k: ni-liczba realizacji (obserwacji) warto´sci xi (Pki=1ni = n)

1 STATYSTYKA OPISOWA - wzory

dr in˙z Krzysztof Bry´s

Szeregi statystyczne 1) Szereg wyliczaj¸acy uporz¸adkowany: (x₁, x₂, . . . , x_n) przy czym x₁ ≤ x₂ ≤ . . . ≤ x_n.

2) Szereg rozdzielczy punktowy: (x1, x2, . . . , xk), (n1, n2, . . . , nk), gdzie x₁ < x₂ < . . . < x_k

oraz dla ka˙zdego i = 1, 2, . . . , k:

ni-liczba realizacji (obserwacji) warto´sci xi (^Pk_i=1ni = n).

3) Szereg rozdzielczy przedzia lowy: (y₀; y₁ >, (y₁; y₂ >, . . . , (y_k−1; y_k), (n₁, n₂, . . . , n_k), gdzie y₀ < y₁ < y₂ < . . . < y_k−1< y_k

oraz dla ka˙zdego i = 1, 2, . . . , k:

n_i-liczba realizacji (obserwacji) warto´sci nale˙z¸acej do przedzia lu (y_i−1; y_i) (^Pk_i=1n_i = n).

Wszystkie warto´sci nale˙z¸ace do przedzia lu (y_i−1; y_i >, i = 1, 2, . . . , k uto˙zsamia si¸e z jego ´srodkiem x_i. Regu ly wyznaczania liczby przedzia l´ow (klas): k ≈√

n, k ≤ 5 log n.

Parametry empiryczne Miary po lo˙zenia rozk ladu

1) ´Srednia z pr´oby x - dla szeregu wyliczaj¸acego:

x = 1 n

Xn i=1

x_i - dla szeregu rozdzielczego:

x = 1 n

Xk i=1

n_i· x_i

2) Dominanta (moda, warto´s´c modalna) D = punkt, w kt´orym funkcja prawdopodobie´nstwa osi¸aga najwi¸eksz¸a warto´s´c

- dla szeregu wyliczaj¸acego: najcz¸e´sciej wyst¸epuj¸aca warto´s´c,

- dla szeregu rozdzielczego punktowego: punkt, dla kt´orego liczebno´s´c (cz¸esto´s´c) osi¸aga najwi¸eksz¸a warto´s´c, - dla szeregu rozdzielczego przedzia lowego (wz´or interpolacyjny):

D = x0d+ n_d− n_d−1

(n_d− n_d−1) + (n_d− n_d+1) · hd, gdzie

x_0d - pocz¸atek przedzia lu zawieraj¸acego dominant¸e (przedzia lu o najwiekszej liczebno´sci), h_d - szeroko´s´c przedzia lu zawieraj¸acego dominant¸e (przedzia lu o najwiekszej liczebno´sci), nd - liczebno´s´c przedzia lu zawieraj¸acego dominant¸e (najwieksza liczebno´s´c),

n_d−1 - liczebno´s´c przedzia lu poprzedzaj¸acego przedzia l zawieraj¸acy dominant¸e, n_d+1 - liczebno´s´c przedzia lu nast¸epnego po przedziale zawieraj¸acym dominant¸e.

3) Dystrybuanta empiryczna (cz¸esto´s´c skumulowana Fn(x) - dla szeregu wyliczaj¸acego:

F_n(x) = 1

n|{i : x_i < x, i = 1, . . . , n}|

- dla szeregu rozdzielczego:

F_n(x) = ^X

i:xi<x

n_i n 4) Kwantyl empiryczny rz¸edu p xp,n:

(punkt w kt´orym dystrybuanta empiryczna po raz pierwszy osi¸aga warto´s´c niemniejsz¸a ni˙z p) - dla szeregu wyliczaj¸acego:

xp,n= xdnpe

2 - dla szeregu rozdzielczego punktowego:

x_p,n = x_q gdzie q = min{r : p ≤

Xr i=1

n_i n} - dla szeregu rozdzielczego przedzia lowego (wz´or interpolacyjny):

x_p,n = x_0p+ (np − ^X

xi<x0p

n_i) · h_p n_p, gdzie

x_0p - pocz¸atek przedzia lu zawieraj¸acego x_p,n (przedzia lu w kt´orym dystrybuanta empiryczna po raz pierwszy osi¸aga warto´s´c niemniejsz¸a ni˙z p),

h_p -szeroko´s´c przedzia lu zawieraj¸acego x_p,n, n_p -liczebno´s´c przedzia lu zawieraj¸acego x_p,n,

P

xi<x0pni - liczebno´s´c skumulowana dla przedzia lu poprzedzaj¸acego przedzia l zawieraj¸acy xp,n (suma liczebno´sci przedzia l´ow poprzedzaj¸acych)

Mediana: Me = kwantyl rz¸edu ¹₂ Kwartyl dolny: Q1 = kwantyl rz¸edu ¹₄ Kwartyl g´orny: Q₃ = kwantyl rz¸edu ³₄.

Miary rozproszenia rozk ladu 5) Wariancja z pr´oby s² - dla szeregu wyliczaj¸acego:

s² = 1 n

Xn i=1

(xi− x)² - dla szeregu rozdzielczego:

s² = 1 n

Xk i=1

ni· (xi− x)² 6) Odchylenie standardowe z pr´oby s =√

s². 7) Wsp´o lczynnik zmienno´sci V = _x^s · 100%.

8) Rozst¸ep R = r´o˙znica mi¸edzy najwi¸eksz¸a i najmniejsz¸a warto´sci¸a w pr´obie.

9) Wsp´o lczynnik asymetrii A_s: - dla szeregu wyliczaj¸acego:

As = 1 s³ · (1

n

Xn i=1

(xi− x)³) - dla szeregu rozdzielczego:

As = 1 s³ · (1

n

Xk i=1

ni · (xi− x)³) 10) Kurtoza (wsp´o lczynnik skupienia) K:

- dla szeregu wyliczaj¸acego:

K = 1

s⁴ · (1 n

Xn i=1

(x_i− x)⁴) - dla szeregu rozdzielczego:

K = 1

s⁴ · (1 n

Xk i=1

n_i· (x_i− x)⁴) 11) Wsp´o lczynnik sko´sno´sci A₁:

A₁ = x − D s