Optyka Fourierowska

Optyka Fourierowska

Wykład 9

Hologramy cyfrowe

Hologramy generowane w komputerze

• Hologramy poza zapisem intefererujących fal koherentnych można wyliczyć za pomocą

komputera i wydrukować na ploterze lub drukarce na folii

• Można w ten sposób tworzyć hologramy

obiektów 2D lub 3D które w rzeczywistości nie istnieją pod warunkiem, że umiemy je opisać matematycznie, w skończonym czasie obliczyć

hologram oraz wydrukować go na przezroczystym podłożu.

Generacja hologramu cyfrowego

1. Część obliczeniowa

– Obliczenie pól optycznych, które obiekt

stworzyłby w płaszczyźnie hologramu gdyby istniał, a więc odtwarzanej fali

– Wybór ilości punktów próbkowania obiektu i hologramu

– Poprawne wykonanie odpowiednich transformat Fouriera lub Fresnela

Generacja hologramu cyfrowego

1. Część obliczeniowa

2. Wybór odpowiedniej reprezentacji pól zespolonych w płaszczyźnie hologramu

– Próbki są wartościami zespolonymi zawierającymi amplitudę i fazę

– Przy wydruku nie jesteśmy w stanie kontrolować obu tych wielkości jednocześnie (najczęściej

dysponujemy jedynie amplitudą)

– Wybór odpowiedniego sposobu kodowania fazy

Generacja hologramu cyfrowego

1. Część obliczeniowa

2. Wybór odpowiedniej reprezentacji pól zespolonych w płaszczyźnie hologramu

3. Przetworzenie zakodowanej reprezentacji pól na przeźroczystość ośrodka

– Plotery, drukarki laserowe, elektronolitografia

– Najczęściej obraz składa się z małych prostokątów, w niektórych technikach prostokąty mogą być w

stopniach szarości w innych sa labo czarne albo białe (binarne)

Próbkowanie

• Zarówno holografia klasyczna jak i cyfrowa polega na zapisie zespolonego pola w

płaszczyźnie hologramu – pola które chcemy potem odtworzyć

• W holografii cyfrowej musimy posługiwać się polami dyskretnymi i wartościami zepolonymi obliczonymi w każdej z próbek

• Jak wiele próbek trzeba obliczyć?

Hologram Fouriera

• W tym przypadku zapisywane jest widmo pola

przedmiotowego. Pole w płaszczyźnie przedmiotowej i w płaszczyźnie hologramu łączy więc transformata

Fouriera

• Zgodnie z twierdzeniem Whittakera-Shannona jeśli

wielkość przedmiotu wynosi L_ξ xL_η jego widmo zmieści się w prostokącie 2B_X x 2B_Y gdzie:

f w powyższym wzorze jest związane z krzywizną fali

kulistej tworzącej widmo (soczewką użytą przy zapisie)

f B L

f

B_X L _Y







 

 2

2

Hologram Fouriera

• Próbkowanie musi więc odbywać się co:

• Co oznacza, że jeśli wielkość pola w

płaszczyźnie hologramu wynosi L

x L

liczba próbek wyniesie:









L f y B

L f x B

Y X











 2

1 2

1

f L L y

N L f

L L x

N_X L^{X X} _Y ^{Y Y}







 

 

 



Hologram Fresnela

• Pole w płaszczyźnie hologramu jest powiązane z polem przedmiotowym za pomoca całki Fresnela

• Pole takie można przedstawić jako transformatę Fouriera dopiero po przemnożeniu pola

wejściowego przez czynnik fazowy

• Tak modyfikacje nie zmienia natężeniowego obrazu zapisanego przedmiotu

 ^,   ^, ^{22}

 U e^iz U

Hologram Fresnela

• Szerokość widma będzie więc sumą szerokości widma przedmiotu (podobnie jak w hologramie Fouriera) oraz szerokości widma czynnika

fazowego, dla którego zachodzi:

• Łączna szerokość widma będzie więc określona przez

f x L

f L f

x L f

L_{X X Y Y}







 2 2 2

2     



f L B L

f L

B_X L ^x _Y ^Y







 

 

 2

2

Hologram Fresnela

• Odległość między próbkami wyniesie więc:

• Zaś ich liczba

• Jest więc większa niż w przypadku hologramu Fouriera

Y

X L L

y f L

L x f

 

 













   

f L L

L y

N L f

L L

L x

N_X L^{X X X} _Y ^{Y Y Y}







 

 

 

 



Problem obliczeniowy

• W przypadku hologramu Fouriera obliczenie pola w płaszczyźnie hologramu sprowadza się do policzenia transformaty Fouriera

• Ponieważ pola są próbkowane należy użyć wzoru na dyskretną transformatę Fouriera, tj.

• Aby zmniejszyć ilość operacji niezbędnych do obliczenia tych wartości należy użyć algorytmu FFT i przyjąć N_X i N_Y jako potęgi dwójki

• W przypadku hologramu Fresnela należy dodatkowo

pomnożyć pole przedmiotowe przez otopwiednią unkcję fazową

  ^   ^{  }





 





 ^{X Y X NY}

qn N

i pm N

n

N

m

p

h p x q y U m n e

U

 

 ²

1

0

1

0

, ,

Problem reprezentacji

• Po obliczeniu formy pola optycznego w

płaszczyźnie hologramu pozostały krok polega na zastosowaniu takiej reprezentacji tego pola,

która może zostać zakodowana na hologramie

• Zazwyczaj kodowana jest albo faza albo amplituda (tak jak w holografii klasycznej)

• Najczęściej po wydrukowaniu maska

holograficzna jest pomniejszana fotograficznie i naświetlania na przeźroczystej kliszy

Detour-phase Holograms

• Najłatwiej jest drukować wzory binarne (czarno-przeźroczyste) złożone z czarnych

prostokątów, które mogą być wyśrodkowane

w dowolnej ze skwantowanych lokalizacji i

mieć jedną ze skwantowanych wielkości

Detour-phase Holograms

• Załóżmy, że docelowy hologram będzie oświetlany pozaosiową falą płaską, zaś obraz otrzymamy za pomocą soczewki skupiającej na osi optycznej w odległości ogniskowej f za soczewką.

• Fala odtwarzająca pada więc pod kątem 2θ do osi optycznej (i kierunku normalnego do hologramu):

• A więc dla każdej wartości x w płaszczyźnie hologramu fala oświetlająca ma inna fazę

 



 





sin 2

, ²



 ^{ i x}

o x y e

U

Detour-phase Holograms

• Podzielmy płaszczyznę hologramu na N_x x N_Y oddzielnych komórek, których szerokość w

kierunku x będzie obejmować pełny okres fali oświetlającej (tzn. α^-1)

• Szerokość w kierunku y nie musi być taka sama, ale dla uproszczenia przyjmijmy ją tej samej

wielkości

• Każda taka komórka będzie kodować jedną

współrzędną widma, która zostanie obliczona za pomocą algorytmu DFT lub FFT

Detour-phase Holograms

• Załóżmy, że pojedyncza współrzędna

Fourierowska będzie określona wzorem

• W komórce rysujemy więc prostokąt o

powierzchni proporcjonalnej do i pozycji w kierunku x takiej, że w środku prostokąta fala odtwarzająca ma dokładnie fazę

  _pq ^{i pq}

h

pq U p x q y a e

a   ,   ^

apq

p q

Detour-phase Holograms

• Pamiętając, że po sfotografowaniu czarny prostokąt zamieni się w przeźroczysty

stworzymy w ten sposób komórkę która przepuści falę o zadanej fazie w ilości

proporcjonalnej do zadanej amplitudy zgodnie z założoną składową fourierowską. W wyniku tego otrzymamy łącznie pole

  ^{N fiup x vq y}

p

N

q

i pq

f u v a e e

U

X Y

p q





 





 

 ^

 ² 1

0

1

0

,

Detour-phase Holograms

Kinoform

• W tej metodzie zakłada się, że faza niesie

większość informacji o przedmiocie i składniki amplitudowe zostają całkowicie zaniedbane.

• Znów dzielimy hologram na N

x N

komórek, z których każda reprezentuje jedną składową

widmową. Amplitudy wszystkich składowych

zostają zrównane do wartości 1 i zapisujemy

jedynie fazę

Kinoform

• Fazę zapisujemy jako mapowanie wartości z zakresu od 0 do 2π na zaciemnienie (szarość) każdej z komórek

• Następnie za pomocą wybielania fotograficznego stopnie szarości zostają zapisane jako grubość

materiału światłoczułego i w efekcie przesunięcie fazowe

• Przy idealnej kontroli procesu obróbki

fotograficznej (wywołania) uzyskujemy pełną

dynamikę fazową i w efekcie idealne odtworzenie obrazu z wysoką wydajnością

Kinoform

ROACH – bezodniesieniowy poosiowy hologram złożony

• Wykorzystuje kliszę barwną do kontroli jednoczesnej zarówno amplitudy jak i fazy współrzędnych

widmowych

• W warstwie kliszy wrażliwej na kolor czerwony

zapisywana jest amplituda, zaś w warstwach wrażliwej na kolor niebieski i zielony faza (w sensie kinoformu).

• Przy odtworzeniu światłem czerwonym warstwa czerwona przepuszcza jedynie to co zostało na niej

zapisane. Warstwy zielona i niebieska są przezroczyste ale na skutek różnic w grubości zmieniają fazę

• Zarówno w kinoformie jak i w ROACH kluczowa jest kontrola dopasowania fazowego grubości materiału

Zastosowania holografii

• Mikroskopia i obrazowanie objętościowe dużej rozdzielczości

• Interferometria

– Wieloekspozycyjna interferometria holograficzna – Interferometria holograficzna czasu rzeczywistego – Generacja krawędzi

– Analiza wibracji

• Obrazowanie przez ośrodki zniekształcające

• Holograficzny zapis danych

• Wagi holograficzne dla sztucznych sieci neuronowych

• Inne zastosowania

– Holograficzne elementy optyczne

– Wyświetlacze holograficzne i sztuka holograficzna – Hologramy dla zastosowań w bezpieczeństwie

Mikroskopia

• Mikroskopia była historycznie pierwszym zastosowaniem holografii i zamysłem prac m.in. Gabora

• Szczególnie interesująca wydaje się holografia w mikroskopii elektronowej i promieni

rentgenowskich

• W zakresie światła widzialnego dużo lepsze rezultaty otrzymuje się przy pomocy

konwencjonalnej optyki

Obrazowanie objętościowe dużej rozdzielczości

• W klasycznej mikroskopii duża rozdzielczość poprzeczna jest osiągana kosztem małej głębi ostrości. Najlepsza rozdzielczość jest rzędu λ/NA

• Można obrazować w głąb obraz po obrazie,

jednakże taka metoda nie nadaje się do obiektów ruchomych.

• Rozwiązaniem jest holografia za pomocą lasera impulsowego i bardzo krótkiej ekspozycji

• Pozwala to na ekspozycję obraz po obrazie hologramu „zamrożonego w czasie” obiektu

Wieloekspozycyjna

interferometria holograficzna

• Najważniejsze holograficzne techniki

interferometryczne opierają się na fakcie, że za pomocą wielu ekspozycji można uzyskać

koherentne sumowanie złożonych frontów falowych

• Jeśli hologram zostanie naświetlony kolejno

(najczęściej impulsowymi) rozkładami natężenia I₁…I_N reprezentującymi superpozycję zawsze tej samej fali odniesienia i N fal przedmiotowych, w odtworzeniu uzyskamy koherentną sumę fal

przedmiotowych

Wieloekspozycyjna

interferometria holograficzna

Interferometria holograficzna w czasie rzeczywistym

• Ten tym interferometrii polega na interferencji frontu falowego (przedmiotowego) zapisanego w hologramie z frontem falowym odbitym lub przechodzącym przez ten sam przedmiot w

czasie rzeczywistym

• Najczęściej obraz zapisany w hologramie – referencyjny jest wykonany w stanie

„spoczynkowym”, zaś przy otworzeniu obiekt

poddawany jest naprężeniom

Inne zastosowania interferometrii holograficznej

• Generacja krawędzi

• Analiza wibracji

Obrazowanie przez ośrodek zniekształcający

• Jeśli zapiszemy obraz obiekty przez ośrodek

zniekształcający (np. aberracyjny) z niezniekształconą falą odniesienia a następnie odtworzymy ją z

odwróconą falą odniesienia (biegnącą w przeciwną stronę) to w miejscu gdzie wcześniej był obiekt

otrzymamy jego niezaburzony obraz

• Drugą metodą jest zapisanie jako fali przedmiotowej obrazu fali sferycznej zniekształconej w ośrodku. Dzięki temu po oświetleniu hologramu falą przedmiotową

(nie punktową) uzyskamy kompensację zniekształceń

Holograficzny zapis danych

• Dane zapisane na hologramie są w sposób

rozproszony – uszkodzenie małego fragmentu hologramu nie powoduje uszkodzenia danych

• Hologramy Fouriera są niezbyt wrażliwe na

przesunięcia – przesunięcie we współrzędnych przestrzennych powoduje jedynie stałe

przesunięcie fazowe we współrzędnych widmowych

• Dane zapisywane się objętościowo co znacząco zwiększa gęstość zapisu

Holograficzne elementy optyczne

• Hologramy (szczególnie cyfrowe) pozwalają na stworzenie dowolnego frontu falowego

– Skanowanie optyczne – Szczypce optyczne

– Wyświetlacze przezierne

Wyświetlacze holograficzne

• Przestrzenne modulatory światła

• Brak optyki, tj. soczewek – brak aberracji, mniejsza masa, mniejszy rozmiar

• Hologramy barwne

• Reklama, sztuka

Hologramy zabezpieczeniowe

• Relatywnie skomplikowany i precyzyjny

sposób produkcji hologramów w połączeniu z niskimi kosztami ich powielania (wyciskania) pozwalają na używanie hologramów jako

dowodów autentyczności

• Najczęściej używa się hologramów cyfrowych

co dodatkowo wzbogaca produkt i utrudnia

skopiowanie hologramu bez wiedzy autora