Temat: Monotoniczność funkcji.

Temat: Monotoniczność funkcji.

Obejrzyjcie filmik https://www.youtube.com/watch?v=CYCS3DktVlM

Mówimy, że funkcja jest monotoniczna, jeśli jest:

- rosnąca- wraz ze wzrostem argumentów rosną wartości funkcji

-malejąca- wraz ze wzrostem argumentów maleją wartości funkcji

-stała- wraz ze wzrostem argumentów wartości funkcji są stałe

-niemalejąca- wraz ze wzrostem argumentów wartości funkcji rosną lub są stałe

-nierosnąca – wraz ze wzrostem argumentów wartości funkcji maleją lub są stałe

Przeczytajcie def. 1- 5 z podręcznika

Najczęściej spotykamy się z funkcjami które nie są monotoniczne (czyli nie są CAŁE rosnące, malejące, stałe…). Będziemy dla nich określać tzw. przedziały

monotoniczności, czyli pokażemy w jakich przedziałach (w jakim zakresie na osi iksów) dana funkcja będzie rosnąca, malejąca czy też stała.

Obejrzyjcie filmik https://www.youtube.com/watch?v=XRjWaVAyRso Ćwiczenie 1. Odczytaj przedziały monotoniczności funkcji danej na rysunku

Rozwiązanie:

Funkcja jest rosnąca w przedziałach: <-5, -1> , <2, 6>

Funkcja jest malejąca w przedziale: <-1, 2>

Możemy też zapisać tak:

f , gdy xϵ <-5, -1> , <2, 6>

f , gdy xϵ <-1, 2>

Zauważcie, że punkty na wykresie w których funkcja się „łamie”, są podawane w przedziałach z nawiasem domkniętym

Ćwiczenie 2. Odczytaj przedziały monotoniczności funkcji danej na rysunku

Rozwiązanie:

Funkcja jest rosnąca w przedziale: <-2,2>

Funkcja jest malejąca w przedziałach: <-4, -2>, <2,4 ) Funkcja jest stała w przedziale: <-7, -4>

Możemy też zapisać tak:

f , gdy xϵ <-2,2>

f , gdy xϵ <-4, -2>, <2,4 ) nawias okrągły przy 4, bo kropka na wykresie pusta f , gdy xϵ <-7, -4>

Ćwiczenie 3. Odczytaj maksymalne przedziały monotoniczności funkcji danej na rysunku

Rozwiązanie

Funkcja jest rosnąca w przedziale: <1,2>

Funkcja jest malejąca w przedziałach: (-, 1>, <4,5 > nie ma kropki z lewej str. dlatego 

Funkcja jest stała w przedziale: <2, 4>

Możemy też zapisać tak:

f , gdy xϵ <1,2>

f , gdy xϵ (-, 1>, <4,5 > nawias okrągły przy nieskończoności f , gdy xϵ <2, 4>

I coś na co będąc w Waszym wieku dałam się nabrać… Czy poniższa funkcja jest monotoniczna?

Moja odpowiedź brzmiała: tak, oczywiście, funkcja jest monotoniczna ponieważ jest to funkcja malejąca- przecież widać. Ale okazuje się, że NIE!

Żeby funkcja była malejąca, to im większy iks – czyli bardziej na prawo na osi x, tym powinny być mniejsze wartości funkcji – czyli coraz bardziej w dół. A zobaczcie co się dzieje w punktach zaznaczonych na rysunku:

Dla x=-2 wartość funkcji to -3, a dla x=2 wartość funkcji to 3. Czyli mimo iż dwa kawałki tej funkcji ewidentnie maleją, to cała funkcja malejąca nie jest – czyli nie jest monotoniczna.

Praca domowa: zad. 8.120, 8.121, 8.122 (bez rysunków) 8.123 a,b

Rysunki z lekcji możecie wydrukować i wkleić do zeszytu – zresztą jak i całą lekcję.

Ważne żeby wszystko pojawiło się w zeszycie 