MODELOWANIE KRZYWYCH UMOCNIENIA WYBRANYCH STALI SPAWALNYCH
Z UWZGLĘDNIENIEM WPŁYWU TEMPERATURY
Jerzy Winczek
1a, Paweł Ziobrowski
1b1Instytut Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn, Politechnika Częstochowska
awinczek@imipkm.pcz.czest.pl, bpawel_ziobrowski@o2.pl
Streszczenie
Obliczanie naprężeń w elementach stalowych poddanych oddziaływaniu obciążeń cieplno-mechanicznych wyma- ga uwzględnienia wpływu temperatury na własności mechaniczne materiału, w tym na krzywą rozciągania.
W pracy, bazując na równaniach Hollomona, Ludwika, Swifta i Voce’a, omówiono modelowanie krzywych umoc- nienia stali S235, S355J2H i S460M z uwzględnieniem wpływu temperatury. Rozważania przeprowadzono na pod- stawie rezultatów badań doświadczalnych publikowanych w literaturze w postaci krzywych rozciągania wymienio- nych stali dla wybranych temperatur. Wyznaczono wartości parametrów w równaniach poszczególnych modeli, co umożliwiło analityczne opisanie krzywych umocnienia materiału.
Słowa kluczowe: mechanika, termomechanika, modelowanie.
STRAIN-HARDENING CURVES MODELLING
FOR SELECTED WELDABLE STEELS CONSIDERING THE INFLUENCE OF TEMPERATURE
Summary
Calculation of stresses in the steel elements subjected to the influence of thermo-mechanical loads requires tak- ing into account the influence of temperature on material properties, including stress-strain curve. In this paper, on the basis of Hollomon, Ludwik, Swift and Voce equations, the modeling of strain-hardening curves of steels S235, S355J2H, S460M considering the influence of temperature is discussed. The consideration were made on the basis of experimental results published in the literature as stress-strain curves for the mentioned steels for selected temperatures. The values of the parameters in the equations of the individual models were determined, which al- lowed to analytical description of the material strain-hardening curves.
Keywords: mechanics, thermomechanics, modelling.
1. WSTĘP
Modelowanie stanów termomechanicznych metali i ich stopów wymaga zdefiniowania zależności napręże- nie-odkształcenie w funkcji temperatury. Matematyczne modelowanie krzywych rozciągania jest przedmiotem
poddanych działaniu zmiennego w czasie i przestrzeni polu temperatury. Stosowane są wówczas różne modele wzmocnienia materiału oraz poszukiwane są funkcje wiążące z temperaturą takie parametry krzywej rozcią-
2. MODELE KRZYWYCH UMOCNIENIA
Ludwik [1] zapoczątkował modelowanie krzywej na- prężenie-odkształcenie, opisując ją funkcją:
(1) gdzie σ oznacza naprężenie, σ0 granicę plastyczności, ε odkształcenie plastyczne, a KL i nL są parametrami wyznaczanymi doświadczalnie. Z kolei Hollomon [2, 3]
zaproponował funkcję:
(2) Swift [4] w odniesieniu do prawa Hollomona wpro- wadził stałą do wyrażenia na odkształcenie:
lub (3)
gdzie ε0, KS, K’S, nS i n’S są parametrami.
Ponieważ podczas badań stali austenitycznej AISI 304 równanie Ludwika dla odkształceń plastycznych mniejszych od 0,1 wykazało różnice w odniesieniu do krzywej rozciągania uzyskanej eksperymentalnie, Lu- dwigson [5] zaproponował zmodyfikowane równanie Ludwika postaci:
exp ! (4)
W modelowaniu krzywej wzmocnienia w podwyższo- nych temperaturach na podstawie związków pomiędzy naprężeniem i odkształceniem określonych przez Voce’a [6], korzysta się z funkcji (Sivaprasad i in. [7]):
"# $1 # exp&#'(''
) *+ (5)
gdzie ε jest odkształceniem plastycznym, σ1 i ε1 ozna- czają odpowiednio pierwszy pomiar naprężenia i od- kształcenia, σs naprężenie saturacyjne, a εc stałą od- kształcenia. W przypadku ε1 0 (granica stosowalności prawa Hooke’a lub wyraźna granica plastyczności), wówczas:
"# /exp !/ (6)
gdzie nv – 1 / εc.
Kleemola i Nieminem [8] wyznaczyli współczynniki równań Ludwika, Hollomona, Swifta i Voce’a dla miedzi.
Samuel i Rodriguez [9] wyznaczyli parametry równań Ludwigsona i Swifta dla stali nierdzewnej AISI 316, natomiast Donnini i in. [10] parametry równania Voce’a dla odmiany tego gatunku stali AISI316L. Mishra i in.
[11] dokonali analizy wpływu temperatury na krzywą umocnienia stali niskosostopowej. W pracy [12] zapropo-
nowano określenie parametrów sprężystości i umocnienia dla stali SAE 1045 stosując metodę elementu skończone- go. Wegner [13, 14] zaproponował metodę energetyczną modelowania krzywej rozciągania, która jednak jest trudna do zastosowania w praktyce inżynierskiej.
Ponieważ przebieg krzywej rozciągania zależy od wielu czynników, przede wszystkim od rodzaju materiału i temperatury, ale również od wcześniejszej historii obciążenia (umocnienia) materiału, a także od kształtu próbki w statycznej próbie rozciągania [15], tematyka ta budzi nieustanne zainteresowanie badaczy. Prowadzone są badania zarówno w zakresie zastosowania wymienio- nych praw umocnienia materiału i wyznaczania parame- trów ich równań w odniesieniu do poszczególnych metali i ich stopów [16-21], poszukiwania bardziej rozbudowa- nych modeli [22], wpływu temperatury na krzywą na- prężenie-odkształcenie [11,19], jak również analizy numerycznej statycznej próby rozciągania [23-25].
W odniesieniu do przeznaczonych do spawania stali S235, S355J2H i S460M brak jest analitycznych modeli krzywych rozciągania (umocnienia) w funkcji temperatu- ry.
3. WYZNACZANIE PARAMETRÓW RÓWNAŃ KRZYWYCH
UMOCNIENIA
Bazując na wynikach badań doświadczalnych zawar- tych w [19,26], dokonano analizy modeli krzywych umocnienia materiału w funkcji temperatury dla stali S235, S355J2H i S460M. Wartości parametrów równań Ludwika (1), Hollomona (2), Swifta (3) i Voce'a (6) zestawiono w tab. 1. W przypadku stali S235 i S460M dla temperatury 373 K nie wyznaczono parametrów równań ze względu na sprężysto-idealnie plastyczny charakter materiału. Najlepsze przybliżenie do rzeczywi- stych krzywych rozciągania dla stali S235 uzyskano prawami Swift’a i Hollomona (rys. 1), a dla stali S355J2H i S460M równaniami Swifta i Voce’a (rys. 2 i 3). Następnie określono zależność parametrów poszczególnych równań od temperatury, które dla prawa Swifta (wystarczająco zgodnego z wynikami ekspery- mentu) prezentuje tab. 2. Porównanie wyznaczonych krzywych umocnienia stali S235, S355J2H i S460M modelowanych za pomocą prawa Swifta z krzywymi interpolowanymi i rezultatami badań doświadczalnych w temperaturze 773 K przedstawia rys. 4. Krzywe umocnienia określone funkcjami zawartymi w tab. 2 wykazują lepsze przybliżenie do krzywych doświadczal- nych niż przez zastosowanie interpolacji.
Hollomon Ludwik Swift Voce T [K] KH [MPa] nH KL [MPa] nL K’S [MPa] n’S ε0 KV [MPa] nV
S235
473 272,175 0,038 453,298 0,581 278,386 0,044 0,000143 45,06 -364,549 573 317,171 0,076 1133,528 0,661 342,508 0,096 0,000220 81,03 -406,619 673 377,476 0,119 1579,657 0,651 412,872 0,142 0,000146 115,80 -440,321 773 282,725 0,108 1225,070 0,670 318,737 0,138 0,000224 83,68 -376,615 873 188,152 0,131 835,404 0,660 198,876 0,145 0,000099 58,78 -322,585 973 102,093 0,154 680,983 0,761 112,389 0,178 0,000146 31,54 -257,223 1073 39,518 0,104 275,728 0,799 55,331 0,191 0,000995 11,24 -347,120
S355J2H
373 595,623 0,025 1091,586 0,686 629,030 0,038 0,000552 67,01 -320,757 473 598,873 0,033 1364,178 0,676 640,770 0,050 0,000470 86,90 -324,231 573 640,525 0,055 2200,745 0,684 711,770 0,081 0,000405 133,55 -330,040 673 588,637 0,061 2223,998 0,689 661,720 0,090 0,000393 131,66 -331,900 773 520,860 0,097 2588,759 0,699 604,110 0,133 0,000281 147,41 -332,185 873 289,489 0,127 1413,884 0,676 326,120 0,156 0,000156 89,69 -329,945 973 144,013 0,125 559,759 0,612 156,100 0,145 0,000091 45,90 -337,570 1023 93,107 0,111 411,527 0,661 103,820 0,138 0,000169 28,02 -325,894 1073 50,166 0,112 208,059 0,653 54,542 0,134 0,000150 15,13 -311,631 1123 62,539 0,186 149,298 0,485 56,673 0,162 0,000007 21,38 -325,011 1173 29,028 0,147 105,904 0,612 29,477 0,151 0,000066 9,30 -310,561
S460M
473 471,344 0,027 788,822 0,647 493,196 0,038 0,000386 58 -317,309 573 502,098 0,056 1711,259 0,685 553,721 0,080 0,000383 106 -319,686 673 598,901 0,107 2464,738 0,645 661,393 0,132 0,000155 179,5 -323,920 773 551,127 0,114 2320,523 0,645 607,159 0,138 0,000140 168,2 -327,345 873 346,915 0,105 1672,941 0,691 393,790 0,136 0,000230 101,2 -316,296 973 161,562 0,083 613,282 0,657 177,762 0,107 0,000223 43,2 -318,325 1023 123,862 0,094 481,586 0,645 137,374 0,120 0,000196 35,3 -308,897 1073 101,588 0,123 505,125 0,683 113,804 0,152 0,000159 31,2 -337,552 1123 72,105 0,128 166,907 0,428 79,340 0,151 0,000011 28,1 -364,881 1173 76,241 0,209 349,243 0,631 79,301 0,218 0,000023 23,5 -398,507
a) b)
a) b)
Rys. 2. Krzywe umocnienia stali S355J2H modelowane za pomocą praw: a) Swifta, b) Voce’a
a) b)
Rys. 3. Krzywe umocnienia stali S460M modelowane za pomocą praw: a) Swifta, b) Voce’a
S235 S355J2H S460M P Qexp R# P # S
2T U Q 391,2797302490139
S 647,9846682740616 T 203,0427264983922
VWXYZZ[Z 19,626688
P Q
1 &PS*\ Q 670,2984989708061 S 884,146746586599 T 12,74985312789783
VWXYZZ[Z 32,176850
P Q SP
1 TP XP Q 163,3955831384471 S #0,1229023074644325 T #0,002400126141161208 X 1,626304058223367 ] 10(^
VWXYZZ[Z 29,934280
! P Q P # S\ Q 0,01780419670999428 S 461,0197801011037 T 0,3650907939526707
VWXYZZ[Z 0,012356
! P Q
1 exp S # TP _ Q 0,1476666668139056 S 336,8850870542972 T 0,4150283971064783 X 137,1253968869072
VWXYZZ[Z 0,010158
! P Q SP TP XP` aPb Q 0,8608862655567919
S #0,006507183466894106 T 1,677637207339389 ] 10(c X #1,701676064922982 ] 10(d a 6,005812850272161 ] 10(
VWXYZZ[Z 0,012457
P 1
Q SP TP Q #19884.20420200704 S 80,31024731363362 T #0,05670069914850869
VWXYZZ[Z 0,000084
P Q
1 exp S # TP Q 6.351980664001053 ] 10(b S #3,586111792056053 T #0,005022499532782981
VWXYZZ[Z 0,000047
P Q SP TP XP` Q 0,00337825374917339 S #1,166033870175171 ] 10(c T 1,419050350024507 ] 10(d X #5,713955146274866 ] 10(
VWXYZZ[Z 0,000068
a) b) c)
Rys. 4. Porównanie wyznaczonych krzywych umocnienia stali a) S235, b) S355J2H, c) S460M modelowanych za pomocą prawa Swifta z krzywymi interpolowanymi i rezultatami badań doświadczalnych w temperaturze 773 K
4. WNIOSKI
W pracy na podstawie rezultatów badań doświad- czalnych innych autorów wyznaczono parametry równań Hollomona, Ludwika, Swifta i Voce’a dla krzywych umocnienia stali spawalnych: S235, S355J2H i S460M.
Zaproponowano funkcje wiążące wartości tych parame- trów z temperaturą. Na podstawie przeprowadzonych obliczeń i otrzymanych zależności parametrów praw umocnienia w funkcji temperatury można stwierdzić, że dla przyjętych w pracy gatunków stali spawalnych najlepsze przybliżenie do rzeczywistych krzywych roz- ciągania uzyskano prawami Swifta i Hollomona (S235) oraz Swifta i Voce’a (S355J2H i S460M).
W przypadku stali S235 i S460M dla temperatury 373 K nie wyznaczono parametrów równań ze względu na sprężysto-idealnie plastyczny charakter materiału.
Dla wszystkich trzech gatunków stali słabe przybliżenia do danych doświadczalnych uzyskano modelami Ludwi- ka, zwłaszcza w zakresie do 773 K. Zgodnie z [21] war- tość naprężenia w krzywych umocnienia modelowanych równaniem Hollomona jest przeszacowana w początko- wej części charakterystyki oraz zaniżona w części koń- cowej. Dla żadnej z temperatur nie udało się w całości zamodelować krzywych umocnienia wybranych stali równaniem Ludwigsona.
Literatura
1. Ludwik P.: Elemente der Technologischen Mechanik. Berlin: Verlag von Julius Springer, 1909, p. 32.
(http://www.bookprep.com/read/mdp.39015002016650)
2. Hollomon J. H.: Tensile deformation. Trans. Metall. Soc. AIME, 1945, Vol. 162, p. 268 - 290.
3. Hollomon J.H., Jaffe L.D.:Time-temperature relations in tempering steel. Trans. Metall. Soc. AIME, 1945, No 1381, p. 1 – 26.
4. Swift H.W.: Plastic instability under plane stress. “Journal of the Mechanics and Physics of Solids” 1952, 1, p. 1 - 18.
5. Ludwigson D.C.: Modified stress-strain relation for FCC metals and alloys. “Metallurgical Transactions” 1971, 2, p.
2825 – 2828.
6. Voce E.: The relationship between stress and strain for homogeneous deformation. “Journal of the Institute of Metals”
1948, 74, p. 537 – 562.
7. Sivaprasad P.V., Venugopal S., Venkadesan S.: Tensile flow and work-hardening behavior of a Ti-modifed austenitic stainless steel. “Metallurgical and Materials Transactions” 1997, 28A, p. 171 – 178.
8. Kleemola H.J., Nieminen M.A.: On the strain-hardenig parameters of metals. “Metallurgical Transaction” 1974, 5, p.
1863–1866.
9. Samuel K.G., Rodriguez P.: On power –law type relationships and the Ludwigson explanation for the stress-strain behaviour of AISI 316 stainless steel. “Journal of Materials Science” 2005, 40, p. 5727 – 5731.
10. Donnini R., Ripamonti D, Maldini M., Angella G.: Modelling tensile curves of AISI316L at high temperatures starting from strain hardening analysis. In: Materials Science Forum 2013 (762), p. 341 – 436.
11. Mishra N.S., Mishra S., Ramaswamy V.: Analysis of the temperature dependence of strain-hardening behavior in high strength steel. “ Metallurgical Transactions” 1989, 20A, p. 2819 – 2829.
12. Cabezas E.E., Celentano D.J.: Experimental and numerical analysis of the tensile test using sheet specimens. “Finite Elements in Analysis and Design” 2004, 40, p. 555-575.
13. Wegner T.M.: Metody energetyczne w wytrzymałości materiałów. Poznań: Wyd. Pol. Poznańskiej, 1999.
14. Wegner T.: Energetyczne modelowanie w nieliniowej mechanice materiałów konstrukcyjnych. Poznań: Wyd. Pol.
Poznańskiej, 2009.
15. Grosman F.: Wskaźnik stanu naprężeń w próbie rozciągania próbek okrągłych. “Obróbka Plastyczna” 1976, s. 129 – 132.
16. Bergström Y., Aronsson B.: The application of a dislocation model to the strain and temperature dependence of the starin hardening exponent n in the Ludwik-Hollomon relation between stress and strain in mild steels, Metallurgical Transaction 3 (1972) 1951 – 1957.
17. Bowen A.W., Partridge P.G., Limitations of the Hollomon strain-hardening equation. “ Journal of Physics” D: Applied Physics 1974, 7, p. 969 – 978.
18. Girish Shastry C., Mathew M.D., Bhanu Sankara Rao K., Mannan S.L.: Analysis of elevated temperature flow and work hardening behaviour of service-exposed 2.25 Cr-1Mo steel using Voce equation. “International Journal of Pressure Vessels and Pipping” 2004, 81, p. 297 – 301.
19. Vila Real P.M.M., Cazeli R., Simoes da Silva L., Santiago A., Piloto P.: The effect of residual stresses in the lateral- torsional buckling of steel I-beams at elevated temperature. “Journal of Constructional Steel Research 60” 2004 p. 783 - 793.
20. Kim Y.M., Kim S.K., Kim N.J.: Correlation of yield ratio with materials constants of constitutive equation. In: “Mate- rials Science Forum” 2005, p. 475-479, p. 289-292.
21. Samuel K.G.: Limitations of Hollomon and Ludwigson stress–strain relations in assessing the strain hardening parame- ters. “Journal of Physics” D: Applied Physics 2006, 39, p. 203 - 212.
22. Guimarães J.R.C.: On the analysis of stress-strain curves. “Scripta Metallurgica” 1974, 8, p. 919 – 922.
23. Gawąd J., Pidvysotskyy V., Szeliga D., Paćko M., Pietrzyk M.: Zastosowanie optymalizacji wielokryterialnej do wyzna- czania krzywej umocnienia metalu na podstawie różnych prób plastometrycznych. „Rudy i Metale Nieżelazne” 2003, 48, nr 10-11, s. 522 – 526.
24. Gawąd J., Szeliga D., Bator A., Pidvysotskyy V., Pietrzyk M.: Interpretacja wyników próby rozciągania w oparciu o optymalizację dwukryterialną. W; KomPlasTech 2004, Informatyka w technologii metali: materiały 14. konferencji, ed.
M. Pietrzyk i in. Kraków: Wyd. Nauk. „Akapit”, 2004, s. 27 – 34.
25. Kaur Gurpreet: Experimental and numerical analysis of tensile test. Master Thesis, Thapar Institute of Engineering and Technology, Patiala, India 2007.
26. Outinen J., Kaitila O., Mäkeläinen P.: High-temperature testing of structural steel and modelling structure at fire temperatures. Research report. Helsinki Univeristy of Technology, Laboratory of Steel Structures, Publications 23, Es- poo 2001.
