Modelowanie sygnałów i układów w dziedzinie częstotliwości

Uniwersytet Zielonogórski

Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Laboratorium techniki regulacji automatycznej

Modelowanie sygnałów i układów w dziedzinie częstotliwości

Cele ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z podstawami analizy systemów środowiska Matlab.

Polecenia w środowisku Matlab

Zapoznać się z następującymi poleceniami w środowisku Matlab: laplace, char, eval, step, poly2sym, tfdata, vectorize, ode45, sim.

Jeśli jest to możliwe, użyj powyższych poleceń do implementacji rozwiązań poniższych zadań.

Zadania do wykonania w ramach listy:

1. Korzystając z obliczeń symbolicznych w środowisku Matlab, dla każdego z poniż- szych zadań

a) f (t) = tu(t)

b) f (t) = sin(ωt)u(t) dla ω = 0.5 c) f (t) = cos(ωt)u(t) dla ω = 0.5 d) f (t) = 8t²cos(3t + 45^o)u(t)

e) f (t) = 8te^−2tcos(3t + 45^o)u(t) f) f (t) = e^−0.5tsin(5t)u(t)

wyznacz: i) odpowiedź funkcji f (t) dla u(t) = 1, ii) transformatę Laplace’a funkcji f (t), ii) odpowiedź na skok jednostkowy wyznaczonej transformaty oraz iv) porów- naj na jednym wykresie uzyskane odpowiedzi. Dobierz odpowiednio wektor czasu t aby uzyskać przebieg z dobrą dokładnością.

2. Korzystając z obliczeń symbolicznych w środowisku Matlab, dla każdego z poniż- szych zadań

a) G(s) = 1

s + 1U (s) gdzie U (s) = 1 s b) G(s) = 0.341

0.423s²+ 0.5s + 0.001U (s) gdzie U (s) = 1 s c) G(s) = 10

s²+ 0.5s + 1U (s) gdzie U (s) = 1 s² d) G(s) = 10

s²+ 2s + 10U (s) gdzie U (s) = ω

s + ω² oraz ω = 0.5

wyznacz: i) odpowiedź układu na zadany sygnał wejściowy, ii) transformatę od- wrotną, iii) odpowiedź transformaty odwrotnej na zadany sygnał wejściowy oraz iv) porównaj na jednym wykresie uzyskane odpowiedzi. Dobierz odpowiednio wektor czasu t aby uzyskać przebieg z dobrą dokładnością.

3. Dla każdego z poniższych zadań

1

a) dy(t)

dt + y(t) = 1 b) 2d²y(t)

dt² + 3dy(t)

dt + 2y(t) = 10 c) d³y(t)

dt³ + 5d²y(t)

dt² + 7dy(t)

dt + y(t) = 10 d) d²y(t)

dt² + 2y(t) = 10

e)











2d²x(t)

dt² + 2dy(t)

dt + 3x(t) = 1 10d²y(t)

dt² + 3dx(t)

dt + y(t) = 1

wyznacz: i) transfromatę Laplace’a, ii) odpowiedź uzyskanej transformaty na skok jednostkowy, iii) rozwiązanie powyższych równań z zastosowaniem funkcji ode45 oraz iv) porównaj na jednym wykresie uzyskane odpowiedzi. Dobierz odpowied- nio wektor czasu t aby uzyskać przebieg z dobrą dokładnością. Przyjmij wszystkie warunki początkowe równe zero.

4. Cukrzyca jest chorobą, która dotyka coraz większą liczbę osób, stając się niemal epidemią i dotyka prawie 3% ogólnoświatowej populacji ludzkości. Równanie róż- niczkowe, które modeluje dynamikę przyrostu liczby cukrzyków na poniższą postać

dC(t)

dt = −(λ + µ + δ + γ + ν)C(t) + λN (t) (1) dN (t)

dt = −(ν − δ)C(t) + µN (t) + I(t) (2)

gdzie: warunki początkowe to C(0) = 47000500 i N (0) = 61100500, ν = δ = 0.05/rok, µ = 0.02/rok, γ = 0.08/rok, λ = 0.7/rok. Rozwiąż równania różniczkowe z zastosowaniem programu Simulink. Jako sygnał wejściowy przyjmij I(t) = 6 × 10⁶. Jako wygnał wyjściowy N (t). Dobierz odpowiednio wektor czasu t aby uzyskać przebieg z dobrą dokładnością.

5. W układzie lewitacji magnetycznej, element metalowy jest utrzymywany w powie- trzu poniżej elektromagnesu. Odległość pomiędzy elementem metalowym a elektro- magnesem jest opisana poniższym nieliniowym równaniem różniczkowym

md²H(t)

dt² = mg − k I(t)²

H(t)² (3)

gdzie: warunki początkowe to H(0) = 1, ˙H(0) = 1, m = 2[kg], g = 9.81m/s², k = 0.5. Rozwiąż równianie różniczkowe z zastosowaniem programu Simulink. Jako sygnał wejściowy przyjmij I(t) = 2[A]. Jako wygnał wyjściowy H(t). Dobierz odpo- wiednio wektor czasu t aby uzyskać przebieg z dobrą dokładnością.

6. Szeregowy układ RLC można opisać następującym równaniem różniczkowym:

LCd²v_c(t)

dt + RCdv_c(t)

dt + v_c(t) = v(t) (4)

gdzie: warunki początkowe to v_c(0) = 1, ˙v_c(0) = 0, R = 2[Ω], L = 0.00001[H], C = 0.001[F ]. Rozwiąż równianie różniczkowe z zastosowaniem programu Simulink. Jako sygnał wejściowy przyjmij v(t) = 10 sin(314t+45^o)[V ]. Jako wygnał wyjściowy v_c(t).

Dobierz odpowiednio wektor czasu t aby uzyskać przebieg z dobrą dokładnością.

2

7. Pewien układ składający się z masy, tłumika oraz trzech sprężyn można opisać następującym układem równań różniczkowych

md²x₁(t)

dt² + b₁dx₁(t)

dt + (k₂+ k₁) x₁(t) − k₂x₂(t) = F (t) (5) b₂dx₂(t)

dt + (k₂+ k₃) x₂(t) − k₂x₁(t) = 0 (6) gdzie: warunki początkowe to x₁(0) = 0, ˙x₁(0) = 0, ˙x₂(0) = 0, ˙x₂(0) = 0, m = 1000[kg], b₁ = b₂ = 50[N s/m], k₁ = 150[N/m], k₂ = 100[N/m], k₃ = 75[N/m].

Rozwiąż równania różniczkowe z zastosowaniem programu Simulink. Jako sygnał wejściowy przyjmij F (t) = 200[N ]. Jako wygnał wyjściowy x₁(t) oraz x₂(t). Dobierz odpowiednio wektor czasu t aby uzyskać przebieg z dobrą dokładnością.

8. Pewien układ składający się z wirujących mas, sprężyny oraz dwóch tłumików można opisać następującym układem równań różniczkowych

J₁d²θ₁(t)

dt² + D₁dθ₁(t)

dt + Kθ₁(t) − Kθ₂(t) = T (t) (7) J₂d²θ₂(t)

dt² + D₂dθ₁(t)

dt + Kθ₂(t) − Kθ₁(t) = 0 (8) gdzie: warunki początkowe to θ₁(0) = 0, ˙θ1(0) = 0, ˙θ2(0) = 0, ˙θ2(0) = 0, J₁ = 5kg − m², J₂ = 10kg −m², D₁ = 50N −ms/rad, D₂ = 100N −ms/rad, K = 30N −m/rad.

Rozwiąż równania różniczkowe z zastosowaniem programu Simulink. Jako sygnał wejściowy przyjmij T (t) = 2[rad]. Jako wygnał wyjściowy θ₁(t) oraz θ₂(t). Dobierz odpowiednio wektor czasu t aby uzyskać przebieg z dobrą dokładnością.

3