INSTYTUT BADA ´N SYSTEMOWYCH POLSKIEJ AKADEMII NAUK

INSTYTUT BADA ´ N SYSTEMOWYCH POLSKIEJ AKADEMII NAUK

mgr Przemysław Rutka

Studia Doktoranckie IBS PAN - „Techniki informacyjne - teoria i zastosowania”

Streszczenie rozprawy doktorskiej pt.

Efektywne algorytmy dla klasycznych ortogonalnych transformacji

Promotor: dr hab. Ryszard Smarzewski, prof. KUL

Spis tre´sci

1 Wprowadzenie 3

1.1 Cel pracy . . . . 3

1.2 Tezy pracy . . . . 4

1.3 Struktura pracy . . . . 4

2 Preliminaria matematyczne 5 2.1 Klasyczna waga i klasyczne wielomiany ortogonalne . . . . 5

2.2 Klasy klasycznych wielomianów ortogonalnych . . . . 6

2.3 Własno´sci klasycznych wielomianów ortogonalnych . . . . 7

3 Znaczenie wielomianów ortogonalnych w problemach typu izoperymetrycznego 8 3.1 Rozwi ˛ azanie problemu typu izoperymetrycznego w klasie krzywych Béziera . . . . . 10

3.2 Zastosowanie wielomianów ortogonalnych do rozwi ˛ azania problemu typu izoperyme- trycznego w klasie krzywych wielomianowych . . . . 13

3.3 Uogólnienie problemu typu izoperymetrycznego w klasie krzywych Béziera z wyko- rzystaniem wagi Jacobiego . . . . 18

3.4 Perspektywy badawcze problemu typu izoperymetrycznego i jego zastosowa´n . . . . . 21

4 Ortogonalno´s´c a równowaga elektrostatyczna ładunków 22 4.1 Problem równowagi elektrostatycznej ładunków . . . . 22

4.2 Jednolite i kompletne rozwi ˛ azanie problemu równowagi elektrostatycznej . . . . 23

5 Efektywna, stabilna i najbardziej ekonomiczna interpolacja typu Hermite’a 28 5.1 Problem interpolacyjny Fejéra . . . . 28

5.2 Problem interpolacyjny Egerváryego i Turána . . . . 31

5.3 Algorytm . . . . 31

5.4 Zwi ˛ azek z efektywn ˛ a, ortogonaln ˛ a interpolacj ˛ a Lagrange’a . . . . 33

5.5 Zastosowanie w optymalnym planowaniu eksperymentu . . . . 35

6 Własno´sci aproksymacyjne ortogonalnych transformacji wielomianowych 36 6.1 Jednowymiarowe oszacowania typu Chernoffa . . . . 37

6.2 Wielowymiarowe oszacowania typu Chernoffa . . . . 39

1 Wprowadzenie

1.1 Cel pracy

Efektywne algorytmy transformacji wielomianowych s ˛ a jednym z wa˙zniejszych zagadnie´n rozwa˙za- nych w naukach informatycznych [1, 39, 33]. Pozwalaj ˛ a one na wydajne przekształcanie wielomianu stopnia n − 1 danego w bazie {F

(x) }

do jego reprezentacji w bazie {G

(x) }

. Najsłynniej- szym tego typu algorytmem jest algorytm FFT szybkiego obliczania dyskretnej transformacji Fouriera i transformacji do niej odwrotnej [12, 52]. Realizuje on przechodzenie pomi˛edzy reprezentacj ˛ a wielo- mianu w bazie fundamentalnych wielomianów Lagrange’a z w˛ezłami b˛ed ˛ acymi pierwiastkami z jed- no´sci stopnia n = 2

, a jego rozwini˛eciem wzgl˛edem bazy pot˛egowej. Tworz ˛ acy t˛e ostatni ˛ a baz˛e układ jednomianów x

j=0

ma pewn ˛ a wa˙zn ˛ a wła´sciwo´s´c [51], a mianowicie jest ortogonalny na okr˛egu jednostkowym, wzgl˛edem iloczynu skalarnego postaci

(f, g) = Z

−π

f e

g (e

)dt.

Innym numerycznie wa˙znym przykładem jest zastosowanie transformacji wielomianowej, korzystaj ˛ a- cej z bazy wielomianów ortogonalnych do efektywnego znajdowania najlepszej wielomianowej aprok- symacji funkcji f (x) okre´slonej na przedziale (a, b) [43]. Polega ono mniej wi˛ecej na przybli˙za- niu standardowego obci˛ecia rozwini˛ecia Fouriera funkcji f (x) wzgl˛edem wielomianów ortogonal- nych, które dzi˛eki odpowiedniej transformacji z w˛ezłami b˛ed ˛ acymi zerami wielomianu ortogonalnego mo˙zna oblicza´c bez kosztownego całkowania. Wida´c wi˛ec jak istotn ˛ a rol˛e odgrywaj ˛ a w informatyce ortogonalne transformacje wielomianowe pomi˛edzy baz ˛ a tworzon ˛ a przez fundamentalne wielomiany interpolacyjne Lagrange’a, a baz ˛ a wielomianów ortogonalnych.

Rozprawa po´swi˛econa jest szczególnej tematyce klasycznych ortogonalnych transformacji wielo- mianowych, ograniczonej do transformacji zwi ˛ azanych z baz ˛ a wielomianów ortogonalnych wzgl˛edem funkcji wagowej spełniaj ˛ acej równanie ró˙zniczkowe Pearsona. Samo zagadnienie badane było ju˙z od ponad 120 lat, a mimo to ci ˛ agle przynosi nowe, cz˛esto zaskakuj ˛ ace rezultaty. Do tej pory znalazło szerokie spektrum zastosowa´n, chocia˙zby w kombinatoryce, procesach stochastycznych, tomografii promieniami Roentgena, mechanice kwantowej i fizyce j ˛ adrowej [11]. W obecnej dobie pr˛e˙znie roz- wijaj ˛ acych si˛e technik informacyjnych i komputerowych nadal znajduje nowe zastosowania, na przy- kład w przetwarzaniu obrazów, przetwarzaniu sygnałów czy kompresji danych [13, 29, 64]. Co wi˛ecej oprócz licznych nowatorskich zastosowa´n ortogonalne własno´sci ró˙znych transformacji okazuj ˛ a si˛e by´c niezmiernie przydatne do zwi˛ekszania wydajno´sci algorytmów.

Celem rozprawy jest zaproponowanie dla kilku wybranych problemów takich wła´snie nowych

i efektywnych algorytmów powi ˛ azanych z klasycznymi ortogonalnymi transformacjami. ´Sci´slej mó-

wi ˛ ac, w pracy w´sród problemów, których wydajne algorytmiczne rozwi ˛ azanie korzysta z klasycznych

wag i klasycznych wielomianów ortogonalnych, rozwa˙zane s ˛ a: problem typu izoperymetrycznego,

problem równowagi elektrostatycznej ładunków, problem efektywnej, stabilnej i najbardziej ekono-

micznej interpolacji oraz problem oszacowa´n aproksymacyjnych a priori typu Chernoffa. Nale˙zy w

szczególno´sci podkre´sli´c, ˙ze oprócz samych algorytmów nowo´sci ˛ a jest uwzgl˛ednienie w rozwa˙za-

niach dotycz ˛ acych omawianych problemów, na równi z najbardziej znanymi niesko´nczonymi ci ˛ aga-

mi wielomianów ortogonalnych Hermite’a, Laguerre’a i Jacobiego [77], tak˙ze tych mniej znanych

i mniej zbadanych sko´nczonych ci ˛ agów uogólnionych wielomianów ortogonalnych Bessla, wielomia-

nów Jacobiego na (0, + ∞) oraz wielomianów pseudo-Jacobiego [40, 47].

1.2 Tezy pracy

Przeprowadzone badania w zakresie efektywnej algorytmizacji dla klasycznych ortogonalnych trans- formacji pozwoliły na sformułowanie nast˛epuj ˛ acych tez rozprawy:

1. Wykorzystuj ˛ ac własno´sci klasycznych wielomianów ortogonalnych, mo˙zliwe jest efektywne (rz˛edu O (n)) algorytmiczne rozwi ˛ azanie problemu typu izoperymetrycznego w klasie zam- kni˛etych krzywych wielomianowych stopnia n [57].

2. Istniej ˛ a jednolite dla wszystkich sze´sciu klas klasycznych wielomianów ortogonalnych rozwi ˛ a- zania problemu równowagi elektrostatycznej ładunków [60, 58] oraz problemu efektywnej, sta- bilnej i najbardziej ekonomicznej interpolacji typu Hermite’a [61], których finalnym wynikiem s ˛ a odpowiednie efektywne algorytmy numeryczne.

3. Współczynniki przy najwy˙zszej pot˛edze klasycznych wielomianów ortonormalnych wszyst- kich klas odgrywaj ˛ a kluczow ˛ a rol˛e przy dwustronnych oszacowaniach typu Chernoffa bł˛edu aproksymacji ´sredniokwadratowej, zarówno w przypadku jednowymiarowym [65], jak i wielo- wymiarowym [62].

1.3 Struktura pracy

Rozprawa wraz z wprowadzeniem podzielona została na 6 rozdziałów, z których 4 po´swi˛econe s ˛ a bezpo´srednio szczegółowemu omówieniu ka˙zdego z poruszanych problemów.

Rozdział 2 prezentuje preliminaria matematyczne dotycz ˛ ace klasycznych funkcji wagowych i zwi ˛ a- zanych z nimi klasycznych wielomianów ortogonalnych. Stanowi ˛ a one trzon definicyjny i oznaczenio- wy wszystkich prowadzonych w pracy rozwa˙za´n.

W Rozdziale 3 zaproponowane zostały, w oparciu o publikacje [57, 59, 66], rozwi ˛ azania nie- wa˙zonego i wa˙zonego problemu typu izoperymetrycznego w klasie płaskich zamkni˛etych krzywych wielomianowych stopnia n > 2 oraz skonstruowane zostały na ich podstawie numeryczne algoryt- my, których efektywno´s´c poddano nast˛epnie analizie i eksperymentom. Je´sli chodzi o sam problem, to polega on na znajdowaniu w´sród wszystkich zamkni˛etych krzywych wielomianowych o zadanej długo´sci (wa˙zonej lub niewa˙zonej) tej krzywej, która otacza obszar o najwi˛ekszym polu (wa˙zonym lub niewa˙zonym). Cho´c zagadnienie to ma charakter optymalizacji nieliniowej, to udało si˛e je bez zmniejszania ogólno´sci zredukowa´c do problemu natury kwadratowej. W zwi ˛ azku z tym konstrukcja rozwi ˛ azania, a co za tym idzie równie˙z algorytmów, mogła zosta´c oparta na liczeniu warto´sci własnej i wektora własnego pewnego regularnego p˛eku form kwadratowych (uogólnionego problemu własne- go) z macierzami wymiaru 2n − 2. Dwa z trzech zaprezentowanych algorytmów daj ˛a rozwi ˛azanie w najbardziej stabilnej i wygodnej geometrycznie klasie krzywych Béziera. Co wi˛ecej drugi pracuje w nieco szerszym kontek´scie, w którym pola i długo´s´c krzywej wa˙zone s ˛ a klasycznymi wagami Jacobie- go przeskalowanymi do przedziału (0, 1). Jednak najwa˙zniejszy z punktu widzenia tez rozprawy jest trzeci z algorytmów. Wykorzystuje on bowiem do reprezentacji krzywych, badanych w kontek´scie nie- wa˙zonego problemu typu izoperymetrycznego, w miejsce wielomianów Bernsteina baz˛e ortogonaln ˛ a opart ˛ a na klasycznych wielomianach ortogonalnych Jacobiego, uzyskuj ˛ ac w ten sposób popraw˛e rz˛edu zło˙zono´sci obliczeniowej algorytmu z O n

do O (n). Na koniec rozdziału podane zostały mo˙zliwe kierunki dalszych bada´n zwi ˛ azanych z algorytmizacj ˛ a problemu typu izoperymetrycznego w klasie krzywych wielomianowych i jego technicznymi zastosowaniami.

Kolejne dwa rozdziały słu˙z ˛ a udowodnieniu drugiej tezy rozprawy. W szczególno´sci Rozdział 4 po-

´swi˛econy został zaprezentowaniu uzyskanego w pracy [60] kompletnego i ujednoliconego dla wszyst-

kich klas klasycznych funkcji wagowych rozwi ˛ azania problemu równowagi elektrostatycznej układu ładunków. Problem ten, najogólniej rzecz ujmuj ˛ ac, dotyczy układu n ładunków elektrostatycznych po- ruszaj ˛ acych si˛e swobodnie w przedziale (a, b) w obecno´sci zewn˛etrznego potencjału determinowanego obecno´sci ˛ a klasycznej wagi. Sprowadza si˛e on natomiast do znalezienia punktów, w których rozpa- trywany układ ładunków osi ˛ aga stabiln ˛ a równowag˛e elektrostatyczn ˛ a oraz do obliczenia całkowitej energii elektrostatycznej takiego zrównowa˙zonego układu. Poza szczegółami rozwi ˛ azania problemu skonstruowany równie˙z został realizuj ˛ acy je numeryczny algorytm, którego idea pochodzi z publikacji [58].

Kontynuuj ˛ ac niejako rozwa˙zania z poprzedniego rozdziału, w Rozdziale 5 przedstawione zostały kompletne i jednolite rozwi ˛ azania wa˙znych problemów interpolacyjnych Fejéra [20] oraz Egerváryego i Turána [15, 16], znanych do tej pory dla klasycznych wielomianów ortogonalnych Hermite’a, Lagu- erre’a i Jacobiego. W szczególno´sci podane zostało za publikacj ˛ a [61] rozwi ˛ azanie problemu Fejéra ko´ncz ˛ ace wyznaczanie operatora interpolacyjnego typu Hermite’a z wa˙zon ˛ a funkcj ˛ a typu Lebesgue’a o minimalnej normie jednostajnej równej 1 dla wszystkich klasycznych wielomianów ortogonalnych.

Na bazie przedstawionych rozwi ˛ aza´n zaproponowany równie˙z został algorytm numeryczny wyko- rzystuj ˛ acy barycentryczne podej´scie do wydajnego obliczania efektywnego, stabilnego i najbardziej ekonomicznego operatora interpolacyjnego typu Hermite’a. Oprócz tego wskazano zwi ˛ azek tego ope- ratora z efektywn ˛ a interpolacj ˛ a typu Lagrange’a, poparty tak˙ze odpowiednim barycentrycznym algo- rytmem. Na koniec wskazana została wa˙zna statystyczna interpretacja problemu Fejéra w znajduj ˛ acej wiele technicznych zastosowa´n, chocia˙zby w sterowaniu jako´sci ˛ a produkcji, dziedzinie optymalnego planowania eksperymentu.

W Rozdziale 6 przytoczone zostały obustronne oszacowania wa˙zonego bł˛edu wielomianowej aprok- symacji, b˛ed ˛ ace uogólnieniem wywodz ˛ acych si˛e z rachunku prawdopodobie´nstwa i pochodz ˛ acych od Chernoffa [8] nierówno´sci, pozwalaj ˛ acych z grubsza mówi ˛ ac estymowa´c wariancj˛e z góry i z dołu za pomoc ˛ a warto´sci oczekiwanych. Rozwa˙zania prowadzone s ˛ a w oparciu o publikacje [65] i [62], w któ- rych sformułowano i w jednolity sposób uzasadniono nierówno´sci typu Chernoffa dla wszystkich kla- sycznych funkcji wagowych, odpowiednio w przypadku jednowymiarowym oraz wielowymiarowym.

Jest interesuj ˛ ace, ˙ze kluczow ˛ a rol˛e w tych oszacowaniach odgrywaj ˛ a liczby bezpo´srednio zale˙z ˛ ace od wiod ˛ acych współczynników klasycznych wielomianów ortonormalnych zwi ˛ azanych w tymi wagami.

W celu ułatwienia algorytmicznego korzystania z oszacowa´n typu Chernoffa podane równie˙z zostały jawne wzory pozwalaj ˛ ace numerycznie oblicza´c warto´sci tych kluczowych liczb.

2 Preliminaria matematyczne

2.1 Klasyczna waga i klasyczne wielomiany ortogonalne

Niech w (x) b˛edzie dodatni ˛ a funkcj ˛ a wagow ˛ a okre´slon ˛ a na sko´nczonym lub niesko´nczonym przedziale (a, b). Funkcja wagowa jest klasyczna, gdy spełnia równanie ró˙zniczkowe Pearsona postaci

d

dx [A (x) w (x)] = B (x) w (x) , a < x < b, (2.1) z warunkami brzegowymi

lim

A (x) w (x) = lim

x↑b

A (x) w (x) = 0, (2.2)

gdzie wielomiany rzeczywiste

A (x) = a

x

+ a

x + a

i B (x) = b

x + b

s ˛ a takie, ˙ze A (x) > 0 na (a, b) i b

6= 0.

Niech równie˙z wielomiany q

(x) =

n

X

k=0

γ

x

, γ

= γ

, n = 0, 1, . . . , (2.3)

stopnia n b˛ed ˛ a ortogonalne wzgl˛edem iloczynu skalarnego (f, g)

=

Z

f (x) g (x) w (x) dx

w przestrzeni Hilberta L

(a, b) z norm ˛ a kfk

= p(f, f )

. Oznacza to, ˙ze (q

, q

)

=

 0, gdy j 6= k,

kq

k

, gdy j = k.

Je˙zeli w tej sytuacji istnieje sko´nczone lub niesko´nczone n

takie, ˙ze wielomiany ortogonalne q

(x), 0 ≤ n ≤ n

, s ˛ a rozwi ˛ azaniami nast˛epuj ˛ acego równania ró˙zniczkowego Sturma-Liouville’a

d dx



A (x) w (x) d dx q (x)



= λ

w (x) q (x) , a < x < b, (2.4) ze współczynnikiem λ

równym

λ

= n [(n − 1) a

+ b

] ,

to wtedy ci ˛ ag q

(x), 0 ≤ n ≤ n

, jest nazywany klasycznym [10, 51, 73]. Na odwrót, liniowo niezale˙zne wielomianowe L

(a, b)-rozwi ˛ azania równania (2.4) s ˛ a ortogonalne wzgl˛edem klasycznej wagi w (x) [5, 46].

2.2 Klasy klasycznych wielomianów ortogonalnych

Zgodnie z powy˙zszymi zało˙zeniami istnieje, z dokładno´sci ˛ a do liniowej zmiany zmiennej, dokład- nie sze´s´c klas klasycznych wielomianów ortogonalnych [40, 47] dla odpowiednio dobranych funkcji wagowych w (x) oraz wielomianów A (x) i B (x) wymienionych w Tabelach 2.1 i 2.2. ´Sci´sle mó- wi ˛ ac istniej ˛ a trzy niesko´nczone ci ˛ agi q

(x), n = 0, 1, . . ., klasycznych wielomianów ortogonalnych, którymi s ˛ a

(i) wielomiany Hermite’a H

(x) ortogonalne na przedziale ( −∞, +∞), (ii) wielomiany Laguerre’a L

(x), α > −1, ortogonalne na (0, +∞),

(iii) wielomiany Jacobiego P

(x), α > −1, β > −1, ortogonalne na (−1, 1)

oraz trzy sko´nczone ci ˛ agi q

(x), n = 0, 1, . . . , n

, nast˛epuj ˛ acych klasycznych wielomianów ortogo- nalnych:

(iv) uogólnionych wielomianów Bessla B

(x), α < −1, α / ∈ {−2, −3, . . .}, β > 0, ortogonal-

nych na przedziale (0, + ∞), gdzie n

= b

c oraz bzc oznacza cech˛e liczby rzeczywistej z,

(v) wielomianów Jacobiego M

(x), β > −1, ortogonalnych na przedziale (0, +∞), gdzie n

= b

c,

(vi) wielomianów pseudo-Jacobiego J

n

(x) ortogonalnych na przedziale ( −∞, +∞), gdzie n

= bα −

c oraz rzeczywiste parametry A, B, C, D s ˛a takie, ˙ze AD − BC > 0 i A

+ C

> 0.

Klasyczny wielomian q

(x) Klasyczna waga w (x)

Hermite’a - H

(x) e

Laguerre’a - L

(x) x

e

Jacobiego - P

(x) (1 − x)

(1 + x)

Uogólniony wielomian Bessla - B

(x) x

e

Jacobiego na (0, + ∞) - M

(x)

Pseudo-Jacobiego - J

n

(x) h

i

e

(

)

AD−BC

Tabela 2.1. Funkcje wagowe zwi ˛ azane z klasycznymi wielomianami ortogonalnymi.

Klasyczny wielomian q

(x) Wielomian A (x) Wielomian B (x)

H

(x) 1 −2x

L

(x) x −x + α + 1

P

(x) −x

+ 1 − (α + β + 2) x + β − α

B

(x) x

αx + β

M

(x) x

+ x (2 − α) x + β + 1

J

n

(x) x

+2

x+

2 (1 −α)x+

Tabela 2.2. Wielomiany A (x) i B (x) zwi ˛ azane z klasycznymi wielomianami ortogonalnymi.

2.3 Własno´sci klasycznych wielomianów ortogonalnych

Wszystkie wymienione klasyczne wielomiany ortogonalne q

(x) mog ˛ a by´c wyra˙zone za pomoc ˛ a na- st˛epuj ˛ acego wzoru typu Rodriguesa

q

(x) = κ

w (x)

d

dx

[w (x) A

(x)] , 0 ≤ n ≤ n

,

gdzie κ

6= 0 s ˛a dowolnymi stałymi [40].

Ponadto ka˙zdy ci ˛ ag klasycznych wielomianów ortogonalnych q

(x), 0 ≤ n ≤ n

, spełnia pewn ˛ a trójczłonow ˛ a zale˙zno´s´c rekurencyjn ˛ a. W szczególno´sci w przypadku monicznym, tzn. gdy w postaci kanonicznej (2.3) wielomianu q

(x) współczynnik γ

= 1, ta trójczłonowa zale˙zno´s´c rekurencyjna jest nast˛epuj ˛ aca

q

(x) = 1, q

(x) = x − c

,

(2.5) q

(x) = (x − c

) q

(x) − d

q

(x) , n = 1, 2, . . . .

Wiadomo [47], ˙ze współczynniki c

i d

we wzorze rekurencyjnym (2.5) s ˛ a równe c

= − 2na

r

− b

(2a

− b

)

r

r

, n = 0, 1, . . . ,

(2.6) d

= nr

s

(r

a

− a

b

) − a

r

r

r

r

, n = 1, 2, . . . , przy oznaczeniu

r

= ka

+ b

i s

= ka

+ b

.

Nale˙zy w tym miejscu zaznaczy´c, i˙z wzory dla c

i d

dane w (2.6) s ˛ a równie˙z prawdziwe dla wag Jacobiego z parametrami α + β = 0 oraz α + β = −1, o ile przyjmie si˛e, ˙ze 0/0 = 1.

Kolejnym faktem jest to, i˙z pochodne D

q

(x), n = k, k + 1, . . ., klasycznych wielomianów ortogonalnych q

(x) tak˙ze tworz ˛ a sko´nczone lub niesko´nczone ci ˛ agi klasycznych wielomianów orto- gonalnych [24, 41, 42, 51]. ´Sci´slej mówi ˛ ac pochodne te s ˛ a ortogonalne wzgl˛edem iloczynu skalarnego ( ·, ·)

, z funkcj ˛ a wagow ˛ a

w

(x) = A

(x) w (x) , a < x < b.

Spełniaj ˛ a one dodatkowo nast˛epuj ˛ ace równanie ró˙zniczkowe Sturma-Liouville’a d

dx



A (x) w

(x) d dx q (x)



= λ

w

(x) q (x) , a < x < b, (2.7) ze współczynnikami

λ

= (n − k) [(n + k − 1) a

+ b

] .

W tym przypadku waga w

(x) jest rozwi ˛ azaniem równania ró˙zniczkowego Pearsona postaci d

dx [A (x) w

(x)] = B (x) + kA

(x) w

(x) , a < x < b, (2.8) gdzie współczynnik b

+ 2ka

przy x wielomianu w nawiasie kwadratowym po prawej stronie, po- winien by´c ró˙zny od 0 dla k = 0, 1, . . . , n − 1. Ten warunek jest spełniony, o ile dla klasycznej wagi w (x) istniej ˛ a klasyczne wielomiany ortogonalne stopnia n ≤ n

.

3 Znaczenie wielomianów ortogonalnych w problemach typu izopery- metrycznego

Jednym z najstarszych problemów geometrycznych jest problem izoperymetryczny. Polega on na zna-

lezieniu w´sród wszystkich zamkni˛etych krzywych płaskich o zadanej długo´sci euklidesowej tej krzy-

wej, która otacza obszar o najwi˛ekszym polu. Od czasów staro˙zytnych wiadomo, ˙ze rozwi ˛ azaniem

tak postawionego problemu jest okr ˛ ag. Jednak˙ze po nało˙zeniu pewnych ogranicze´n dotycz ˛ acych zbio- ru dopuszczalnych krzywych i/lub metryki, rozwi ˛ azaniem mo˙ze okaza´c si˛e inna krzywa, która mo˙ze, ale nie musi, dobrze aproksymowa´c okr ˛ ag. Przykłady takiego ograniczonego podej´scia zaprezento- wane zostały w pracach [53, 57, 59, 66], gdzie w kontek´scie problemu izoperymetrycznego rozwa-

˙zane s ˛ a m. in. klasy krzywych Béziera i ogólnie krzywych wielomianowych oraz krzywych PH (ang.

Pythagorean-Hodograph), a tak˙ze pewne wa˙zone pola i długo´sci.

W rozprawie szczegółowo przedstawione zostały rezultaty maj ˛ ace swoje ´zródło w publikacjach [57, 59, 66]. W szczególno´sci s ˛ a to numeryczne algorytmy rozwi ˛ azuj ˛ ace problem typu izoperyme- trycznego w klasie C

wszystkich zamkni˛etych, nie posiadaj ˛ acych samoprzeci˛e´c, dodatnio zoriento- wanych krzywych wielomianowych ξ : [0, 1] → R

stopnia n > 2 postaci

ξ (t) = (ξ

(t) , ξ

(t)) =

n

X

k=0

u

p

(t) , (3.1)

gdzie u

= (x

, y

) ∈ R

, ξ (0) = ξ (1), za´s p

(t) s ˛ a liniowo niezale˙znymi wielomianami stopnia co najwy˙zej n. Problem sprowadza si˛e do obliczenia warto´sci ekstremalnej

δ ( C

) = sup

ξ∈Cn

P (ξ)

L (ξ) (3.2)

oraz wyznaczenia ekstremalnej krzywej ξ, dla której to supremum jest osi ˛ agni˛ete, przy zało˙zeniu ˙ze L (ξ) = l

dla pewnego ustalonego l > 0. Tutaj

P (ξ) = Z

0

ξ

(t) ξ

(t) dt (3.3)

oznacza pole otoczone zamkni˛et ˛ a, dodatnio zorientowan ˛ a krzyw ˛ a ξ, za´s L (ξ) =

Z

h

ξ

(t)

+ ξ

(t)

i dt

jej uliniowion ˛ a długo´s´c. Nale˙zy podkre´sli´c, i˙z zastosowanie uliniowionej długo´sci L (ξ) zamiast zwy- kłej długo´sci krzywej

L (ξ) = b Z

0

q

(ξ

(t))

+ (ξ

(t))

dt

okazuje si˛e niezwykle istotne z punktu widzenia zło˙zono´sci obliczeniowej algorytmu rozwi ˛ azuj ˛ acego problem izoperymetryczny. Na szcz˛e´scie nie wpływa to praktycznie na rozwi ˛ azanie, bowiem krzywa ekstremalna ξ

b˛ed ˛ aca rozwi ˛ azaniem problemu (3.2) oraz krzywa ekstremalna ξ

b˛ed ˛ aca rozwi ˛ aza- niem ograniczonego problemu izoperymetrycznego

δ

( C

) = sup

ξ∈Cn,l

P (ξ) , l > 0, (3.4)

gdzie C

jest podzbiorem wszystkich krzywych ξ ∈ C

maj ˛ acych długo´s´c b L (ξ) równ ˛ a l, ró˙zni ˛ a si˛e jedynie skal ˛ a.

W ˛ atpliwo´sci mo˙ze budzi´c kwestia samoprzeci˛e´c, które w przypadku krzywych wielomianowych

s ˛ a zjawiskiem do´s´c powszechnym, a sam problem badania ich liczby jest skomplikowany. Z drugiej

jednak strony, co zostało zauwa˙zone w [53], kwestia samoprzeci˛e´c nie jest w kontek´scie problemu typu

izoperymetrycznego spraw ˛ a znacz ˛ ac ˛ a. Jest bowiem oczywiste, i˙z samoprzeci˛ecia krzywej ξ powoduj ˛ a

zmiany znaku całkowanej funkcji ξ

(t) ξ

(t) nie wpływaj ˛ ac tym samym na maksymalizacj˛e pola

P (ξ).

3.1 Rozwi ˛ azanie problemu typu izoperymetrycznego w klasie krzywych Béziera Chc ˛ ac bada´c problem typu izoperymetrycznego w klasie płaskich krzywych wielomianowych nie spo- sób pomin ˛ a´c krzywych Béziera [66]. Krzywe te bowiem stanowi ˛ a obecnie niezwykle popularne i przy- datne narz˛edzie wspomaganego komputerowo projektowania geometrycznego (CAGD - ang. Compu- ter Aided Geometric Design) [17, 28], co niew ˛ atpliwie zawdzi˛eczaj ˛ a swojej numerycznej stabilno´sci oraz wygodnej geometrycznej reprezentacji.

Z matematycznego punktu widzenia krzywe Béziera stopnia n tworz ˛ a klas˛e krzywych wielomia- nowych (3.1), w których baz˛e stanowi ˛ a wielomiany Bernsteina stopnia n postaci

p

(t) = B

(t) = n k



t

(1 − t)

, 0 ≤ t ≤ 1, k = 0, 1, . . . , n.

Bez zmniejszania ogólno´sci, w kontek´scie problemu typu izoperymetrycznego rozwa˙zane mog ˛ a by´c jedynie te krzywe Béziera (3.1) stopnia n, których ko´ncowe punkty kontrolne spełniaj ˛ a warunek

u

= u

= (0, 0) .

Zatem podzbiór wszystkich zamkni˛etych krzywych Béziera stopnia n postaci ξ (t) =

n−1

X

k=1

u

B

(t) , 0 ≤ t ≤ 1, u

= (x

, y

) ∈ R

, (3.5) oznaczony b˛edzie symbolem C

.

Rozwi ˛ azanie problemu typu izoperymetrycznego w tej klasie krzywych Béziera wymaga w pier- wszej kolejno´sci obliczenia pola P (ξ) obszaru otoczonego krzyw ˛ a Béziera ξ oraz obliczenia jej uli- niowionej długo´sci L (ξ). W zwi ˛ azku z tym okazuje si˛e, ˙ze przyjmuj ˛ ac

x = (x

, . . . , x

)

∈ R

oraz y = (y

, . . . , y

)

∈ R

, prawdziwe s ˛ a nast˛epuj ˛ ace dwa lematy.

Lemat 3.1 Pole obszaru otoczonego zamkni˛et ˛ a, dodatnio zorientowan ˛ a krzyw ˛ a Béziera ξ ∈ C

jest równe

P (ξ) = n 2

x

T

Ay, (3.6)

gdzie A = [a

]

jest macierz ˛ a antysymetryczn ˛ a z elementami a

= 0, a

= −a

oraz a

= k − j

j (n − k)

j + k − 1 k

2n − 1 − j − k n − 1 − k



(3.7) dla j < k, j, k = 1, . . . , n − 1.

Lemat 3.2 Dla ka˙zdej zamkni˛etej krzywej Béziera ξ ∈ C

zachodzi równo´s´c L(ξ) = n(n − 1)

2n−1 n

x

Bx + y

By
, (3.8)

gdzie B = [b

]

jest symetryczn ˛ a dodatnio okre´slon ˛ a macierz ˛ a z elementami równymi b

= 2(n − 1)jk − n(j

+ k

− j − k)

jk(n − j)(n − k)

j + k − 2 j − 1

2n − 2 − j − k n − 1 − j



(3.9)

dla wszystkich j, k = 1, . . . , n − 1.

Prezentuj ˛ a one jawne wzory pozwalaj ˛ ace oblicza´c pole P (ξ) oraz uliniowion ˛ a długo´s´c L (ξ). Zna- j ˛ ac je mo˙zna przyst ˛ api´c do sformułowania rozwi ˛ azania problemu typu izoperymetrycznego (3.2) w klasie krzywych Béziera. W tym celu nale˙zy zauwa˙zy´c, ˙ze nast˛epuj ˛ aca funkcja Lagrange’a problemu typu izoperymetrycznego

P (ξ) − λL(ξ) = n 2

x

T

Ay − λ n(n − 1)

2n−1 n

x

Bx + y

By
, x = (x

, . . . , x

)

, y = (y

, . . . , y

)

,

jest identyczna z p˛ekiem form kwadratowych [22] (zwanym równie˙z uogólnionym problemem wła- snym) postaci

z

Cz − λz

Dz, z =

 x y



= (x

, . . . , x

, y

, . . . , y

)

, w którym symetryczne macierze C i D podzielone s ˛ a na bloki w nast˛epuj ˛ acy sposób

C = n

4

"

0 A

A

0

#

, D = n(n − 1)

2n−1 n

"

B 0

0 B

#

, (3.10)

gdzie elementy bloków A = −A

oraz B zdefiniowane s ˛ a odpowiednio wzorami (3.7) i (3.9).

Skoro macierz B jest dodatnio okre´slona, to nale˙zy wnioskowa´c, ˙ze macierz D ma tak ˛ a sam ˛ a wła´sciwo´s´c. Dlatego wspomniany p˛ek form kwadratowych jest regularny. A zatem z [22, Rozdział 10.6] wynika, ˙ze równanie charakterystyczne

det(C − λD) = 0 ma 2n − 2 rzeczywistych pierwiastków

λ

≤ λ

≤ . . . ≤ λ

zwanych warto´sciami własnymi p˛eku, którym odpowiadaj ˛ a wektory własne z

= (z

, z

, . . . , z

)

spełniaj ˛ ace układ

Cz

= λ

Dz

, k = 1, 2, . . . , 2n − 2.

Powy˙zsze wyniki pozwalaj ˛ a, w oparciu o teori˛e form kwadratowych [22, Rozdział 10.7] lub teori˛e mno˙zników Lagrange’a, na sformułowanie ekstremalnych własno´sci warto´sci własnych. W ten sposób poda´c mo˙zna nast˛epuj ˛ ace twierdzenie, które daje rozwi ˛ azanie problemu typu izoperymetrycznego w klasie C

krzywych Béziera.

Twierdzenie 3.1 Niech λ

oznacza najwi˛ekszy pierwiastek równania charakterystycznego det(C − λD) = 0

z macierzami C i D zdefiniowanymi tak samo jak w (3.10). Zachodzi wtedy równo´s´c

λ

= max

ξ=(ξ1,ξ2)∈C_n⁰

1

R

0

ξ

(t)ξ

(t)dt

1

R

0

[(ξ

(t))

+ (ξ

(t))

] dt

.

Ponadto maksimum to jest osi ˛ agni˛ete, je˙zeli wektor z = x y

∈ R

współczynników krzywej Béziera

ξ(t) =

n−1

X

k=1

(x

, y

)B

(t) jest wektorem własnym odpowiadaj ˛ acym warto´sci własnej λ

.

Twierdzenie to z kolei pozwala bezpo´srednio sformułowa´c numeryczny algorytm rozwi ˛ azuj ˛ acy problem typu izoperymetrycznego w klasie krzywych Béziera. Mo˙zna go nieco upro´sci´c, wykorzystu- j ˛ ac to˙zsamo´sci (3.10) w poł ˛ aczeniu z nast˛epuj ˛ acym wzorem Schura [22, Strona 46]

det

"

E F

G H

#

= det EH − EGE

F
, det H 6= 0, uzyskuj ˛ ac ostatecznie nast˛epuj ˛ acy Algorytm 3.1.

Algorytm 3.1. Problem typu izoperymetrycznego w klasie C

krzywych Béziera stopnia n > 2 z ustalon ˛ a uliniowion ˛ a długo´sci ˛ a l > 0.

Wej´scie: Liczba całkowita n > 2 oraz dodatnia liczba rzeczywista l.

Wyj´scie: Punkty kontrolne (x

, y

), k = 1, 2, . . . , n − 1, ekstremalnej krzywej Béziera ξ otaczaj ˛ acej obszar o naj- wi˛ekszym polu P (ξ).

1. Oblicz macierz B

A.

2. Ustal zespolon ˛ a warto´s´c własn ˛ a µ = 4iλ

(n − 1) macierzy B

A, maj ˛ ac ˛ a najwi˛eksz ˛ a cz˛e´s´c urojon ˛ a.

3. Oblicz wektor  x y



= (x

, . . . , x

, y

, . . . , y

)

spełniaj ˛ acy zale˙zno´sci h

B

A

+ |µ|

I i

y = 0 i x =

y, y 6= 0, gdzie I jest macierz ˛ a jednostkow ˛ a.

4. Zwró´c pole P (ξ) = l

λ

oraz punkty kontrolne krzywej ξ równe (x

, y

) =

n(n−1)

(

) (

) (x

, y

) , k = 1, 2, . . . , n − 1.

Mo˙zna zauwa˙zy´c, ˙ze zło˙zono´s´c obliczeniowa Algorytmu 3.1, bez uwzgl˛edniania kosztu obliczania macierzy A i B, jest rz˛edu O n

. Zale˙zy ona bowiem przede wszystkim od kosztu znajdowania najwi˛ekszej warto´sci własnej macierzy stopnia n − 1 oraz znajdowania odpowiadaj ˛acego jej wektora własnego. Jest to rzecz jasna dobrze znane zagadnienie analizy numerycznej [23, 72]. Interesuj ˛ acym natomiast wydaje si˛e fakt, i˙z koszt tego algorytmu mo˙ze by´c nieco mniejszy, gdy uwzgl˛edni si˛e w nim dodatkowo nast˛epuj ˛ ac ˛ a symetri˛e

x

= x

oraz y

= −y

, k = 1, . . . , n − 1. (3.11)

Wyniki numerycznej realizacji Algorytmu 3.1 pokazuj ˛ a, i˙z krzywe Béziera, b˛ed ˛ ace rozwi ˛ azaniem

problemu typu izoperymetrycznego (3.2), s ˛ a wraz ze wzrostem stopnia n coraz lepszymi aproksyma-

cjami okr˛egu. Wida´c to wyra´znie na Rysunku 3.1 prezentuj ˛ acym wykresy otrzymanych numerycznie

symetrycznych ekstremalnych krzywych Béziera kolejnych stopni od 3 do 8, których uliniowiona dłu-

go´s´c wynosi 2π. Potwierdzaj ˛ a to równie˙z komputerowe obliczenia maksymalnych pól obszarów oto-

czonych ekstremalnymi krzywymi Béziera, które s ˛ a równe 2.9399 i 2.5483 w przypadku gdy n = 3,

oraz 3.1415669 i 3.1415401 w przypadku gdy n = 7, o ile u˙zyta została odpowiednio nieuliniowiona i

uliniowiona długo´s´c. Warto´sci te jak wida´c s ˛ a bliskie maksymalnemu polu π ≈ 3.1415927 odpowied-

niego okr˛egu b˛ed ˛ acego rozwi ˛ azaniem problemu izoperymetrycznego bez ogranicze´n.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

−1.0

−0.5 0.0 0.5 1.0

n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 n = 7 n = 8

Rysunek 3.1. Krzywe Béziera stopnia n = 3, 4, 5, 6, 7, 8 o uliniowionej długo´sci l = 2π, otaczaj ˛ ace obszary o najwi˛ekszym polu.

3.2 Zastosowanie wielomianów ortogonalnych do rozwi ˛ azania problemu typu izopery- metrycznego w klasie krzywych wielomianowych

Przedstawione w poprzedniej sekcji rezultaty okazuj ˛ a si˛e nie wyczerpywa´c w pełni zagadnienia algo- rytmizacji problemu typu izoperymetrycznego (3.2). Interesuj ˛ acym i zaskakuj ˛ aco wa˙znym okazuje si˛e uwzgl˛ednienie w tym zakresie kontekstu klasycznych ortogonalnych transformacji. Punktem wyj´scia bowiem do dalszych rozwa˙za´n jest wtedy obserwacja [66], i˙z rozwi ˛ azanie problemu typu izoperyme- trycznego w klasie zamkni˛etych krzywych Béziera stopnia n nie zale˙zy w sposób istotny od wyboru bazy w przestrzeni P

wszystkich wielomianów stopnia nie wi˛ekszego ni˙z n. W zwi ˛ azku z tym po- winno by´c mo˙zliwe znalezienie takiej bazy w przestrzeni P

, dla której rozwi ˛ azanie problemu typu izoperymetrycznego byłoby najprostszym z mo˙zliwych. Jak si˛e okazuje jest to faktycznie mo˙zliwe, gdy za baz˛e przyjmie si˛e pewne klasyczne wielomiany ortogonalne [57]. Co wi˛ecej uzyskana w ten sposób nowa metoda rozwi ˛ azywania problemu typu izoperymetrycznego pozwala na sformułowanie algorytmu o zło˙zono´sci rz˛edu O (n), czyli znacznie bardziej wydajnego ni˙z ten zaproponowany dla krzywych Béziera.

Niech zatem ξ : [0, 1] → R

b˛edzie zamkni˛et ˛ a, dodatnio zorientowan ˛ a krzyw ˛ a wielomianow ˛ a stopnia n postaci

ξ (t) = (ξ

(t) , ξ

(t)) =

n−1

X

k=1

u

p

(t) , 0 ≤ t ≤ 1, (3.12) gdzie u

= (x

, y

) ∈ R

, za´s p

(t) s ˛ a liniowo niezale˙znymi wielomianami stopnia co najwy˙zej n.

Warto tutaj zaznaczy´c, i˙z podobnie jak to miało miejsce w przypadku krzywych Béziera, zmniejszenie

o 2 stopni swobody rozpatrywanych krzywych nie wpływa na rozwi ˛ azanie rozwa˙zanego problemu

typu izoperymetrycznego. Co wi˛ecej okre´slone pó´zniej warunki brzegowe nakładane na wielomiany

p

(t) zagwarantuj ˛ a zamkni˛ecie ko´nców krzywej ξ w jednym punkcie.

Wobec tak zdefiniowanej krzywej ξ pole P (ξ) otoczonego przez ni ˛ a obszaru mo˙zna wyrazi´c wzo- rem

P (ξ) = Z

0

ξ

(t) ξ

(t) dt = x

Ay, gdzie A = [a

]

jest macierz ˛ a kwadratow ˛ a z elementami

a

= Z

0

p

(t) p

(t) dt, (3.13)

za´s x = (x

, . . . , x

)

, y = (y

, . . . , y

)

s ˛ a wektorami w R

. Uliniowion ˛ a długo´s´c L (ξ) krzywej ξ mo˙zna natomiast zapisa´c w postaci

L (ξ) = Z

0

h

ξ

(t)

+ ξ

(t)

i

dt = x

Bx + y

By, gdzie B = [b

]

jest macierz ˛ a kwadratow ˛ a z elementami

b

= Z

0

p

(t) p

(t) dt.

W tej sytuacji prawdopodobnie maksymalne uproszczenie algorytmu rozwi ˛ azuj ˛ acego problem typu izoperymetrycznego da si˛e uzyska´c, ˙z ˛ adaj ˛ ac by macierz B była jednostkowa, za´s macierz A trójdia- gonalna. Innymi słowy oznacza to, ˙ze wielomiany p

(t) , . . . , p

(t) powinny by´c wybrane w taki sposób, ˙zeby ich pochodne p

(t), k = 1, . . . , n − 1, były wielomianami stopnia k ortonormalnymi wzgl˛edem iloczynu skalarnego w przestrzeni Hilberta L

(0, 1), w ≡ 1, oraz ˙zeby spełniały one wa- runki brzegowe postaci p

(0) = p

(1) = 0. Najlepiej do tego celu nadaje si˛e szczególny przypadek klasycznych wielomianów Jacobiego, a mianowicie przeskalowane do przedziału [0, 1] wielomiany Legendre’a

P

(2t − 1) = 2k k



t

+ . . . + ( −1)

, 0 ≤ t ≤ 1,

ortogonalne wzgl˛edem wagi w (t) = 1. Wiadomo [18], ˙ze spełniaj ˛ a one nast˛epuj ˛ ace warunki ortogo- nalno´sci

Z

P

(2t − 1) P

(2t − 1) dt =



2k+1

, gdy j = k, 0, gdy j 6= k, i daj ˛ a si˛e wyrazi´c wzorem Rodriguesa postaci

P

(2t − 1) = 1 k!

d

dt

h

t

(t − 1)

i .

St ˛ ad jest jasne, ˙ze wielomiany p

(t), k = 1, . . . , n − 1, maj ˛ace spełnia´c warunki brzegowe

p

(0) = p

(1) = 0 (3.14)

i których pochodne maj ˛ a by´c ortonormalne, a wi˛ec równe p

(t) = √

2k + 1P

(2t − 1) ,

musz ˛ a mie´c posta´c

p

(t) =

√ 2k + 1

k t (t − 1) P

(2t − 1) , k = 1, . . . , n − 1. (3.15) Nietrudno równie˙z zauwa˙zy´c, ˙ze wielomiany te faktycznie gwarantuj ˛ a to, i˙z zwi ˛ azana z uliniowio- n ˛ a długo´sci ˛ a krzywej ξ macierz B jest jednostkowa, za´s zwi ˛ azana z polem obszaru otoczonego t ˛ a krzyw ˛ a macierz A = [a

]

jest antysymetryczna i trójdiagonalna z elementami a

= 0, j = 1, . . . , n − 1, oraz

a

= −a

= p(2j − 1) (2j + 1)

2 (2j − 1) (2j + 1) , j = 2, 3, . . . , n − 1.

Znaj ˛ ac macierze A i B, zwi ˛ azane z nowym ortogonalnym podej´sciem do problemu typu izope- rymetrycznego, mo˙zna w celu skonstruowania jego ulepszonego rozwi ˛ azania post˛epowa´c dalej ana- logicznie jak w przypadku krzywych Béziera [66]. Mo˙zna mianowicie sprowadzi´c poszukiwanie roz- wi ˛ azania do znajdowania najwi˛ekszej warto´sci własnej λ

i odpowiadaj ˛ acego jej wektora własnego z

nast˛epuj ˛ acego regularnego p˛eku form kwadratowych

z

Cz − λz

Dz, z = x y

= (x

, . . . , x

, y

, . . . , y

)

, gdzie C i D s ˛ a symetrycznymi macierzami blokowymi postaci

C = 1 2

 0 A

−A 0



, D =

 I 0 0 I



z blokiem I oznaczaj ˛ acym macierz jednostkow ˛ a stopnia n −1. W zwi ˛azku z tym wiadomo, ˙ze szukana warto´s´c własna λ

jest najwi˛ekszym zerem wielomianu charakterystycznego

m

(λ) = det (C − λD)

stopnia 2n − 2, który po zastosowaniu wzoru Schura [22] daje si˛e zredukowa´c do postaci m

(λ) = det



λ

I + A

4



= det M

det M

, gdzie

M

= A

2 − iλI oraz M

= A 2 + iλI z jednostk ˛ a urojon ˛ a i = √

−1. Zwa˙zywszy na to, i˙z macierze M

i M

s ˛ a trójdiagonalne, ich wy- znaczniki wyrazi´c mo˙zna pewn ˛ a zale˙zno´sci ˛ a rekurencyjn ˛ a. Wobec tego w celu uzyskania wydajnego sposobu obliczania najwi˛ekszego rozwi ˛ azania λ

równania

m

(λ) = 0,

nale˙zy wykorzysta´c fakt, i˙z wielomian charakterystyczny m

(λ) mo˙ze by´c zapisany w postaci

m

(λ) = ¯ m

(λ) , (3.16)

gdzie ¯ m

(λ) jest wielomianem stopnia n − 1 spełniaj ˛acym nast˛epuj ˛ace zale˙zno´sci rekurencyjne

¯

m

(λ) = 1, m ¯

(λ) = λ,

(3.17)

¯

m

(λ) = λ ¯ m

(λ) − 1

16 (2n − 3) (2n − 1) m ¯

(λ) , n = 3, 4, . . . .

W tej sytuacji, bior ˛ ac dodatkowo pod uwag˛e to, i˙z ¯ m

(λ) jest dla parzystych n funkcj ˛ a niepa- rzyst ˛ a, a dla nieparzystych n funkcj ˛ a parzyst ˛ a, staje si˛e jasne, ˙ze najwi˛eksze zero λ

wielomianu

¯

m

(λ) jest jednocze´snie szukanym rozwi ˛ azaniem λ

problemu (3.2). Wprowadzon ˛ a zale˙zno´s´c (3.16) mo˙zna łatwo uzasadni´c przy pomocy indukcji matematycznej.

W ten sposób skonstruowana została pierwsza cz˛e´s´c szybkiego algorytmu rozwi ˛ azuj ˛ acego problem typu izoperymetrycznego, w której szukanie najwi˛ekszej warto´sci własnej λ

uogólnionego pro- blemu własnego zast ˛ apiono szukaniem najwi˛ekszego zera λ

wielomianu ortogonalnego ¯ m

(λ) stopnia n − 1 zdefiniowanego rekurencyjnymi wzorami (3.17). Do okre´slenia pozostał jeszcze sposób znajdowania punktów kontrolnych u

= (x

, y

), k = 1, . . . , n − 1, opisuj ˛acych ekstremaln ˛a krzy- w ˛ a ξ postaci (3.12) b˛ed ˛ ac ˛ a rozwi ˛ azaniem problemu typu izoperymetrycznego (3.2). Jak ju˙z jednak wcze´sniej zostało wspomniane, punkty te s ˛ a współrz˛ednymi wektora własnego

z

= x y

= (x

, . . . , x

, y

, . . . , y

)

spełniaj ˛ acego równanie

Cz

= λ

Dz

.

St ˛ ad ju˙z natomiast łatwo wynika, ˙ze musz ˛ a one spełnia´c tak˙ze nast˛epuj ˛ acy układ równa´n h

A

+ 4 λ

I i

y = 0, x = A

2λ

y, y 6= 0.

Reasumuj ˛ ac przeprowadzone rozwa˙zania, sformułowa´c mo˙zna nast˛epuj ˛ acy Algorytm 3.2, który wydajnie numerycznie rozwi ˛ azuje problem typu izoperymetrycznego w klasie zamkni˛etych krzywych wielomianowych stopnia n.

Algorytm 3.2. Problem typu izoperymetrycznego w klasie zamkni˛etych krzywych wielomianowych stopnia n > 2 z ustalon ˛ a uliniowion ˛ a długo´sci ˛ a l > 0.

Wej´scie: Liczba całkowita n > 2 oraz dodatnia liczba rzeczywista l.

Wyj´scie: Punkty kontrolne (x

, y

), k = 1, 2, . . . , n − 1, ekstremalnej krzywej wielomianowej ξ otaczaj ˛ acej obszar o najwi˛ekszym polu P (ξ).

1. Korzystaj ˛ ac z (3.17) oblicz najwi˛eksze zero λ

wielomianu ¯ m

(λ).

2. Oblicz wektor  x y



= (x

, . . . , x

, y

, . . . , y

)

spełniaj ˛ acy zale˙zno´sci

A

+ 4 (λ

)

I y = 0 i x =

y, y 6= 0.

3. Zwró´c pole P (ξ) = l

λ

oraz punkty kontrolne krzywej ξ równe (x

, y

) = √

x^Tx+y^Ty

(x

, y

) , k = 1, 2, . . . , n − 1.

Analiz˛e zło˙zono´sci obliczeniowej Algorytmu 3.2 warto zacz ˛ a´c od jego pierwszego etapu, to zna-

czy od numerycznego obliczania najwi˛ekszego zera λ

wielomianu ¯ m

(λ). W tym celu łatwo

zauwa˙zy´c, ˙ze koszt obliczania dowolnej warto´sci ¯ m

(λ), zdefiniowanej wzorem (3.17), jest równy O (n). Co wi˛ecej zale˙zno´sci rekurencyjne (3.17) ´swiadcz ˛ a o tym, ˙ze wielomiany

¯

m

(λ) , ¯ m

(λ) , . . . , ¯ m

(λ)

tworz ˛ a układ monicznych wielomianów ortogonalnych [10, 40, 51]. Oznacza to, ˙ze ich najwi˛eksze zera λ

, λ

, . . . , λ

spełniaj ˛ a nierówno´sci

λ

< λ

< . . . < λ

. Z drugiej strony jednak wiadomo, ˙ze λ

= 0, λ

=

√ 15

60

oraz λ

↑

. St ˛ ad jest jasne, ˙ze warto´sci λ

, k = 3, 4, . . ., winny by´c poszukiwane w przedziale 

15 60

,



. Dlatego w celu obliczenia λ

wyko- rzysta´c mo˙zna chocia˙zby dobrze znany algorytm bisekcji [56, 72]. Wiadomo, ˙ze koszt tego algorytmu jest proporcjonalny do kosztu pojedynczego obliczenia warto´sci wielomianu ¯ m

(λ). Współczynnik tej proporcjonalno´sci zale˙zy jedynie od dokładno´sci oblicze´n. Poniewa˙z długo´s´c przedziału 

15 60

,

 jest mniejsza ni˙z 2

, to wynika st ˛ ad, ˙ze współczynnik ten jest równy log

2

· prec

, przy ˙z ˛ adanej dokładno´sci szukanego zera równej prec < 2

.

Alternatywnym, nie mniej przydatnym sposobem obliczania najwi˛ekszego zera λ

wielomianu

¯

m

(λ) jest algorytm oparty na metodzie Newtona [72]. W tym przypadku dzi˛eki temu, ˙ze wielo- mian ¯ m

(λ) jest na przedziale λ

,

funkcj ˛ a wypukł ˛ a i rosn ˛ ac ˛ a, to przybli˙zenia uzyskiwane w kolejnych iteracjach pocz ˛ awszy od

s ˛ a, i to bez ˙zadnych dodatkowych zało˙ze´n, zbie˙zne do λ

. Koszt takiego algorytmu jest równie˙z rz˛edu O (n). Jest on bowiem proporcjonalny do kosztu oblicza- nia warto´sci ilorazu

n−1(λ)

, przy czym współczynnik tej proporcjonalno´sci zale˙zy jedynie od ilo´sci iteracji. Jasne te˙z jest, ˙ze wobec kwadratowej zbie˙zno´sci metody Newtona liczba iteracji, które trzeba wykona´c w celu osi ˛ agni˛ecia satysfakcjonuj ˛ acego poziomu dokładno´sci oblicze´n, nie jest zbyt du˙za.

Kolejnym krokiem Algorytmu 3.2 jest obliczanie niezerowego wektora y = (y

, . . . , y

)

speł- niaj ˛ acego nieoznaczony układ równa´n Hy = 0 z macierz ˛ a

H = [h

]

= A

+ 4 λ

I.

Warto zauwa˙zy´c, ˙ze wszystkie niezerowe elementy tej symetrycznej macierzy H zlokalizowane s ˛ a wył ˛ acznie na trzech przek ˛ atnych. W celu otrzymania jednego z niezerowych rozwi ˛ aza´n tego sys- temu równa´n mo˙zna przyj ˛ a´c, ˙ze y

= 0 i y

= 1, a nast˛epnie obliczy´c pozostałe współrz˛edne

¯

y = (y

, . . . , y

)

rozwi ˛ azuj ˛ ac oznaczony układ postaci

H

y = v, ¯ (3.18)

gdzie H

jest macierz ˛ a kwadratow ˛ a stopnia n −3 powstał ˛az macierzy H poprzez odrzucenie pierwsze- go i drugiego wiersza oraz pierwszej i drugiej kolumny, za´s v = (0, −a

a

, 0, . . . , 0)

. Nietrudno zauwa˙zy´c, ˙ze H

jest równie˙z symetryczn ˛ a macierz ˛ a z dokładnie trzema niezerowymi przek ˛ atnymi.

W zwi ˛ azku z tym do wydajnego, rz˛edu O (n), rozwi ˛ azania układu (3.18) mo˙ze by´c zastosowana np.

metoda rozkładu LR.

Z Algorytmu 3.2 wynika nast˛epnie, ˙ze po uzyskaniu wektora y 6= 0 nale˙zy zastosowa´c przekształ- cenie

x = A

2λ

y

w celu obliczenia wektora x. Ze wzgl˛edu jednak na to, i˙z A jest macierz ˛ a trójdiagonaln ˛ a oczywiste

jest, ˙ze powy˙zsza transformacja mo˙ze by´c wykonana równie˙z przy pomocy jedynie O (n) operacji

elementarnych. Ostatnim krokiem badanego algorytmu jest skalowanie otrzymanych punktów kontrol- nych u

= (x

, y

), k = 1, . . . , n − 1, w celu uzyskania finalnej krzywej, maj ˛acej ˙z ˛adan ˛a uliniowion ˛a długo´s´c l. Poniewa˙z kluczowymi operacjami s ˛ a tutaj x

x + y

y, √

x^Tx+y^Ty

x oraz √

x^Tx+y^Ty

y, wi˛ec łatwo zauwa˙zy´c, ˙ze koszt tego kroku jest tak˙ze rz˛edu O (n). Wobec powy˙zszego wida´c, ˙ze ł ˛ aczny koszt Algorytmu 3.2 wynosi O (n).

Zgodnie z obserwacj ˛ a braku istotnego wpływu zmiany bazy na rozwi ˛ azanie problemu typu izope- rymetrycznego w klasie krzywych wielomianowych, wyniki numeryczne uzyskane za pomoc ˛ a Algo- rytmu 3.2, to znaczy w szczególno´sci ekstremalne krzywe, s ˛ a praktycznie identyczne jak te otrzymane w klasie krzywych Béziera.

3.3 Uogólnienie problemu typu izoperymetrycznego w klasie krzywych Béziera z wy- korzystaniem wagi Jacobiego

Problem typu izoperymetrycznego w klasie zamkni˛etych krzywych Béziera [66] mo˙zna rozwa˙za´c w innym, nieco szerszym kontek´scie, równie˙z zwi ˛ azanym w pewnym sensie z klasycznymi transforma- cjami ortogonalnymi. W odró˙znieniu jednak od podej´scia zaprezentowanego w Sekcji 3.2, gdzie do reprezentacji krzywych w miejsce wielomianów Bernsteina u˙zyto baz˛e wielomianów ortogonalnych, mo˙zna z kolei bra´c pod uwag˛e wa˙zone pole otoczone krzyw ˛ a Béziera oraz jej wa˙zon ˛ a uliniowion ˛ a długo´s´c [59]. Przy tym nale˙zy wykorzysta´c wa˙zony iloczyn skalarny

(f, g)

= 2

Z

0

f (t) g (t) (1 − t)

t

dt

w przestrzeni Hilberta L

(0, 1), α > −1, β > −1, wszystkich rzeczywistych mierzalnych w sensie Lebesgue’a funkcji takich, ˙ze

kfk

= (f, f )

< ∞.

Zastosowana w tym wypadku waga jest przeskalowan ˛ a do przedziału (0, 1) klasyczn ˛ a funkcj ˛ a wagow ˛ a Jacobiego postaci

w

(t) = 2

(1 − t)

t

, α, β > −1.

W tej sytuacji wa˙zony problem typu izoperymetrycznego w klasie C

wszystkich zamkni˛etych dodatnio zorientowanych krzywych Béziera stopnia n postaci (3.5), sprowadza si˛e do znalezienia warto´sci ekstremalnej

δ

C

= sup

ξ∈C_n⁰

P

(ξ)

L

(ξ) , α, β, γ, η > −1 (3.19) oraz wyznaczenia ekstremalnej krzywej Béziera ξ, dla której to supremum jest osi ˛ agni˛ete, przy zało-

˙zeniu, ˙ze L

(ξ) = l

dla pewnego ustalonego l > 0. Rozwi ˛ azanie tego problemu, podobnie jak to miało miejsce w przypadku niewa˙zonym, nale˙zy zacz ˛ a´c od znalezienia form odpowiadaj ˛ acych wa˙zo- nemu polu

P

(ξ) = ξ

, ξ

α,β

oraz wa˙zonej uliniowionej długo´sci

L

(ξ) = ξ

, ξ

γ,η

+ ξ

, ξ

γ,η

.

W tym celu sformułowa´c mo˙zna nast˛epuj ˛ ace dwa lematy, przyjmuj ˛ ac uprzednio oznaczenia x =

(x

, . . . , x

)

∈ R

oraz y = (y

, . . . , y

)

∈ R

.

Lemat 3.3 Wa˙zone pole obszaru otoczonego krzyw ˛ a Béziera ξ ∈ C

jest równe

P

(ξ) = n! n 2

Γ (n + α + β) (2n + α + β)

x

Ay,

gdzie A = [a

]

jest macierz ˛ a antysymetryczn ˛ a z elementami a

= 0, a

= −a

oraz a

= (j − k) Γ (j + β) Γ (n − j + α + 1)

(n − k) j! (n − j)!

j + k + β − 1 k

2n − j − k + α − 1 n − k − 1



dla k < j, k, j = 1, . . . , n − 1.

Lemat 3.4 Dla ka˙zdej krzywej Béziera ξ ∈ C

zachodzi równo´s´c L

(ξ) = n! 2

Γ (n + γ + η)

x

Bx + y

By
,

gdzie B = [b

]

jest symetryczn ˛ a i dodatnio okre´slon ˛ a macierz ˛ a z elementami równymi b

= j + k + η − 2

j − 1

2n − j − k + γ − 2 n − j − 1

 Γ (k + η) Γ (n − k + γ) k! (n − k)!j (n − j)

· 2jk(n − 1)

− n(n − 1)(j

+ k

− j − k) +jk(γ + η)

− 3jk(γ + η) − n(j − k)

(γ + η)

−n(j + k)(γη − 2η + η

) + n

(η

− η)  dla wszystkich j, k = 1, . . . , n − 1.

Bior ˛ ac pod uwag˛e powy˙zsze lematy, przyst ˛ api´c mo˙zna do sformułowania rozwi ˛ azania problemu ekstremalnego (3.19). W tym celu wystarczy zauwa˙zy´c, ˙ze zwi ˛ azana z tym problemem funkcja La- grange’a jest postaci

P

(ξ) − λL

(ξ) = n! n 2

Γ (n + α + β) (2n + α + β)

x

Ay

−λ n! 2

Γ (n + γ + η)

x

Bx + y

By
. Wobec tego jest ona identyczna z p˛ekiem form kwadratowych [22]

z

Cz − λz

Dz, z =

 x y



= (x

, ..., x

, y

, ..., y

)

, gdzie C i D s ˛ a nast˛epuj ˛ acymi symetrycznymi macierzami blokowymi

C = n! n 2

Γ (n + α + β) (2n + α + β)

"

0 A

A

0

# ,

(3.20)

D = n! 2

Γ (n + γ + η)

"

B 0

0 B

#

.

Bloki A = −A

oraz B s ˛ a zdefiniowane w Lematach odpowiednio 3.3 i 3.4. Skoro zatem macierz B jest dodatnio okre´slona, to rozwi ˛ azanie wa˙zonego problemu izoperymetrycznego (3.19) w klasie krzywych Béziera, mo˙zna poda´c w formie nast˛epuj ˛ acego twierdzenia, podobnego jak w przypadku niewa˙zonym opisanym w Sekcji 3.1.

Twierdzenie 3.2 Niech λ

oznacza najwi˛ekszy pierwiastek problemu własnego D

Cz = λz z macierzami C, D okre´slonymi tak jak w (3.20). Wtedy zachodzi równo´s´c

λ

= sup

ξ∈C_n⁰

P

(ξ) L

(ξ) . Ponadto, supremum to jest osi ˛ agni˛ete je´sli wektor z = x y

∈ R

współczynników krzywej Béziera

ξ (t) =

n−1

X

k=1

(x

, y

) B

(t) jest wektorem własnym odpowiadaj ˛ acym warto´sci własnej λ

.

Twierdzenie to sugeruje w sposób bezpo´sredni numeryczny algorytm rozwi ˛ azuj ˛ acy wa˙zony pro- blem typu izoperymetrycznego (3.19). Wprowadzaj ˛ ac analogiczne uproszczenia jak w przypadku nie- wa˙zonym wraz z dodatkowymi oznaczeniami

r = − 2

Γ (n + γ + η)

,

(3.21)

s = n 2

Γ (n + α + β) (2n + α + β)

, mo˙zna poda´c jego pełn ˛ a tre´s´c w postaci nast˛epuj ˛ acego Algorytmu 3.3.

Algorytm 3.3. Wa˙zony wagami Jacobiego w

(t) i w

(t) problem typu izoperymetrycznego w klasie C

zamkni˛etych krzywych Béziera stopnia n > 2 z ustalon ˛ a wa˙zon ˛ a uliniowion ˛ a długo´sci ˛ a l > 0.

Wej´scie: Liczba całkowita n > 2, liczby rzeczywiste α, β, γ, η wi˛eksze od −1 oraz dodatnia liczba rzeczywista l.

Wyj´scie: Punkty kontrolne (x

, y

), k = 1, 2, . . . , n−1, ekstremalnej krzywej Béziera ξ o wa˙zonej uliniowionej długo´sci l, która otacza obszar o najwi˛ekszym wa˙zonym polu P

(ξ).

1. Oblicz macierz B

A.

2. Ustal zespolon ˛ a warto´s´c własn ˛ a µ =

iλ

macierzy B

A maj ˛ ac ˛ a najwi˛eksz ˛ a cz˛e´s´c urojon ˛ a, korzystaj ˛ ac przy tym ze wzorów (3.21).

3. Oblicz wektor  x y



= (x

, . . . , x

, y

, . . . , y

)

spełniaj ˛ acy zale˙zno´sci h

B

A

+ |µ|

I i

y = 0 i x =

y, y 6= 0.

4. Zwró´c pole P

(ξ) = l

λ

oraz punkty kontrolne krzywej ξ równe

(x

, y

) =

n!2γ+η

Γ(n+γ+η)

(

) (

) (x

, y

) , k = 1, 2, . . . , n − 1.

Łatwo zauwa˙zy´c, ˙ze zło˙zono´s´c obliczeniowa tego algorytmu jest taka sama jak w przypadku nie- wa˙zonym opisanym Algorytmem 3.1. Zale˙zy ona bowiem głównie od operacji dominuj ˛ acych, którymi s ˛ a obliczenia najwi˛ekszej warto´sci własnej macierzy B

A i odpowiadaj ˛ acego jej wektora własnego.

Jej rz ˛ ad wynosi zatem O n

. W przeciwie´nstwie jednak do przypadku niewa˙zonego, wynikowe krzy- we ekstremalne mog ˛ a za spraw ˛ a wag Jacobiego nie by´c symetryczne. Wobec tego generalnie nie daje si˛e znale´z´c symetrii analogicznej do (3.11), która dodatkowo upraszczałaby znajdowanie krzywych ekstremalnych.

3.4 Perspektywy badawcze problemu typu izoperymetrycznego i jego zastosowa ´n Kwestia zaprezentowanego problemu typu izoperymetrycznego, mimo gruntownego przebadania a˙z trzech ró˙znych podej´s´c, wydaje si˛e nie by´c zamkni˛eta. Wr˛ecz przeciwnie nawet, otwarte w ten sposób zostało pole do dalszych, zarówno teoretycznych jak i praktycznych bada´n. ´Swiadczy o tym chocia˙zby praca Monterde i Ongaya [53], b˛ed ˛ aca twórczym rozszerzeniem przedstawionych w [66, 57] rozwa˙za´n dotycz ˛ acych problemu typu izoperymetrycznego. W pracy tej w szczególno´sci, w kontek´scie proble- mu typu izoperymetrycznego, w miejsce klasy krzywych wielomianowych badana jest jej podklasa tworzona przez krzywe PH (ang. Pythagorean-Hodograph). Nie sposób nie wspomnie´c, ˙ze krzywe te, maj ˛ ace swój pocz ˛ atek w 1990 roku, zdaj ˛ a si˛e urasta´c powoli do miana jednego z wa˙zniejszych narz˛edzi wspomaganego komputerowo geometrycznego projektowania (CAGD - ang. computer aided geome- tric design) [19]. Stoi za tym niew ˛ atpliwie ich podstawowa własno´s´c, czyli to, ˙ze ich parametryczna pr˛edko´s´c, to znaczy pochodna ich długo´sci s (t) postaci

s

(t) = q

(ξ

(t))

+ (ξ

(t))

jest funkcj ˛ a wielomianow ˛ a. Dzi˛eki temu w przypadku krzywych PH mo˙zliwe jest dokładne obliczanie ich długo´sci, energii zagi˛e´c oraz krzywych do nich równoległych bez konieczno´sci odwoływania si˛e do aproksymacji. W zwi ˛ azku z tym s ˛ a one wyj ˛ atkowo przydatne w rozwi ˛ azywaniu problemów w czasie rzeczywistym, takich chocia˙zby jak sterowanie ruchem czy przestrzenne planowanie trajektorii ruchu.

To jednak nie wszystko je´sli chodzi o perspektywy badawcze zwi ˛ azane z problemem typu izopery- metrycznego. Całkiem mo˙zliwe wydaje si˛e równie˙z praktyczne zastosowanie przedstawionych algo- rytmów w komputerowo wspomaganym geometrycznym projektowaniu (CAGD) [17]. W szczególno-

´sci nale˙załoby zbada´c ró˙zne aspekty ich przydatno´sci do redukcji stopnia krzywej Béziera [14, 17]. Jest

to znany i niezwykle wa˙zny problem optymalizacyjny wyst˛epuj ˛ acy w CAGD, który przydaje si˛e cho-

cia˙zby wtedy, gdy ró˙zne systemy projektowania geometrycznego musz ˛ a wymieni´c mi˛edzy sob ˛ a dane

modelowanych krzywych lub powierzchni. Poza tym pozwala on upro´sci´c geometryczne lub graficzne

algorytmy zwi ˛ azane z obliczeniami przeci˛e´c lub renderowaniem rastrowych obrazów wymodelowanej

geometrii. Obszar ten wydaje si˛e szczególnie obiecuj ˛ acy i interesuj ˛ acy, gdy˙z podobnie jak w proble-

mie izoperymetrycznym, istniej ˛ ace metody redukcji stopnia krzywej Béziera istotnie wykorzystuj ˛ a

klasyczne wielomiany ortogonalne Jacobiego oraz transformacje ortogonalne [38, 48]. Oprócz tego,

wobec faktu i˙z zaprezentowane algorytmy daj ˛ a optymalne w pewnym sensie wielomianowe aprok-

symacje okr˛egu, wydaje si˛e logiczne, ˙ze powinny one da´c si˛e równie˙z wykorzysta´c w problemie re-

konstrukcji okr˛egu lub łuku okr˛egu w oparciu o by´c mo˙ze zakłócone dane pomiarowe. Problem ten

ostatnio, głównie w odniesieniu do danych pochodz ˛ acych z przetwarzania cyfrowych obrazów oraz

w uj˛eciu algorytmicznym i statystycznym, zaprezentowany został w monografii [9]. Co najwa˙zniej-

sze, wynika stamt ˛ ad, ˙ze badane od lat 50-tych XX wieku zagadnienie dopasowywania okr˛egu lub

łuku okr˛egu do danych obserwowanych w dwuwymiarowych obrazach znalazło liczne zastosowania