Zadania na Zaj¦cia Wyrównawcze z Matematyki Zestaw nr 4
1. Podaj równanie prostej przechodz¡cej przez punkty (−1,
32) oraz (2,
12) . Narysuj otrzyman¡
funkcj¦ i podaj wspóªrz¦dne punktów przeci¦cia wykresu z osiami Ox i Oy.
2. Dany jest wykres funkcji (Rys. 1). Odczytaj z wykresu nast¦puj¡ce informacje:
-4 -2 2 4 6 8
-10 -5 5 10
Rysunek 1: Wykres do Zad. 2.
(a) dziedzin¦ i zbiór warto±ci funkcji
(b) równania asymptot poziomych i pionowych
(c) granice w ±∞ oraz lewo- i prawostronne granice w punktach nieci¡gªo±ci (d) miejsca zerowe
(e) minima i maksima lokalne (f) przedziaªy monotoniczno±ci
3. Narysuj schematycznie (naszkicuj) wykresy funkcji podanych ni»ej:
(a) y =
2x−34(3.a) (b) y =
3−2x−8x8 2(3.b)
(c) y = log
2x (3.c) (d) y = exp (−x) (3.d)
(e) y = x
7(3.e) (f) y = √
x (3.f ) (g) y =
x1(3.g)
Podaj dziedzin¦ i zbiór warto±ci dla ka»dej z nich.
Projekt Wiedza i kompetencje z zyki, chemii
i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking Projekt jest wspóªnansowany z Europejskiego Funduszu Spoªecznego w ramach programu operacyjnego KAPITA LUDZKI Poddziaªanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego uczelni
4. Dana jest funkcja y = 2x − 3. Narysuj wykresy funkcji:
(a) f(x) − 1, f(x + 1), f(−x), −f(x), −f(−x), |f(x)|, f(2x), (b∗) f
x1, f
−1(x),
f (x)1Opisz transformacje geometryczne zwi¡zane z ka»dym z przeksztaªce«. Powtórz zadanie dla innych zadanych przez prowadz¡cego lub samodzielnie wybranych funkcji.
5. Okre±l przedziaªy monotoniczno±ci funkcji:
f (x) = |e
x+1− e|
Znajd¹ ekstrema, miejsca zerowe i asymptoty.
6. Zbadaj funkcje y = f(x) dane w postaci jawnej, gdzie f(x) jest równe:
(a) x
2+ x + 2 (6.a) (b) sin (πx + π) + 1 (6.b)
(c) cos
2x (6.c) (d)
1−xx2(6.d)
(e)
xx+22+1(6.e) (f) 1 −
12e
−x(6.f ) (g) 1 − e
|x|1(6.g) czyli:
(i) okre±l dziedzin¦ i przeciwdziedzin¦,
(ii) znajd¹ miejsca przeci¦cia z osiami Ox (miejsca zerowe) i Oy, (iii) znajd¹ asymptoty pionowe, poziome i uko±ne,
(iv) znajd¹ minima i maksima,
(v) zbadaj parzysto±¢, nieparzysto±¢ i okresowo±¢ funkcji, (vi) zbadaj monotoniczno±¢ funkcji,
(vii) oblicz granice lewo- i prawostronne w punktach nieci¡gªo±ci
7. W zale»no±ci od parametru p znajd¹ poªo»enie maksimum x
maxoraz warto±¢ maksymaln¡
f
maxdla funkcji
f (x) = 1 − px − x
2Wykre±l zale»no±ci x
max(p) , f
max(p) i f
max(x
max) . 8. Oblicz nast¦puj¡ce granice:
• lim
x→−∞
−5x
2− 3x + 1
• lim
x→∞
−3x
2√
5x
2+ 7
• lim
x→−∞
−5x5+3x x2−2
Projekt Wiedza i kompetencje z zyki, chemii
i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking Projekt jest wspóªnansowany z Europejskiego Funduszu Spoªecznego w ramach programu operacyjnego KAPITA LUDZKI Poddziaªanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego uczelni
• lim
x→1 x4−1
x−1
• lim
x→3
x2−4x+3 x−3
• lim
x→∞
√
4x
3+ 1 + √
3x
4+ 1
• lim
x→0 cos x x sin x
• lim
x→1
√x−1 x−1
• lim
x→∞
5x4−2x2−17 8−12x3−x4
• lim
x→2
(
x−22−
xx+62−4) Zadania domowe
1. Podaj równanie paraboli przechodz¡cej przez trzy punkty: (−2, 4), (−1, −
12) , (2, −8).
Znajd¹ punkty przeci¦cia paraboli z osi¡ Ox i wspóªrz¦dne jej wierzchoªka.
2. Dokonaj analizy przebiegu funkcji y = f(x), gdzie f(x) zadano wzorem:
(a)
1+xx(2.a)
(b) tg (π − x) − 1 (2.b) (c) x
5/3(2.c)
(d) √
2 x +
12(2.d) (e) √
x
2+ 1 − 2, (2.e) (f)
2x+33x+2(2.f )
(g) x
4+ x
3− 11x
2− 9x + 18 (2.g) 3. Znajd¹ wzór funkcji odwrotnej do:
(a) x
2(3.a) (b)
x1(3.b)
(c) x (3.c) (d) √
x (3.d) (e) tg x (3.e)
(f) 2x + 3 (3.f) (g)
ax+bx−1(3.g) (h) 2
x(3.h)
Okre±l kiedy funkcja jest odwracalna. Narysuj na jednym wykresie funkcj¦ i funkcj¦ od- wrotn¡.
4. Znajd¹ warto±¢ z przedziaªu 0 < x ≤ √
2 dla której funkcja okre±lona wzorem:
f (x) = |1 − x
2| przyjmuje warto±¢ maksymaln¡ i minimaln¡.
Projekt Wiedza i kompetencje z zyki, chemii
i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking Projekt jest wspóªnansowany z Europejskiego Funduszu Spoªecznego w ramach programu operacyjnego KAPITA LUDZKI Poddziaªanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego uczelni
5. Okre±l dziedzin¦ i narysuj wykres funkcji:
f (x) = exp e
ln (ln x)−ln 26. Funkcja f(x) okre±lona jest przez sum¦ szeregu geometrycznego:
f (x) =
∞
X
n=0
x
nOkre±l dziedzin¦ i zbadaj przebieg tej funkcji.
7. Funkcje y = f(x) i y = g(x) s¡ okre±lona w sposób parametryczny wzorami:
f : x → y ≡
( y = 2t
2+ 1
x = t − 2 g : x → y ≡
( x = t
3y = 3 ln (t
2) + 1
gdzie −∞ < t < ∞. Znajd¹ posta¢ jawn¡ y(x). Naszkicuj wykresy funkcji f(x) i g(x).
8. Rozwi¡zanie ukªadu równa«:
( 3x + 4y − 5λ = 2 x − y + λ = 1
ze wzgl¦du na niewiadome x i y w zale»no±ci od parametru λ wyznacza pewn¡ funkcj¦
f = y(x) w postaci parametrycznej. Podaj równanie i narysuj wykres tej funkcji.
9. (∗) Okre±l dziedzin¦ i zbadaj przebieg funkcji okre±lonych wzorem:
cos (arccos x), cos (2 arccos x), cos (arcsin x)
Projekt Wiedza i kompetencje z zyki, chemii
i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking Projekt jest wspóªnansowany z Europejskiego Funduszu Spoªecznego w ramach programu operacyjnego KAPITA LUDZKI Poddziaªanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego uczelni