(a) Zbieżność punktowa do funkcji nieciągłej. Nie jednostajna ani nie niemal jednostajna.

jednostajna.

Manipulate[Plot[Evaluate[{x^n, Piecewise[{{0, x < 1}}, 1]}],

{x, 0, 1}, PlotRange → {0, 1}], {n, 1, 50, 1, Appearance → "Labeled"}]

n 13

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

(b) Zbieżność jdenostajna do 0

ManipulatePlotxⁿ-xⁿ⁺¹, {x, 0, 1}, PlotRange → {0, .25}, {n, 1, 100, 1, Appearance → "Labeled"}

n 3

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

FullSimplifyxⁿ-xⁿ⁺¹/. SolveDxⁿ-xⁿ⁺¹, x == 0, x[[1]]

nⁿ(n+1)^-n-1

Limitnⁿ(n + 1)^-n-1, n → ∞

0

(c) Nie jednostajna do 0. Niemal jednostajna na [0,1).

Clear[x]

Dxⁿ-x^{2 n}, x

n x^n-1-2 n x^{2 n-1} n x^n-11 - 2 xⁿ

SolveDxⁿ-x^{2 n}, x ⩵ 0, x[[1, 1]]

x→2^-1n

FullSimplifyxⁿ- x^{2 n}/. SolveDxⁿ- x^{2 n}, x ⩵ 0, x[[1]], Assumptions → {n > 0}

1 4

ManipulatePlotxⁿ-x^{2 n}, {x, 0, 1}, PlotRange → {0, 0.25}, {n, 1, 100, 1, Appearance → "Labeled"}

n 30

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

(d) Jednostajna do 0

ManipulatePlot 1

n + x, {x, 0, d}, PlotRange → {{0, d}, {0, 1}}, {n, 1, 100, 1, Appearance → "Labeled"},

{{d, 1, "granica"}, 1, 20, Appearance → "Labeled"}

n 1

granica 4.26

0 1 2 3 4

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

(e) Zbieżność punktowa. Nie jednostajna. Niemal jednostajna.

Togethern x

1 + n + x -x

-x(x+1) n+x+1

SimplifyMaximizex (1 + x)

1 + n + x, 0 ≤ x ≤ ∞, x, n > 1

{∞,{x→Indeterminate}}

ManipulatePlot n x

1 + n + x, x, {x, 0, d}, PlotRange → {{0, d}, {0, d}}, Prolog →

Red, Line[{p, q}], LineFirst[p], n First[p]

1 + n + First[p], {First[p], First[p]}, LineFirst[q], n First[q]

1 + n + First[q], {First[q], First[q]}, {n, 1, 100, 1, Appearance → "Labeled"}, {{d, 1, "granica"}, 1, 20,

Appearance → "Labeled"}, {{p, {0, 0}}, {0, 0}, {d, 0}, Locator}, {{q, {1, 0}}, {0, 0}, {d, 0}, Locator}

n 31

granica 4.76

0 1 2 3 4

1 2 3 4

(h). Zbieżność jednostajna

Manipulate[Plot[{x ArcTan[n x], Pi / 2 Abs[x]}, {x, -10, 10}], {n, 1, 20, 1, Appearance → "Labeled"}, SaveDefinitions → True]

n 1

-10 -5 5 10

5 10 15

g[x_] := πx

2 -x ArcTan[n x]

g[0]

0

Limit[g[x], x → ∞, Assumptions → n > 0]

1 n

Limit[D[Pi / 2 x - x ArcTan[n x], {x, 1}], x → ∞, Assumptions → {n > 0}]

0

D[g[x], {x, 2}] // Simplify

- 2 n

n²x²+1²

ujemna malejąca

D[Pi / 2 x - x ArcTan[n x], {x, 1}] /. x → 0 π

2

x→∞lim

∂ ^{π x}

2 - x tan^-1(n x)

∂ x¹ 3 0

and malejąca więc musi być

0. A więc g jest rosnąca.

(a).



n=1

∞ x

n²⩵ x 

n=1

∞ 1 n²

x 

n=1

∞ 1 n² π²x

6

Sup 6x7 n²

= ∞

a więc nie jednostajna.

Ograniczmy do

Sup_[a,b] 6x7 n²

=max(6a7, 6b7) n² → 0



n=1

∞ max(6a7, 6b7) n²

< ∞

(b).

Ciąg zbieżny dla każdego x (kryterium asymptotyczne)

ManipulatePlot x²

n⁴+x⁴, {x, -10, 10}, PlotRange → {0, 1}, {n, 1, 10, 1}

n

-10 -5 0 5 10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

D x²

n⁴+x⁴, {x, 1} // Simplify 2 x n⁴-x⁴

n⁴+x⁴²

D x²

n⁴+x⁴, {x, 2} /. x → n - 2

n⁴ x²

n⁴+x⁴ ≤ n² 2 n⁴ ⩵ 1

2 n² 2 n²x²≤ n⁴+x⁴

szereg zbieżny jednostajnie

(c).



n=1

∞ sinn²x

n²+ x² sinn²x

n²+ x²

≤ 1 n²

Weierstrass

d

ManipulatePlotx²Exp[-n x], {x, 0, 10}, PlotRange → {0, 1}, {n, 1, 10, 1}

n

0 2 4 6 8 10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Dx²Exp[-n x], x

2 xⅇ^{-n x}-n x²ⅇ^{-n x}

sols2 = SolveDx²Exp[-n x], x ⩵ 0, x

{x → 0}, x → 2 n

Dx²Exp[-n x], {x, 2} /. %

2, - 2 ⅇ²



x²Exp[-n x] /. sols2[[2]]

4 ⅇ²n²

jednostajnie zbieżny

Druga metoda



n=0

∞

x²ⅇ^{-n x}- 

n=0 m

x²ⅇ^{-n x}3 

n=m+1

∞

x²ⅇ^{-n x}



n=m+1

∞

x²ⅇ^{-n x}

x²ⅇ^{-m x} ⅇ^x-1

ManipulatePlotx²ⅇ^{-n x}

ⅇ^x-1 , {x, 0, 10}, PlotRange → {0, 1}, {n, 1, 10, 1}

n

0 2 4 6 8 10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

e

sols1 = Solve[D[x Exp[-n x], x] ⩵ 0, x]

x → 1 n

D[x Exp[-n x], {x, 2}] /. sols1

-n ⅇ

x Exp[-n x] /. sols1[[1]]

1 ⅇn

nie działa!

However

s - s_n== 

k=n+1

∞

x ⅇ^{-k x}

s-sn.xⅇ^{-n x} ⅇ^x-1

ManipulatePlotx ⅇ^{-n x}

ⅇ^x-1 , {x, 0, 10}, PlotRange → {0, 1}, {n, 1, 10, 1}

n

0 2 4 6 8 10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Limitx ⅇ^{-n x}

ⅇ^x-1 , x → 0

1

Sup na

0,

is >= 1, więc nie zachodzi bieżność jednostajna. Ale na przedziałach zachodzi.

c ⅇ^{-n c}

ⅇ^c- 1, which → 0 as n → ∞.

f)

ⅇ^{-n x}

ma supremum 1 na

0,

. Over

supremum jest

ManipulatePlot ⅇ^{-n x}, {x, 0, 10}, PlotRange → {0, 1}, {n, 1, 10, 1}

n

0 2 4 6 8 10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0



n=1

∞

ⅇ^{-n a}

1 ⅇ^a-1

Niemal jednostajna.

(g)



n=1

∞ sin^x

n n

Oczywiście że zbieżny dla każdego x (kryterium asymptityczne z

n²

).

Dla ustalonego n obliczamy supremum

x n

n

na [-100,100] . Wystarczy zrobić dla dużych n.

Dla dużych n, sin

n <^x

n

, więc

<

n²

. Zbieżność jednostajna

ManipulatePlot sin^x_n

n , {x, -10, 10}, PlotRange → {0, 1}, {n, 1, 10, 1}

n

-10 -5 0 5 10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

(h)

Oczywiście dla każdego x zbieżny punktowo z kryterium Leibniza. Badamy zbieżność jednostajną.

Wsystkie powyżze metody nie działają. Ale:

Pierwsza metoda

Najpierw sprawdzamy żę

n + x = 1 n → 0

Możemy “grupować”

1

n + x + 1 - 1

n + x @ - 1

(n + x) (n + x + 1)

Teraz używamy kryterium Weierstrassa

1

(n + x) (n + x + 1) ≤ 1 n²

Druga metoda

Można użyć kryterimu Leibniza dla szeregów funkcyjnych. Takie same jak dla ciągów liczbowych

ale trzeba sprawdzić monotoniczność funkcji i fakt że

Można użyć kryterimu Leibniza dla szeregów funkcyjnych. Takie same jak dla ciągów liczbowych ale trzeba sprawdzić monotoniczność funkcji i fakt że

1 n + x → 0

Standard example: x

on [0,1] for continuity.

f_{n_}[x_] := Sin[n x]

n

uniformly convergent to 0 but f

' is divergent.

Manipulate[Plot[x^n, {x, 0, 1}, PlotRange → All], {n, 1, 50, 1}]

n

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

a)

f[x_, n_] := Sin[n x]

n³

zbieżna punktowo?

Asin(n x)B

n³ ≤ 1

n³

DSin[n x]

n³ , x

Cos[n x]

n²

Zbieżność jednostajna przez Weierstrassa

b)

Manipulate

PlotArcTanArcTan x

n², {x, -a, a}, PlotRange → {{-a, a}, {-Pi / 2, Pi / 2}}, {{n, 1, "n"}, 1, 10}, {{a, 1, "a"}, 0.1, 100}

n a

-40 -20 20 40

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5

h[x_, n_] := ArcTanx n² Sup_ℝ tan^-1 x

n²

=π 2

Ale zbieżność niemal jednostajna

n²

⩵

DArcTan x

n², x // Simplify

Sup_ℝ n² n⁴+ x²

 = 1 n²

więc różniczkowalna

c)

g[x_, n_] := Cosx n -1

Sup cos x

n - 1 = 2

nie dąży do zera więc nie jendostajnie zbieżna. Ale niemal jednostajnie.

DCosx

n -1, x

- sin^x

n n

Mamy dla wszystkich x:

6sin(x)7 ≤ 6x7

Reduce[Sin[x] ≤ x && x ≥ 0, x, Reals]

Reduce::nint: Warning: Reduce used numeric integration to show that the solution set found is complete./ x≥0

Reduce[Sin[x] >= x && x <= 0, x, Reals]

Reduce::nint: Warning: Reduce used numeric integration to show that the solution set found is complete./ x≤0

sin^x

n n ≤6x7

n²

Na przedziale

dla wystarczająco dużych n

x n

n ≤^{max/a0,b}

n²

ζ(x) = 

n=1

∞ 1 n^x

? ZetaZero

ZetaZero[k]represents the k^thzero of the Riemann zeta function on the critical line.

ZetaZero[k, t]represents the k^thzero with imaginary part greater than t. 3 Solve[{Zeta[x] ⩵ 0, Abs[x] < 200}, x]

D 1 n^x, x

-n^-xlog(n)



n=1

∞ -1 n^x log(n)

Trzeba udowodnić niemal jednostajną zbierzność.

przedział [

,

].

>1. Take

, 1

.

Manipulate[Graphics[{Green, PointSize[0.02], Thickness[0.006], Point[{1, 0}], Line[{{1.2, 0}, {2, 0}}], Blue, , Line[{{0, 0}, a}], Point[a], Black, , Point[{1.2, 0}], Point[{2, 0}], Red, Point[{1.4, 0}], Line[{a, {1.2, 0}}], , Black, Text["x", {1.4, 0.1}], Text["α", {1.2, 0.1}], Text["β", {2, 0.1}], Text["α1", a + {0, 0.1}]}, Axes → True,

PlotRange → {{0, 2.5}, {0, 0.5}}, Ticks → {Automatic, None}, ImageSize → Large], {{a, {1.1, 0}}, {1, 0}, {1.2, 0}, Locator}]

x

α β

α1

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

x >= α1+ (α - α₁) δ = α - α₁

α >1 1

n^x log(n) < 1 n^α1

log(n) n^δ

≤ 1 n^α1

dla wystarczająco dużych n

Limitlog(n) n^δ

, n → ∞, Assumptions → β > 0

0

D 1

n^x, {x, 2}

n^-xlog²(n)

Limitlog(n)²

n^β , n → ∞, Assumptions → β > 0

0

D 1

n^x, {x, 5}

-n^-xlog⁵(n)

a)



n=0

∞ xⁿ 2ⁿ

- 2

-2 + x

Jednostajnie zbieżny dla

2. Różniczkując wyraz po wyrazie otrzymujemy:

D -2

-2 + x, x /. x → 1 2

Sumn

2ⁿ, {n, 0, ∞}

2

◼

(b)

Pierwsza metoda

n , {n, 1, ∞}

-Log[1 - x]

-Log2 3 Sum 1

3ⁿn, {n, 1, ∞}

Log3 2

Consider

n , {n, 1, ∞}

Niemal jednostajnie zbieżny na

1.

Sumn²

7ⁿ, {n, 1, ∞}

7 27

Sumxⁿ

7ⁿ, {n, 1, ∞}

- x

-7 + x

Sumn (n - 1)

7^n , {n, 1, ∞} + Sum n

7ⁿ, {n, 1, ∞}

7 27

DSumxⁿ

7ⁿ, {n, 1, ∞}, x /. x → 1 7

36

Sumn

7ⁿ, {n, 1, ∞}

7 36

DSumxⁿ

7ⁿ, {n, 1, ∞}, {x, 2} /. x → 1 7

108

Sumn (n - 1)

7^n , {n, 1, ∞}

7 108

a)

f[x_] := 1 2 + 3 x²

D[f[x], {x, 1001}] /. x → 0 0

f[x] + O[x]⁵ 1

2 - 3 x² 4 + 9 x⁴

8 +O[x]⁵

1

3 x²+ 2= 1 2 ^{3 x2}

2 + 1

31 2

x=0

∞ (-1)ⁿ3ⁿx^{2 n} 2ⁿ 1

2 Sum(-1)ⁿ 3ⁿ

2ⁿ x^{2 n}, {n, 0, ∞}

1 2 + 3 x²

1001! SeriesCoefficient 1

2 + 3 x², {x, 0, 1001}

0

b)

D[ArcTan[x], {x, 999}] /. x → 0

-402 790 050 127 220 994 538 240 674 597 601 587 306 681 545 756 471 103 647 447 357 787 726 238 637 266 286 8784 923 131 618 587 992 793 273 261 872 069 265 323 955 622 495 490 298 857 759 082 912 582 527 118 115 540 0444 131 204 964 883 707 335 062 250 983 503 282 788 739 735 011 132 006 982 444 941 985 587 005 283 378 024 5204 811 868 262 149 587 473 961 298 417 598 644 470 253 901 751 728 741 217 850 740 576 532 267 700 213 398 7224 681 144 219 777 186 300 562 980 454 804 151 705 133 780 356 968 636 433 830 499 319 610 818 197 341 194 9144 502 752 560 687 555 393 768 328 059 805 942 027 406 941 465 687 273 867 068 997 087 966 263 572 003 396 2404 643 925 156 715 326 363 340 141 498 803 019 187 935 545 221 092 440 752 778 256 846 166 934 103 235 684 1104 346 477 890 399 179 387 387 649 332 483 510 852 680 658 363 147 783 651 821 986 351 375 529 220 618 900 1644 975 188 281 042 287 183 543 472 177 292 257 232 652 561 904 125 692 525 097 177 999 332 518 635 447 000 6164 452 999 984 030 739 715 318 219 169 707 323 799 647 375 797 687 367 013 258 203 364 129 482 891 089 991 3764 819 307 292 252 205 524 626 349 705 261 864 003 453 853 589 870 620 758 596 211 518 646 408 335 184 218 5714 196 396 412 300 835 983 314 926 628 732 700 876 798 309 217 005 024 417 595 709 904 449 706 930 796 337 7984 861 753 941 902 125 964 936 412 501 007 284 147 114 260 935 633 196 107 341 423 863 071 231 385 166 055 9494 914 432 695 939 611 227 990 169 338 248 027 939 843 597 628 903 525 815 803 809 004 448 863 145 157 344 7064 452 445 088 044 626 373 001 304 259 830 129 153 477 630 812 429 640 105 937 974 761 667 785 045 203 987 5084 259 776 060 285 826 091 261 745 049 275 419 393 680 613 675 366 264 232 715 305 430 889 216 384 611 069 1354 662 432 391 043 725 998 805 881 663 054 913 091 981 633 842 006 354 699 525 518 784 828 195 856 033 032 6454 477 338 126 512 662 942 408 363 494 651 203 239 333 321 502 114 252 811 411 713 148 843 370 594 801 145 7774 575 035 630 312 885 989 779 863 888 320 759 224 882 127 141 544 366 251 503 974 910 100 721 650 673 810 3034 577 074 640 154 112 833 393 047 276 025 799 811 224 571 534 249 672 518 380 758 145 683 914 398 263 952 9294 391 318 702 517 417 558 325 636 082 722 982 882 372 594 816 582 486 826 728 614 633 199 726 211 273 072 7754 131 325 222 240 100 140 952 842 572 490 801 822 994 224 069 971 613 534 603 487 874 996 852 498 623 584 3834 106 014 533 830 650 022 411 053 668 508 165 547 838 962 087 111 297 947 300 444 414 551 980 512 439 088 9644 301 520 461 155 436 870 989 509 667 681 805 149 977 993 044 444 138 428 582 065 142 787 356 455 528 681 1144 392 680 950 815 418 208 072 393 532 616 122 339 434 437 034 424 287 842 119 316 058 881 129 887 474 239 9924 336 556 764 337 968 538 036 861 949 918 847 009 763 612 475 872 782 742 568 849 805 927 378 373 244 946 1904 707 168 428 807 837 146 267 156 243 185 213 724 364 546 701 100 557 714 520 462 335 084 082 176 431 173 3464 929 330 394 071 476 071 813 598 759 588 818 954 312 394 234 331 327 700 224 455 015 871 775 476 100 371 6154 031 940 945 098 788 894 828 812 648 426 365 776 746 774 528 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 0004 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 0004 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 0004 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

ArcTan[x] + O[x]^10

x-x³ 3 ⁺

x⁵ 5 ^-

x⁷ 7 ⁺

x⁹

9 ⁺Ox¹⁰

SeriesCoefficient[ArcTan[x], {x, 0, 999}]

- 1 999

-999! / 999

-402 790 050 127 220 994 538 240 674 597 601 587 306 681 545 756 471 103 647 447 357 787 726 0 238 637 266 286 878 923 131 618 587 992 793 273 261 872 069 265 323 955 622 495 490 298 857 0 759 082 912 582 527 118 115 540 044 131 204 964 883 707 335 062 250 983 503 282 788 739 735 0 011 132 006 982 444 941 985 587 005 283 378 024 520 811 868 262 149 587 473 961 298 417 598 0 644 470 253 901 751 728 741 217 850 740 576 532 267 700 213 398 722 681 144 219 777 186 300 0 562 980 454 804 151 705 133 780 356 968 636 433 830 499 319 610 818 197 341 194 914 502 752 0 560 687 555 393 768 328 059 805 942 027 406 941 465 687 273 867 068 997 087 966 263 572 003 0 396 240 643 925 156 715 326 363 340 141 498 803 019 187 935 545 221 092 440 752 778 256 846 0 166 934 103 235 684 110 346 477 890 399 179 387 387 649 332 483 510 852 680 658 363 147 783 0 651 821 986 351 375 529 220 618 900 164 975 188 281 042 287 183 543 472 177 292 257 232 652 0 561 904 125 692 525 097 177 999 332 518 635 447 000 616 452 999 984 030 739 715 318 219 169 0 707 323 799 647 375 797 687 367 013 258 203 364 129 482 891 089 991 376 819 307 292 252 205 0 524 626 349 705 261 864 003 453 853 589 870 620 758 596 211 518 646 408 335 184 218 571 196 0 396 412 300 835 983 314 926 628 732 700 876 798 309 217 005 024 417 595 709 904 449 706 930 0 796 337 798 861 753 941 902 125 964 936 412 501 007 284 147 114 260 935 633 196 107 341 423 0 863 071 231 385 166 055 949 914 432 695 939 611 227 990 169 338 248 027 939 843 597 628 903 0 525 815 803 809 004 448 863 145 157 344 706 452 445 088 044 626 373 001 304 259 830 129 153 0 477 630 812 429 640 105 937 974 761 667 785 045 203 987 508 259 776 060 285 826 091 261 745 0 049 275 419 393 680 613 675 366 264 232 715 305 430 889 216 384 611 069 135 662 432 391 043 0 725 998 805 881 663 054 913 091 981 633 842 006 354 699 525 518 784 828 195 856 033 032 645 0 477 338 126 512 662 942 408 363 494 651 203 239 333 321 502 114 252 811 411 713 148 843 370 0 594 801 145 777 575 035 630 312 885 989 779 863 888 320 759 224 882 127 141 544 366 251 503 0 974 910 100 721 650 673 810 303 577 074 640 154 112 833 393 047 276 025 799 811 224 571 534 0 249 672 518 380 758 145 683 914 398 263 952 929 391 318 702 517 417 558 325 636 082 722 982 0 882 372 594 816 582 486 826 728 614 633 199 726 211 273 072 775 131 325 222 240 100 140 952 0 842 572 490 801 822 994 224 069 971 613 534 603 487 874 996 852 498 623 584 383 106 014 533 0 830 650 022 411 053 668 508 165 547 838 962 087 111 297 947 300 444 414 551 980 512 439 088 0 964 301 520 461 155 436 870 989 509 667 681 805 149 977 993 044 444 138 428 582 065 142 787 0 356 455 528 681 114 392 680 950 815 418 208 072 393 532 616 122 339 434 437 034 424 287 842 0 119 316 058 881 129 887 474 239 992 336 556 764 337 968 538 036 861 949 918 847 009 763 612 0 475 872 782 742 568 849 805 927 378 373 244 946 190 707 168 428 807 837 146 267 156 243 185 0 213 724 364 546 701 100 557 714 520 462 335 084 082 176 431 173 346 929 330 394 071 476 071 0 813 598 759 588 818 954 312 394 234 331 327 700 224 455 015 871 775 476 100 371 615 031 940 0 945 098 788 894 828 812 648 426 365 776 746 774 528 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 0 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 0 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 0 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 0 000 000 000

b)

Clear[f]

f[x_] := x

(x - 2) (x - 3)

Apart[f[x]]

3 x-3^-

2 x-2

D[f[x], {x, 100}] /. x → 0

3 805 391 298 115 562 423 676 461 385 082 686 017 875 018 978 223 919 789 832 778 581 917 212 921 386 753 642 0294 207 829 813 149 386 544 044 388 439 069 004 511 340 521 353 781 230 747 699 737 548 828 125/

51 688 655 113 813 386 391 457 928

100! SeriesCoefficient[f[x], {x, 0, 100}]

3 805 391 298 115 562 423 676 461 385 082 686 017 875 018 978 223 919 789 832 778 581 917 212 921 386 753 642 0294 207 829 813 149 386 544 044 388 439 069 004 511 340 521 353 781 230 747 699 737 548 828 125/

51 688 655 113 813 386 391 457 928

SeriesCoefficient 3

x - 3, {x, 0, n}

-3^-n n ≥ 0

0 True

SeriesCoefficient 2

x - 2, {x, 0, n}

-2^-n n ≥ 0

0 True

100! 1 2¹⁰⁰ - 1

3¹⁰⁰

3 805 391 298 115 562 423 676 461 385 082 686 017 875 018 978 223 919 789 832 778 581 917 212 0 921 386 753 642 029 207 829 813 149 386 544 044 388 439 069 004 511 340 521 353 781 230 747 0 699 737 548 828 125 / 51 688 655 113 813 386 391 457 928

Nie różniczkowalna granica jednostajna funkcji różniczkowalnych

ManipulatePlot 1

n +x², Abs[x], {x, -1, 1},

PlotRange → {{-1, 1}, {0, 2}}, AxesOrigin → {0, 0}, AspectRatio → Automatic, {n, 1, 1000, 1, Appearance → "Labeled"}

n 26

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

0.5 1.0 1.5 2.0

D 1

n +x², x

x

1 n+x²