Zmienna losowa X ma rozkład o g¸estości f (x) =

(1)

Rachunek Prawdopodobieństwa Kolokwium 1

Zadanie 1

Zmienna losowa X ma rozkład o g¸estości f (x) =

_c

x

³

, x ≥ 1, 0, x < 1 i) Prosz¸e wyznaczyć stał¸ a c;

ii) Prosz¸e obliczyć wartość oczekiwan¸ a zmiennej losowej X;

iii) Prosz¸e znaleźć wariancj¸e zmiennej losowej X.

Rozwi¸ azanie

Z własności funkcji g¸estości zmiennej losowej R +∞

−∞ f (x)dx = 1.

Z +∞

−∞

c x ³ dx =

Z +∞

1

c

x ³ dx = lim

x→∞

cx ⁻²

−2 − c · 1 ⁻²

−2 = 0 + c 2 St¸ ad ^c ₂ = 1, c = 2.

Ze wzoru na wartość oczekiwan¸ a zmiennej losowej ci¸ agłej E(X) =

Z +∞

−∞

xf (x)dx = Z +∞

1

x 2 x ³ dx =

Z +∞

1

2 x ² dx = lim

x→∞

2x ⁻¹

−1 − 2 · 1 ⁻¹

−1 = 0 + 2 = 2

Ze wzoru na wariancj¸e zmiennej losowej ci¸ agłej D ² (X) =

Z +∞

−∞

[x − E(X)] ² f (x)dx = Z +∞

−∞

x ² f (x)dx − (E(X)) ² =

= Z +∞

1

x ² 2

x ³ dx − 4 = Z +∞

1

2 x dx − 4 = lim

x→∞ 2lnx − 2ln1 − 4 = +∞ − 2 · 0 − 4 = +∞

Wariancja zmiennej losowej X jest nieskończona.

Zadanie 2

W kieszeni znajduj¸ a si¸e dwie monety, moneta symetryczna z prawdopodobieństwem wy- rzucenia orła ¹ ₂ , moneta niesymetryczna z prawdopodobieństwem wyrzucenia orła ¹ ₃ . Losowo z kieszeni wyjmujemy monet¸e i podrzucamy j¸ a. Pojawił si¸e orzeł˙

Jaka jest szansa, że wylosowano monet¸e niesymetryczn¸ a?

1

(2)

Prosz¸e zbudować model doświadczenia losowego.

Rozwi¸ azanie

Zbudujemy model doświadczenia losowego (Ω, F, P ), polegaj¸ acego na losowym wyci¸ agni¸eciu z kieszeni jednej z dwóch monet i wyrzuceniu orła lub reszki. Niech S oznacza monet¸e symetryczn¸ a, N - monet¸e niesymetryczn¸ a, O- wyrzucenie orła, R- uzyskanie reszki Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych Ω = {SO, SR, N O, N R}, gdzie SO-zdarzenie polegaj¸ ace na wyci¸ agni¸eciu z kieszeni monety symetrycznej i wyrzuceniu orła. SR - wyci¸ agni¸ecie monety symetrycznej i uzyskanie reszki.N O - wyci¸ agni¸ecie monety niesyme- trycznej i wyrzucenie orła, N R - wylosowanie monety niesymetrycznej i uzyskanie reszki.

Sigma - algebra zdarzeń elementarnych F = 2 ^Ω składa si¸e ze wszystkich podzbiorów zbioru Ω.

Z treści zadania wynika, że P (S) = P (N ) = ¹ ₂ , P (O/S) = P (R/S) = ¹ ₂ , P (O/N ) = ¹ ₃ , P (R/N ) = ² ₃ .

St¸ ad zgodnie ze wzorem pastora Bayesa P (N/O) = P (N )P (O/N )

P (S)P (O/S) + P (N )P (O/N ) = 1/2 · 1/3

1/2 · 1/2 + 1/2 · 1/3 = 1/6

1/4 + 1/6 = 1/6 5/12 = 2

5 Zadanie 3

Zmienna losowa X ma dystrybuant¸e F określon¸ a wzorem

F (x) =



 



 



0, x < 0

x

4 , 0 ≤ x < 1, 2 ≤ x < 3,

1 2 , 1 ≤ x < 2

1, x ≥ 3

Prosz¸e obliczyć a) P (1 ≤ X < 3);

b) P (X > ¹ ₃ );

c) P ( ³ ₂ ≤ X < ¹⁵ ₈ );

d) E(X).

Rozwi¸ azanie

P (1 ≤ X < 3) = P (X ≤ 1) − P (X ≤ 1) = F (3−) − F (1) = 3/4 − 1/2 = 1/4.

P (X > 1/3) = 1 − P (X ≤ 1/3) = 1 − 1/12 = 11/12.

P (3/2 ≤ X < 15/8) = P (X < 15/8)−P (X ≤ 3/2) = P (X ≤ 15/8)−P (X ≤ 3/2) = F (15/8)−F (3/2) =

2

(3)

= 1/2 − 1/2 = 0

E(X) = Z 1

0

x · (1/4)dx + Z 3

2

x · (1/4)dx + 1 · P (X = 1) + 3 · P (X = 3) = (1/2)(1/4) + (9/2)(1/4) − (4/2)(1/4) + 1(1/4) + 3(1/4) = 7/4

Zadanie 4

Liczba uszkodzeń X pewnego układu elektronicznego w przedziale czasu o długości τ ma rozkład

P _n (τ ) = e ^−λτ (λτ ) ⁿ

n! n = 0, 1, 2, ...

o wartości oczekiwanej m = 0.2 - ( rozkład Denisa Poissona).

Jakie jest prawdopodobieństwo, że w czasie τ = 5 a) nie nast¸ api żadne uszkodzenie,

b) nast¸ api co najmniej jedna awaria?

Rozwi¸ azanie

X - oznacza zmienn¸ a losow¸ a liczby uszkodzeń w ci¸ agu okresu τ . Paremetr λ w roz- kładzie Poissona jest równy λ = _m ¹ = 1/0.2 = 5. St¸ ad P _X=0 (5) = e ^{−5·5 (5·5)} _0!

⁰

= e ⁻²⁵ · 1 ≈ 1.388 · 10 ⁻¹¹ .

P X≥1 (5) = 1 − P X=0 (5) ≈ 1 − 1.388 · 10 ⁻¹¹ . Zadanie 5

W Kapadocji płaca minimalna wynosi 100 lirów, a procent zarabiaj¸ acych ponad 100 lirów jest równy ¹ ₃ (400 − x), gdzie 100 ≤ x ≤ 400.

Jaka jest średnia płaca?

Jaki jest rozkład płacy?

Rozwi¸ azanie

Niech zmienna losowa S oznacza płac¸e . Mamy dany ogon rozkładu: P (S > x) = ^400−x ₃₀₀ , gdzie x ∈ (100, 400).

Wartość średnia płacy wynosi E(S) =

Z ∞ 0

P (S > x)dx = Z 100

0

dx + Z 400

100

(400 − x) 300 dx =

3

(4)

= 100 + 4

3 x − 1 600 x ²

400 100

= 100 + 400 − 250 = 250

˙Srednia płaca wynosi 250 lirów.

Rozkład płacy jest pochodn¸ a ogona dystrybuanty ze znakiem minus, czyli pochodn¸ a dys- trybuanty. Pochodna ogona, a wi¸ec i dystrybuanty jest stała na przedziale (100, 400), a poza nim jest równa 0. Dlatego rozkład jest jednostajny na przedziale (100, 400), co potwierdza, że E(S) = 250.

Zmienna losowa X ma rozkład o g¸estości f (x) =

Rachunek Prawdopodobieństwa Kolokwium 1

Zadanie 1

Zmienna losowa X ma rozkład o g¸estości f (x) =

 c

x

, x ≥ 1, 0, x < 1 i) Prosz¸e wyznaczyć stał¸ a c;

ii) Prosz¸e obliczyć wartość oczekiwan¸ a zmiennej losowej X;

iii) Prosz¸e znaleźć wariancj¸e zmiennej losowej X.

Rozwi¸ azanie

Z własności funkcji g¸estości zmiennej losowej R +∞

−∞ f (x)dx = 1.

Z +∞

−∞

c x 3 dx =

Z +∞

1

c

x 3 dx = lim

x→∞

cx −2

−2 − c · 1 −2

−2 = 0 + c 2 St¸ ad c 2 = 1, c = 2.

Ze wzoru na wartość oczekiwan¸ a zmiennej losowej ci¸ agłej E(X) =

Z +∞

−∞

xf (x)dx = Z +∞

1

x 2 x 3 dx =

Z +∞

1

2

x 2 dx = lim

x→∞

2x −1

−1 − 2 · 1 −1

−1 = 0 + 2 = 2

Ze wzoru na wariancj¸e zmiennej losowej ci¸ agłej D 2 (X) =

Z +∞

−∞

[x − E(X)] 2 f (x)dx = Z +∞

−∞

x 2 f (x)dx − (E(X)) 2 =

= Z +∞

1

x 2 2

x 3 dx − 4 = Z +∞

1

2

x dx − 4 = lim

x→∞ 2lnx − 2ln1 − 4 = +∞ − 2 · 0 − 4 = +∞

Wariancja zmiennej losowej X jest nieskończona.

Zadanie 2

W kieszeni znajduj¸ a si¸e dwie monety, moneta symetryczna z prawdopodobieństwem wy- rzucenia orła 1 2 , moneta niesymetryczna z prawdopodobieństwem wyrzucenia orła 1 3 . Losowo z kieszeni wyjmujemy monet¸e i podrzucamy j¸ a. Pojawił si¸e orzeł˙

Jaka jest szansa, że wylosowano monet¸e niesymetryczn¸ a?

1

Prosz¸e zbudować model doświadczenia losowego.

Rozwi¸ azanie

Sigma - algebra zdarzeń elementarnych F = 2 Ω składa si¸e ze wszystkich podzbiorów zbioru Ω.

Z treści zadania wynika, że P (S) = P (N ) = 1 2 , P (O/S) = P (R/S) = 1 2 , P (O/N ) = 1 3 , P (R/N ) = 2 3 .

St¸ ad zgodnie ze wzorem pastora Bayesa P (N/O) = P (N )P (O/N )

P (S)P (O/S) + P (N )P (O/N ) = 1/2 · 1/3

1/2 · 1/2 + 1/2 · 1/3 = 1/6

1/4 + 1/6 = 1/6 5/12 = 2

5

Zadanie 3

Zmienna losowa X ma dystrybuant¸e F określon¸ a wzorem

F (x) =



 



 



0, x < 0

x

4 , 0 ≤ x < 1, 2 ≤ x < 3,

1

2 , 1 ≤ x < 2

1, x ≥ 3

Prosz¸e obliczyć a) P (1 ≤ X < 3);

_c

c x ³ dx =

x ³ dx = lim

cx ⁻²

−2 − c · 1 ⁻²

−2 = 0 + c 2 St¸ ad ^c ₂ = 1, c = 2.

x 2 x ³ dx =

x ² dx = lim

2x ⁻¹

−1 − 2 · 1 ⁻¹

Ze wzoru na wariancj¸e zmiennej losowej ci¸ agłej D ² (X) =

[x − E(X)] ² f (x)dx = Z +∞

x ² f (x)dx − (E(X)) ² =

x ² 2

x ³ dx − 4 = Z +∞

W kieszeni znajduj¸ a si¸e dwie monety, moneta symetryczna z prawdopodobieństwem wy- rzucenia orła ¹ ₂ , moneta niesymetryczna z prawdopodobieństwem wyrzucenia orła ¹ ₃ . Losowo z kieszeni wyjmujemy monet¸e i podrzucamy j¸ a. Pojawił si¸e orzeł˙

Sigma - algebra zdarzeń elementarnych F = 2 ^Ω składa si¸e ze wszystkich podzbiorów zbioru Ω.

Z treści zadania wynika, że P (S) = P (N ) = ¹ ₂ , P (O/S) = P (R/S) = ¹ ₂ , P (O/N ) = ¹ ₃ , P (R/N ) = ² ₃ .

b) P (X > ¹ ₃ );

c) P ( ³ ₂ ≤ X < ¹⁵ ₈ );

P _n (τ ) = e ^−λτ (λτ ) ⁿ

X - oznacza zmienn¸ a losow¸ a liczby uszkodzeń w ci¸ agu okresu τ . Paremetr λ w roz- kładzie Poissona jest równy λ = _m ¹ = 1/0.2 = 5. St¸ ad P _X=0 (5) = e ^{−5·5 (5·5)} _0!

= e ⁻²⁵ · 1 ≈ 1.388 · 10 ⁻¹¹ .

P X≥1 (5) = 1 − P X=0 (5) ≈ 1 − 1.388 · 10 ⁻¹¹ . Zadanie 5

W Kapadocji płaca minimalna wynosi 100 lirów, a procent zarabiaj¸ acych ponad 100 lirów jest równy ¹ ₃ (400 − x), gdzie 100 ≤ x ≤ 400.

Niech zmienna losowa S oznacza płac¸e . Mamy dany ogon rozkładu: P (S > x) = ^400−x ₃₀₀ , gdzie x ∈ (100, 400).

= 100 + 4

3 x − 1 600 x ²

400 100

₁