Z33ZYTY HAUKOTS POLITECHNIKI ¿ŁASKIEJ Seria: GÓRNICTWO z. 104
_______1900 Nr kol. 640
Marian KOZDRÓJ Gerard GOLDA Eugeniusz KRAUSE
PODEJMOWANIE DECYZJI GOSPODARCE MATERIAŁOWEJ W GÓRNICTWIE
Streszczenie. 17 artykule podano przykład podejmowania decyzji, lctóra daje kierownictwu kopalni pewność, że w otrzymanej partii to
waru liczba sztuk wadliwych nie przekracza z góry ustalonej wartoś
ci.
Dla ilustracji modelu posłużono się przykładem odbioru jakościowego drewna okrągłego w kopalni*
Zapotrzebowanie Przemysłu Węglowego na drewno okrągłe, a zwłaszcza na stojaki i stropnice, mimo coraz szerszego, stosowania obudowy stalowej jest jeszcze znaczne. Dostarczone drewno wymaga kontroli jakościowej. Obowiązu
jąca w resorcie instrukcja gospodarki drewnem zaleca badanie stojaków i stropnic przy odbiorze w ułożonych poprzednio stosach przez policzenie sztuk, sprawdzenie długości oraz wymierzenie średnicy w cieńszym końcu każdej sztuki. Długość mierzy się taśmą lub łatą, przy czym dopuszczalne odchylenie wymiarów przyjętego odstopniowania. nie może przekraczać - 2 om.
Średnice w cieńszym końcu mierzy się dwukrotnie miarą o podziałeś centyme
trowej, w kierunku najmniejszej i największej średnicy. Uzyskane v; ten sposób wyniki zaokrągla się w dół do pełnych centymetrów. Za średnicę mie
rzonego okrąglaka należy przyjąć średnicę arytmetyczną z powyższych zao
krąglonych pomiarów, zaokrągloną do pełnych centymetrów w górę. Kubaturę oblicza się według obowiązujących tabel w metrach sześciennych na podsta
wie długości i średnicy mierzonej w cieńszym koścu. Zbadanie całej partii drewna przy odbiorze przez kopalnie w sposób zgodny z przytoczoną instruk
cją daje odbiorcy pewność, że w otrzymanej partii drewna liczba sztuk wad
liwych nie przekracza z góry ustalonej wartości W Q.
Taki sposób odbioru drewna jest jednak bardzo kosztowny i może zastą
pić go wyrywkową kontrolą, polegającą na pobraniu próbki o liczebności n, policzeniu wadliwych sztuk m i powzięciu decyzji czy partię drewna przy
jąć, czy odrzucić. Przy wyrywkowej kontroli obniża się koszty pomiaru drew
na, ale w pewnym stopniu traci się pewność dobrego odbioru, można bowiem popełnić pomyłkę. Pomyłką pierwszą może być przyjęcie partii niedobrej, a
40 M. Kozdró.i, G. Golda, E» Krause
omyłką drugą noże być cdrzucenie partii dobrej. Chodzi o to, aby zabezpie
czyć odbiorcy możliwie małe ryzyko.
Prawdopodobieństwo a popełnienia błędu pierwszego rodzaju i prawdopodo
bieństwo f) popełnienia błędu drugiego rodzaju powinny być małe. Oznaczmy literą P prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na przyjęciu partii, a literą w wadliwą partii. Wielkość P(A) jest oczywiście funkcją (O . Jeś
li wartość ut się zwiększa, P(A) musi maleć.
Dla:
u - 0, P(A) = 1
absolutnie dobra partia musi być przyjęta.
Dla:
w » 1, P(A) - 0
absolutnie wadliwa partia musi zostać odrzucona.
Wykresem funkcji P(w) jest krzywa przedstawiona na rys. 1. Można tam odczytać prawdopodobieństwo przyjęcia partii o danej wadliwości w .
W szczególności istnieje taka wad
liwość iO|, dla której:
P ( A ) - «
Jest to błąd pierwszego rodzaju.
Istnieje również taka wadliwość Wg. dla której:
P(A) - 1 -/i
Jest to niepopełnienie błędu drugie
go rodzaju. Potocznie mówiąc: partia 0 wadliwości będzie niemal zaw
sze odrzucona (z prawdopodobieństwem 1 -ff), a partia o wadliwości w0 bę
dzie niemal zawsze przyjmowana (z prawdopodobieństwem 1 - h ). W inte- Eys. 1
resie odbiorcy leży ułożenie takiego przepisu kontroli, żeby (Oj leżało blisko w
2"
Przepisy kontroli nosi nazwę planu badania, Wykres opisujący go nazywa jego charakterystyką. Z dwóch wykresów pokazanych na rys. 2 lepszy jest drugi, ponieważ 0>'.j < Wg. Plan badania jest tym lepszy, im bardziej stroma jest jego charakterystyka, ponieważ przy tej samej wartości fit od
rzuca niemal zawsze partie o najmniejszej wadliwości. 0 takim planie mówi się, że ma dużą selektywność. Zwiększenie selektywności planu prowadzi zawsze do zwiększenia liczebności prebki.
Podejmowanie decyzji w gospodarce... 41
Wprowadźmy oznaczenia:
n - liczebność próbki,
m - liczebność wadliwych sztuk w prób
ce,
mQ - dopuszczalna liczba wadliwych sztuk w próbce,
<0^ - wadliwość dyskwalifikująca, Wg - wadliwość dopuszczalna,
u - prawdopodobieństwo przyjęcia złej partii,
Ib - prawdopodobieństwo odrzucenia dob
rej partii,
D - decyzja przyjęcia partii, H - decyzja odrzucenia partii, B - decyzja: badań dalej, oraz zależności:
P(u) - prawdopodobieństwo przyjęcia partii o wadliwości U jest funkcją malejącą,
P(w = 0) = 1 P ( w = 1) = 0
P ( W =3 ) =3 W
p ( w * w2 ) = 1 -/$
Istaieją plany badania jednostopniowego, wielostopniowego oraz inne me
tody, które jeszcze nie zostały przez Polski Komitet normalizacyjny osta
tecznie wykorzystane.
Plan jednostopniowy polega na pobraniu próbki o liczebności n i poli
czeniu wadliwych sztuk m. Jeśli m^ mQ, podejmuje się decyzję D, a jeśli m > m o - decyzję N.
Plan badania wielostopniowy polega na pobraniu próbki o liczebności n i policzeniu wadliwych sztuk m. Jeśli m ^ m Q podejmuje się decyzję D, jeśli m > m Q - decyzję N. a jeśli m = 0 - decyzję 3.
Do innych planów zaliczyć można plan oparty na analizie sekwencyjnej.
Różni się on od planu wielostopniowego tylko tym, że n = 1, tzn. że pobie
ramy do badania po jednej sztuce.
Porównania planów badania. Niech będzie dana wadliwość dopuszczalna u2 = 0,01 i wadliwość' dyskwalifikująca = 0,04 oraz wielkość ryzyka po
pełnienia omyłek «--$ »» 0,05- Sytuacja wygląda praktycznie następująco:
odbiorca ch«« mieć towar o wadliwości równej 0,01. Może jednak uznać za dobry towar o wadliwości nieco większej. Zastrzega się jednak, że towa
ru o wadliwości k)^ większoj »iż 0,04 nie będzie przyjmował niemal nigdy (tzn. z prawdopodobieństwem 0C= 0,05). Dostawca gwarantuje wadliwość nie większą jak 0,01, ale chce mieć pewność, że jego dobry towar nie będzie odrzucony niemal nigdy (tzn. z prawdopodobieństwem /*» * 0,05). Umowa powin-
i i M. Kozdrój, 0. Goj da, B. Krause
na zabezpieczyć należycie obydwie strony. Obie też zgodzą 3ię na tad. plan badania, w którym P(ó,01) = 1 — /?»= 0,95 i P(0,04) = CC = .>,05} łatwo więc zaspokoić żądania dostawcy. Odbiorca natomiast prócz swoich gwarancji mu
si jeszcze ustalić plan kontroli, który go będzie mniej kosztował. Wybie
rze więc taki plan, który przy ustalonych w umowie wartościach (J^, it)P, tt i fi będzie wymagał najmniejszej próby. A oto jego wybór:
a. P l a n j e d n o s t o p n i o w y Zakładamy: n = 250, Wg - 1/3 = 0,01.
Korzystamy z tablic rozkładu Poissona:
A = 250 . 0,01 = 2,5
Sposób kontroli:
- pobieramy próbkę o liczebności 250 sztuk, - liczymy sztuki wadliwe m,
- odczytujemy z tablicy rozkładu Poissona dla A = 2,5 i Cl = 0,05 odpowied
nie mo }
dla m0 = 5 otrzymujemy Cf= 0,066801, dla k;q = 6 otrzymujemy ct= 0,027834, Przyjmujemy więc mo = 5
-• jeżeli m i 5, przyjmujemy partię (decyzja 2), - jeżeli m>5, odrzucamy partię (decyzja Ii)»
b. P l a n w i e l o s t o p n i o w y Zakładamy: n = 50, <dg = 15» = 0,01,
W 1 = 4,0*3 = 0,04.
Korzystamy z tablic rozkładu Poissona:
A = n . u
>2
Łączna liczba pobranych sztuk
n m
50 0,5 3
100 1,0 4
150 1,5 4
200 2,0 5
. 250 2,5 6
3 00 3,0 6
350 3,5 7
400 4,0 8
Podejmowanie decyzji w gospodarce.
Al
Sposób kontroli:
- pobrać próbkę o liczebności 50 sztuk, - policzyć wadliwe sztuki m,
- jeżeli ra>3 - decyzja Ii, - jeżeli m g 3 - decyzja D, - jeżeli 'm = 0 - decyzja B.
Gdy nastąpiła decyzja B, pobrać następne 50 sztuk i policzyć wadliwe sztuki m (razem z poprzednimi);
- jeżeli m > 3 - decyzja W, - jeżeli m g 3 - decyzja D, - jeżeli m = 0 - decyzja B.
Jeżeli decyzja B powtarza się, zakończyć badanie przy sumie liczeb
ności próbek wynoszącej 400. .
Decyzje D lub N mogą być powzięte w każdym stopniu. Przeciętnie liczba ba
danych sztuk będzie o około JOfo mniejsza niż w analogicznym planie jedno- stopniowym.
c. P l a n o p a r t y n a a n a l i z i e s e k w e n c y j n e j
Pobieramy po jednej sztuce. Jeżeli w próbce o liczebności n liczba wadliwych sztuk m g a n> przyjmujemy partię (D), jeżeli m > r n, odrzucamy par
tię (H), jeżeli an< m < r , badamy dalej (B), Wielkość ^ i rn wyrażają się wzorami:
1 - w
lg lg r ^ r y
n 1 - w n on “ 1' - w
ig " ig 1 - le ~ lg I - u>2
lg Jl z Ł lg l
±g a 6 > - C r = ----
r
- — - nn ćol l - u 5 7 oj-i 1 - w1 lg oT " lg 1 - <o2 lg ~ lg 1 - Wg
Dla przyjętej wadliwości dopuszczalnej = 0,01 i wadliwości dyskwa
lifikującej = 0,04 otrzymujemy:
lg = - lg 19 = - 1,27 375
lg
l-jjp-
= lg 19 = 1,27875 w.lg TT = lg 4 = 0,60206 2
■ A f t ___________________ Kozdró.j, G» Golda, E* Krause-
1 - 96
an “ óTŁb'^ o & 2I8o f o 1337 + n 'o , \ X > % V P l , 6 m 7 = ~ 2*°778 + n • 0,02172
rn " 0 7 + n ~ ^ M 1+^,61337 = 2*0778 + n • 0,02172
I tu liczba badanych sztuk jest zmienną losową* Zastosowanie na przecięt
ną liczebność próbki wzoru:
pozwala stwierdzić:, że gdy możliwość u = 0,04, przeciętna liczebność próbki wynosi 103 sztuki.
Zakładając, że w naszej praktyce możemy przyjąć u>2 = 0,05, a co^ = 0,08, otrzymujemy, przy prawdopodobieństwie popełnienia błędu I i II ro
dzaju tt- fs = 0,5, następujące wielkości an i ra*
A " " 1,27875 lg §^§§ = lg 1,6 = 0,20412
lg "TT = 1,27875 lg = lg 92 - lg 95 = -C,01393
an = + a ~ T cT1'ft3'Po?Ót393 = -5,86448+0,063844 n
rn = + n ~ ,ToT l?ł+1^ '1’3'33 = 5,86448+0 , 063384 n
WNIOSEK
•Opracowana na podstawie obliczonych wielkości a^ i r^ tablica 1 ułat
wia powzięcie decyzji D lub N, gdy liczebność próbki stanowi 155? liczeb
ności sztuk drewna w wagonie.
Tablica
Podejmowanie decyzji w gospodarce»»#_________________________________ 45
r—łJ3 O af-H^st-
■OH co 3 'O M co n
•H 5=
<H T-
•h vo 3
1—1*03
CO o
55 GJW m o -p
>>N N Q o m
O O C T ł O r - r - ( \ j r \ ^ - l i \ v D t ^ ( T i O W ^ L f \ t * - 0 ( ^ l A ' i > W ( \ j ,>ł
r r r - r - r r r - r r r W W W W W n ^ n n ^ ^ ^
I X
& G
<D +>
N N
O 03
•HrH X!
r - ł- H L A s L aJ rH
N t J II O <0
m 3N 3*oPłs03
O O
« G
O O O O O O O T - C J f ^ ^ v O t * r C O O r n in co r c a i a co W W W
r - T - t - T“ T - CVł O CM c a c a
r&
* o
p.
'O*03 o
,QG
©N
o
O CO I A O
n m- © LA CA O
c o m L n o m o o o i n i n o o o L n o o O u ,
O W n i A c O r W l A ^ O ^ ^ W i n c O W ł - T - ^ T - T - W W W W n ^ ^ ^ ^ ^ l A
LA O O
Ł- OLA V0
CO G£
© 'a
-p ©
N -H
03 a
'o ho O
*03 CO
& s g s
©N O
oo O O O o O O O o o o o o o o o o o O O O O O O O IA O O o IA O o o o o o o o o o o o O O O O O O O CM CA ^ł- LA LA vo C- co cn o
5— CM *3- LA T“!>-
T“ co o CM CM
CM LA CMco
CM O CACM
CALA CA co
CAO
***•
p«
H?
W n ^ l A V O f - C O O \ O r W r \ ^ I A VO CO ON O r * W A M" L A r r r W W W W CM OJ
46 M. Kozdro.1, G. Golda, E. Krause
IlPH H flTH E PEHEHHH B MATEPHAJIbHOM X O S f& C T B E B TOPHOM nE.ip ;
P e a ¡0 m e
B c t a T f c e n p H D O f l K T o i i n p n M e p u n p H H a i M p e m e n x n , K o x o p o e f l a e i y n p a B J i e K a » m a x T H y B e p e H H O c x b , h t o b n o j i y t i e H H O f t n a p i H H M a i e p n s u i a K O M H e c T B O H e $ e K T H H X m i y K a e 6y . n e T B b i n e c s e p x y o n p e a e j t e H H o i i c t o h m o c t h .
f
DECISION MAKING IN MATERIAL ECONOMY IN THE MINING INDUSTRY
S u m m a r y
The paper presents an example of decision making which makes the autho
rities feel sure that within the obtained batch of products the number of faulty items does not exceed the predicted value.
