Ćwiczenia nr 4
Kognitywistyka: Wstęp do matematyki Kombinatoryka: permutacje, wariacje, kombinacje
28.10.2019 Kombinacje z powtórzeniami.
Twierdzenie. Liczba rozwiązań (x1, x2, . . . , xn) równania x1+ x2+ . . . + xn = k
w liczbach całkowitych nieujemnych x1, x2, . . . , xn wynosi n+k−1k .
Każde takie rozwiązanie koresponduje z rozmieszczeniem k nierozróżnialnych kul w szu- fladach oznaczonych numerami 1, 2, . . . , n. Wypisując jedynkę x1 razy, dwójkę x2 razy, itd.
otrzymujemy kombinację k liczb ze zbioru {1, 2, . . . , n} przy czym liczby te mogą się powta- rzać.
Permutacje z powtórzeniami. Na ile sposobów można ustawić w ciąg n różnokolorowych kul, wśród których jest ki kul i-tego koloru, i = 1, 2, . . . , r, k1+ . . . + kr = n? Takie ustawienia nazywamy permutacjami z powtórzeniami. Jest ich
n k1, . . . , kr
!
:= n!
k1!k2! . . . kr! Typowe błędy przy zliczaniu.
Rozwiązując zadania z kombinatoryki często warto sprawdzić:
(i) Czy odpowiedź się zgadza dla początkowych parametrów zadania?
(ii) Czy faktycznie otrzymujemy wszystkie żądane układy?
(iii) Czy przypadkiem dwie z pozoru różne ścieżki nie prowadzą do tego samego układu?
Zadanie 1. Na ile sposobów można posadzić n osób przy okrągłym stole?
Zadanie 2. Na ile sposobów można posadzić przy okrągłym stole n mężczyzn i n kobiet w taki sposób, by żadne dwie osoby tej samej płci nie siedziały obok siebie?
Zadanie 3. Na okręgu położono 6 (rozróżnialnych) przedmiotów. Na ile sposobów można wy- brać dwa z nich, jeśli nie wolno wybierać sąsiadujących przedmiotów.
Zadanie 4. Na ile sposobów można ustawić dwa króle na szachownicy 8 × 8 tak, aby nie stały na sąsiadujących polach?
Zadanie 5. Na ile sposobów można zapisać w jednym rzędzie cyfry 0, 1, 2, . . . , 9 tak, aby (a) 0 i 1 występowały obok siebie;
(b) 0 i 1 nie występowały obok siebie;
(c) 0, 1 i 2 występowały obok siebie;
(d) ani 0 i 1, ani 8i 9 nie występowały obol siebie.
Zadanie 6. Oblicz wartości sum
(a) Pnk=0knk, (b) Pnk=0n+kk .
Zadanie 7. Na dwóch prostych równoległych k, l zaznaczono różne punkty A1, A2, . . . , AK i B1, . . . , BL odpowiednio. Ile jest punktów przecięcia odcinków postaci AiBj, gdzie 1 ¬ i ¬ K, 1 ¬ j ¬ L?
Zadanie 8. W lodziarni jest 7 gatunków lodów. Ile różnych deserów może z tego sporządzić ekspedientka, jeśli w pucharku mieści się nie więcej niż 5 kulek lodów, a pusty pucharek nie jest deserem?
Zadanie 9. Przykładem kombinacji 5-elementowej zbioru 3-elementowego {a, b, c} jest [a, b, b, b, c].
(Kolejność występujących elementów nie jest tutaj istotna, ale istotne jest ile razy dany element się powtarza.) Proszę wypisać w ten sposób wszystkie kombinacje 5-elementowe z powtórzeniami zbioru {2, 4, 8}.
Zadanie 10. Ile jest rozwiązań równania x1 + x2 + x3 + x4 = 20 w liczbach całkowitych x1, x2, x3, x4 takich, że xi i dla i = 1, 2, 3, 4.
Zadanie 11. Na ile różnych sposobów można rozdać 6 jednakowych baloników, 7 jednakowych samochodzików i 4 różne książki trójce dzieci tak, by każde z dzieci otrzymało przynaj- mniej jeden balonik, przynajmniej jeden samochodzik i co najmniej jedną książkę.
Zadanie 12. Ile jest najkrótszych dróg po liniach kratkowanego papieru of punktu (0, 0) do punktu (m, n)?
Zadanie 13. Ile jest funkcji rosnących {1, 2, · · · , m} → {1, 2, · · · , n}?
Zadanie 14. Rozważamy anagramy (permutacje z powtórzeniami) słowa GALILEOGALILEI.
Jaką część stanowią te anagramy,
(a) w których wszystkie samogłoski występują przed spółgłoskami;
(b) które zaczynają i kończą się spółgłoską (niekoniecznie tę samą);
(c) w których wszystkie litery G występują przed literami I.
Zadania domowe na 4.11.2019
Zadanie 1. Na ile sposobów można wybrać trzy pary spośród n tenisistów? (Zakładamy, że n 6, kolejność par, ani kolejność tenisistów w parze jest nieistotna, a ponadto pary mają być parami rozłączne.)
Zadanie 2. Ile jest n cyfrowych liczb naturalnych, których cyfry w systemie dziesiętnym tworzą ciąg niemalejący? (Przykład takiej liczby dla n = 9: 225556999.)
Zadanie 3. Uzasadnij kombinatorycznie, że
l
X
k=0
n l
! m l − k
!
= n + m l
!
.