Temat: Sinus, cosinus, tangens i cotangens dowolnego kąta.
Niech dany będzie punkt M w układzie współrzędnych. Przez ten punkt poprowadźmy półprostą OM.
Jako α oznaczmy kąt, którego ramię początkowe to dodatnia część osi OX, a drugie ramię to półprosta OM.
Aby obliczyć wartości funkcji trygonometrycznych kąta α, korzystamy ze wzorów, które dostępne mamy w Tablicach Matematycznych (str. 15)
Na jednej z poprzednich lekcji zauważyliśmy, że ctgα to odwrotność tgα. Dlatego dopiszcie pod tgα : ctg =
x
y
, gdy y≠0.Powyższy rysunek i wzory proszę wpisać do zeszytu.
Ćwiczenie 1. Wyznacz wartości funkcji trygonometrycznych kąta α, jeśli wiadomo, że na końcowym ramieniu kąta α znajduje się punkt:
a) A(4,5)
b) B(-2, -2
√ 2
)Rozwiązanie:
a) Narysujemy układ współrzędnych, w którym umieścimy punkt A po to, żebyście zobaczyli funkcje trygonometryczne którego kąta będziemy obliczać
Co mamy dane w zadaniu? x=4, y=5. Musimy policzyć jeszcze wartość niewiadomej r.
Korzystamy ze wzoru
r= √ x
2+ y
2r= √ 4
2+5
2r= √ 16+25
r= √ 41
zgodnie z założeniem r powinno być większe od zera, i takie właśnie wyszło Korzystamy teraz ze wzorów z pomarańczowej ramki:sinα = y r sinα = 5
√ 41
sinα = 5
√ 41 ∙
√ 41
41
sinα = 5 √ 41
41 cosα= x
r cosα= 4
√ 41
cosα= 4
√ 41 ∙
√ 41
√ 41
cosα= 4 √ 41 41 tgα= y
x
tgα= 5 4
ctgα= x y ctgα= 4 5
I już!
b) Narysujemy układ współrzędnych, w którym umieścimy punkt B po to, żebyście zobaczyli funkcje trygonometryczne którego kąta będziemy obliczać
Ze współrzędnych punktu B wiemy, że x= -2 oraz y= -2
√ 2
. Obliczmy teraz rr= √ x
2+ y
2r= √ (−2)
2+(−2 √ 2)
2r= √ 4+8
r= √ 12
r= √ 4 ∙3
r=2 √ 3
Korzystamy ze wzorów z pomarańczowej ramki:
sinα = y r sinα = −2 √ 2
2 √ 3
sinα = − √ 2
√ 3
sinα = − √ 2
√ 3 ∙
√ 3
√ 3
sinα = − √ 6
√ 9
sinα = − √ 6
3
cosα= x r cosα= −2
2 √ 3
cosα= −1
√ 3
cosα= −1
√ 3 ∙
√ 3
√ 3
cosα= − √ 3
√ 9 cosα= − √ 3
3
t gα = y x tgα= −2 √ 2
−2 tgα= √ 2
ctgα= x y ctgα= −2
−2 √ 2
ctgα= 1
√ 2
ctgα= 1
√ 2 ∙
√ 2
√ 2
ctgα= √ 2
√ 4
ctgα= √ 2
2
Praca domowa:
Zad. 6.53/168