Zadania domowe, seria II. Termin oddania, 9.01.2017
Zadanie 1. Podać przykład dyfeomorfizmu
F : {(x, y) : 1 < xy < 2, 3 < xy3/2 <4, x > 0} → {(x, y) : 1 < x2+ y2<4, y > 0}.
Znalezione przekształcenie można przedstawić jako złożenie kilku dyfeomorfizmów (np. F = F1◦ F2◦ F3), przy czym każdy z nich należy wyrazić jawnym wzorem.
Zadanie 2. Niech A = {(x, y) : x 0, y 0}, A′ = R2\ {(x, y) : x > 0, y > 0}. Czy istnieje dyfeomorfizm f : Ω → Ω′ taki, że f (A) = A′, gdzie Ω, Ω′ są pewnymi otwartymi podzbiorami R2 takimi, że A ⊂ Ω, A′⊂ Ω′. Zadanie 3. Wyznaczyć maksymalną wartość funkcji y + z przy warunkach
(x2+ y2+ z2¬ 1 x2+ y2¬ x.
Zadanie 4. Wyznaczyć najmniejszą liczbę M , że dla dowolnych a, b, c ∈ R zachodzi nierówność ab(a2− b2) + bc(b2− c2) + ca(c2− a2) ¬ M(a2+ b2+ c2)2.
Zadanie 5. Niech F1(x, y, z, t) = x + y + z − t2x3z, F2(x, y, z, t) = z − x − t + x2yz3. Wykazać, że istnieją funkcje g1, g2 klasy C1określone na pewnym otoczeniu U punktu (0, 0) ∈ R2takie, że
Fj(g1(y, t), y, g2(y, t), t) = 0, j= 1, 2,
dla każdego (y, t) ∈ U. Znaleźć pochodne cząstkowe funkcji g1, g2w punkcie (0, 0).
Zadanie 6. Udowodnić, że równanie x ln w + w ln y = 0 wyznacza zmienną w jako funkcję w = w(x, y) zmiennych x, y w pewnym otoczeniu punktu (x0, y0) = (1, 1). Wyznaczyć wielomian Taylora stopnia 2 tej funkcji dla otoczenia punktu (1, 1).
Zadanie 7. Czy zbiór
M = {(x, y, z) : x2+ y2+ 3z3= xy + 6√3
z, z6= 0} ∪ {(0, 0, 0)}
jest rozmaitością (dokładniej, zanurzoną rozmaitością klasy C1 (patrz Definicja 3.23))?
1