Szczególne postacie funkcji popytu

Funkcja popytu

Y = f(X₁, X₂, . . . , X_k, ε) Y = f(X₁, X₂, . . . , X_k) Y – wielkość popytu na dobro;

X1, X2, . . . , Xk – wartości czynników popytotwórczych.

Podstawowy wskaźnik analizy funkcji popytu—elastyczność popytu (względem czyn- nika/zmiennej Xi):

E_i = Y

△Y : Xi

△X_i

=△X_i

△Y

 Y X_i

. (31)

Z postaci (31) wynika, że elastyczność względem zmiennej X_i jest stosunkiem względnej zmiany wartości popytu do względnej zmiany czynnika X_i. Przyjmując założenie o nieskończenie małych przyrostach zmiennej Xi, tj. △Xi→ 0, wzór (31) można zapisać następująco:

E_i =

∂X_i

∂ Y

 Y X_i

, (32)

gdzie ∂Y/∂Xi jest pochodną funkcji popytu Y = f(X₁, X₂, . . . , Xk) po zmiennej Xi. Interpretacja elastyczności: elastyczność względem zmiennej Xi informuje o ile pro- cent zmieni się wartość zmiennej Y (popytu), gdy wartość zmiennej Xi wzrośnie o 1%, a wartość pozostałych zmiennych nie ulegnie zmianie (ceteris paribus). Ze względu na założenie △X_i→ 0 mamy w rzeczywistości do czynienia z wynikami przybliżonymi.

Mając obliczone elastyczności względem różnych czynników można prognozować względne zmiany popytu, gdy znane są względne zmiany czynników kształtujących popyt za pomocą następującego przybliżenia:

Y

△Y 100% 

i=1 k

Ei

X_i

△X_i

 100% (33)

Oznaczmy przez I przychód, definiowany jako iloczyn ceny i wielkości sprzedaży (na zrównoważonym rynku wielkość sprzedaży odpowiada popytowi):

I = P  Y, (34)

gdzie: P – cena, Y – wielkość sprzedaży (popytu).

Ze względu na charakter czynnika popytotwórczego wyróżnia się dwa szczególne ro- dzaje elastyczności:

1. Elastyczność cenowa

a. Wobec ceny danego dobra (EP):

•••• E_P ∈  ∞,  1( ) – popyt elastyczny, wzrost ceny prowadzi do spadku przychodu, a obniżka ceny prowadzi do wzrostu przychodu

•••• EP ∈  1, 0( ) – popyt sztywny (nieelastyczny), wzrost ceny prowadzi do wzrostu przychodu, a obniżka ceny prowadzi do spadku przychodu

•••• EP =  1 – popyt neutralny (obojętny), cena dobra nie wpływa na przy- chód, sprzedawca osiąga maksymalny przychód

Powyższe zależności stają się jasne, gdy wyprowadzimy względną zmianę przycho- du △I/I w zależności od △Y/Y oraz △P/P:

I

△I =

P Y

(Y + △Y )(P + △P )  P Y

= Y

△Y+ P

△P+ Y

△Y P

△P.

Ostatnie wyrażenie można pominąć, bowiem jest ono w praktyce zaniedbywalnie małe (np. dla △Y/Y = 2% i △P/P = 3% ^△Y_Y ^△P_P = 0, 02  0, 03 = 0, 0006). Mamy zatem:

I

△I Y

△Y+ P

△P. (35)

b. Wobec ceny innego dobra X (EPX) – elastyczność krzyżowa

• EPX< 0 – dobra są względem siebie komplementarne

• EPX> 0 – dobra są względem siebie substytucyjne

• EPX= 0 – dobra są względem siebie niezależne 2. Elastyczność dochodowa (ED)

• E^D< 0 – dobro bezwzględnie poślednie (niższego rzędu)

• E_D∈ (0, 1) – dobro względnie poślednie

• ED> 1 – dobro luksusowe (wyższego rzędu)

Szczególne postacie funkcji popytu

1. Model liniowy (bezpośrednio szacowany KMNK)

Y = a₀+ a₁X₁+ a₂X₂   + akXk (36)

E_i = ai

Y X_i

=a₀+ a1X₁+ a2X₂   + akX_k a_iX_i

, i ∈ 1, . . . , k{ } (37)

2. Model potęgowy (funkcja Cobba-Douglasa) (można estymować KMNK po doko- naniu transformacji liniowej)

Y = a₀X^a₁¹X^a₂²  X^a_k^k (38)

E_i = a₀X^a₁¹X^a₂²  X_i1^ai1X^a_i+1ⁱ⁺¹  X_k^aka_iX^a_i^i1 Y X_i

= a_i, i ∈ 1, . . . , k{ } (39) Względny przyrost popytu:

Y

△Y

= a₀X^a₁¹X^a₂²  X^a_k^k

a₀(X₁+ △X1)^a1(X₂+ △X2)^a2   X( _k+ △Xk)^ak a₀X₁^a1X^a₂²  X^a_k^k

=

= 1 + X1

△X₁

 a1

1 + X2

△X₂

 a2

   1 + Xk

△X_k

 ak

 1 =

i=1 k

1 + Xi

△X_i

 ai

 1 (40)

Funkcja produkcji

Q = f(X₁, X₂, . . . , X_k, ε) Q = f(X₁, X₂, . . . , Xk)

Q – wielkość produkcji;

X1, X2, . . . , Xk – wartości czynników produkcji.

Podstawowe wskaźniki:

1. Produkt całkowity

PC = Q 2. Produkt krańcowy

PKi =

∂Xi

∂Q (41)

Produkt krańcowy określa, o ile w przybliżeniu zmieni się (wzrośnie lub spadnie) war- tość produkcji, gdy wartość czynnika produkcji X_i wzrośnie o jedną kolejną jednost- kę, ceteris paribus.

3. Produkt przeciętny

PPi= X_i

PC (42)

Produkt przeciętny określa przeciętną wartość produkcji przypadającą na jednostkę czynnika produkcji Xi, przy ustalonych wartościach pozostałych czynników produk- cji.

4. Elastyczność produkcji (punktowa) Ei =

∂Xi

∂Q : Xi

Q = PPi

PKi

(43)

5. Efekt skali produkcji (por. wzór (33))

A 

i=1 k

E_i (44)

Efekt skali produkcji to oczekiwana względna (np. procentowa) zmiana produkcji spowodowana jednoczesnym jednostkowym względnym przyrostem wszystkich czyn- ników produkcji (np. o 1%).

Ze wskaźnikiem tym wiąże się pojęcie funkcji jednorodnej stopnia r, dla której zacho- dzi f(jX₁, jX₂, . . . , jX_k) = j^rf(X₁, X₂, . . . , X_k).

6. Krańcowa stopa substytucji czynnika i przez czynnik j

SS_ij= 

∂X_i

∂X_j

=  ∂X_i

∂Q :

∂X_j

∂Q = PK_j PK_i

(45)

Wskaźnik ten określa, jaki nakład (zasób) czynnika j powinien zostać wprowadzony w miejsce wycofanej jednostki nakładów (zasobów) czynnika i, tak by poziom pro- dukcji nie uległ zmianie.

7. Optymalizacja struktury czynników produkcji (wyznaczanie X_i) Funkcja kosztów

C = P₁X₁+ P₂X₂+ . . . + P_kX_k (46) gdzie Xi to czynniki produkcji określone w jednostkach naturalnych, a Pi to ceny jednostkowe tych czynników.

Należy: C = P1X1+ . . . + PkXk→ min Przy czym: f(X1, X2, . . . , Xk) = Q0

X

Q

C

C

C

X

C0= P1X1+ P2X2, X₂=

P₂ C₀

P₂ P₁

X₁

∂X₁

∂X₂

= P₂ P₁

Q0= f(X1, X2), X2= g(X1, Q0)

∂X₁

∂X₂

= ∂X₁

∂Q :

∂X₂

∂Q =  PK₂ PK₁

Z warunku styczności wynika równość:

PK₂ PK₁

= P₂ P₁

czyli:

P₁ PK₁

= P₂ PK₂

(47) Uogólnienie (47) na większą liczbę czynników:

PK PK

8. Elastyczność substytucji

Zakres substytucji nakładów (zasobów) można zmierzyć za pomocą wzoru określają- cego elastyczność punktową, zwaną elastycznością substytucji i oznaczanej symbolem

:

 = wzgledny przyrost _P

1

P2

  wzgledny przyrost _X

2

X₁

 

=

X₂ X₁

d _X

2

X₁

  :

P1

P2

d_P^P₁²

(46)

Im większa jest  ( ∈ 0, ∞[ )), tym większa jest substytucyjność dwu nakładów:

•  = 0 odpowiada sytuacji, gdy dwa nakłady muszą być użyte w ustalonej pro- porcji jako dobra komplementarne,

•  = ∞ odpowiada sytuacji, gdy dwa nakłady są doskonałymi substytutami.

Wybrane wskaźniki na przykładzie funkcji produkcji CES:

Q =   L[ + (1  )K ]^!/ , , ! > 0, ∈ ( ∞, 0) ∪ (0, 1),  ∈ (0, 1),

PK_L=

∂L

∂Q= ! ^/!L ^1Q^{1 /!}

PK_K=

∂K

∂Q = (1  )! ^/!K ^1Q^{1 /!}

E_L= PK_L Q

L = ! ^/!L Q^{ /!}

E_K= PK_K Q

K= (1  )! ^/!K Q^{ /!}

SSKL= PKL

PKK

= 

1   L K

  1

SS_LK= SS_KL

1 =

PK_K PK_L

=1  

 L K

 1

Optymalny stosunek użycia czynników produkcji:

L K

  1

=1  

 P_L P_K

K = L

1  

 P_L P_K

 1/( 1)

Funkcja kosztów

K = f(Q, X₁, X₂, . . . , X_k, ε) K = f(Q, X₁, X₂, . . . , X_k)

Q – wielkość produkcji;

X₁, X₂, . . . , X_k – wartości czynników kosztów.

Koszt całkowity: K = K_SC+ K_ZC Koszt całkowity stały: KSC= f(0)

Kaszt całkowity jednostkowy; k = f(Q)/Q Koszt całkowity krańcowy: KK = ∂K/∂Q Funkcja przychodu: I = QP