Czemu jest równe 0m dla danej liczby całkowitej m? 4

ZESTAW 11:

1. Proszę pokazać, że dla całkowitych, nieujemnych m i n zachodzi x^m+n = x^m(x − m)ⁿ = xⁿ(x − n)^m,

a następnie podać i udowodnić analogiczny wzór dla potęg przyrastających.

2. Żądając, aby wzory z poprzedniego zadania były spełnione dla dowolnych m i n zdefiniować potęgi ubywające i przyrastające dla całkowitych, ujemnych wykład- ników.

3. Czemu jest równe 0^m dla danej liczby całkowitej m?

4. Proszę pokazać, że przy konwersji pomiędzy potęgami przyrastającymi i ubywają- cymi dla każdej liczby całkowitej m można stosować następujące wzory:

x^m = (−1)^m(−x)^m = (x + m − 1)^m = 1/(x − 1)^−m, x^m = (−1)^m(−x)^m = (x − m + 1)^m = 1/(x + 1)^−m. 5. Proszę udowodnić, że

(a)

xⁿ=X

k

 n k



x^k, dla całkowitych n ≥ 0

(b)

xⁿ=X

k

 n k



x^k, dla całkowitych n ≥ 0

Wskazówka: skorzystać z rekurencji dla liczb Stirlinga.

6. Proszę udowodnić, że (a)

xⁿ =X

k

 n k



(−1)^n−kx^k, dla całkowitych n ≥ 0

(b)

xⁿ =X

k

 n k



(−1)^n−kx^k, dla całkowitych n ≥ 0

Wskazówka: zastosować tożsamość xⁿ= (−1)ⁿ(−x)ⁿ.

7. Korzystając z reguły odwracania proszę znaleźć skuteczny wzór na liczbę nieporząd- ków n obiektów (n podsilnia). Rozwiazanie w R.L Graham, D.E Knuth, O. Patasnik Matematyka konkretna, str. 222-225.