Niech t(n) oznacza liczbę drzew oznakowanych {1, . . . , n}, zaś t 1(n) liczbę takich drzew spełniających warunek deg 1 = 1. Obliczyć t 1(n) oraz lim n→∞ t t(n)

Paweł Tarasiuk, 151021

Ćwiczenie 52.

Niech t(n) oznacza liczbę drzew oznakowanych {1, . . . , n}, zaś t ₁ (n) liczbę takich drzew spełniających warunek deg 1 = 1. Obliczyć t ₁ (n) oraz lim _n→∞ ^t _t(n)

⁽ⁿ⁾ .

Rozwiązanie

Wprost z twierdzenia Cayleya można zapisać t(n) = n ⁿ⁻² .

Korzystając własności, że każdy (n − 2)-elementowy kod Pr¨ ufera składa- jący się z symboli {1, . . . , n} opisuje pewne drzewo oznakowane {1, . . . , n}, oraz że każde dwa drzewa opisane są innym kodem Pr¨ ufera, można wyzna- czyć wzór funkcji t ₁ poprzez badanie liczby odpowiednich kodów Pr¨ ufera.

Dotyczy to oczywiście wyłącznie przypadków n ­ 2.

Narzucony warunek deg 1 = 1 jest spełniony przez każde takie drzewo oznakowane {1, . . . , n}, które jest opisane kodem Pr¨ ufera nie zawierającym jedynki (gdyż liczba wystąpień dowolnego wierzchołka a w kodzie Pr¨ ufera wynosi deg a − 1). Liczba różnych kodów Pr¨ ufera, które spełniają ten wa- runek to V ⁿ⁻² _n−1 = (n − 1) ⁿ⁻² (dla n ­ 2). Wtedy także t ₁ (n) = (n − 1) ⁿ⁻² . Osobno należy wyznaczyć wartość t ₁ (1) - wynosi ona 0, gdyż w drzewie składającym się z pojedynczego wierzchołka zachodzi deg 1 = 0, co jest sprzeczne z narzuconym warunkiem.

Korzystając z wyznaczonego wzoru funkcji, obliczam (mogę tutaj korzy- stać ze wzorów dla n ­ 2, gdyż rozważane wartości n są dowolnie duże):

n→∞ lim t ₁ (n)

t(n) = lim

n→∞

(n − 1) ⁿ⁻²

n ⁿ⁻² = lim

n→∞

 n − 1 n

 n−2

=

= lim

n→∞

 n − 1 n

 n−1  n − 1 n



= lim

n→∞

 n−1 n



 n n−1

 n−1 =

= lim

n→∞

 n−1 n





1 + _n−1 ^{1  n−1}

= 1 e

Ostatnie przekształcenie wynika wprost z definicji liczby e. Wskazana postać granicy stanowi rozwiązanie zadania.

1 / 1