Lista 6: Baza i wymiar przestrzeni liniowej
(1) Sprawd´ z, czy podany zbi´ or wektor´ ow stanowi baz¸e przestrzeni R
3:
(a) {(1, 2, 3), (3, 2, 1), (0, 0, 1)};
(b) {(1, 2, 3), (3, 2, 1)};
(c) {(0, 2, −1), (1, 1, 1), (2, 5, 0)};
(d) {(0, 2, −1), (1, 1, 1), (1, 3, 0)}.
(2) Sprawd´ z, czy podany zbi´ or wektor´ ow stanowi baz¸e przestrzeni R
2[x]:
(a) {x
2− x + 1, 2x + 1, 2x − 1};
(b) {x + x
2, x − x
2}
(3) Podany wektor przedstaw jako kombinacj¸e liniow¸ a wektor´ ow bazowych:
(a) (1, 2), B = {(1, 1), (−1, 1)} ⊂ R
2;
(b) x
2+ x
3, B = {1, 1 + x, 1 + x + x
2, 1 + x + x
2+ x
3} ⊂ R
3[x];
(c) (3, −1), B = {(1, −1), (1, 1)};
(d) (3, −1), B = {(1, 2), (1, 3)};
(4) Znale´ z´ c baz¸e i wymiar podanej przestrzeni liniowej (a) {(x, y, z, w) ∈ R
4| x − w + z = 0};
(b) {(a + b, a + c) | a, b, c ∈ R};
(c) {a
0+a
1x+a
2x
2+a
3x
3| a
0+a
1= 0 i a
2−2a
3= 0} ⊂ R
3[x];
(d) {(2s − t, s, t, s) | s, t ∈ R};
(e) {(5t, −3t, t, t) | t ∈ R};
(f) {(0, 6t, t, −t) | t ∈ R};
(g) {(s + 4t, t, s, 2s − t) | t ∈ R}.
(5) Sprawd´ z, czy wektory u = (1, 0, −1), v = (1, 1, 0), w = (0, 1, 2) tworz¸ a baz¸e przestrzeni R
3. Wyznacz podprzestrze´ n generowan¸ a przez wektory u i v, a nast¸epnie zapisz Lin(u, v) w postaci
{(x, y, z) ∈ R
3: ax + by + cz = 0}
przy odpowiednio dobranych a, b, c ∈ R. Okre´sl wymiar pod- przestrzeni Lin(u, v) i podaj przyk lad jej dope lnienia algebraicznego.
(6) Dana jest podprzestrze´ n
U = {(x
1, x
2, x
3) ∈ R
3| x
1+ x
2+ 2x
3= 0}
przestrzeni wektorowej R
3oraz wektor u = (2, 0, −1). Poka˙z,
˙ze u ∈ U i znajd´ z baz¸e podprzestrzeni U zawieraj¸ ac¸ a wektor u.
Wyznacz wymiar podprzestrzeni U i podaj przynajmniej dwa przyk lady jej dope lnienia algebraicznego.
1
