O rozchodzeniu się drgań podczas trzęsień ziemi

W} n m

M. P. ^{R u d z k i.}

O ROZCHODZENIU SIĘ DRGAŃ

P O D C Z A S

TRZĘSIEŃ ZIEMI.

W K R A K O W I E .

NAKŁADEM AKADEMII UMIEJĘTNOŚCI.

S K Ł A D G Ł Ó W N Y W K S IĘ G A R N I S P Ó Ł K I W Y D A W N IC Z E J P O L S K I E J .

1898.

9J/ /

'V R

NOWSZE WYDAWNICTW A

A K A D E M I I U M L E J Ę T N O Ś C I

W T D Z I A M M A T E M m C Z M - P f t Z Y K O D J H C Z K G O .

P a m i ę t n i k A k a d e m i i U m i e j ę t n o ś c i . W y d z i a ł m a t e m a t y c z n o - p r z y ­ r o d n i c z y . Tom XVIII. 4°, str. 243, z 27. tablicam i i licznem i ry cin am i w tekście. Cena 5 złr.

R o z p r a w y A k a d e m i i U m i e j ę t n o ś c i . W y d z i a ł m a t e m a t y c z n o - p r z y r o d n i ­ c z y . Serya II. tom X, ogólnego zbiorą toin XXX, 1896, w 8° dużej, str. 403, z 12 tablicam i i 22 rycinam i w tekście. Cena 6 ztr.

E. B a n d r o w s k i : O utlenienia parafenilenodw uam iau, lex. 8° str. 13. Cena 20 ct.

— O św ieceąiu podczas krystalizacyi, lex. 8-o, str. 8. Cena 10 ct.

A. B e c k : O zm ianach ciśnienia krwi w żyłach. lex. 8°, str. 40, z 20 rycinam i w tekście. Cena 70 ct.

— Pom iary pobudliwości różnych miejsc nerw u za pom ocą rozbrojeń k o n d en ­ satora. lex. 8-o, str. 13. Cena 20 ct.

A. B e c k i N. C y b u l s k i : Dalsze b ad an ia zjaw isk elektrycznych w korze m óz­

gowej, lex. 8-o, str. 84, z tablicą i 17 rycinam i w tekście. Cena 1 złr.

L. B ir k e n tn aj e r : Marcin Bylica z O lkusza oraz narzędzia astronom iczne, które zapisał U niwersytetowi Jagiellońskiem u w roku 1493, z 12 rycinam i w tekście lex. 8° str. 163. Cena 1 fl. 50 ct.

— W yznaczenie długości w ahadła sekundow ego w Krakowie, oraz dw óch innych miejscowościach W. Księstwa Krakowskiego, lex. 8-o, str. 68. Cena 80 ct.

— O w pływ ie tem peratury na ruch zegarów, a zwłaszcza chronom etrów , le s . 8-o, str. 36. Cena 50 ct.

C y b u l s k i i Z a n i e t o w s k i : Dalsze dośw iadczenia z kondensatoram i: Zależność pobudzenia nerw ów od energii rozbrojeni i. le*. 8 ’ str. 5. Cena 10 ct.

B. D ę b s k i : O budow ie i m echanizm ie ruchów liści u inarantow atych. lex. 8-o, str.

109, z dw iem a tablicam i. Cena 1 złr. 25 ct.

S. D i c k s t e i n : O rozw iązaniu kongruencyi z" — ay" s s O (mod M) lex. 8° str. 5.

Cena 10 ct.

— Hoene Wroński, jego życie i dzieła, lex. 8-o, str. 368. Z portretem W rońskiego i podobizną jego pisma. Cena 4 złr.

— W iadom ość o korespondeacyi Kochańskiego z Leibnicem, lex 8-o, str. 9.

Cena 10 ct.

B. E i c h l e r i M. R a c i b o r s k i : Nowe gatunki zielenic. 8° str. 11 z tablicą.

Cena 20 ct.

B. E i c h l e r i R. G u t w i ń s k i : Da npnnullis speciebus algarum novarum . lex.

8° str. 17, z 2 tablicam i. Cena 40 ct.

T. E s t r e i c h e r : Zachow anie się chlorow cow odorów w nizkich tem peraturach, Iex.

8-o, str. 6. Cena 10 ct.

— O ciśnieniach nasycenia tlenu, lex. 8-o, str. 18. C ena 25 ct.

. E. G o d l e w s k i : O nitryfikacyi am oniaku i źródłach węgla podczas żyw ienia się ferm entów nitryfikacyjnych, lex. 8-o, str. 53, z dw iem a rycinam i w tekście.

Cena 60 ct.

W. G o s i e w s k i : O przekształceniu m jpraw dopodobniejszem ciała m ateryalnego.

lex. 8°, str. 13. Cena 20 ct.

J. G r z y b o w s k i : Otwornice czerw onych iłów z Wadowic, lex. 8-o, str. 48, z czte­

rem a tablicam i. Cena 80 ct.

J. T a l k o - H r y n c e w i c z : Zarysy lecznictw a ludowego na Rusi południow ej, lex.

8° str. 461. Cena 3 złr.

E. J a n c z e w s k i : Cladosporium herbarum i jego najpospolitsze n a zbożu tow a­

rzysze, lex. 8°, str. 45 z 4 tablicam i. Cena 1 złr.

— Zawilce. Część III. lex. 8°, str. 20, z tablicą. Cena 40 ct. — Część IV. z dw ie­

m a tablicam i, str, 26. Cena 50 ct.

M. P. R u d z k i .

P O D C Z A S

T R Z Ę S I E Ń Z I E M I .

W K R A K O W I E .

NAKŁADEM AKADEMII UMIEJĘTNOŚCI.

S K Ł A I> G Ł Ó W N Y W K. S1KGAKNI S P Ó Ł K I W V DA W N I C Z K J P O I . f j K I K J .

1898.

Osobne odbicie z Tom u X X X III. Rozpraw W ydziału m atem atyczno-przyrodniczego Akadem ii U m iejętności w Krakowie.

!>?, ió%t52b

< o ^ rb \ 2 ' 7 ' m T

J) /\w

K r a k o w ie , 1>S98 - D r u k a r n i a U u i w e r s j/ te t u J a g ie l lo ń s k i e g o , p o d z a r z ą d e m J . F ili p o w s k i e g o .

O rozchodzeniu się drgań

p o d c z a s t r z ę s i e ń z i e m i

przez

M. P. RUDZKIEGO.

Z tablicą X III.

(Uzecz przedstawiona na posiedzeniu Wydziału matem.-przyr. z dnia 8. listopada 1897.

Referował czł. Natanson).

... ---

Zakres naszych wiadomości o trzęsieniach ziemi rozszerzył się znacznie w ostatnich latach, głównie dzięki niektórym nowym przyrzą­

dom. P rzyrządy te są to po prostu wahadła, bądź zw y kłe, ale bardzo długie, jakich używ ają włoscy sejsmologowie, bądź dwunitkowe w wo­

dzie zawieszone, ja k n. p. wahadło G. H. Darwina, bądź wreszcie po­

ziome w ahadła R ebeur — Paschwitza.

Ten ostatni przyrząd okazał się bodaj najczulszy. Niesłychanie słabe drgania, sprawione przez odległe trzęsienia ziemi n. p. japońskie, w praw iają poziome wahadło w Europie w silny ruch.

Spostrzeżenia, poczynione przy pomocy wspomnianych przyrządów pokazały, że drgania trzęsień ziemi rozchodzą się z bardzo w ielka pręd­

kością. W praw dzie nie możemy bezpośrednio zmierzyć tej prędkości, drgania przychodzą do nas z odległych miejscowości przez głęboko leżące, niedostępne w arstw y, ale wnosimy, że prędkości rozchodzenia się drgań muszą być bardzo znaczne stą d , że p o z o r n e p r ę d k o ś c i tegoż roz­

chodzenia się są bardzo znaczne.

Ognisko trzęsienia ziemi znajduje się zw ykle gdzieś pod powierzch­

nią ziemi, ale na powierzchni ziemi możetny rozróżnić odpowiadającą mu okolicę; albo, gdy sobie wyobrazimy, że ognisko trzęsienia ziemi

1

2 M. t>. R U DZK I.

jest pewnym punktem , to m am y w powierzchni pu nkt najbliższy ogniska, do którego trzęsienie ziemi najwcześniej dochodzi. Tę miejscowość, ten punkt, nazyw am y e p i c e n t r u m . Oczywistą jest rzeczą, źe położenie epi- centrummożna zawsze określić z większą lub mniejszą dokładnością poró- wnywając. między sobą chwile czasu, w których pewne trzęsienie ziemi dało się uczuć w różnych punktach powierzchni ziemi. Przypuśćm y więc że znamy położenie epicentrum, przypuśćmy dalej, że pewna faza trzęsie­

nia ziemi n. p. pierwsze silne wstrzaśnienie dało się uczuć w epicen­

trum w chwili: te. W eźm y dalej pewną stacyę n. p. A, na której ta sama faza trzęsienia ziemi dała się uczuć w chwili tA — wtedy p o z o r n a p r ę d k o ś ć rozchodzenia się drgań między epicentrum i stacya A , którą to pozorną prędkość oznaczamy głoską i>, będzie:

D

gdzie D oznacza najkrótszą (wzdłuż powierzchni) odległość między epi­

centrum i stacyą A . W arto mimochodem zauważyć, że dawniej tę po­

zorną prędkość częstokroć uważano za rzeczywistą, co było naturalnie błędne.

Spostrzeżenia pokazały, że przy drganiach, przychodzących z da­

leka pozorna prędkość jest zmienna a co więcej, że jest tem większa, im większe je st D. t. j. mierzona wzdłuż powierzchni odległość między epicentrum i daną stacyą.

Tego rodzaju zależność pozornej prędkości od D powinnaby istnieć, gdyby n. p. ziemia była kulą jednorodną, zbudow aną z jakiegokolw iek izotropowego m ateryału 1). W takiej kuli drgania muszą się rozchodzić prostolinijnie, ze stałą prędkością, przytem będą się naturalnie rozcho­

dziły przez wnętrze ziemi.

L e c z , jakto zauważył R ebeu r-P asch w itz, hypoteza, że wnętrze ziemi jest jednorodne i izotropowe, okazuje się niew ystarczająca2); nato­

miast zdaje się, że można wytłomaczyć spostrzegane zjaw iska, zakła­

dając, że prędkość rozchodzenia się drgań jest funkcyą odległości od środka ziemi, przyczem w głębszych warstwach ta prędkość jest większa niż w powierzchniowych. Hypotezę tę, lat temu dziesięć, wygłosił Schmidt ze S tuttgartu, ale nie rozwinął jej analitycznie. W niniejszej pracy zaj-

*) Porównaj Bonetti i Agamennone. Sulla v e lo cita... Atti della K. Accad. dei Lincei. ser. V. Rendiconti cl. sc. fis. mat. e naturali tom IV 1. sem. 1895 r. str.

62 -6 8 .

!) W dalszym ciągu wskażemy przyczyny, dzięki którym wspomniana hypoteza je s t nie wystarczająca.

mierny się tą hypotezą Schm idta i postaram y się nadać je j kształty analitycznej teoryi.

Będziemy więc badali związek między rzeczywistą prędkością roz­

chodzenia się drgań w kuli, złożonej z w arstw współśrodkowych izo­

tropowych a prędkością pozorną rozchodzenia się tychże drgań na po­

wierzchni kuli. W łaściwie w artoby zbadać jeszcze ogólniejszy przypa­

dek, mianowicie wartoby założyć, źe m ateryały, z których składają się oddzielne warstwy nie są izotropowe ale podwójnie łamiące, po­

nieważ je d n a k dla objaśnienia spostrzeganych zjawisk w ystarcza hypo­

teza, że m ateryały są izotropowe, przeto poprzestaniemy tymczasem na rozpatrzeniu tego łatwiejszego przypadku.

Zadanie nasze je st właściwie pewnego rodzaju zadaniem z teoryi refrakcyi ośrodka, w którym współczynnik załam ania jest funkcyą od­

ległości od pewnego punktu.

Za punkt wyjścia posłużą nam znane równania różniczkowe, w y­

rażające zasadę Ferm ata:

d ( d x \ dn

— I n — ) — —. == o a s \ ds / dcc

<L( n dJ L \ - ^ = o d s \ ds / dy

d r d z \ dn

— n — 1 — — = o , ds v ds y dz

gdzie ds = \jd x 2-\-dy2 Ą-dz'2 oznacza element promienia n współczynnik załam ania

u rzeczywistą prędkość rozchodzenia się drgań.

Pisząc te równania, ipso facto robimy założenie, źe n jest funkcyą ciągłą współrzędnych. G dyby n było nie wszędzie funkcyą ciągłą, mu­

sielibyśmy osobno rozważać te powierzchnie, w których ciągłość n zostaje zerwana. J e d n a k ż e d o c e l ó w , o k t ó r e n a m t u c h o d z i, założenie, że n jest funkcyą ciągłą, je st zupełnie w ystarczające. Rzeczywiście, gdyby nam chodziło o zbadanie kształtu promieni w pewnym ośrodku, którego fizyczne własności zmieniaja się w sposób nagły, to dość by­

łoby rozważyć kształt promieni w ośrodku, w którym n w pewnych miejscach zmienia się bardzo powoli a w innych bardzo szybko.

Założymy, źe miejsce z którego się rozchodzą drgania można roz­

ważać jak o punkt, ten punkt nazwiemy ogniskiem i oznaczymy go głoską H (Tabl. X III. fig. 1). Poprowadźm y średnicę przechodzącą przez H. Oznaczmy punkty, gdzie ta średnica przecina powierzchnię kuli przez E i E v

[350] o ROZCHODZENIU SIE DRGAŃ. 3

4 M. P . RUDZKI. [351]

Oczywistą jest rzeczą, że drgania wychodzące z punktu H. naj­

pierw dosięgają punktu E ; jest to zatem, wedle określenia, tak zwane epicentrum , gdyż punkt E jest najbliższym punktem powierzchni od ogniska H. Przeciwległy punkt E l , zarazem w całej kuli od ogniska H najdalszy, nazwiemy antypodem epicentrum.

Ponieważ n jest funkcyą odległości od środka kuli C, przeto za­

raz widać, że dla drgań, wychodzących z punktu i?, średnica E E X prze­

chodząca przez H jest osią sym etry i, że w każdej płaszczyźnie, prze­

chodzącej przez E E t ruchy będą jednakow e, źe wreszcie promienie będą krzywem i płaskiem i, leżącemi w płaszczyznach przechodzących przez E E X.

Widzimy więc, że można sprowadzić zadanie trójwym iarowe do dwuwymiarowego. Przypuśćm y więc, że jed n a z płaszczyzn współrzęd­

nych n. p. płaszczyzna x y przechodzi przez średnicę E E X W tedy mo­

żemy zamiast trzech równań różniczkowych napisać dwa:

d f d x \ dn

— I n — 1 — — = o d s \ ds J dx

d ( d y \ _ d n _ Q ^

ds \ ds J dy gdzie:

ds = \]dx3 + d y 2 .

Załóżmy jeszcze, że początek współrzędnych znajduje się w pun­

kcie C, wtedy odległość od środka będzie:

r = \J x 2 Ą - y 2 . Ponieważ zaś:

n = f(r) przeto:

dn dn X

d x dr r

dn dn _Ł

dy dr r

Podstawmy te wartości pochodnych cząstkowych funkcyi n w rów­

naniach I , pomnóżmy pierwsze z nich przez y , drugie przez a:, odej­

mijmy następnie pierwsze od drugiego, otrzym amy po zupełnie oczy- wistem przekształceniu:

[352] O ROZCHODZENIU SIE DRGAŃ. 5 skąd w ynika:

f dy d x \ di)

gdzie oc oznacza pewien param etr stały.

W dalszym ciągu będziemy używali współrzędnych biegunowych, przyczem za oś biegunową obierzemy średnicę E E t za jej dodatni kierunek, kierunek od C ku E , k ąty zaś będziemy liczyli w kierunku obrotu wskazówki zegarka.

Równanie (II) we współrzędnych biegunowych przybiera kształt:

(II*) n r ‘ ~ =

ds2 = d r2 -|- r 2d02

(w2r 2 — ot.2)r2d02 = y.2d r2 ds

Podnieśmy obie strony tego równania do kw adratu i napiszmy je w kształcie :

n 2r^d§2 = y.2d s2 ponieważ:

te d y : a z a te m :

a dr

df) = ± r ’

To ostatnie równanie jest równaniem różniczkowem promieni.

W staw iajac zamiast n różne funkcye promienia kuli, a następnie całku- jac równanie I I I otrzymamy całkowe równanie promieni, odpowiadające danej funkcyi n. T ak n. p. dla n = stałej, t. j. dla jednorodnej kuli otrzym amy promienie prostoliniowe. W dalszym ciągu będziemy jed n ak badali równanie: I I I przy pewnych ogólnych założeniach co do natury funkcyi n.

Równanie I I I można napisać w kształcie:

z którego zaraz widać, źe w arunek największości i najmniejszości, t. j.

dr

jest spełniony, gdy albo:

albo też:

n 2r 2 a 2 = o .

Przypadek:

r — o

zasługuje na szczególną uwagę. Mianowicie, z równania II* widać, źe skoro

r — o , to powinno być jednocześnie:

a = o , inaczej musielibyśmy założyć, źe wśrodku kuli:

d%--- = oo ,

ds ’

alb o :

n — oo

I jedne i drugą hypotezę należy odrzucić. Pierwszą można tłu­

maczyć w ten sposób, źe w środku kuli promienie łam ią się pod pewnym skończonym kątem , drugą zaś, że prędkość rozchodzenia się drgań w środku kuli jest równa zeru 1).

Oczywistą jest rzeczą, że niema żadnego powodu, aby środkowi kuli nadawać jakieś osobliwe własności, których inne punkty nie po­

siadają, dlatego też należy odrzucić pierwszą hypotezę. Co zaś do dru­

giej, to ta jest wręcz przeciwną założeniu, źe rzeczywista prędkość roz­

chodzenia się drgań w zrasta ku środkowi kuli.

W idzimy zatem, źe skoro:

r — o , to nie pozostaje nic innego jak położyć:

a = o ,

t. j. cechą promieni przechodzących przez środek kuli jest to, że posia­

dają param etr a rów ny zeru.

Skoro jednak, ja k to widać z równania III, musi być w takim razie wzdłuż całego prom ienia:

dO = o ,

przeto promień przechodzący przez środek kuli t. j . promień o para­

metrze a równym zeru jest prosty, ponieważ zaś przechodzi przez punkt H zatem jest to prosta E E V

Przejdźm y teraz do rów nania:

r 2n 2 — a 2 = o

6 M. P. RUDZKI. [353]

‘) Było bowiem powyżej n = —

[354] O ROZCHODZENIU Slj$ DRGAŃ. 7 Równanie to rozpada się na dwa rów nania:

rn — z = o

rn -f- a = 0 .

Ponieważ i r i n mogą przyjmować tylko dodatnie wartości, a więc jeżeli param etr z jest także dodatni, to tylko pierwsze równanie może mieć miejsce, gdy zaś param etr z jest odjemny, to tylko drugie równa­

nie może mieć miejsce.

A zatem gdy param etr z jest dodatni, największości i najm niej- szości promienia wodzącego r krzyw ej przedstawionej przez równanie I I I są dane przez równanie:

gdy zaś ten param etr jest odjem ny, to przez ró w n an ie:

nr -f- « = 0 ,

Obliczmy wedle znanych wzorów promień krzywizny krzywej w y­

rażonej przez równanie III. Oznaczając promień krzyw izny przez p , znajdziem y:

W idzim y stąd, że gdy z jest odjemne, ale jednocześnie weźmiemy z lewej strony równania IV znak odjemny, to otrzym amy taki sam promień krzyw izny, ja k przy dodatniem z i dodatnim znaku. T ak samo gdy a je st odjemne, a z lewej strony równania IV stoi znak -j- , wartość p je st tak a sama, ja k przy dodatniem z i odjemnym znaku wyrażenia, stojącego z prawej strony równania IV. Można więc założyć, źe z pra­

wej strony równania IV stoi znak + , zaś z przyjm uje tak dodatnie ja k odjemne wartości. Lecz zauważmy, że swoja drogą ^ f —

d r dr V n J może mieć też znak dodatni lub odjemny, a zatem można bez szkody dla ogólności rozumowań założyć, że z jest ciągle tego samego znaku n. p. że jest dodatnie. W tedy znak wyrażei ia stojącego po prawej stronie równania IV będzie zależeć tylko od znaku pochodnej

bo r jest wciąż dodatnie. Założymy zatem w dalszym ciągu, że:

nr z o

IV

du d r t

IV*

M. P. RUDZKI [355]

przyozem x przybiera tylko dodatnie wartości. D z i ę k i t e m u z a ł o ­ ż e n i u t y l k o r ó w n a n i e : n r — oc = o będzie możliwe.

P rzy tem założeniu, skoro u w rasta jednocześnie z r [t. j. jeżeli n zmniejsza się w miarę tego, ja k r wzrasta], to promień krzyw izny jest dodatni i krzyw a je st zwrócona swą wklęsłą stroną ku środkowi kuli (Fig. 2). Jeżeli zaś przeciwnie n zmniejsza się [t. j. n rośniej w miarę tego, ja k r wzrasta, to promień krzywizny je st odjemny, zaś krzyw a jest zwrócona swą w ypukłą stroną ku środkowi kuli (patrz Fig. 3). A za­

tem, gdy funkcyą n między r = o i r = R kilkakrotnie to Wzrasta, to znów się zmniejsza, to wtedy nasze krzyw e, t. j. promienie muszą mieć kształt wężykowaty.

W dalszym ciągu założymy, że w myśl hypotezy Schmidta rze­

czywista prędkość rozchodzenia się drgań u wzrasta od powierzchni ku środkowi, czyli odwrotnie współczynnik załamania n wzrasta od środka ku powierzchni. W skutek tego promienie będą krzywem i zwróconemi swą w ypukłą stroną ku środkowi kuli (jak w Fig. 3). Zauważmy przy- tem, źe, ja k to widać z fizycznego znaczenia tej funkcyi, — między r = o i r = R, n nie może być ani równe zeru ani nieskończone — jest to zatem wciąż skończona, dodatnia i w zrastająca wraz z r fun-

kcya tej ostatniej zmiennej.

Co w ięcej, z tego cośmy tylko co powiedzieli, wypływa wniosek, że w yraz:

nr — a

przy jakiejkolw iek wartości a może co najwyżej raz stać się zerem m iędzy:

r — o i r = R. 1).

Dalej możemy też powiedzieć, źe funkcyą n będzie na pewno między r — o i r — R rozwijalna w szereg rosnących całkowitych potęg zmiennej r — skończony lub nieskończony — i w tym ostatnim przypadku zbieżny, zatem n będzie posiadać kształt następujący:

n — a0 + a±r a2r 2 + --- «„!■’ + ...

Rozważmy teraz pewien pęk promieni, t. j. krzyw ych, określonych przez równanie III, przechodzących przez p un k t H . Krzywe tego pęku odpowiadają rozmaitym wartościom param etru ot. W iem y już, że wartości

*) Przyczem oczywistą jest rzeczą, że pierwiastek równania n r — a. = o

będzie tem w iększy, im param etr a je s t w iększy.

Ta uwaga będzie bardzo uzyteczną w dalszych ivywodach.

[356J 6 ROZCHODZENIU SIĘ DRGAŃ. 9 a = o

odpowiada prosta E E X — ale załóżmy, że « posiada pewną dodatnią wartość n. p.

k =

Tej wartości param etru odpowiadają aż dwie krzywe n. p. (F. 4) A A 1 i B B x zupełnie sym etrycznie względem prostej E E t położone.

Że dwie krzywe odpowiadają jednej wartości param etru a, to widać n. p. z równania I I I , które w skazuje, że przy tej samej absolutnej wartości wyrazu, stojącego z prawej strony tego równania przyrost k ąta 8 może być dodatni lub odjemny.

Pochodna staje się równą zeru, jeżeli nr — a x = o ,

przeto pierwiastek tego ostatniego równania, dajm y na to r = r, = G L

da nam długość najkrótszego promienia wodzącego naszych krzyw ych.

Jeżeli promieniem r zakreślimy naokoło punktu C koło, to obie krzyw e A A t i B B t będą styczne do tego koła w punktach L i L x zupełnie symetrycznie względem średnicy E E X położonych. Jednocześnie zaś zaraz widać, że prosta O F 1 przechodząca przez L x je st osią sym etryi dla krzyw ej B B V

Załóżmy teraz, że a przybiera nową wartość a2 większa od aj.

Tej nowej wartości param etru odpowiadają dwie nowe krzywe A 2 A s i B 2 B a. Te nowe krzywe przecinają się z poprzedniemi krzywem i w puncie H , ale dwie krzywe zbliżające się do środka po jednej i tej samej stronie prostej EE± n. p. krzywe A A t i A 2 A 3 prócz punktu i ? nie mają drugiego punktu przecięcia się. G dyby bowiem posiadały taki drugi punkt przecięcia, to zasada F erm ata, z której wyprowadziliśmy równanie naszych krzyw ych, nie byłaby spełnioną. Z drugiej strony, pierwiastek równania:

rn — a2 = o ,

gdzie a.2> a 1; stosownie do wyżej w przypisku uczynionej uwagi, jest większy aniżeli pierwiastek rów nania:

rn — atj = o ,

a zatem koło styczne do krzywych o parametrze x2 jest większe od koła stycznego do krzyw ych o param etrze ocŁ. A zatem krzyw e o pa-

2

1 0 ii. v. k u d z k I .

rametrze a2 , t. j. krzywe A 2 A s i Bo -Bs muszą mieć mniej więcej takie położenie i kształt, jak to na rysunku (Fig. 4) przedstawiono.

Oczywistą jest rzeczą, że pierw iastek :

\Jn 2 r 2 — a-t2 zmienia znak w punktach L i L t , zaś

\/ n'i r ‘i — ,j ^ 2

w punktach /a, i Z 8 przyczem n. p. na krzywej A A t , ja k to widać z równania I I I * , od i do i jest odjem uy, od i do i dodatni; na krzywej B B x od B x do L x odjemny, od L x do B dodatni i t. d.

Ale załóżmy, że param etr a coraz to bardziej w zrasta; kolejno otrzymamy coraz to nowe pary krzywych, stycznych do coraz to więk­

szych kół, k ąty E G L i E C L X (patrz Fig. 4) zmniejszają się, aż dla pewnej wartości param etru a , którą oznaczymy przez k,,1), okaże się, że pierwiastek rów nania:

nr — v.H — o

jest ściśle rów ny odległości punktu H od C, t. j.

r = rH = I jH .

Obie krzywe zejdą się teraz ze sobą, ich wspólną osią sym m etryi będzie średnica E E V P u n k ty u innych krzyw ych oznaczone przez L , L X, L 2, L.a i t. d. zejdą się ze sobą i z punktem H.

Jednocześnie widzimy, że a nie może mieć większej wartości ja k a = afl, a raczej gdy a jest większe od a H, to krzyw a nie może prze­

chodzić przez II, albowiem je st styczna do koła o promieniu większym niż odległość GH. Z tego powodu nazwiemy ctH g r a n i c z n ą wartością param etru v. , zaś samą krzyw ą odpowiadającą temu parametrowi [na rysunku Fig. 4 krzyw a odpowiadająca param etrowi jest przedsta­

wiona krzyw ą M H N ] nazwiemy k r z y w ą g r a n i c z n ą . Naturalnie w kuli będziemy mieli pewną powierzchnię, p o w i e r z c h n i ę g r a n i ­ c z n ą , wytworzoną przez obrót krzywej M H N około osi E E i 2) Prze­

strzeń zaw artą między powierzchnią graniczną i tą częścią powierzchni kuli, wśród której znajduje się punkt E (epicentrum) nazwiem y p r z e ­ s t r z e n i ą albo o k o l i c ą w e w n ę t r z n ą , zaś przestrzeń między gra­

niczna powierzchnią i tą częścią powierzchni kuli, wśród której znajduje 1) Gdy n je st znane, wtedy łatwo obliczyć aff.

2) Gdy n jest stale, wtedy powierzchnią graniczną jest płaszczyzna prostopadła do osi E E t w punkcie H.

się punkt E t (t. j. antypody epicentrum), nazwiemy okolicą albo p r z e ­ s t r z e n i ą z e w n ę t r z n ą .

Jeżeli od punktu E (epicentrum) posuwamy się k u M , t. j. ku granicy wewnętrznej okolicy, to napotykam y po kolei punkty B B 2 i t. d., w których rozmaite promienie przecinają się z powierzchnią.

Promieniowi H E odpowiada param etr v. — o, promieniowi H B para­

m etr ^ > 0, promieniowi H /?2 param etr a2> a 1, jednem słowem w prze­

strzeni wewnętrznej mierzona wzdłuż powierzchni odległość danej sta- cyi od epicentrum i param etr a. wzrastają jednocześnie, t. j.

dD— > 0 . da.

Lecz skoro przekroczym y graniczną linię, to stan rzeczy zupełnie się zmieni, stacyom coraz to bardziej od epicentrum odległym odpowia­

dają coraz to mniejsze param etry, a zatem w przestrzeni zewnętrznej

ę < 0._{a a}

Jeżeli oznaczymy przez 0 k ąt środkowy odpowiadający łukowi D, to Z ) = f l 0 ,

a zatem możemy napisać:

w wewnętrznej przestrzeni:

d D d&

1U > 0 ~dz > °»

w zewnętrznej p rzestrzeni:

d D d 0

j — < o j - < o.

da. da.

Teraz możemy przejść do rozpatrzenia pozornej prędkości rozcho­

dzenia się drgań. W zór dla tej prędkości mieliśmy ju ż wyżej:

v = D = B 0 V I

---- "E ^A

Rozważając rozchodzenie się d rg a ń , zwrócimy uwagę tylko na drgania wprost dochodzące do stacyi, zaś pominiemy drgania odbite.

Pewna określona faza wstrząśnienia, którą nazwiemy fazą (S), prze­

biega wzdłuż promienia w ciągu czasu dt pewną nieskończenie małą drogę: ds, przyczem:

d s = u d t ,

gdzie w oznacza r z e c z y w i s t ą p r ę d k o ś ć rozchodzenia się drgań.

[8 5 8 ] o ROZCHODZENIU SIĘ DRGAŃ. 1 1

V

Ponieważ odwrotność tej rzeczywistej prędkości u jest to właśnie współ­

czynnik załamania n, więc:

dt — nds .

A zatem czas, w ciągu którego faza (S) przebiega przestrzeń od ogniska H do staeyi n. p. B będzie:

Tb — \ nds

'(BJ

Załóżmy, że faza (S) zdarzyła się w ognisku w chwili tn . Ponieważ ta faza potrzebuje czasu T n aby przebiedz przestrzeń między H i B . przeto da się uczuć na stacyi B w chwili:

Tb

a w epicentrum E w chwili:

tE — tB -f- Te .

Zatem wedle wzoru V I pozorna prędkość, z którą drgania przebiegaja przestrzeń dzielącą E od B • będzie:

Db Db

v - t - T = T ~ T _{°B -L B ---- E •} (V I*>

Wiadomo, że niemożna bezpośrednio spostrzedz chwili czasu t B, ale chwile tE i tB mogą być i byw ają bezpośrednio spostrzegane na stacyach B i E. Ponieważ:

^E— Tb -- Te ,

przeto: T — T E jest wielkością bezpośrednio daną przez spostrzeżenia, tak samo ja k D. Zatem v jest wielkością bezpośrednio daną przez spo­

strzeżenia, z której można określić nieznaną funkcyę n , t. j. innemi słowami: u.

Musimy teraz bliżej rozpatrzeć całki T„ i T E zachodzące w mia­

nowniku wzoru VI*. W tym celu weźmy równanie II* i pomnóżmy obie strony tego równania przez ds ; o trzym am y :

n r 2 . d 0 .d s — o i .d s 2 , ale:

d s 2 — d r 2 r 2d 0 2 ,

zatem po podstawieniu i łatw ych przerobieniach otrzym am y:

n d s = a.d% Ą— ~ ^ d r r 1 d 0 1 ale wedle równania: III*

12 M. P . RUDZKI. [359]

[360] O ROZCHODZENIU SIĘ DRGAŃ. 13

d r r _____ :___

cZ0 = ± ~ \ / n * r * - ** , z atem :

V II n d s = y.d 0 + \jn 2 r 2 __r>?— i Niech będzie:

V III p = ~\Jn2 r 2 — a 2 j

wtedy można równanie V II napisać w kształcie:

nds — a d 0 +_ p d r albo, ponieważ:

« dr d d =-= +_

r \J n 2 r 2 — «2 ’

IX d i _ + * • * ,

można ostatecznie napisać:

X n d s = i i (<P ~ x J ^ ) d r ■

Załóżmy najpierw, że punkt B znajduje się w okolicy wewnętrznej, to pierw iastek:

\Jn2 r 2 — a 2

pozostaje na całej przestrzeni od H do B (por. Fig. 4) dodatni, zatem p jest również wciąż dodatnie. Jeżeli zechcemy wyrazić k ą t 0 jako fun-

kcyę r , to musimy, ja k to widać ze wzoru I X , napisać:

d S - - f d r . aa.

Zaś k ą t 0 odpowiadajaCy łukowi 1)B będzie:

0 * := — df d r ■

cLt. (EJ

W tej całce należy w odpowiedni sposób określić granice całko- (t/t)

wania funkcyi -J która jest funkcyą zmiennej r. Punktowi E , t. j. epi-

CtOi 5

centrum, odpowiada na krzywej pun kt H , gdzie r = r

14 M. P. RUDZKf. [361]

zaś w punkcie B t jak o znajdującym się na powierzchni kuli, r ==■ R ,

zatem :

0 * = dl d r

dx

Przejdźm y teraz do całki T B . W edle wzoru X nds = + ( p — a J ^jdr.

granice będą oczywiście teżsame ja k w całce 0 a , a zatem:

t. j.

Tb = ( p d r + x ©£

J r n

albo wreszcie jeżeli wprowadzimy nowy sym bol: J B pisząc:

J,

to Tb — J B -{— oc 0 B

W eźmy nareszcie całkę T E. Ponieważ drgania zdążają od H do E wzdłuż prostej H E , przeto:

z a ś :

- i

</. = 0

„R

n d r = J E -ra

Zważywszy, że D„ = R S B i podstawiwszy te w yrażenia we wzorze VI, możemy dla pozornej prędkości rozchodzenia się drgań w o k o l i c y w e w n ę t r z n e j napisać wzór następu jący :

r*

dp dy. d r R

O ’ - * - « s ) d r

[362] O ROZCHODZENIU SIE DRGAŃ. 1 5

B &b

Jb + — J E

Utwórzmy teraz pochodną tej prędkości względem param etru . Po krótkich rachunkach, zważywszy, że granice całkowania w całkach 0 i J nie należą do param etru oc, że przeto

zważywszy dalej, że T ,, — J e wcale nie zawiera param etru oc, że zatem:

je st oczywiście zawsze tylko odjemny, a zatem J B — J E [w wewnętrz­

nej okolicy] jest zawsze tylko odjemne, t. j. w w e w n ę t r z n e j o k o l i c y d J E d T F

da. dy.

znajdziemy:

dy. \Jj; -(- ot0 B —■ J E\2 albo ponieważ:

R 0 = D

d y. \JB f — J Ą 2 .

Na mocy tego ostatniego wzoru możemy zaraz napisać:

d v t J ■—■ J E

--- l “ " Ej

dD \J B -\- x0_, — J Ą 2 ■

Oczywiście znak tej pochodnej zależy tylko od licznika:

ale element c a łk i:

16 ^{to. t \} r u d z k i.

t. j. w w e w n ę t r z n e j o k o l i c y p o z o r n a p r ę d k o ś ć z m n i e j - s z a s i ę w m i a r ę t e g o , j a k m i e r z o n a w z d ł u ż p o w i e r z ­ c h n i o d l e g ł o ś ć m i ę d z y s t a c y ą B i e p i c e n t r u m w z r a s t a . Zastanów my się jeszcze przez chwilę nad pozorną prędkością w samem epicentrum. D la epicentrum param etr a staje się równy zeru.

W e wzorze X I licznik i mianownik stają się równe zeru, jed n ak po­

zorna prędkość nie jest bynajm niej nieokreślona, przeciwnie badajac wedle znanych prawideł wartość wyrazu X I dla a = o znajdziemy, że :

v, = 00,

t. j. w epicentrum pozorna prędkość jest nieskończenie wielka. R ezultat ten jest w zgodzie ze spostrzeżeniami. Wiadomo, źe przy trzęsieniach ziemi okolica leżąca tuż naokoło epicentrum bywa wstrzaśniona prawie jednocześnie — tak, źe trudno oznaczyć to miejsce, które najpierw zo­

stało wstrząśnione (właściwe epicentrum). F a k t ten zazwyczaj tłoma- czono sobie w ten sposób, że przecie ognisko nie jest punktem ale pewną trójwym iarową przestrzenią niekiedy może naw et dość duża. W idzim y jednak, że to mniemanie je st po części tylko słuszne, albowiem nawet w takim razie, gdyby ognisko było m atem atycznym punktem, to zaw­

sze najbliższe dokoła epicentrum punkty doznałyby wstrząśnienia prawie jednocześnie tak, że w praktyce epicentrum przedstaw iłoby się nam, nie jako punkt, lecz jak o pew na mniejsza lub większa powierzchnia.

Nawet najdokładniejsze i najlepiej zregulowane zegary nie zdołałyby zanotować tych bardzo a bardzo małych różnic między chwilami czasu, w których nastąpiło wstrząśnienie w blizkich od siebie punktach po­

wierzchni ziemi.

Przejdźm y teraz do rozpatrzenia pozornej prędkości w o k o l i c y z e w n ę t r z n e j . Obliczmy całki 0 ... T i t. d. dla stacyi położo­

nej w okolicy zewnętrznej n. p. dla stacyi A x . W okolicy zewnętrznej tym samym wartościom param etru oc odpowiadają inne wartości ćałek 0 , T i t. d. niż w okolicy wewnętrznej n. p. dla

a — o w wewnętrznej okolicy O,, = o w zewnętrznej 0 jfl= -

Promień łączący punkt H z punktem A u t. j. promień H A { (Tabl. X II fig. 4) od H do L zbliża się ku środkowi kuli, zaś od L do A x oddala się od środka. W skutek tego od I I do L — jest od-d 0

d r jem ne, od L do A x ^ je st dodatnie, zatem :

od H do L

[ 3 6 4 ] 5 K 0 Z C II0 D 2 K N 1 U S IĘ D K Ó A Ń . i i

d 0 = — d r

od L do A t

dp Y w 2 r 2 — a 2 c?a

dO =

d r dp

\J n 2 r 2 — a 2 rfad r .

Biorąc całkę 0 dla k ąta odpowiadającego całej drodze od H do musimy całkowanie rozdzielić na dwie części. Dla drogi od # do £ granice będą:

r — r H — G H i r = r L = GL . zaś dla drogi od L do A x m am y granice:

r = r L = GL i r = R } zatem :

0 ^ i = dp

da d r — dp

da.

albo odwracając granice w pierwszej całce:

dp dy. ^{d r}

dp da. dr .

Możemy też n a p isa ć : X IV

gdzie

0.4i = 2 0 o - 0 X ,

©o = ~ f d r

act.

ą = i i r .

ax

P rzy symbolach 0 O i 0 X opuściliśmy wskaźnik A 1} aby uprościć znakowanie.

Zanim pójdziemy dalej, musimy trochę zastanowić się nad całką:

0 O, w której funkcyą, stojąca pod znakiem całkowania dla dolnej gra­

nicy staje się nieskończenie wielką, albowiem:

dp ty. _____ I da. r \J n 2r 2 — a 2 . gdy zaś r = r£ , t o :

nr — a = o . Należy zbadać bliżej te równanie.

Ponieważ, ja k to wyżej było powiedziane, funkcyą n daje się za­

wsze rozwinąć na skończony lub nieskończony szereg potęg rosnących całkowitych, przeto można zawsze napisać:

nr — a. = (r — r L) m ij; ,

gdzie ty jest pewną funkcyą, która ani w punkcie r == rL ani też wogóle na całej przestrzeni od r = o do r = R nie staje się zerem, zaś m jest w ykładnik całkow ity dodatni.

Lecz w naszym przypadku ten w ykładnik będzie nietylko całko­

w ity i dodatni, ale co więcej równy jedności. Albowiem gdyby n było większe od jedności, to wtedy nietylko

nr — a

ale i pochodna tej funkcyi względem r byłaby równą zeru w punkcie r — rL . A le :

i [nr — a) d(nr) dr = ~dr~ ’ a zatem :

d(nr)

~ d V = ° • t. j.

n + r T r = o .dn

Lecz to ostatnie równanie je st zgoła niemożebne, albowiem wszyst­

kie trzy w ielkości: n, r i są dodatnie, pierwsze dwie same przez się, zaś ostatnie dzięki założeniu, któi’e uczyniliśmy na początku naszej rozprawy.

Lecz wiadomo, że jeżeli m < 2 , to wtedy całka 0 O pozostaje skończoną.

18 M. P. RUDZKI. [^65]

[366] O ROZCHODZENIU SIĘ DRGAŃ. 19 Największą wartość osiąga 0 O dla param etru a = o, mianowicie

wego, odpowiadającego całemu łukowi E M E 1: t. j. połowie obwodu koła.

(N aturalnie ta uwaga odnosi się do zewnętrznej okolicy, zresztą w we­

wnętrznej okolicy wcale nie wprowadzaliśmy kąta 0 O do naszych ro­

zumowań).

Ponieważ dla dolnej granicy całki 0 O , nr — a. staje się równe zeru, przeto niedogodnie tworzyć pochodną

przy pomocy zw ykłych sposobów różniczkowania pod znakiem całko­

wania, otrzym alibyśm y bowiem z jednej strony całkę nieskończoną, z dru­

giej strony wyraz stojący zewnątrz znaku całkowania (bo dolna g ra­

nica całki 0 O zależy od param etru a] także nieskończenie wielki i mu­

sielibyśmy dopiero badać, czy te nieskończoności wzajemnie się nie neu­

tralizują i t. d. Tymczasem przy pomocy prostego rozumowania do­

wiedziemy, źe jest w rzeczywistości zawsze skończone. Dowiedziemy zaś tego w sposób następujący.

W eźmiemy na uwagę następujące całki:

Granice całki J x są oczywiście od a niezależne, przytem niema tu ża­

dnej nieskończoności; a zatem:

gdy a = o 0 O = — , albowiem wtedy 0 O jest połową kąta środko-7C

X V

L

Tedy jest w idocznie:

J A i -- 2 Jq --- f/j . X V I

X V II

2 0 M, P. RUDZKI. F367]

Lecz jeżeli weźmiemy pochodną całki t/0 d J 0 d C*

d z da •'

to musimy zwrocie na to uwagę, że r L jak o pierw iastek równania:

nr — ot = o jest od ot zależne, z a te m :

d J 0 ^ d J Q 9 J 0, drL

dz dz dr. dz

ale ponieważ

■L c\ pdr = — \Jn2 r 2 — x2 . dr przeto

c) J 1.

= [ — V « 2 r s — z 2] dla r — r L • lecz w yraz ten zniknie dla r = rL, a zatem:

drL

t. j. całka J 0 od dolnej granicy nie zależy i będzie:

d Jq d Jq

t. j.

t. j.

d J , d z

dz dz

d r — — 0 d z T ~ U°-

0 ^{= —}

0 dz

d J 0 dz

X V I

Lecz jeżeli 0 O jest pochodną funkcyi od rL niezależnej , to również nie będzie zależeć od tej granicy, a zatem i pochodna

dz.

nie będzie zależna od r — rL i nie może być nieskończoną, bo punkt, w którym owa nieskończoność zachodzi, je st to właśnie punkt

1368] O ROZCHODZENIU SIE DROAŃ. 21 Zupełnie takie same rozumowania przekonałyby nas. że pochodne catek

T są również skończone, albowiem również nie zależą od granicy : r — rŁ.

Czas, w ciągu którego drgania przebiegają od H do A 1 po dro­

dze H L A X w yraża się całką gdzie:

Ta, =

cz y li:

?S II ( p - j £ ) d r -

rL

( ? -

r /l -40

Na podstawie wzorów: X IV , X V aż do X V III włącznie możemy napisać:

9 J n\ f , 9

a lb o :

T Ai — 2 (e/0 + a 0 o) — (t/j « 0 t ) .

Wreszcie czas, w ciągu którego drgania przebiegają przestrzeń między punktam i G i E jest tak jak poprzednio dla wewnętrznej oko­

licy Te , gdzie:

Te = Je ndr .

Podstawm y te wyrażenia we wzorze V I a otrzymamy:

X IX

T — T

-*■ A\ •*- E

i?0

■ f . U : + 7^-0^1 ^— J E

R ( 2 - 0 J

• d"v

Jeżeli teraz utworzymy pochodną to otrzym am y po łatwych prze­

kształceniach :

d<rh

X X dv

dx

B ' Al Je)

{Ja\ + « 0 i i - J Ęy

2 2 M. P . RUDZKI. [369]

Skąd ponieważ B & Al = D , gdzie D oznacza mierzoną wzdłuż po­

wierzchni kuli najkrótszą odległość od epicentrum E do stacyi , wynika

d ve (Ja i Je) (2 Jq J \ Je)

dD W ~

gdzie dla krótkości wprowadziliśmy symbol M zam iast:

J.n + rj- — Je •

Oczywiście znak pochodnej ^ zależy tylko od licznika:

2 Jq—J x — Je— 2 \ w2 r 2 ^dr \J ra 2 r 2 -dr

ndr

Na granicy między wewnętrzną i zewnętrzną okolicą param etr a posiada największą wartość:

a = xH jednocześnie zaś:

r = rH , zatem dla:

a «= xH ,s

2 J o Jy Je '\J n 2 r 2 — a 2 — raj d r.

Ponieważ zaś wszystkie elementy tej całki są odjemne więc licz­

nik wyrażenia X X I dla a = xB , t. j. na granicy między zewnętrzną i wewnętrzną okolicą jest odjemny.

Z drugiej strony dla punktu E t , t. j. dla antypodów epicentrum:

zaś:

J 0— -7j

SrE

O

ndr

t. j. licznik wyrażenia X X I jest dodatni. Poczynając od granicy m ię­

dzy zewnętrzną i wewnętrzną okolicą i antypodami epicentrum E L pa­

ram etr 7. wciąż maleje w miarę tego ja k odległość od epicentrum wzrasta, a w skutek tego:

2J„ Y ra2 r 2 —a 2 d r

+ y n 2r 2 — a 2 ■—- r

[370] O ROZCHODZENIU SIĘ D liG A N . 23 które zresztą jest widocznie ciągle dodatnie, wzrasta w miarę tego jak odległość od epicentrum się zwiększa, albowiem i elementy całki się zwiększają i granice całkowania stają się obszerniejsze.

Tymczasem

Te = J E = \ ndr rH

jako wielkość od y niezależna pozostaje stałe.

Oczywistą jest rzeczą, że w tych w arunkach wyraz: 2J0 — J 1— J E może między granicą wewnętrznej okolicy i antypodam i epicentrum tylko raz przejść przez wartość zero.

A zatem między granicą wewnętrznej okolicy i pewnem kołem różnoleżnikowem (naturalnie mówimy o równoleżniku odniesionym do osi EEy), określonem przez równanie

X X II 2 J 0 — J y — J E = o

•i .

d l) ° d j e m n y , a poczynając od tego koła aż do antypodów epicentrum d o d a t n i .

Zestawiając teraz znalezione rezultaty z tem, co wprzódy znale­

źliśmy dla wewnętrznej okolicy j możemy powiedzieć, że: p o z o r n a p r ę d k o ś ć w s a m e m e p i c e n t r u m j e s t n i e s k o ń c z e n i e w i e l k a , n a s t ę p n i e w m i a r ę t e g o , j a k m i e r z o n a w z d ł u ż p o ­ w i e r z c h n i k u l i o d l e g ł o ś ć d a n e g o p u n k t u w z r a s t a , w c a ł e j w e w n ę t r z n e j p r z e s t r z e n i i p o z a g r a n i c a m i w e w n ę t r z n e j p r z e s t r z e n i z m n i e j s z a s i ę a ż d o k o ł a r ó w n o l e ż n i k o w e g o (względem osi E E X) o k r e ś l o n e g o p r z e z r ó w n a n i e X X II, t. j. p r z e z r ó w n a n i e :

2 J o J x J E = o .

N a t e m k o l e p o z o r n a p r ę d k o ś ć j e s t n a j m n i e j s z a , p o ­ c z y n a j ą c z a ś o d t e g o k o ł a a ż d o a n t y p o d ó w e p i c e n- t r u m,_ t. j. do p u n k t u E x w c i ą ż w z r a s t a i w s a m y c h a n ­ t y p o d a c h e p i c e n t r u m o s i ą g a s w o j e d r u g i e m a x i m u m (pierwsze maximum istnieje w epicentrum).

W arto tu zaznaczyć, że jedyne założenia, które poczyniliśmy wzglę­

dem natury funkcyi n, b yły: I) źe ta funkcyą jest ciągłą, 2) że między r = o i r — R funkcyą n wzrasta razem z r. Ale gd yby nawet pierw­

sze założenie nie było spełnione tylko drugie, to prawo zmienności po­

zornej prędkości pozostałoby to samo.

24 M. i>. k tlD zK l. [371]

Równanie X X II oznacza granicę między okolicą, gdzie pozorna prędkość się zmniejsza i okolicą, gdzie ta pozorna prędkość wzrasta.

Granica ta leży zawsze w zewnętrznej okolicy i co najwięcej może w pewnych przypadkach być identyczną z granicą między wewnętrzną i zewnętrzną okolicą.

O ile się zdaje spostrzeżenia poczynione przy pomocy różnych now­

szych udoskonalonych przyrządów pozwoliły skonstatować istnienie tej granicy. T ak n. p. Rebeur-Paschwitz !) przytacza szereg spostrzeżeń od­

noszących się do pewnego trzęsienia ziemi w Serbii, przy którem poło­

żenie granicy między okolicą, gdzie pozorna prędkość maleje, i okolicą, gdzie pozorna prędkość wzrasta, daje się przybliżenie oznaczyć. Miano­

wicie na W ęgrzech ta granica znajdow ała się mniej więcej w odległości 6 0 0 —700 kilometrów od epicentrum.

P rzy wielu innych trzęsieniach ziemi nie udało się skonstatować tej granicy, ale to wcale nie znaczy, żeby ta granica nie istniała. Aby ją było można skonstatować należy posiadać cały szereg spostrzeżeń ze stacyi w różnych odległościach od epicentrum, tymczasem najczęściej tak nie jest. I tak n. p. względem tak częstych trzęsień ziemi w J a ­ ponii, europejskie stacye leżą wszystkie ju ż w okolicy rosnącej pozornej prędkości, zaś japońskie jak o blizkie od epicentrum zapewne znajdują się wszystkie w okolicy malejącej pozornej prędkości. Gdybyśm y mieli szereg stacyi między Europą i Japonią, to moglibyśmy stwierdzić, czy omawiana wyżej granica istnieje i gdzie je st położona.

W ażnych wskazówek mogą dostarczyć spostrzeżenia nad trzę­

sieniami ziemi we Włoszech, G recyi i Małej Azyi, ale ten zasób spo­

strzeżeń, który obecnie posiadamy, nie upoważnia jeszcze do stanow­

czych wniosków.

Rozwiązać równanie X X I I można naturalnie tylko wtedy gdy n je st z n a n e 2). W przypadku szczególnym gdy n jest wielkością stałą (t. j. dla kuli izotropowej) można równanie X X I I tłum aczyć geometry­

cznie w dość prosty sposób. Pom ijając rachunki, które każdy łatwo so­

bie może odtworzyć, wskażemy, źe równanie X X I I t. j.

2 J 0 J L — J E = O

jest rownoważne następującemu geometrycznemu związkowi [patrz F. 5]:

') Beitr. zur Geophysik II tom str. 490.

2) Naturalnie, gdy ze spostrzeżeń znamy geometryczne miejsce, w którem rów­

nanie XXII jest spełnione, to możemy tę empiryczną (laną zużytkować w celu okre­

ślenia funkcyi n.