• Nie Znaleziono Wyników

xn) równania x1+ x2

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "xn) równania x1+ x2"

Copied!
2
0
0

Pełen tekst

(1)

Ćwiczenia nr 4

Kognitywistyka: Wstęp do matematyki Kombinatoryka: permutacje, wariacje, kombinacje

28.10.2019 Kombinacje z powtórzeniami.

Twierdzenie. Liczba rozwiązań (x1, x2, . . . , xn) równania x1+ x2+ . . . + xn = k

w liczbach całkowitych nieujemnych x1, x2, . . . , xn wynosi n+k−1k .

Każde takie rozwiązanie koresponduje z rozmieszczeniem k nierozróżnialnych kul w szu- fladach oznaczonych numerami 1, 2, . . . , n. Wypisując jedynkę x1 razy, dwójkę x2 razy, itd.

otrzymujemy kombinację k liczb ze zbioru {1, 2, . . . , n} przy czym liczby te mogą się powta- rzać.

Permutacje z powtórzeniami. Na ile sposobów można ustawić w ciąg n różnokolorowych kul, wśród których jest ki kul i-tego koloru, i = 1, 2, . . . , r, k1+ . . . + kr = n? Takie ustawienia nazywamy permutacjami z powtórzeniami. Jest ich

n k1, . . . , kr

!

:= n!

k1!k2! . . . kr! Typowe błędy przy zliczaniu.

Rozwiązując zadania z kombinatoryki często warto sprawdzić:

(i) Czy odpowiedź się zgadza dla początkowych parametrów zadania?

(ii) Czy faktycznie otrzymujemy wszystkie żądane układy?

(iii) Czy przypadkiem dwie z pozoru różne ścieżki nie prowadzą do tego samego układu?

Zadanie 1. Na ile sposobów można posadzić n osób przy okrągłym stole?

Zadanie 2. Na ile sposobów można posadzić przy okrągłym stole n mężczyzn i n kobiet w taki sposób, by żadne dwie osoby tej samej płci nie siedziały obok siebie?

Zadanie 3. Na okręgu położono 6 (rozróżnialnych) przedmiotów. Na ile sposobów można wy- brać dwa z nich, jeśli nie wolno wybierać sąsiadujących przedmiotów.

Zadanie 4. Na ile sposobów można ustawić dwa króle na szachownicy 8 × 8 tak, aby nie stały na sąsiadujących polach?

Zadanie 5. Na ile sposobów można zapisać w jednym rzędzie cyfry 0, 1, 2, . . . , 9 tak, aby (a) 0 i 1 występowały obok siebie;

(b) 0 i 1 nie występowały obok siebie;

(c) 0, 1 i 2 występowały obok siebie;

(d) ani 0 i 1, ani 8i 9 nie występowały obol siebie.

Zadanie 6. Oblicz wartości sum

(2)

(a) Pnk=0knk, (b) Pnk=0n+kk .

Zadanie 7. Na dwóch prostych równoległych k, l zaznaczono różne punkty A1, A2, . . . , AK i B1, . . . , BL odpowiednio. Ile jest punktów przecięcia odcinków postaci AiBj, gdzie 1 ¬ i ¬ K, 1 ¬ j ¬ L?

Zadanie 8. W lodziarni jest 7 gatunków lodów. Ile różnych deserów może z tego sporządzić ekspedientka, jeśli w pucharku mieści się nie więcej niż 5 kulek lodów, a pusty pucharek nie jest deserem?

Zadanie 9. Przykładem kombinacji 5-elementowej zbioru 3-elementowego {a, b, c} jest [a, b, b, b, c].

(Kolejność występujących elementów nie jest tutaj istotna, ale istotne jest ile razy dany element się powtarza.) Proszę wypisać w ten sposób wszystkie kombinacje 5-elementowe z powtórzeniami zbioru {2, 4, 8}.

Zadanie 10. Ile jest rozwiązań równania x1 + x2 + x3 + x4 = 20 w liczbach całkowitych x1, x2, x3, x4 takich, że xi ­ i dla i = 1, 2, 3, 4.

Zadanie 11. Na ile różnych sposobów można rozdać 6 jednakowych baloników, 7 jednakowych samochodzików i 4 różne książki trójce dzieci tak, by każde z dzieci otrzymało przynaj- mniej jeden balonik, przynajmniej jeden samochodzik i co najmniej jedną książkę.

Zadanie 12. Ile jest najkrótszych dróg po liniach kratkowanego papieru of punktu (0, 0) do punktu (m, n)?

Zadanie 13. Ile jest funkcji rosnących {1, 2, · · · , m} → {1, 2, · · · , n}?

Zadanie 14. Rozważamy anagramy (permutacje z powtórzeniami) słowa GALILEOGALILEI.

Jaką część stanowią te anagramy,

(a) w których wszystkie samogłoski występują przed spółgłoskami;

(b) które zaczynają i kończą się spółgłoską (niekoniecznie tę samą);

(c) w których wszystkie litery G występują przed literami I.

Zadania domowe na 4.11.2019

Zadanie 1. Na ile sposobów można wybrać trzy pary spośród n tenisistów? (Zakładamy, że n ­ 6, kolejność par, ani kolejność tenisistów w parze jest nieistotna, a ponadto pary mają być parami rozłączne.)

Zadanie 2. Ile jest n cyfrowych liczb naturalnych, których cyfry w systemie dziesiętnym tworzą ciąg niemalejący? (Przykład takiej liczby dla n = 9: 225556999.)

Zadanie 3. Uzasadnij kombinatorycznie, że

l

X

k=0

n l

! m l − k

!

= n + m l

!

.

Cytaty

Powiązane dokumenty

W dowolnej macierzy maksymalna ilo±¢ liniowo niezale»nych wierszy jest równa maksymalnej ilo±ci liniowo niezale»nych

Jaka jest liczba różnych k-wymiarowych podprzestrzeni liniowych przestrzeni n-wymiarowej nad q-elementowym ciałem.. Zanim poznamy odpowiedź na to pytanie, przybliżymy pojęcia,

Dany jest system informacyjny S. c) Zastosuj do w/w opisów możliwe modyfikacje i uzasadnij ich wpływ na efektywnośd systemu. Dany jest system informacyjny S. c) Zastosuj do w/w

Na ile różnych sposobów można rozdać 6 jednakowych baloników, 7 jednakowych samo- chodzików i 4 różne książki trójce dzieci tak, by każde z dzieci otrzymało przynajmniej

Dowód nierówności Jensena.

Om´ ow na przyk ladzie algorytm przeszukiwania grafu

Om´ow na przyk ladzie algorytm przeszukiwania grafu

Om´ow na przyk ladzie algorytm przeszukiwania grafu