegun” V w dany punkt P e E , tworzą element peG/H, mianowicie warstwę oH, gdzie o jest dowolną transformacją o tej własności. Ponieważ grupa G jest prze­

chodnia (teraz dopiero korzystamy z tego założenia!), przyporządkowanie P->p jest odwzorowaniem jedno-jednoznacznym E na G/H, oczywiście niezmienniczym względem przekształceń należących do G. To, że P->p jest homeomorfizmem, wynika ze zwartości G/H i z ciągłości przekształ­

cenia odwrotnego p-^P. Ta ciągłość pochodzi z kolei z definicji metryki w G. Na tym kończy się dowód twierdzenia III.

Metrykę w G można nieraz wprowadzić w sposób przejrzystszy, posługując się pojęciem rusztowania. Tak nazwiemy zbiór R C E , o nastę­

pującej własności:

Dla dowolnego punktu Q eE i dowolnego jego otoczenia V istnieją takie punkty P 1, P 2, . .. , P ne R i ich otoczenia U1, U2, . . . , Un, że jeśli oeG i oPi eJJi (i = 1 , 2 , . . . , n), to oQ eV.

Jako rusztowanie w przestrzeni metrycznej zwartej E zawsze można wziąć zbiór przeliczalny gęsty w E, ale rusztowanie może się także składać ze skończonej liczby punktów, np. dla grupy obrotów koła każdy punkt jest rusztowaniem, a dla grupy obrotów sfery ^-wymiarowej stanowi je każdy układ n punktów, jeśli tylko wektory poprowadzone do tych punk­

tów ze środka sfery są liniowo niezależne.

Łatwo wykazać, że metryka, którą przyjęliśmy w G, przechodzi na równoważną, jeśli w definicji odległości d\a, r) wziąć kres górny sup (oP, rP) tylko dla punktów P należących do rusztowania. W szczegól­

ności wszystkie rusztowania prowadzą do tej samej topologii w G.

Bezpośrednim wnioskiem z twierdzeń II i III jest

Tw i e r d z e n i e

IV. Jeżeli spełnione są założenia twierdzenia III, to istnieje w E jedna i tylko jedna unormowana miara borelowska m, niezmien­

nicza względem G. Dla dowolnych zbiorów borelowskich A , В C® zachodzi równość

j m ( Ar\tB)ju (dr) — m{A)m{B) ,

G

gdzie у oznacza unormowaną miarę Haara w grupie G, zmetryzowanej jak w twierdzeniu III. Jeśli przy tym grupa G jest spójna, to istnieje taki jej element r0, że

m<(Ar\T0B) = m ( A ) m ( B ) .

Oczywiście zwykła i, ogólniej, w-wymiarowa sfera czyni zadość tym założeniom względem grupy swych obrotów. W ten sposób pozytywna odpowiedź na pytanie postawione na początku pracy okazuje się szczegól­

nym przypadkiem twierdzenia IV.

Miary niezmiennicze w przestrzeniach z przechodnią grupą transformacji 143

0. Ryll-JNardzewski zauważył, że twierdzenie IV da się wzmocnić.

Przede wszystkim, gdy G jest jakąkolwiek grupą homeomorfizmów jednakowo ciągłych kompaktu metrycznego E, wtedy zawsze istnieje w E miara borelowska niezmiennicza względem teG. Miarę taką zdefi­

niować można za pomocą jakiejkolwiek miary borelowskiej v w E w na­

stępujący sposób:

gdzie G oznacza grupę (zwartą) powstałą przez uzupełnienie G w metryce d, Sb pi unormowaną miarę Haara w G. Miarę m w twierdzeniu IV można tą drogą zbudować przyjmując za v miarę, która na danym zbiorze A jest równa

lub O zależnie od tego, czy pewien ustalony punkt (biegun N) kompaktu E należy do A, czy też nie. Otóż łatwo udowodnić, że warun­

kiem nie tylko wystarczającym, ale i koniecznym na to, żeby unormowana miara niezmiennicza w E była określona jednoznacznie, jest przecho- dniość grupy G. W ten sposób uzyskuje się kompletne rozwiązanie zadania postawionego na początku § 3:

[1] N. S teen rod , The topology of fibre bundles, Princeton 1951. ,

[2] A. W eil, L'integration dans les groupes topologiques et ses applications, Paris 1940.

INSTYTUT MATEMATYCZNY POLSKIEJ AKADEMII NAUK

А. Г^ец, С. Хартман и Г. Шт а й н х а у з (Вроцлав)

ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ С ТРАНЗИТИВНОЙ ГРУППОЙ ОТОБРАЖЕНИЙ

Доказывается, что

1. Для двух измеримых множеств А и В на сфере площади 1 существует такое вращение т, что т(Аг^тВ) = m( A) m( B) .

2. Если / (х, у) — функция определенная в квадрате (0 ^ х ^ 1, 0 ^ у ^ 1) и для произвольных измеримых множеств А и В существует вращение т такое, что т {А г\хВ ) — / ( т( А) , т(В)), то f { x , y ) — xy.

G

Prace cytowane

' Р Е 3 Ю.М Е

Miary niezmiennicze w przestrzeniach z przechodnią grupą transformacji 14 5 Первая теорема следует из более общей теоремы (теорема II, стр. 140):

Если О — компактная группа, Н её замкнутая подгруппа, р —■ нормиро­

ванная мера Хаара в G, а т инвариантная мера в G/H, то для произвольных боре- левых множеств A, B cG /H имеем

G

Рассматриваются тоже условия существования и единственности инвари­

антной меры в пространстве, в котором имеется некоторая группа отображений.

A. Go e t z, S . Ha r t m a n, Н. St e i n h a u s (Wrocław)

INVARIANT MEASURES IN SPACES WITH A TRANSITIVE GROUP OF

The authors prove that

1. For two measurable sets, A and B, on a sphere with the area 1 there exists such a rotation r that т(Аг^тВ) = m( A) m( B) .

2. If f (x, у) is a function defined in the square (0 ^ ж ^ 1, 0 ^ у ^ 1) and if for arbitrary measurable sets A and В there exists a rotation in which т(Аг^тВ)

= f ( m( A) , m(B)), then f ( x , y ) = xy.

Theorem I follows from a more general theorem (Theorem II, p. 140);

If G is a compact group, H its closed subgroup, p Haar's normed measure in G and m an invariant measure in G/H, then for arbitrary Borel sets A , BC.G/H the follow­

ing equality holds:

Further the authors investigate the conditions of existence and unieity of an invariant measure in a space with a certain group of transformations.

TRANSFORMATIONS

SUMMARY

J

\

Roczniki P. T. M.- Prace 'Matematyczne TI 10