Analiza Matematyczna Wykład 9 Asymptoty Zdarza si¸e że wykres funkcji zbliża si¸e nieograniczenie do pewnej prostej, np. wykres funkcjif (x) =

Analiza Matematyczna Wykład 9

Asymptoty

Zdarza si¸e że wykres funkcji zbliża si¸e nieograniczenie do pewnej prostej,

np. wykres funkcjif (x) = ¹ _x zbliża si¸e nieograniczenie do osi poziomej układu współrz¸ednych.

POdobnie jest w przypadku niektórych innych funkcji, np. ilorazu wielomianu przez wie- lomian stopnia o 1 mniejszego takiego samego lub wi¸ekszego z tym że prosta do której si¸e wykres zbliża nie musi być wtedy pozioma. Mówimy wtedy o asymptotach. Ścisła definicja, z której b¸edziemy korzystać wygl¸ ada tak:

Definicja asymptoty

1. Asyptot¸ a funkcji f określonej na pewnej półprostej postaci (a, +∞) , przy x → +∞

nazywamy prost¸ a o równaniu y = ax + b, tak¸ a, że lim _x→∞ (f (x) − ax − b) = 0. Jeśli a = 0 to mówimy o asymptocie poziomej, w przypadku a 6= 0 o asymptocie ukośnej lub pochyłej.

2.Jeśli funkcja określona jest na przedziale postaci (a, b), gdzie b < +∞ i lim _x→b f (x) = +∞ lub lim _x→b f (x) = −∞, to mówimy, że prosta x = b jest lewostronn¸ a asymptot¸ a pionow¸ a przy x → b ⁺ lub prawostronn¸ a asymptot¸ a pionow¸ a przy x → b ⁻ .

Analogicznie definiujemy asymptoty przy x → −∞. Z definicji wynika, że jeśli prosta y = ax + b jest asymptot¸ a wykresu funkcji f przy x → +∞, lub przy x → −∞, to a = lim x→∞ f (x)

x i b = lim x→∞ (f (x) − ax). Jeśli istnieje lim x→∞ f ⁰ (x), to na mocy twier- dzenia markiza de l’Hospitala zachodzi równość lim _x→∞ f ⁰ (x) = lim _x→∞ ^{f (x)} _x

Przykłady

Prosta y = 0 jest asymptot¸ a wykresu funkcji f (x) = ¹ _x zarówno przy x → +∞ jak i przy x → −∞.

Prosta y = x + 2 jest asymptot¸ a wykresu funkcji g(x) = ^x

_x−1 ^+x+1 przy x → +∞ oraz przy x → −∞, zaś prosta pionowa x = 1 jest asymptot¸ a pionow¸ a obustronn¸ a przy x → 1.

Wykres funkcji h(x) = e ^−x sinx ma asymptot¸e poziom¸ a y = 0, przy x → +∞, ale nie przy x → −∞.

Zauważmy, że wykres tej funkcji przecina asymptot¸e y = 0 w nieskończenie wielu punk- tach (Rysunek.1). Należy wi¸ec pogodzić si¸e z tym, że asymptota może mieć wiele punktów wspólnych z wykresem i to nie tylko w trywialnym przypadku funkcji liniowej, dla której asymptot¸ a przy x → ±∞ jest wykres tej właśnie funkcji.

Wykres funkcji u(x) = e ^1/x ma asymptot¸e pionow¸ a przy x → 0 ⁺ , która nie jest asympto¸ a wykresu tej funkcji przy x → −∞,bo lewostronna granica tej funkcji w punkcie 0 jest równa 0.

Dodajmy jeszcze, że asymptota ma pełnić rol¸e niejako analogiczn¸ a do stycznej do wy- kresu funkcji, tylko ma to być w punkcie ”znajduj¸ acym si¸e w nieskończoności”, mówimy tu jedynie o intuicjach, jakie należy wi¸ azać z poj¸eciem asymptoty.

1

Rysunek 1: Wykres funkcji f (x) = e ^−x sin(x).

2