Praca doktorska wykonana pod kierunkiem prof. dr. hab. Tomasza Dietla

(1)

Środowiskowe Laboratorium Badań kriogenicznych i Spintronicznych

Wytwarzanie nanostruktur i badanie zjawisk transportu w dwuwymiarowych izolatorach

topologicznych

mgr Magdalena Maria Majewicz

Praca doktorska wykonana pod kierunkiem prof. dr. hab. Tomasza Dietla

Warszawa 2019

(2)

(3)

Podziękowania

Chciałabym serdecznie podziękować prof. dr. hab. Tomaszowi Dietlowi — mojemu promotorowi — za opiekę naukową, wsparcie i kierowanie moim rozwojem.

Składam również podziękowania:

dr. hab. Grzegorzowi Grabeckiemu za wprowadzenie w tajniki pomiarów transportowych oraz codzienne wsparcie w pracy laboratoryjnej,

prof. dr. hab. Jerzemu Wróblowi za naukę litografii elektronowej i bezcenne dyskusje dotyczące jej rozwoju,

panu Piotrowi Nowickiemu za pomoc na etapie napytalania metalizacji, naukę ob- sługi wszelkich sprzętów laboratoryjnych oraz wsparcie,

dr. Tomaszowi Wojciechowskiemu za czuwanie nad wszelkimi sprawami związanymi z pracą w Laboratorium Mikroskopii i Nanolitografii,

dr Marcie Aleszkiewicz za wykonanie analizy jakości wytworzonych struktur za pomocą Mikroskopii Sił Atomowych,

panu Łukaszowi Szyllerowi z Uniwersytetu Rzeszowskiego za wytworzenie części warstw dielektrycznych (dwuwarstw SiO₂/Si₃N₄),

całemu zespołowi SL2 za miłą atmosferę, chęć pomocy i nieocenione dyskusje.

Dziękuję dr Marii Szlawskiej z Instytutu Niskich Temperatur i Badań Struktu- ralnych PAN za to, że nie przestała we mnie wierzyć.

Ogromne podziękowania składam również mojej rodzinie, a w szczególności ma- mie, siostrze i mojemu mężowi za niezmienną wiarę we mnie, ciągłe wsparcie i przy- pominanie powodu wybrania takiej a nie innej ścieżki życiowej.

Pracę tę dedykuję mojemu mężowi.

Wyniki publikowane w pracy zostały wykonane dzięki częściowemu wsparciu finansowemu Narodowego Centrum Nauki w ramach grantu badawczego o numerze 2015/17/N/ST3/02314 (Preludium 9).

(4)

Lista publikacji

1. M. Szlawska, M. Majewicz and D. Kaczorowski, Ferromagnetic ordering in single-crystalline U₂RhSi₃ with fully ordered crystal structure, Journal of Alloys and Compounds 662 (2016) 208

2. M. Majewicz, D. Śnieżek, T. Wojciechowski, E. Baran, P. Nowicki, T. Wojto- wicz, and J. Wróbel, Low temperature processing of nanostructures based on II-VI semiconductors quantum wells, Acta Physica Polonica A, 126 (2014) 1174

3. M. Szlawska, M. Majewicz and D. Kaczorowski, Ferromagnetic spin-glass behaviour in single-crystalline U₂IrSi₃, J. Phys.: Condens. Matter 26 (2014) 126002

Artykuł przyjęty do publikacji:

4. W. Knap, I. Yahniuk, S. Krishtopenko, G. Grabecki, B. Jouault, C. Consejo, W. Desrat, M. Majewicz, A. Kadykov, K. Spirin, V. Gavrilenko, N. Mikhailov, S. Dvoretsky, D. But, F. Teppe, J. Wrobel, G. Cywinski, S. Kret and T. Dietl, Magneto-transport in inverted HgTe quantum wells, npj Quantum Materials

(5)

Spis treści

Podziękowania . . . 1

Lista publikacji . . . 2

Streszczenie . . . 5

Abstract . . . 6

1 Wstęp 7 1.1 Wprowadzenie . . . 7

1.2 Cel pracy . . . 10

2 Metodyka badawcza 11 2.1 Opis teoretyczny przewodnictwa przez stany krawędziowe . . . 11

2.1.1 Formalizm Landauera-B¨uttikera . . . 11

2.2 Przewodnictwo krawedziowe - własności transportowe . . . 17

2.2.1 Idea pomiarów transportowych . . . 18

2.2.2 Model opornikowy . . . 29

2.3 Zaplanowanie geometrii struktur . . . 34

2.4 Podsumowanie rozdziału . . . 36

3 Wytwarzanie struktur 37 3.1 Powody rozwinięcia niskotemperaturowej metody strukturyzacji . . 37

3.1.1 Wymagania materiałowe tellurku rtęci . . . 37

3.1.2 Szczegóły dotyczące heterostruktury HgTe/(Hg,Cd)Te . . . 38

3.1.3 Ryzyko zastosowania standardowych metod . . . 39

3.2 Niskotemperaturowa metoda strukturyzacji próbek o dużej po- wierzchni . . . 40

3.2.1 Metoda litografii elektronowej . . . 40

3.2.2 Przygotowywanie rezystów w obniżonej temperaturze . . . . 41

3.2.3 Proces naświetlania wiązką elektronową . . . 44

3.2.4 Wielopoziomowa litografia . . . 46

3.2.5 Proces litograficzny: maski, bramki . . . 61

3.2.6 Formowanie kontaktów elektrycznych . . . 72

4 Wyniki doświadczalne 75 4.1 Badane mikrostruktury . . . 75

4.1.1 Struktury z bramkami palcowymi . . . 75

4.1.2 Struktury z bramkami globalnymi . . . 79

3

(6)

SPIS TREŚCI 4

4.1.3 Zakres długości kanałów krawędziowych . . . 85

4.2 Układ eksperymentalny . . . 85

4.3 Jakość materiału oraz mikrostruktur . . . 88

4.3.1 Jakość materiału wyjściowego . . . 88

4.3.2 Efektywność działania elektrody bramkowej . . . 88

4.4 Wyniki uzyskane dla próbki F . . . . 94

4.4.1 Struktura F₁ — bramka 1 µm . . . 94

4.4.2 Struktura F₂ — bramka 2 µm . . . 96

4.4.3 Analiza wyników uzyskanych dla struktur F1 i F2 . . . 97

4.4.4 Struktura F₃ — bramka 4 µm . . . 98

4.4.5 Analiza opornikowa próbki F . . . 99

4.5 Wyniki dla struktur z elektrodami globalnymi . . . 102

4.5.1 Struktura G₁ . . . 103

4.5.2 Struktura G₂ . . . 106

4.5.3 Struktura G3 . . . 108

4.6 Oszacowanie oporów kanałów krawędziowych struktur G₂ oraz G₃ . 110 4.7 Podsumowanie rozdziału . . . 113

5 Symulacje klasyczne 114 5.1 Cel rozszerzenia analizy . . . 114

5.2 Zasadność zmodyfikowania modelu . . . 115

5.3 Możliwości pakietu obliczeniowego QuickField . . . . 115

5.4 Budowanie modelu struktury . . . 116

5.4.1 Warunki konstruowania mikrostruktury . . . 116

5.4.2 Warunki konstruowania makrostruktury . . . 117

5.4.3 Łączenie mikro- i makrostruktury oraz definiowanie siatki ele- mentów skończonych . . . 118

5.5 Modelowanie przepływu prądu w reżimie transportu dwuwymiarowego120 5.6 Modelowanie transportu krawędziowego . . . 124

5.6.1 Działanie bramki przy braku kanałów brzegowych . . . 124

5.6.2 Efekt wprowadzenia przewodzących kanałów brzegowych . . 124

5.7 Wyniki symulacji . . . 125

5.7.1 Reżim przewodnictwa dwuwymiarowego . . . 125

5.7.2 Transport krawędziowy . . . 126

6 Podsumowanie 133

(7)

Streszczenie

Autor: mgr Magdalena Maria Majewicz Promotor: prof. dr hab. Tomasz Dietl

„Wytwarzanie nanostruktur i badanie zjawisk transportu w dwuwymiarowych izolatorach topologicznych”

Tematyka izolatorów topologicznych stała się w ostatnich latach niezwykle po- pularna. Jest to związane z unikatowymi własnościami tych układów. Sprzężenie kierunku propagacji oraz spinu nośników ładunku sugeruje bowiem potencjalne zastosowania w spintronice.

W przypadku dwuwymiarowych izolatorów topologicznych teoria wskazywała na istnienie jednowymiarowych bezdysypacyjnych przewodzących stanów brzegowych.

Oznacza to możliwość generacji spinowo spolaryzowanych prądów krawędziowych podczas gdy wnętrze materiału pozostaje izolujące. Doświadczalne potwierdzenie tego zjawiska poprzez obserwację skwantowanego przewodnictwa krawędziowego okazało się być jednak bardzo trudne. W badanych dotychczas układach obserwowano opory zbliżone do przewidywanej skwantowanej wartości jedynie na bardzo krótkich kanałach.

Głównym celem niniejszej rozprawy było systematyczne zbadanie oporów po- szczególnych kanałów krawędziowych w strukturach wykonanych ze studni kwantowej tellurku rtęci oraz określenie ich zależności od długości. W pracy posłużono się studniami HgTe o grubości 8 nm. Grubość ta odpowiada odwróconej strukturze energetycznej, a zatem powinna umożliwiać obserwację kwantowego spinowego efektu Halla (QSHE).

W celu zminimalizowania interdyfuzji atomów rtęci podczas przetwarzania wyj- ściowego materiału opracowano niskotemperaturową metodę mikrostrukturyzacji.

Metoda ta posłużyła do wytworzenia wielosondowych mikrostruktur wyposażonych w górne elektrody bramkowe, służące do sterowania przejściem do stanu przewodnictwa krawędziowego. Geometria elektrod bramkowych oraz struktur została dobrana w taki sposób, by umożliwić generację kanałów krawędziowych o określonej długości z zakresu od 1 do 20 µm. Mikrostruktury z bramkami globalnymi (tj. pokrywającymi cały obszar mostka hallowskiego) wykorzystane zostały do potwierdzenia przewodnictwa brzegowego. Następnie uzyskane wyniki posłużyły do oszacowania oporów indywidualnych kanałów krawędziowych. Porównanie oporów segmentów kanałów krawędziowych o różnych długościach wskazuje na wzrost oporu wraz z długością.

Tendencja ta w zestawieniu ze znacznym rozrzutem wartości uzyskanych dla krót- kich kanałów sugeruje, że uzyskane wyniki są zgodnie z tezą o dyskretnym roz- kładzie centrów rozpraszających. Efekt ten jest zatem spójny z modelem jeziorek ładunkowych, sugerującym łamanie protekcji topologicznej w wyniku oddziaływa- nia z fluktuacjami koncentracji ładunku.

Jako uzupełnienie danych eksperymentalnych przeprowadzone zostały klasyczne symulacje transportu w badanych mikrostrukturach. Uzyskane wyniki pozwoli- ły stwierdzić wpływ ogólnej geometrii struktury na mierzone doświadczalne opory czterosondowe. Wyniki wskazują na to, że nawet w przypadku idealnej ochrony topologicznej kanałów krawędziowych wartości uzyskane doświadczalnie mogą być zawyżone z powodu istnienia dodatkowego wkładu do oporu związanego z geometrią obszarów kontaktowych.

(8)

Abstract

Author: mgr Magdalena Maria Majewicz Supervisor: prof. dr hab. Tomasz Dietl

„Preparation of nanostructures and investigation of transport properties in two-dimensional topological insulators”

The topic of topological insulators has become very popular in last few years.

Attractiveness of the field is caused by unique properties of those systems. For example, the spin-momentum locking may open applications in spintronics.

In case of two-dimensional topological insulators theory predicts that one-dimensional dissipationless conducting edge states are formed. It means that conductance occurs through spin-polarized edge channels, while the rest of the sample remains electrically insulating. Unfortunatelly, it turned out that experimental observation of quantized edge conductance turned out to be extremely difficult. Up to now, the measured channel resistancea are at best only approximately equal to the quantized values and only for short edge channels.

The main goal of this work was systematic investigation of individual edge channel resistances in microstructures made of mercury telluride quantum wells and de- termining their dependence on channel length. The thickness of the quantum wells was chosen to be 8 nm which corresponds to the inverted band structure, necessary to observe Quantum Spin Hall Effect (QSHE).

In order to minimize interdiffusion of mercury atoms during microprocessing of initial material, new low-temperature method of microstructurization was develo- ped. The method was used to prepare multiprobe microstructures equipped with top gate electrodes which serve to tune Fermi energy with respect to the bands, and enabling full depletion of the sample bulk. Under these conditions, the conductance occurs exclusively through edge channels. The geometries of the structures were cho- sen to define edge channel lengths in the range between 1 to 20 µm. Microstructures with global gates (electrodes that cover whole area of Hall bar) enabled determina- tion of resistances of all channel segments surrounding the structure. Comparison of resistances of the segments with different lengths shows the increase with the distance between subsequent contacts. However, there are strong resistance fluctuations for short channels which suggest that it is governed by discrete and randomly distributed scattering centers. This confirms the model of breaking the topological protection by trapping the carriers by charge puddles occurring due to fluctuations of charge concentration. Because the trapped carriers loose their spin memory, they may be backscattered.

To complete experimental part of the work, classical transport simulation in investigated microstructures was performed. The results allow to recognize the re- lation between the sample geometry and expected four-probe resistances. The data shows, that even in the case of precise quantization of the edge channel conductance, the measured resistance is increased due to geometrical contribution of the contact regions.

(9)

Rozdział 1 Wstęp

1.1 Wprowadzenie

Dwuwymiarowe izolatory topologiczne stały się w ostatnim czasie niezwykle gorącym tematem. Wynika to między innymi z ich unikatowych własności takich jak ochrona topologiczna w obrębie helikalnych stanów krawędziowych oraz sprzężenie kierunku spinu z kierunkiem wektora falowego k [1, 2, 3]. Pozwala to na zastosowanie tego typu układów do generacji spolaryzowanego spinowo prądu oraz sterowania nim, co potencjalnie umożliwia zastosowanie tych materiałów w szeroko pojętej dziedzinie spintroniki.

Mimo obiecujących perspektyw, jak dotąd w żadnym z badanych układów nie udało się zaobserwować doświadczalnie dokładnej kwantyzacji oporu, która stanowi manifestację kwantowego spinowego zjawiska Halla (QSHE — Quantum Spin Hall Effect [4]) i potwierdza istnienie ochrony topologicznej stanów brzegowych. Jak się okazuje, jest to szczególnie trudne w przypadku próbek makrospowych, podczas gdy efekt powinien być obserwowalny bez względu na rozciągłość przestrzenną próbki.

Równocześnie dotychczasowe wyniki prezentowane w literaturze potwierdzają obecność przewodzących stanów krawędziowych. Wniosek ten poparto zachowaniem oporu nielokalnego w kilku układach opartych na studniach kwantowych tellurku rtęci [5, 6, 7, 8]. W heterostrukturach arsenku indu i antymonku galu (InAs/GaSb) [9] oraz InAs/GaInSb efekt ten potwierdzono zarówno za pomocą analizy oporu mierzonego w konfiguracji nielokalnej [10, 11, 12] jak i obserwując zanik przewodności w konfiguracji dysku Corbinio [13, 14, 15, 11, 16]. W dwuwymiarowym materiale WTe₂ [17] transport krawędziowy potwierdzono między innymi za pomocą obserwacji sygnału nielokalnego [18, 19].

W żadnym z wymienionych materiałów nie udało się jednak uzyskać powtarzalnych wyników potwierdzających globalną ochronę topologiczną w obrębie jednowymiarowych stanów brzegowych. Obserwowano wielkości oporów zbliżone do przewidywanej skwantowanej wartości jedynie dla małych próbek [20, 5, 21, 22, 14, 19]

lub też wielkości znacznie je przewyższające (szczególnie w przypadku dłuższych kanałów krawędziowych) [20, 21, 22, 19, 12]. Zdarzało się również, że obserwowane eksperymentalnie dane wskazywały na wielkości oporów mniejsze niż wynikałoby to z przewidywań teoretycznych [16]. Ponadto wartości oporów zawsze wykazywały fluktuacje w funkcji napięcia bramki lub pola magnetycznego, szczególnie w obsza-

7

(10)

ROZDZIAŁ 1. WSTĘP 8 rze punktu neutralności ładunkowej.

Dodatkowo niektóre dane uzyskane dla InAs/GaSb wskazują na trywialny charakter transportu krawędziowego. Wnioski takie wysunięto, gdyż transport krawę- dziowy widoczny był w stanie, w którym sterowanie bramką powinno doprowadzić do uzyskania trywialnej struktury podpasm [11]. Dodatkowo pomiary przeprowadzone na pojedynczej studni InAs wskazują również na obecność przewodzących stanów krawędziowych oraz na liniową zależność między oporem a odległością mię- dzy kontaktami. Stąd też wniosek, że transport krawędziowy w tym układzie może wynikać z wywołanej ładunkiem powierzchniowym akumulacji nośników przy kra- wędzi mesy.

Badania topologicznych monowarstw WTe₂ wskazują na stabilność przewodnictwa stanów brzegowych do około 100 K. Wciąż jednak w strukturach wykonanych z tego materiału obserwuje się opory bliskie wartości skwantowanej jedynie gdy długości kanałów brzegowych nie przekraczają 100 nm [18, 19].

Dotychczasowe wyniki sugerują więc, że spodziewane kwantowe spinowe zjawisko Hall nie zostało dotychczas zaobserwowane w przeciwieństwie do dwóch innych kwantowych zjawisk Halla. Przykładem mogą być stany chiralne kwantowego ano- malnego zjawiska Halla (Anomalous Quantum Hall Effect — AQHE) w ferromagne- tycznym (Bi,Sb)₂Te₃:TM, [23, 24] gdzie TM=Cr lub V. W układzie tym spontanicz- ny opór hallowski w temperaturze poniżej 0.1 K przyjmuje wartości skwantowane z dokładnością do 1 ppm nawet dla próbek makroskopowych, tj. o długościach ka- nałów brzegowych sięgających milimetrów [25] [26]. Innym przykładem jest szeroko znane całkowite kwantowe zjawisko Halla (Integer Quantum Hall Effect — IQHE) [27, 28, 29] Dokładność kwantyzacji oporu w tym przypadku sięga kilku ppb zarów- no dla struktur kilku-mikronowych [30] jak i takich o rozmiarach milimetrowych [31, 32].

Właśnie porównanie z wyżej wymienionymi przypadkami obserwowanej eksperymentalnie kwantyzacji oporu (IQHE i AQHE) nasuwa pytanie, dlaczego w przypadku dwuwymiarowych izolatorów topologicznych jest ona tak trudna do uchwycenia.

Jak już wspomniano wyżej, możliwość obserwacji stanu dwuwymiarowego izolatora topologicznego przewidziano w kilku układach materiałowych, w tym złożonych studniach kwantowych InAs/GaSb, jak i monowarstwach WTe₂.

W przypadku niniejszej pracy wybór padł na pierwszego w historii badane- go kandydata do klasy dwuwymiarowych izolatorów topologicznych, tj. na studnie kwantowe tellurku rtęci. W przypadku studni HgTe/(Hg,Cd)Te grubość większa niż d > d_c ' 6.3 nm gwarantuje, że w niskiej temperaturze struktura podpasm w studni będzie odwrócona (podpasmo Γ₆ poniżej podpasma Γ₈) [33, 34]. Według przewidy- wań teoretycznych [33], takie ustawienie podpasm w studni powoduje pojawienie się bezprzerwowych stanów brzegowych dla energii odpowiadających przerwie energetycznej studni kwantowej. Oznacza to istnienie jednowymiarowych przewodzących kanałów krawędziowych podczas gdy wnętrze materiału znajduje się w stanie zu- bożenia ładunkowego (jest izolujące), tzn. dla poziomu Fermiego umiejscowionego wewnątrz przerwy energetycznej studni kwantowej. Stany brzegowe w izolatorach topologicznych posiadają ciekawą własność korelacji spinu elektronu z jego kierunkiem propagacji i w tym sensie mówimy o stanach helikalnych. Zgodnie z twierdze- niem Kramersa przy danej krawędzi próbki obecne są zawsze dwa stany brzegowe —

(11)

ROZDZIAŁ 1. WSTĘP 9 o przeciwnych kierunkach propagacji oraz orientacji spinu nośników. Według pierwotnych przewidywań własność ta powinna uniemożliwać rozpraszanie nośników wstecz, tak długo jak długo spin nie zmieni swojej orientacji. Skutkiem tego miał być bezdysypacyjny tranport, manifestujący się w skwantowanej wartości oporu elektrycznego.

Transport krawędziowy w tym układzie został doświadczalnie potwierdzony [5, 6, 7, 8]. Ponadto, obserwacja wstrzykiwania spinów sugeruje obecność spodzie- wanej polaryzacji spinowej prądów krawędziowych [35] oraz długą drogę koheren- cji spinowej [36]. Jendakże, pomiary przewodności wzdłuż kanałów krawędziowych zbliżają się do wartości skwantowanych jedynie dla długości badanych segmentów próbki między 1 a 10 µm, tj. są porównywalne lub tylko nieco dłuższe niż długość drogi swobodnej [20, 5, 37, 21]

Wyniki prezentowane w literaturze przedstawiają jednak jedynie dane uzyskane dla pojedynczych próbek. Sugeruje to trudności w uzyskaniu powtarzalnych wyni- ków na liczniejszym zestawie próbek. Oprócz braku danych dotyczących statystyki oporów w literaturze brakuje analizy rozkładu oporów indywidualnych kanałów brzegowych. Jedną ze stosowanych strategii bywa założenie o identyczności własno- ści wszystkich kanałów krawędziowych, a więc domniemanie jednakowych oporów wszystkich segmentów kanałów krawędziowych [16].

Dane literaturowe dotyczące próbek o większych rozmiarach wskazują, że opory silnie wzrastają wraz ze zwiększaniem się długości kanałów brzegowych. Dodatko- wo mierzone wartości okazują się być niezależne od temperatury, co wskazuje, że ani lokalizacja Andersona ani efekty związane z cieczą Luttingera nie są zjawiskami odpowiedzialnymi za wzrost oporu [6, 8]. Makroskopowe próbki ze studniami HgTe, dla których kwantyzacja oporu nie jest obserwowana, wykazują wysoką jakość całko- witego kwantowego zjawiska Halla z chiralnymi stanami brzegowymi pochodzącymi z poziomów Landaua studni kwantowej [20, 34, 38]

Te zaskakujące obserwacje zainspirowały próby teoretyczne wyjaśnienia złama- nia protekcji topologicznej poprzez efekty łamiące symetrię odwrócenia w czasie, które umożliwiają rozpraszanie wstecz. W sytuacji takiej przejście między dwoma helikalnymi stanami na danej krawędzi próbki stałoby się możliwe.

Samo sprzężenie spin-orbita nie jest w stanie doprowadzić do złamania ochrony topologicznej, gdyż zachowuje symetrię odwrócenia w czasie. Z tego względu niezbędne było rozważenie oddziaływania elektron-elektron, które może prowadzić do powstania polaryzacji spinowej [39]. Odpowiednie rozpraszanie mogłoby rów- nież nastąpić wewnątrz kanału krawędziowego [40, 41] lub w wyniku oddziaływania z pułapką ładunkową (taką jak jeziorko ładunkowe), która jest sprzężona z kanałem brzegowym [42, 43, 44]

Do tej pory nie udało się jednak ostatecznie rozstrzygnąć jaki mechanizm prowadzi do odchylenia od pierwotnych przewidywań teoretycznych i skutkuje zwięk- szeniem obserwowanego eksperymentalnie oporu kanałów brzegowych.

Innym ciekawym zagadnieniem jest wpływ pola magnetycznego na topologiczne stany krawędziowe. Według przewidywań teoretycznych należało się spodziwać trzech możliwych scenariuszy. Zgodnie z piewszym z nich, bezprzerwowe stany he- likalne, mimo niezerowego zewnętrznego pola magnetycznego, pozostaną obecne w próbce. Oznacza to, że nie zostanie zaobserwowane otwieranie się przerwy energe-

(12)

ROZDZIAŁ 1. WSTĘP 10 tycznej stanów brzegowych [45, 46]. Według innego scenariusza, naruszenie symetrii odwrócenia czasu przez pole magnetyczne prowadzi do osłabienia ochrony topologicznej [46]. Efektem powinno być zaobserwowanie zwiększania się oporu kanałów krawędziowych wraz ze wzrostem pola magnetycznego. Trzecia możliwość to znika- nie kanałów krawędziowych powyżej krytycznego pola magnetycznego B_c, odpowia- dającego topologicznemu przejściu fazowemu z owdróconej struktury energetycznej do normalnego ustawienia pasm. Przejście to wynika z przecięcia się najwyższego poziomu Landaua pochodzącego od pasma Γ₆ z najniższym poziomem Landaua od- powiadającym pasmu Γ8 [46, 47, 34, 48] Dla studni kwantowej o grubości d = 8 nm wartość indukcji pola krytycznego wynosi około B_c' 4 T.

Jak dotąd nie udało się jednoznacznie stwierdzić wpływu pola magnetycznego na przewodnictwo krawędziowe w tym materiale [47, 6].

1.2 Cel pracy

Głównym celem rozprawy jest określenie związku między oporem indywidualnych kanałów krawędziowych w izolatorze topologicznym wytworzonym ze studni kwantowej tellurku rtęci, a długością kanału krawędziowego oraz geometrią badanych mikrostruktur. Dodatkowym zamysłem doświadczalnej części badań było określenie wpływu warunków wytwarzania mikrostruktur na obserwowane własno- ści transportowe.

Pierwszym etapem prac było opracowanie, właściwej dla studni kwantowych HgTe, metody wytwarzania mikrostruktur. W tym celu zmodyfikowano i rozwinię- to istniejące metody obróbki materiałów cienkowarstwowych metodami litografii elektronowej.

Wytwarzane mikrostruktury dostosowano do pomiarów transportowych, umoż- liwiających badanie własności przewodzących kanałów krawędziowych. Ich geometria została zaplanowana w taki sposób, by możliwe było zarówno potwierdzenie transportu krawędziowego, jak i wyznaczenie oporów indywidualnych kanałów kra- wędziowych.

Ostatnim krokiem było opisanie uzyskanych wyników doświadczalnych modela- mi teoretycznymi uwazględniającymi istnienie transportu krawędziowego. Klasycz- ne symulacje transportu ładunku pozwolilły określić wpływ geometrii mikrostruktur, a w szczególności obszarów znajdujących się poza obszarem dominacji przewodnictwa krawędziowego, na mierzony doświadczalnie opór. Pozwoliło to na oszacowanie dokładności podejścia w ramach kwantowego formalizmu Landauera-B¨uttikera, który jest rozwijany przy założeniu, że rozmiary liniowe struktur są mniejsze niż długość spójności fazowej.

(13)

Rozdział 2

Metodyka badawcza

2.1 Opis teoretyczny przewodnictwa przez stany krawędziowe

Izolatory topologiczne charakteryzują się specyficznymi własnościami transpor- towymi. Zgodnie z przewidywaniami teoretycznymi, w układach dwuwymiarowych spodziewać się należy transportu elektronowego zachodzącego jedynie poprzez bez- dysypacyjne, jednowymiarowe kanały krawędziowe. Bernevig i in. [33] wskazują, że w przypadku pomiaru lokalnego (podłużnego) oporu struktury sześciosondowej zbudowanej z dwuwymiarowego izolatora topologicznego należy spodziewać się wartości skwantowanej — i niezależnej od długości — równej h/2e². Porównanie tej wielko- ści do dążącego do nieskończoności oporu podobnej struktury wykonanej z izolatora trywialnego powinno więc stanowić test na obecność kwantowego spinowego zjawiska Halla (QSHE).

Jak jednak pokazują wyniki uzyskane do tej pory [20, 5, 8, 6] wartości oporów obserwowane eksperymentalnie odbiegają od wartości przewidywanej teoretycznie, przy czym rozbieżności rosną z długością kanału krawędziowego. Jest to więc sytu- acja zupełnie inna niż w przypadku całkowitego zjawiska Halla (QHE) [28] i kwantowego anomalnego zjawiska Halla (QAHE) [23], które ze względu na dokładność kwantyzacji, w tym niezależność oporu Halla od rozmiarów próbki, wykorzystywane są do budowy wzorca oporu [32].

W naszej pracy opis teoretyczny przewodnictwa elektrycznego bramkowanych mikrostruktur zawierających studnie kwantowe HgTe przeprowadzilismy wykorzy- stując dwa podejścia: kwantowy formalizm Landauera-B¨uttikera, który stosuje się, gdy charakterystyczne rozmiary próbki L są mniejsze niż długość spójności fazowej L_ϕ, oraz opis klasyczny, który obowiązuje w przeciwnej granicy, L L_ϕ. Należy podkreślić, że dla próbki z doprowadzeniami elektrycznymi i polami kontaktowymi określenie wartości L nie jest jednoznaczne, co uzasadnia opis wyników doświad- czalnych w ramach dwóch komplementarnych formalizmów teoretycznych.

2.1.1 Formalizm Landauera-B¨ uttikera

Autorzy prac [20] oraz [5], wskazali na użyteczność formalizmu Landauera- B¨uttikera do określenia oporu spodziewanego dla dowolnej czterosondowej konfi-

11

(14)

ROZDZIAŁ 2. METODYKA BADAWCZA 12 guracji pomiarowej.

Formalizm ten stanowi rozwinięcie sformułowania zaproponowanego przez Lan- dauera [49] w 1957 roku, wiążącego przewodność badanej struktury ze współczyn- nikami transmisji (T ) oraz odbicia (1 − T ) nośników. Uzyskana przez niego propor- cjonalność:

G ∝ T

1 − T, (2.1)

rozumiana jest jako przewodność jednowymiarowego obiektu, bez uwzględniania re- zerwuarów elektronowych pełniących role źródła i drenu. Jeśli natomiast interesuje nas różnica potencjałów między punktami znajdującymi się głęboko wewnątrz silnie sprzężonych z badanym obiektem rezerwuarów elektronowych [50] zależność tę można przeformułować uniezależniając ją od współczynnika odbicia:

G ∝ T. (2.2)

W postaci takiej, w przypadku idealnej transmisji poprzez jednowymiarowy obiekt w konfiguracji dwusondowej, przewodność układu przyjmuje skończoną wartość.

Przez lata model zaproponowany przez Landauera stanowił podstawę do stwo- rzenia formalizmu nazywanego dzisiaj formalizmem Landauera-B¨uttikera, który umożliwia analizę układów sprzężonych z dowolną liczbą rezerwuarów elektronowych. Stosując tę metodę analizy zjawisk transportowych, możliwe jest określenie zależności czterosondowych oporów, czy też przewodności, w zależności od współ- czynników odbicia i transmisji między różnymi sondami. W swojej pracy [51] B¨uttiker proponuje definicję prądu wpływającego do (lub wypływającego z) i-tego rezerwu- aru elektronowego zależną od transmisji do sondy j-tej (T_ij) oraz transmisji z sondy j-tej do sondy i-tej (T_ji — związanej ze współczynnikiem odbicia), gdzie j przebiega wszystkie wartości prócz i:

I_i = e² h(^X

j6=i

T_jiV_i−^X

j6=i

T_ijV_j). (2.3)

Powyższy związek może posłużyć do określenia wartości oporu czterosondowego dla dowolnej konfiguracji, zdefiniowanego jako (k oraz l mogą przyjąć wartość taką jak i lub j):

R_ij,kl= V_kl

I_ij = V_k− V_l

I_i = V_k− V_l

−I_j , (2.4)

gdzie I_ij to prąd płynący przez strukturę, i oraz j oznaczają odpowiednio źródło oraz dren. Stąd też relacja I_ij = I_i = −I_j. Prąd wpływający musi się bowiem rów- nać co do wartości natężeniu prądu wypływającęgo z układu. Różnica potencjałów określana jest między dowolnymi sondami spośród pozostałych.

Korzystając z tych relacji możliwe jest wyznaczenie wartości oporów spodziewa- nych w przypadku idealnego dwuwymiarowego izolatora topologicznego. W pracy [52] B¨uttiker przedstawia sposób w jaki wzór 2.3 może zostać zastosowany do analizy całkowitego kwantowego zjawiska Halla. Z racji przewodnictwa czysto krawę- dziowego współczynniki transmisji do sąsiedniej sondy (tylko w jednym kierunku)

(15)

ROZDZIAŁ 2. METODYKA BADAWCZA 13 przyjmują wartości równe liczbie modów biorących udział w transporcie nośników, czyli w najprostszym przypadku T_i,i+1 = 1, podczas gdy wszystkie inne współczyn- niki transmisji przyjmują wartość 0.

Stosując podobny zabieg, dla przypadku kwantowego spinowego zjawiska Halla transmisja w kierunku obu sąsiednich sond przyjmuje wartość równą 1, natomiast transmisja do sond dalszych wynosi zawsze 0 (patrz rys. 2.1). Zależność 2.3 przyju- muje zatem postać:

Ii = e²

h((Ti+1,i+ Ti−1,i)Vi− (Ti,i+1Vi+1+ Ti,i−1, Vi−1)), (2.5) I_i = e²

h(2V_i− V_i+1− V_i−1)). (2.6)

V_i+1 V_i+2

V_i−1 V_i−2 V_i−3

X − 2

Y − 3 Ti,i+1

Ti+1,i

Ti,i−1

Ti−1,i

Ti,k6=i±1

V_i V_j

I_ij Iij

I_L

I_R

Rysunek 2.1: Ogólny schemat wielosondowej struktury wykonanej z dwuwymiarowego izolatora topologicznego. Zgodnie z formalizmem Landauera-B¨uttikera tylko współczynniki transmisji między najbliższymi sondami przyjmują wartości niezero- we. Vi — potencjał związany z rezerwuarem i. Kolor czerwony i niebieski oznaczają odpowiednio wszystkie kanały naleące do jednej gałęzi prądu.

Warto zauważyć, że bez wzlędu na liczbę sond w badanej mikrostrukturze, wypadkowy prąd wpływający do danej sondy jest różny od zera tylko w przypadku sond prądowych, podczas gdy dla każdej sondy napięciowej (nie-prądowej) jest on równy zeru. Dlatego też potencjał mierzony na sondzie k-tej, nie będącej sondą prądową, opisana jest średnią arytmetyczną potencjałów sond sąsiadujących:

I_k = e²

h(2V_k− V_k+1− V_k−1)) = 0, (2.7) Vk= V_k+1+ Vk−1

2 . (2.8)

Rysunek 2.1 przedstawia schemat wielosondowej (X +Y +2 sond) mikrostruktu- ry wykazującej obecność kwantowego spinowego zjawiska Halla. Źródło oznaczono indeksem i, dren indeksem j. Wstrzykiwany sondą i prąd rozdziela się na dwie ga- łezie: lewą (sondy i + 1, i + 2, ... i + X — oznaczenie: czerwony) oraz prawą (sondy

(16)

ROZDZIAŁ 2. METODYKA BADAWCZA 14 i − 1, i − 2, ... i − Y — oznaczenie: niebieski). Wiedząc, że w potencjały V_k są zawsze średnimi arytmetycznymi potencjałów dwóch sond sąsiednich, łatwo zauważyć, że w obrębie danej gałezi spadki potencjału mierzone na kolejnych parach sond muszą być takie same. Spadek potencjału V_ij dzieli się na X +1 w lewej oraz Y +1 równych części i odkłada się na na kolejnych segmentach struktury. Fakt ten można zapisać w postaci:

V_i+n,i+n+1 = V_ij

X + 1, (2.9)

dla gałęzi lewej, oraz

Vi+m,i+m−1 = V_ij

Y + 1, (2.10)

dla gałęzi prawej.

Korzystając z tych zależności łatwo można wyznaczć spodziewane wartości oporu czterosondowego w przypadku kwantowego spinowego zjawiska Halla.

Niech badana mikrostruktura wyposażona jest w 6 sond, stanowiących rezerwuary elektronowe i łączących 6 segmentów idealnych kanałów krawędziowych. Wtedy i ∈ (1, 2, 3, 4, 5, 6), zatem sonda następna po 6 to sonda 1 (patrz rys. 2.2 i 2.3).

V

₂

V

₃

V

₆

V

₅

T₁₂ T₂₁

T₁₆ T₆₁

T_1,k6=(2∨6)

V

₁

V

₄

I₁₄ I14

IL

IR

Rysunek 2.2: Schemat struktury 6-sondowej wraz z niezerowymi współczynnikami transmisji. Sondy prądowe wybrane w sposób umożliwiający zdefiniowanie oporu lokalnego (tj. podłużnego). Kolor czerwony i niebieski oznaczają odpowiednio wszystkie kanały naleące do jednej gałęzi prądu.

Wyznaczenie oporu czterosondowego mierzonego dla struktury sześciosondowej wymaga kilku kroków przekształceń. W przypadku oporu lokalnego (konfiguracja przedstawiona na rys. 2.2) na źródło i dren wybrano odpowiednio sondę 1 oraz 4.

Zatem prąd wstrzykiwany do struktury można zapisać jako:

I₁₄= I1 = −I4, (2.11)

I₁ = e²

h(2V1− V₂− V₆). (2.12)

(17)

ROZDZIAŁ 2. METODYKA BADAWCZA 15 Wypadkowy prąd wypływający z pozostałych sond jest równy zeru:

I₂ = I3 = I5 = I6 = 0. (2.13) Stąd wynika, że spadki napięć na kolejnych parach sond zawsze przyjmują tę samą wartość (ponieważ gałąź lewa i prawa mają taką samą liczbę segmentów):

V₁₂= V₂₃= V₃₄ = V₁₆= V₆₅= V₅₄ = V₁₄

3 . (2.14)

Korzystając z powyższych zależności, opór podłużny można zapisać w sposób na- stępujący:

R_L = R_14,23= V₂₃ I14

= h

e² · V₂− V₃ 2V1− V2− V6

= h

e² · V₂− V₃

(V1− V2) + (V1− V6). (2.15) Wykorzystując następnie zależność 2.14 powyższe równanie można łatwo uprościć do formy:

R_14,23 = h

e² · ¹/3V₁₄

(¹/³V14) + (¹/³V14) = h e² · ¹/3

2/³ = h

2e². (2.16) Jeśli sondy prądowe zostaną natomiast wybrane jak zostało to przedstawione na rys. 2.3, zależnośc określająca całkowity prąd płynący przez mikrostrukturę przyjmuje postać:

I₁₂= I₁ = −I₂, (2.17)

I₁ = e²

h(2V1− V₂− V₆). (2.18) Podczas gdy wypadkowe prądy wpływające do pozostałych rezerwuarów wynosi:

I₃ = I₄ = I₅ = I₆ = 0. (2.19) Zatem różnice potencjałów między kolejnymi sondami wynoszą:

V32 = V43= V54= V65 = V16= V₁₂

5 . (2.20)

Korzystając z powyższych zależności opór nielokalny R12,34 można skonstrułować jako:

R_NL = R_12,43 = V₄₃ I₁₂ = h

e² · V₄− V₃

2V₁− V₂− V₆ = h

e² · V₄− V₃

(V₁− V₂) + (V₁− V₆). (2.21) Następnie dzięki zależności 2.20 wyrażenie 2.21 można uprościć do postaci:

R_12,43= h

e² · ¹/5V₁₂

(1V₁₂) + (¹/5V₁₂) = h e² · ¹/5

6/5 = h

6e². (2.22)

(18)

ROZDZIAŁ 2. METODYKA BADAWCZA 16 Podobnie, w celu określenia oporu w konfiguracji R_12,53 niezbędne jest wyznaczenie różnicy potencjałów między sondami 5 i 3. Ze względu na charakter sond (niekoherentne rezerwuary elektronowe) w opisywanym modelu [53, 52] spadki na- pięć mierzone na kolejnych parach sond dodają się w sposób klasyczny:

V₅₃ = V₄₃+ V₅₄= 2V₄₃= 2V12

5 . (2.23)

Następnie powtórzyć należy przekształcenia analogiczne do przypadku poprzednie- go:

R_NL = R_12,53 = V₅₃ I₁₂ = h

e² · V₅− V₃

2V₁− V₂− V₆ = h

e² · V₅− V₃

(V₁− V₂) + (V₁− V₆), (2.24) by otrzymać ostateczną wartość szukanego oporu:

R_12,53= h

e² · ²/5V₁₂

(1V12) + (¹/5V₁₂) = h e² · ²/5

6/5 = h

3e². (2.25) Powyższą analizę można powtórzyć dla dowolnej innej, czterosondowej konfiguracji (każda dwu- i trójsondowa konfiguracja jest jej szczególnym przypadkiem), również w przypadku innej liczby sond w całej strukturze. Łatwo jednak zauwa- żyć, że w przypadku struktury sprzężonej z sześcioma rezerwuarami elektronowymi wyznaczone opory są zawsze wielokrotnościami wielkości h/6e². Uogólniając po- wyższą analizę, dla struktury zbudowanej z N segmentów kanałów krawędziowych sprzężonych z N rezerwuarami elektronowymi każdy czterosondowy opór przyjmuje wartość równą wielokrotności h/N e².

W dalszej części rozdziału przedstawiona zostanie analiza stosowalności opisanej właśnie metody.

V

₂

V

₃

V

₆

V

₅

T₁₂ T₂₁

T₁₆ T₆₁

T_1,k6=(2∨6)

V

₁

V

₄

I₁₄

I₁₄ IL

IR

Rysunek 2.3: Schemat struktury 6-sondowej wraz z niezerowymi wsp ołczynnikami transmisji. Sondy prądowe wybrane w sposób umożliwiający zdefiniowanie oporu nielokalnego. Kolor czerwony i niebieski oznaczają odpowiednio wszystkie kanały naleące do jednej gałęzi prądu.

(19)

ROZDZIAŁ 2. METODYKA BADAWCZA 17

2.2 Przewodnictwo krawedziowe - własności trans- portowe

W celu obserwacji transportu krawędziowego wynikającego z kwantowego spinowego zjawiska Halla należy porównać wartości oporów uzyskanych z analizy metodą Landauera-B¨uttikera z wielkościami obserwowanymi doświadczalnie. W tym celu niezbędne jest wytworzenie struktur odpowiednich do przeprowadzenia pomiarów własności transportowych.

Rysunek 2.4 przedstawia schematyczną strukturę pasmową dwuwymiarowego izolatora topologicznego. W przeciwieństwie do analogicznej struktury izolatora pasmowego, wewnątrz objętościowej przerwy energetycznej E_g znajduą się bezprzerwowe stany jednowymiarowe związane z krawędzią materiału. Niestety, układy nazywane powszechnie izolatorami topologicznymi, w stanie, w którym zostają wy- tworzone, z reguły wykazują na tyle znaczną koncentrację objętościowych nośników prądu, że obserwacja przewodnictwa brzegowego jest wrecz niemożliwa. Odpowia- dałoby to położeniu poziomu Fermiego jak E¹_F (lub E³_F) na rys. 2.4.

CB

VB

E¹_F

E²_F

E³_F E_g

k E

Rysunek 2.4: Schematyczna struktura energetyczna dwuwymiarowego izolatora topologicznego wraz z bezprzerwowymi stanami jednowymiarowmi wewnątrz objęto- ściowej przerwy energetycznej.

W przypadku dwuwymiarowym, gdy nośniki wnętrza materiału tworzą dwuwymiarowy gaz nośnikow, lokalna zmiana jego koncentracji jest możliwa poprzez wykorzystanie efektu polowego, tj. sterowanie koncentacją nośników w materiale za pomocą zewnętrznego pola elektrycznego. W zależności od pierwotnego typu przewodnictwa możliwe jest doprowadzenie do przejścia od stanu przewodnictwa typu n (rys. 2.4 E¹_F) lub typu p (rys. 2.4 E³_F) do stanu zubożenia ładunkowego wnętrza materiału (rys. 2.4 E²_F). Ponieważ jednak oprócz rozdzielonych przerwą energetyczną stanów objętościowych w układzie znajdują się również bezprzerwowe stany krawędziowe, w stanie zubożenia ładunkowego wnętrza materiału jedyny

(20)

ROZDZIAŁ 2. METODYKA BADAWCZA 18 kanał przewodzenia w materiale stanowią stany krawędziowe.

Zbadanie własności transportowych kanałów krawędziowych wymaga zatem przy- gotowania odpowiednich mikrostruktur, które umożliwią nie tylko zaobserwowanie przewodnictwa elektrycznego w stanie, w którym przy braku przewodnictwa kra- wędziowego transport elektryczny nie mógłby się odbywać, ale również odróżnie- nie obserwowanych efektów od tych spowodowanych np. niecałkowitym zubożeniem wnętrza materiału oraz przeanalizowanie własności pojedynczych kanałów krawę- dziowych.

2.2.1 Idea pomiarów transportowych

Rysunki 2.5, 2.6 oraz 2.7 przedstawiają efekty wprowadzania różnego rodzaju modyfikacji do wyjściowego fragmentu studni kwantowej. Korzystając ze schematu, który przedstawiają oba te rysunki, prześledzimy poszerzanie się możliwości pomiarowych wraz z wprowadzaniem kolejnych modyfikacji.

W naszym przypadku, wyjściowy materiał (rys. 2.5.a1) domieszkowany był w taki sposób, by uzyskać elektronowy typ przewodnictwa (szczegóły dotyczące wyjścio- wego materiału — [54]). Dzięki temu możliwe jest wykonanie kontaktów elektrycznych do mikrostruktury.

Pozornie, w celu obserwacji przewodnictwa krawędziowego powinno wystarczyć doprowadzenie materiał do stanu zubożenia ładunkowego (pozbawienia swobodnych nośników) np. poprzez odpowiednie domieszkowanie lub umieszczenie w polu elek- trycznym (za pomocą elektrody bramkowej), które doprowadzi do lokalnego prze- sunięcia poziomu Fermiego z pasma przewodnictwa (rys. 2.4 E¹_F) do objętościowej przerwy energetycznej (rys. 2.4 E²_F).

W przypadku izolatora pasmowego (nie posiadającego bezprzerwowych stanów brzegowych) działanie takie doprowadzi do całkowitego zaniku swobodnych nośni- ków prądu, a co za tym idzie materiał stanie się nieprzewodzący (rys. 2.5.a2) (przy założeniu dostatecznie niskiej temperatury). Natomiast w przypadku dwuwymia- rowego izolatora topologicznego, między stanami przewodnictwa typu n i typu p znajduje się obszar, w którym na brzegach materiału znajdują się jednowymiarowe kanały przewodzące (rys. 2.4 oraz rys. 2.5.a3). Sama możliwość doprowadzenia do tego stanu nie umożliwia jednak obserwacji transportu elektronowego przez kana- ły krawędziowe. W pierwszej kolejności wynika to z braku sond pomiarowych. Ich brak skutkuje w oczywisty sposób niemożnością zarówno wymuszenia jak i obserwacji wypadkowego przepływu prądu, gdyż stany odpowiadające propagacji w dwóch przeciwległych kierunkach są jednakowo obsadzone. Dopiero wprowadzenie silnie sprzężonych z kanałami krawędziowymi kontaktów, stanowiących rezerwuary elektronowe dla struktury, oraz przyłożenie niezerowej różnicy potencjałów źródło-dren poskutkuje wypadkowym przepływem prądu przez mikrostrukturę. Sondy prądowe mogą następnie posłużyć również do detekcji całkowitego spadku napięcia na mikrostrukturze. Dodatkowo, zakładając, idealny bezdysypacyjny transport przez topologiczne stany krawędziowe, sama obecność silnie sprzężonych rezerwuarów elektronowych jest również niezbędna do tego, by jakakolwiek niezerowa różnica potencjałów mogła zostać zaobserwowana. Wynika to z faktu, że zależność 2.1 zbiega do warto- ści zerowej gdy transmisja przez badany obiekt dąży do 1. Zerowy opór struktury

(21)

V I

UB> 0

V

_U

NI→ ∞ I →0

V I

UTI> 0 a1

a2 a3

b1

b2 b3

c1

c2 c3

(a)

(b)

(c)

izolator transport 2D izolator

trywialny topologiczny

Rysunek 2.5: Schemat modyfikacji heterostruktury: (a) a1 — wyjściowa hetero- struktura oraz: a2 — zubożenie całości materiału w przypadku izolatora pasmowego (trywialnego) i a3 — izolatora topologicznego; (b) umiejscowienie bramki typu palcowego nad: b1 — dwuwymiarowym gazem elekronowym oraz efekt zubożenia obszaru pod bramką w przypadku: b2 — izolatora pasmowego oraz a3 — topologicznego; (c) pomiar oporu dwusondowego w przypadku: c1 — przewodnictwa dwuwymiarowego oraz zastosowania bramki palcowej dla c2 — izolatora pasmowego oraz c3 — topologicznego.

(22)

V

^U^B^{> 0}

I

V

^U^NI^{→ ∞}

I →0

V

^U^TI^{> 0}

I

V

UB→ 0

I

V

UNI→ 0

V

UTI→ 0

I

a1

a2 a3

b1

b2

I

b3

(a)

(b)

Rysunek 2.6: Schemat dalszej modyfikacji heterostruktury — przypadek zastosowania elektrody bramkowej o geometrii palcowej: (a) pomiar oporu lokalnego w przypadku: a1 — przewodnictwa dwuwymiarowego, a2 — zastosowania bramki palcowej w izolatorze pasmowym oraz a3 — izolatorze topologicznym; (b) pomiar oporu nielokalnego w przypadku: b1 — przewodnictwa dwuwymiarowego, b2 — zastosowania bramki typu palcowego dla izolatora pasmowego oraz b3 — izolatora topologicznego.

(23)

V

^U^B^{> 0}

I

V

^U^NI^{→ ∞}

I →0

V

^U^TI^{> 0}

I

V

UB→ 0

I

V

UNI→ 0 I →0

V

UTI> 0

I

a1

a2 a3

b1

b2 b3

(a)

(b)

Rysunek 2.7: Schemat dalszej modyfikacji heterostruktury — przypadek zastosowania elektrody bramkowej o geometrii globalnej: (a) pomiar oporu lokalnego w przypadku: a1 — przewodnictwa dwuwymiarowego oraz zastosowania bramki globalnej w a2 — izolatorze pasmowym oraz a3 — topologicznym; (b) pomiar oporu nielokalnego w przypadku: b2 — przewodnictwa dwuwymiarowego, oraz zastosowanie bramki typu globalnego dla b2 — izolatora pasmowego oraz b3 — izolatora topologicznego.

(24)

ROZDZIAŁ 2. METODYKA BADAWCZA 22 balistycznej został zaobserwowany w roku 2001 [55].

Dodatkowo w sytuacji przedstawionej na rys. 2.5.a3 długość kanałów krawędzio- wych jest niekontrolowalna i zależy tylko i wyłącznie od wyjściowej geometrii próbki i szczegółów jej brzegu.

Rysunki 2.5.b – c przedstawiają modyfikacje do mikrostruktury, które umożli- wiają usunięcie wyżej opisanych problemów.

CB

VB

CB

VB

CB

VB E_F

EF

E_g

Eg

(a)

(b)

(c)

Rysunek 2.8: Schemat działania elektrody bramkowej na izolator topolo- giczny będący pierwotnie w stanie przewodnictwa typu n. Oznaczenia: ob- szar zielony — przewodnictwo elektronowe, obszar fioletowy — przewodnic- two dziurowe; (a) stan pierwotny - przewodnictwo typu n w całej strukturze, (b) transport krawędziowy w obszarze pod elektrodą bramkową, (c) struktura n-p-n.

Schemat przedstawia przekrój struktur widocznych na rys. 2.5 – 2.7

W celu badania własności przewodzących kanałów krawędziowych zastosowanie sterowania koncentracją nośników za pomocą napięcia przykładanego do zewnętrz- nej elektordy bramkowej pozwala nam na zdefiniowanie kanałów krawędziowych o określonej długości (Rys. 2.5.b1 i b3). Jest to możliwe dzięki temu, że bez wzglę- du na szczegóły geometrii brzegu całej próbki, to kształt oraz zasięg metalicznej elektrody bramkowej (rys. 2.5 — zasięg elektrody oznaczony pomarańczową prze- rywaną linią) definiuje długość przewodzącego kanału krawędziowego. Przyłożenie dostatecznie dużego ujemnego napięcia do elektrody bramkowej powoduje, zuboże- nie obszaru pod bramką, podczas gdy koncentracja nośników w reszcie próbki nie

(25)

ROZDZIAŁ 2. METODYKA BADAWCZA 23 ulega zmianie (rys. 2.5.b2 i b3 oraz rys. 2.8). W efekcie, w sytuacji idealnej, możli- we jest uzyskanie obszaru czystego przewodnictwa krawędziowego połączonego bez- pośrednio z dwuwymiarowym gazem elektronowym (zielone obszary na rysunkach 2.5 – 2.8). Dzięki temu mamy pewność dobrego kontaktu elektrycznego z kanałami krawędziowymi a obszarami pełniącymi funkcję rezerwuarów elektronowych, gdyż nie ma w tym miejscu połączenia między dwoma różnymi materiałami.

Wciąż jednak stan taki nie jest elektrycznie odróżnialny od tego, który był- by obserwowany w izolatorze trywialnym (rys. 2.5.b2) czy w próbce przewodzącej objętościowo, gdyż w dalszym ciągu nie obserwuje się wypadkowego transportu nośników.

Jak już opisano to w poprzednim akapicie, w celu przeprowadzenia pomiarów własności transporotwych badanej mikrostruktury należy zatem wykonać odpowiednie kontakty elektryczne. Zaletą zastosowania ograniczonej przestrzennie elektrody bramkowej (w porównaniu z domieszowym zubożeniem mikrostruktury czy też zastosowaniem elektrody działającej na całą próbkę) jest dodatkowo ułatwie- nie wykonania kontaktów elektrycznych do mikrostruktury. Wynika to z faktu, że kanały krawędziowe w naturalny sposób łączą się z dwuwymiarowym gazem elektronowym znajdującym się w części studni, która nie podlega działaniu elektrody bramkowej.

Już dwusondowa konfiguracja kontaktów (rys. 2.5.a) umożliwia obserwację efek- tów związanych z przewodnictwem krawędziowym. Wystarczy dokonać dwusondowego pomiaru oporu elektrycznego próbki — wymuszenie przepływu prądu przez próbkę (przykładając różnicę potencjałów) i pomiar spadku napięcia między tymi samymi sondami (rys. 2.5.c). W przypadku próbki, w której cała ścieżka prądu prowadzi przez dwuwymiarowy gaz elektronowy (rys. 2.8.a oraz 2.5.c1) obserwo- wany opór elektryczny zdefiniowany jako R_2p = U_B/I przyjmuje pewną niezerową wartość. Przyłożenie następnie między elektrodą bramkową a próbką dostatecznie dużego ujemnego (dla próbki typu n) napięcia powoduje zubożenie wnętrza mate- riału (rys. 2.8.b oraz 2.5.c2 i c3). Ponownie, w przypadku izolatora topologicznego (rys. 2.5.c3) na brzegach zubożonego obszaru pozostaną przewodzące kanały krawę- dziowe, podczas gdy w izolatorze pasmowym będą one nieobecne (rys. 2.5.c2). Dla- tego też w pierwszym przypadku (TI) mierzony doświadczalnie spadek napięcia U_TI wskaże ponownie niezerową wartość, większą niż w przypadku przewodnictwa obję- tościowego (U_B). Analogiczny pomiar dla próbki wykonanej z izolatora pasmowego wskaże (w granicy bardzo niskiej temperatury) na opór dążący do nieskończoności.

Zaletą zastosowania struktur o wyżej opisanej geometrii jest prostota — dwa kontakty elektryczne oraz pojedyncza, prosta elektroda brakowa. W przypadku takim określenie długości kanałów krawędziowych jest bardzo łatwe, gdyż jest ona zdefi- niowana przez długość fizycznej krawędzi materiału pokrytej elektrodą bramkową, czy też pisząc prościej, jest to dlugość brzegu obszaru zubożonego.

Pozornie interpretacja wyników uzyskanych za pomocą struktury dwusondowej z bramką palcową wydaje się być trywialna. W sytuacji idealnej, dwa identycz- ne, równolegle kanały krawędziowe o skwantowanym oporze umieszczone między obszarami o oporze znanym, wyznaczonym z pomiaru w reżimie przewodnictwa ob- jętościowego. Nie jest jednak oczywiste to, jaka część oporu powinna być traktowana jako opór kontaktów i doprowadzeń, czyli ta część, którą należy odjąć od wartości

(26)

ROZDZIAŁ 2. METODYKA BADAWCZA 24 uzyskanej w przypadku przedstawionym na rys. 2.5.c3 by otrzymać opór odpowia- dający dwóm równoległym kanałom krawędziowym. Dalsza analiza tej geometrii zostanie przeprowadzona w kolejnych rozdziałach pracy. Dodatkowo, w konfiguracji dwusondowej nie ma możliwości wyekstrahowania wartości oporów poszczególnych kanałów krawędziowych, a jedynie określenie wypadkowego oporu dwóch równole- głych ich segmentów. Nie ma również możliwości jednoznacznego odróżnienia efektu wynikającego z obecności przewodzących kanałów krawędziowych od resztkowego przewodnictwa wnętrza materiału.

Częściowym rozwiązaniem problemów napotkanych w przypadku struktur dwu- sondowych z bramkami palcowymi jest wytworzenie wielosondowej mikrostruktury z niezmienioną konfiguracją bramki — rys. 2.6. W tej geometrii całe doprowadzenia elektryczne łaczące mikrostrukturę z makroskopowymi kontaktami elektrycznymi są zbudowane ze studni kwantowej, to znaczy, tworzy je niezubożony dwuwymiarowy gaz elektronowy w warstwie tellurku rtęci.

Geometria mostka hallowskiego pozwala na wykonanie pomiarów w konfiguracji czterosondowej, dzięki czemu możliwe jest wyeliminowanie dodatkowych wkładów do oporu pochodzących od doprowadzeń elektrycznych, kontaków oraz kabli, czyli wszystkich elementów znajdujących się na ścieżce prądu aż do miejsca podłącze- nia sond napięciowych. W związku z wprowadzeniem dodatkowych sond, możliwe jest zmierzenie spadku napięcia na interesującym nas (ograniczonym) fragmencie mikrostruktury. Konfiguracja ta wprawdzie pozwala na obserwację przewodnictwa wynikającego z obecności kanałów krawędziowych, jednak nadal nie umożliwia od- różnienia obserwowanych efektów od wspomnianych wcześniej, takich jak resztkowe przewodnitwo objętościowe. W przypadku niecałkowitego zubożenia ładunkowego obszaru pod elektrodą bramkową również możliwe byłoby zaobserwowanie wzrostu wartości napięcia powyżej tego uzyskanego dla czystego przewodnictwa objętościo- wego UB. Dodoatkowo, nawet w przypadku całkowitego zubożenia obszaru pod elektrodą oraz umieszczając sondy napięciowe tuż przy obszarze zubużonym nadal informacja odczytana w ten sposób pozwoli nam określić co najwyżej wypadkowy opór dwóch równoległych kanałów krawędziowych. Nie ma bowiem powodu, by w przypadku odchylenia od przewidywanej wartości skwantowanej zakładać, że oba kanały krawędziowe są identycznie zaburzone.

Rozwiązanie kilku z powyższych problemów jest zastosowanie geometrii mostka hallowskiego w połączeniu z elektrodą bramkową pokrywającą całą centralną część mikrostruktury (rys. 2.7), sięgającą aż ponad fragmenty doprowadzeń elektrycznych. Elektroda o takiej geometrii będzie dalej nazywana bramką globalną.

W tym przypadku również mamy możliwość wykonania pomiarów w konfiguracji czterosondowej i usunięcia oporu doprowadzeń elektrycznych oraz makroskopowych kontaktów.

Pierwszą przewagą tej konfiguracji ponad przedstawioną na rys. 2.6 jest moż- liwość obserwacji zmiany średniej koncentracji nośników prądu w funkcji napięcia przyłożonego do bramki oraz określenie typu przewodnictwa. Co za tym idzie, moż- liwe jest stwierdzenie efektywności działania elektrody bramkowej i wyznaczenie zakresu napięć bramki odpowiadających objętościowej przerwie energetycznej. Wy- nika to z tego, że w całym obszarze mostka hallowskiego koncentracja zmienia się (w przypadku próbek jednorodnych) w przybliżeniu równomiernie.

(27)

ROZDZIAŁ 2. METODYKA BADAWCZA 25 Co ważniejsze, możemy jednoznacznie stwierdzić lub wykluczyć obecność prze- wodzących kanałów brzegowych i czystego przewodnictwa krawędziowego . Schemat metody obserwacji przewodnictwa krawędziowego wymaga przeprowadzenia pomiaru przynajmniej w dwóch konfiguracjach. W pierwszej kolejności neleży wykonać pomiar oporu lokalnego (przykład przedstawiony na rys. 2.7.a). Oporem lokalnym nazywamy iloraz spadku napięcia mierzonego na fragmencie próbki, przez który w reżimie dyfuzyjnym płynąłby prąd do wartości całkowitego prądu płynącego przez mikrostrukturę. W przypadku przedstawionym na rys. 2.7.a1 uzyskujemy pewną niezerową wartość oporu, zależną od koncentracji nośników i geometrii poprzeczki mostka hallowskiego. W funkcji napięcia na elektrodzie bramkowej opór ten będzie się sukcesywnie zwiększać wraz ze zmieniającą się koncentracją nośników prądu aż do momentu osiągnięcia całkowitego zubożenia ładunkowego wnętrza mikrostruktury (rys. 2.7.a2 i a3).

R_L

RNL

(a) izolator pasmowy (b) izolator topologiczny (c) resztkowe przewodnictwo obj ˛etościowe

Vg

a1 b1 c1

a2 b2 c2

R_L

RNL

R_L

RNL

Vg Vg

Vg Vg Vg

typ n typ n typ n

Eg Eg

opórlokalnyopórnielokalny

Rysunek 2.9: Efekt działania elektrody bramkowej na mierzony doświadczalnie opór:

lokalny R_L (górny rząd - a1, b1 i c1) i nielokalny R_NL (dolny rząd - a2, b2 i c2) w przypadku: (a) izolatora trywialnego, (b) izolatora topologicznego (różne kolory krzywych odpowiadają różnym konfiguracjom sond pomiarowych) oraz (c) resztkowego przewodnictwa objętościowego.

Wtedy podobnie jak w przypadku mikrostruktury dwusondowej (rys. 2.6.a3), w przypadku izolatora topologicznego możliwe jest zaobserwowanie maksimum oporu ale tym razem o wartości zależnej od liczby sond oraz od efektywnych oporów poszczególnych kanałów krawędziowych (rys. 2.9.b1). W takiej samej konfiguracji w przypadku izolatora pasmowego obserwacja wskazałaby na opór dążący do nieskończoności (rys. 2.9.a1). Obserwacja skończonej wartości oporu lokalnego nie jest jednak wystarczającym dowodem przewodnictwa krawędziowego. Jest natomiast warunkiem koniecznym jego stwierdzenia. Zawsze bowiem istnieje możliwość

(28)

ROZDZIAŁ 2. METODYKA BADAWCZA 26 resztkowego przewodnictwa wnętrza materiału, który mniejszyłby udział kanałów krawędziowych w transporcie. W sytuacji takiej mierzony opór również zwiększyłby swoją wartość (rys. 2.9.c1) i mógłby w ogólności przyjąć dowolną wielkość.

Dodatkowym argumentem za czystym przewodnictwem krawędziowym jest pomiar w kilku konfiguracjach podłużnych (rys. 2.10). W przypadku klasycznego sze- ściosondowego mostka hallowskiego we wszystkich konfiguracjach przedstawionych na rys. 2.10 mierzony spadek napięcia (pomiędzy fioletowymi sondami) powinien być w przybliżeniu taki sam. Wynika to z faktu, że spadek napięcia jest we wszystkich tych przypadkach mierzony na tym samym odcinku dyfuzyjnej ścieżki prądu.

R^2D_L1

R^2D_L2 ≈ R^2D_L1

R^TI_L1

R^TI_L2≈ 2 · R^TI_L1

R^TI_L3≈ 3 · R^TI_L1

R^TI_L4≈ 4 · R^TI_L1 R^2D_L3 ≈ R^2D_L1

R^2D_L4 ≈ R^2D_L1 1

2 3

6 5

4

1

2 3

6 5

4

1

2 3

6 5

4

1

2 3

6 5

4 (a)

(b)

(c)

(d)

przewodnictwo dwuwymiarowe

przewodnictwo kraw ˛edziowe

Rysunek 2.10: Wybrane konfiguracje czterosondowego oporu lokalnego, równoważne w reżimie przewodnictwa dwuwymiarowego (R^2D_L ), a odpowiadające różnym warto- ściom (R^TI_L ) w przypadku czystego przewodnictwa krawędziowego. Bliskość wartości R^2D_{L i} zależy od stosunku długości mostka hallowskiego do jego szerokości. Mimo to, nawet w przypadku geometrii zmodyfikowanego mostka hallowskiego (typ struktu- ry G₁) konfiguracje te można uznać za równoważne. Oznaczenia: zielony — sondy prądowe, fioletowy — sondy napięciowe.

Rozpatrując jednak przypadek czystego przewodnictwa krawędziowego, nawet przy braku rozpraszania wewnątrz kanału krawędziowego i idealnej kwantyzacji, wystarczy przesunięcie jednej elektrody pomiarowej by mierzona wartość oporu zmieniła się znacznie. Rysunek 2.10 przedstawia porównanie wartości oporów mie-