prof. dr hab. Agnieszka Ka lamajska, Instytut Matematyki

prof. dr hab. Agnieszka Ka lamajska, Instytut Matematyki

Uniwersytet Warszawski

ul. Banacha 2, 02–097 Warszawa oraz

Instytut Matematyki Polskiej Akademii Nauk o. w Warszawie ul ´ Sniadeckich 8

00-656 Warszawa

adres e-mail: A.Kalamajska@mimuw.edu.pl Warszawa, 11 pa´ zdziernika 2018

Ocena rozprawy doktorskiej

pt. “Przestrzenie Sobolewa na grupach metrycznych”

pana mgr. Tomasza Kostrzewy

1 Wst¸ epne informacje

Praca pana Tomasza Kostrzewy zosta la napisana pod kierunkiem pana dr. hab. Tomasza Adamowicza oraz pana dr. Przemys lawa G´ orki. Dotyczy ona problemu definiowania przestrzeni typu Sobolewa na lokalnie zwartych grupach abelowych.

Tematyka pracy narodzi la si¸e w pracach J. Tateoki (grupy diadyczne, 1994) oraz H.

Bahouri, C. Fermaniana-Kammerera oraz I. Gallaghera (grupa typu Heisenberga, 2009) i by la kontynuowana przez promotora pomocniczego, pana Przemys lawa G´ ork¸e w serii jego prac wsp´ o lautorskich, w tym dw´ och napisanych wsp´ olnie z autorem niniejszej rozprawy w ramach jego pracy magisterskiej, oraz z do´swiadczonym matematykiem, R. G. Reyesem.

Podj¸ecie zaproponowanej tematyki ma bardzo dobr¸ a motywacj¸e. Jest to ciekawe wyzwanie od strony teoretycznej, kt´ ore ma na celu unifikacj¸e wielu twierdze´ n formu lowanych na przestrzeniach metrycznych og´ olniejszych ni˙z przestrze´ n Euklidesowa, o ile maj¸ a one struk- tur¸e grupow¸ a o dobrych w lasno´sciach. R´ ownocze´snie daje wyniki dot¸ ad nie znane, na przyk lad odnosz¸ ace si¸e do teorii liczb p-adycznych.

Podj¸eta tematyka jest ciekawa i trudna ze wzgl¸edu na konieczno´s´ c g l¸ebokiego

przeanalizowania i dostosowania wielu technik klasycznych do aparatu bazuj¸ acego na teorii grup. W tym celu trzeba wykorzysta´ c wiedz¸e na pograniczu: analizy klasycznej, analizy harmonicznej, analizy funkcjonalnej, algebry oraz topologii, co jest wyzwaniem trudnym i ambitnym.

Efektem rozprawy jest sp´ ojne przedstawienie teori przestrzeni Sobolewa na grupach

abelowych lokalnie zwartych, bazuj¸ ace na uog´ olnieniu klasycznej teorii przestrzeni po-

tencja l´ ow Bessela. W´sr´ od przedstawionych wynik´ ow znajdujemy zar´ owno wyniki innych

autor´ ow (np. P. G´ orki i R.G. Reyesa), jak r´ ownie˙z wyniki nowe, otrzymane przez autora

rozprawy, oraz wyniki b¸ed¸ ace uzupe lnieniem brak´ ow oraz nie´scis lo´sci w literaturze. Bazuj¸ a

one na jednej wsp´ olnej pracy opublikowanej, otrzymanej przez Tomasza Kostrzew¸e wraz z

Przemys lawem G´ ork¸ a (praca [38] wg. bibliografii), oraz na wynikach nie opublikowanych.

Wynik rozprawy uwa˙zam za warto´sciowy i ciekawy wk lad w rozw´ oj teorii.

2 Om´ owienie rozprawy doktorskiej

2.1 Organizacja pracy oraz ´ zr´ od la

Rozprawa liczy oko lo 160 stron i sk lada si¸e ze Wst¸epu, pi¸eciu rozdzia l´ ow g l´ ownych, dw´ och rozdzia l´ ow uzupe lniaj¸ acych oraz wyczerpuj¸ acej bibliografii licz¸ acej 91 pozycji. Ca lo´s´ c to konsekwentna i sp´ ojna analiza. Prezentacja wynik´ ow dokonuje si¸e w kilku etapach, kt´ ore z og´ olnym zarysie przebiegaj¸ a nast¸epuj¸ aco:

(a) om´ owienie teorii lokalnie zwartych grup abelowych (w skr´ ocie LZGA) wyposa˙zonych w miar¸e Haara i analiza typu Fouriera na takich grupach (Rozdzia l 1);

(b) wprowadzenie g ladkiej struktury r´ o˙zniczkowej oraz operator´ ow r´ o˙zniczkowych na LZGA (Rozdzia l 2);

(c) wprowadzenie przestrzeni typu L

(G), oraz odpowiednika dystrybucji Schwartza (klasy Bruhata-Schwartza) na LZGA i analiza g¸esto´sci takich dystrybucji w odpowied- nich przestrzeniach (Rozdzia l 3);

(d) wprowadzenie przestrzeni typu Sobolewa i uog´ olnienie znanych twierdze´ n z klasy- cznej teorii przestrzeni: twierdze´ n o w lo˙zeniu i ´sladzie na przypadek LZGA (Rozdzia l 4), por´ ownania z innymi przestrzeniami (cz¸e´sciowo Rozdzia l 4, Rozdzia l 5);

(e) analiza szczeg´ olnych przypadk´ ow, gdy mamy do czynienia z grup¸ a liczb p-adycznych, oraz znanymi grupami: R

, T

, Z

, gdzie T to torus, Z to zbi´ or liczb ca lkowitych (Dodatek A i B).

Wyniki w l¸ aczone do dorobku rozprawy bazuj¸ a na:

• jednej pracy wsp´ o lautorskiej (Rozdzia l - 4.3):

[38] P. G´ orka i T. Kostrzewa, Sobolev spaces on metrizable groups, Ann. Acad. Sci.

Fenn. 40 (2015), 837-849;

• na wynikach nieopublikowanych otrzymanych przez Autora na bazie wsp´ o lpracy wraz Przemys lawem G´ ork¸ a, na przyk lad fragmenty Rozdzia lu 3;

• na wynikach nieopublikowanych otrzymanych przez Autora na bazie wsp´ o lpracy z Tomaszem Adamowiczem - Rozdzia l 5;

• na nieopublikowanych wynikach samodzielnych Autora: Rozdzia ly 3.3, 4.2, 4.4, 4.6, oraz Dodatek B.

Du˙zym wk ladem samodzielnej pracy jest ponadto przedstawienie og´ olnej teorii przestrzeni Sobolewa na grupach lokalnie zwartych oraz uzupe lnienie luk w literaturze, mi¸edzy innymi z prac Wawrzy´ nczaka i Bruhata (prace [85] i [15] wg. Bibliografii), analiza przyk lad´ ow oraz inne uzupe lnienia (np. rozdzia ly 1, 2, 3.1, 3.2, 4.5, Appendix).

Organizacj¸e pracy uwa˙zam za do´s´ c dobrze przemy´slan¸ a. Wyb´ or ´ zr´ ode l jest bardzo

ciekawy. Na przyk lad ciekawostk¸ a jest, ˙ze cytowana praca Wawrzy´ nczyka, zawieraj¸ aca

luki, by la cytowana zaledwie 4 razy wed lug Mathematical Reviews. Cytowana by la jednak w bardzo dobrych czasopismach, mi¸edzy innymi w Monatshefte f¨ ur Mathematik (2017), Archive for Rational Mechanics and Analysis (2007), czy w Transactions of the American Mathematical Society (1970).

2.2 G l´ owne wyniki, narz¸ edzia pracy

Rozprawa jest bardzo obszerna i ustosunkowuje si¸e do szeregu r´ o˙znych aspekt´ ow teorii przestrzeni Sobolewa, rozpoczynaj¸ ac od problemu zdefiniowania struktury r´ o˙zniczkowej na grupie a ko´ ncz¸ ac na r´ o˙znego typu twierdzeniach o w lo˙zeniu i ilustracjach (punkty (a)-(e) wymienione w poprzednim rozdziale).

G l´ owny pomys l definiowania przestrzeni typu Sobolewa na grupach lokanie zwartych jest inspirowany przez klasyczne przestrzenie potencja l´ ow Bessela. W przypadku przestrzeni Euklidesowej R

, jest to przestrze´ n H

(R

), sk ladaj¸ aca si¸e z takich funkcji u okre´slonych na R

, ˙ze

kF

((1 + |ξ|

)

F (u))k

< ∞,

gdzie F (v) jest transformat¸ a Fouriera funkcji v a λ

(dx) jest miar¸ a Lebesgue’a na R

. W przypadku gdy mamy do czynienia z grup¸ a G (LZGA, jak w punkcie (a) Rozdzia lu 2.1), zast¸epujemy transformat¸e Fouriera przez jej odpowiednik na grupie, miar¸e Lebesgue’a przez miar¸e Haara µ

, zamiast |ξ|

wyst¸ api pewna funkcja postaci γ

(ξ). Uog´ olniona transformata Fouriera oraz funkcja γ s¸ a okre´slone na grupie dualnej Γ, kt´ orej elemen- tami s¸ a tak zwane charaktery grupy, czyli ci¸ ag le homomorfizmy z grupy G w torus ze- spolony ze struktur¸ a grupy zadan¸ a poprzez dzia lanie mno˙zenia. Pozwala to na prze- niesienie analizy Fourierowskiej na przypadek grup topologicznych, co dokona lo si¸e w latach 60-tych ubieg lego wieku. Aby uprawia´ c tak¸ a analiz¸e, nale˙zy po l¸ aczy´ c wiedz¸e z kilku dziedzin, mi¸edzy innymi z: algebry, teorii przestrzeni funkcyjnych (odniesienie do przestrzenie Sobolewa), analizy harmonicznej (analiza Fourierowska), teorii miary (miary na grupach i podgrupach), topologii (problemy metryzowalno´sci i wyboru baz), teorii liczb (zastosowania do teorii liczb p-adycznych).

Ju˙z sam Rozdzia l 1, b¸ed¸ acy wprowadzeniem do teorii, wymaga bardzo solidnej wiedzy.

W Rozdziale 2 wprowadzone s¸ a i badane operatory r´ o˙zniczkowe na grupach z klasy LZGA,

co dodatkowo wymaga po l¸ aczenia wiedzy z klasycznej analizy z metodami typowymi dla

algebry i topologii (np. okre´sla si¸e granice skierowane i odwrotne grup). Jest to trudny

dzia l, gdy˙z analiza dokonuje si¸e nie tylko na grupie wyj´sciowej G, lecz tak˙ze na jej grupie

dualnej. Po drodze nale˙zy dokona´ c ca lego ci¸ agu uto˙zsamie´ n i redukcji grupy do przypadk´ ow

bardziej zrozumia lych, gdy mamy do czynienia z grup¸ a elementarn¸ a, to znaczy izomor-

ficzn¸ a z R

× T

× Z

× F , gdzie F jest grup¸a sko´ nczon¸ a. Uzasadnienie poprawno´sci

definicji wymaga bardzo ˙zmudnej analizy, nie tylko w zakresie algebry, lecz tak˙ze na

przyk lad w zakresie teorii miary, gdy˙z redukowa´ c nale˙zy tak˙ze miar¸e Haara okre´slon¸ a

na grupie G, do miar okre´slonych na buduj¸ acych grup¸e podgrupach elementarnych. Cho´ c

operator r´ o˙zniczkowy pierwszego rz¸edu jak w przypadku klasycznym jest pochodn¸ a drogi

po czasie i na jego bazie buduje si¸e operatory wy˙zszego rz¸edu, trzeba bardzo ostro˙znie

sprawdza´ c r´ o˙zne w lasno´sci, jak na przek lad w lasno´s´ c przemienno´sci r´ o˙zniczkowania, lub czy zachodzi regu la Leibnitza. Rozdzia l 3 ko´ nczy si¸e definicj¸ a wielomianu rz¸edu n na bazie pracy Wawrzy´ nczyka. Tu ch¸etnie zaraz po Definicji 6.1 zobaczy labym prost¸ a ilustracj¸e obja´sniaj¸ ac¸ a dlaczego wprowadzony obiekt zas lu˙zy l na nazw¸e wielomianu, a w dowodzie Twierdzenia 2.6.14 o g ladko´sci wielomian´ ow, w Kroku 1, nie pomija labym dowodu

fragmentu na temat ci¸ agu uog´ olnionego, kt´ ory ma w rozprawie odniesienie do pracy [23].

S¸ a to drobne uwagi, gdy˙z dyskusja w Rozdziale 2 jest trudna i wymaga la nie tylko wyja´snienia wcze´sniej znanych poj¸e´ c, lecz tak˙ze uzupe lnienia kilku luk z prac [15] i [85].

Rozdzia l 3 obejmuje problematyk¸e om´ owion¸ a w punkcie (c) Rozdzia lu 2.1. Ma on

charakter poszerzonego opracowania na bazie prac Wawrzy´ nczyka [85] i Osborne’a [63] i zawiera mi¸edzy innymi:

- przedstawienie i dok ladn¸ a analiz¸e klas dystrybucji Bruhata-Schwartza;

- przedstawienie definicji oraz szeczeg´ o low¸ a analiz¸e klasy funkcji g ladkich o zwartym no´sniku na LZGA;

- analiz¸e obci¸e´ c funkcji zadanych na produkcie LZGA do jednej z grup;

- analiz¸e klasy funkcji g ladkich o zwartym no´sniku;

- merytorycznie nowe wyniki zawarte w Rozdziale 3.3, w szczeg´ olno´sci: wprowadzenie g ladkiego ci¸ agu Diracka, Wniosek 3.3.7 o istnieniu g ladkiej funkcji symetrycznej o zwartym no´sniku, oraz chyba najwa˙zniejszy wynik nowy - Twierdzenie 3.3.10 o g¸esto´sci przestrzeni Bruhata-Schwartza oraz przestrzeni funkcji g ladkich o zwartym no´sniku w przestrzeni L

(G) dla wszystkich 1 ≤ p < ∞. Wynik w odniesieniu do przestrzeni Bruhata-Schwartza by l dot¸ ad znany tylko w zakresie p ∈ {1, 2} (z prac Bruhata [15] oraz Wawrzy´ nczyka [85]).

Analiza w tym rozdziale odnosi si¸e tak˙ze do mo˙zliowo´sci os labiania za lo˙ze´ n (Przyk lad 3.2.6). Rozdzia l 3.3 bardzo przyjemnie si¸e czyta ze wzgl¸edu na eleganck¸ a teori¸e i g l¸ebok¸ a analiz¸e. Z drobnych uwag: nieco dziwne wydaje mi si¸e oznaczenie C

(G) z punktu c) Lematu 3.1.2, w przypadku gdy G jest grup¸ a zwart¸ a, na przyk lad torusem. Zauwa˙zy lam tak˙ze drobne liter´ owki.

Rozdzia l 4 dotyczy konstrukcji przestrzeni Sobolewa H

(G) definiowanej na LZGA, kt´ orej grupa dualna jest metryzowalna. Zak lada si¸e dodatkowo, ˙ze miara Haara zadana na grupie G spe lnia pewien dodatkowy warunek regularno´sci, tak zwany warunek β-regularno´sci z g´ ory. Rozdzia l ten zawiera sporo solidnych wynik´ ow, w tym opublikowanych ju˙z w pracy [38]. Najwa˙zniejszymi osi¸ agni¸eciami tego rozdzia lu s¸ a:

- dow´ od twierdzenia o g¸esto´sci klasy Bruhata-Schwartza w przestrzeniach H

(G) wraz z analiz¸ a dopuszczalnych wag γ;

- uzyskanie twierdze´ n o w lo˙zeniu i zwartym w lo˙zeniu przestrzeni H

(G) w przestrzenie typu L

(G) oraz przestrzenie H¨ oldera, oraz wariant twierdzenia Mosera-Trudingera (na bazie pracy [38]);

- uzyskanie twierdze´ n o ´sladzie dla grup H

(G) i ich analiza na przyk ladzie grup p- adycznych (wynik nowy, wed lug mojej wiedzy nieopublikowany);

- por´ ownanie przestrzeni typu Bessela H

(G) z przestrzeniami typu Gagliardo-

Slobodeckiego przy szczeg´ olnym wyborze funkcji γ. Jak pokazano w rozprawie, przestrze-

nie te s¸ a r´ ownowa˙zne, gdy G jest r´ ownowa˙zna R

× T

, lecz tak˙ze w mniej standardowym

przypadku, gdy G jest grup¸ a liczb p-adycznych (wynik nowy nieopublikowany).

Wyniki tego rozdzia lu to wyniki mocne, odtwarzaj¸ a wyniki klasyczne i daj¸ a nowe rezul- taty. Widzia labym bardziej wyra´ zn¸ a deklaracj¸e wskazuj¸ ac¸ a co spo´sr´ od tych wynik´ ow jest ju˙z opublikowane w pracy [38] a co jest tu nowe. Uzyska lam t¸e informacj¸e przygl¸ adaj¸ ac si¸e bezpo´srednio pracy [38].

Ciekawa jest analiza przedstawiona w Rozdziale 5. W Definicji 5.1.2 wprowadzona jest s laba pochodna funckji z przestrzeni L

(G), mianowicie D

u = v, gdy zachodzi to˙zsamo´s´ c

Z

G

uD

φdµ

= (−1)

Z

G

uφdµ

,

gdzie φ jest funkcj¸ a g ladk¸ a o zwartym no´sniku. Tu pojawia si¸e problem. Po lewej stronie powy˙zszej to˙zsamo´sci widzimy operator D

, zale˙zny od wyboru generuj¸ acych go dr´ og (jednoparametrowych podgrup), funkcja v musi zatem zale˙ze´ c tak˙ze od wyboru dr´ og generuj¸ acych operator D

a nie tylko od jego rz¸edu. Tym niemniej, w odniesie- niu do konkretych generator´ ow dr´ og mo˙zemy definiowa´ c s labe pochodne i przy ich pomocy uog´ olni´ c klasyczn¸ a definicj¸e przestrzeni Sobolewa W

(G) na przypadek grup, gdy k jest liczb¸ a ca lkowit¸ a. Naog´ o l taka definicja b¸edzie zale˙zna od wyboru dr´ og generuj¸ acych s labe pochodne i mamy do czynienia z odpowiednikiem anizotropowych przestrzeni Sobolewa, definiowanych tylko przy pomocy niekt´ orych pochodnych. Gdy liczba generator´ ow takich podgrup jest sko´ nczona dla grupy G, jak to jest w przypadku grupy typu Liego, definicja W

(G) widzi wszystkie kieruniki r´ o˙zniczkowania, lecz nie jest to przypadek og´ olny. Intere- suj¸ acym pytaniem jest zatem, dla jakich wag γ przestrze´ n potencja l´ ow Bessela H

(G) jest por´ ownywalna z przestrzeni¸ a W

(G). Okazuje si¸e to mo˙zliwe przy konkretnym wyborze funkcji γ, opartej na konstrukcji wielomian´ ow okre´slonych na G, jak zosta lo wykazane w Twierdzeniu 5.2.6. St¸ ad wynikaj¸ a dalsze w lasno´sci przestrzeni typu Bessela, na przyk lad mo˙zna na nich okre´sla´ c s labe pochodne do pewnego rz¸edu.

Mamy zatem punkt wyj´scia do uprawiania r´ owna´ n cz¸ astkowych na grupach typu LZGA w uj¸eciu dystrybucyjnym. Rozdzia l 5, zamykaj¸ acy podstawowe rozwa˙zania stanowi bardzo ciekawy komentarz do przeprowadzonej wcze´sniej analizy.

Dodatki A i B zawieraj¸ a ilustracje w obr¸ebie konkretnych grup, co bardzo u latwia zrozu- mienie przedstawionego rozumowania.

Podsumowuj¸ ac, stosowane narz¸edzia pracy wymagaj¸ a wiedzy z algebry, topologii, analizy klasycznej, funkcjonalnej, harmonicznej, teorii miary, co wpisuje si¸e w nurt tak zwanej analizy globalnej. Przedstawiona analiza jest obszerna i g l¸eboka a prac¸e czyta si¸e z przy- jemno´sci¸ a.

2.3 Dodatkowe informacje

Jak mi wiadomo pan Tomasz Kostrzewa poza niniejsz¸ a rozpraw¸ a ma tak˙ze inne ju˙z opub- likowane wyniki, mianowicie notk¸e:

• P. G´ orka, T. Kostrzewa, Pego everywhere, J. Algebra Appl. 15 (2016),

kt´ or¸ a mo˙zna by uzna´ c za dorobek poboczny pana Kostrzewy. Wyniki niniejszej rozprawy

by ly ju˙z wielokrotnie referowane na r´ o˙znych seminariach i konferencjach, czego sama by lam

kilkukrotnie ´swiadkiem.

3 Konkluzja

Bior¸ ac pod uwag¸e dokonane osi¸ agni¸ecie, po przedstawieniu zar´ owno pozytywnych jak i negatywnych aspekt´ ow oceny, z pe lnym przekonaniem strwierdzam, ˙ze przedstawiona rozprawa doktorska w pe lni spe lnia wymagania zwyczajowe i ustawowe stawiane rozpra- wom doktorskim i wnosz¸e o dopuszczenie pana mgr. Tomasza Kostrzewy do dalszych etap´ ow przewodu doktorskiego.

Z wyrazami szacunku,

Agnieszka Ka lamajska