Definicja pochodnej funkcji w punkcie
Iloraz ró˙znicowy
Niech f : (a, b) → R i niech x0,x1∈ (a, b), x06= x1. Wyra˙zenie If(x0,x1) = f (x0) −f (x1)
x0− x1
nazywamyilorazem ró˙znicowym funkcji f mi ˛edzy punktami x0 i x1.
pochodna
Niech f : (a, b) → R, x0∈ (a, b). Je˙zeli istnieje granica
x →xlim0If(x0,x ),
to nazywamy j ˛apochodn ˛a funkcji f w punkcie x0, oznaczamy f0(x0). Mówimy wtedy, ˙ze f jest ró˙zniczkowalna w punkcie x0.
Definicja pochodnej funkcji w punkcie
Iloraz ró˙znicowy
Niech f : (a, b) → R i niech x0,x1∈ (a, b), x06= x1. Wyra˙zenie If(x0,x1) = f (x0) −f (x1)
x0− x1
nazywamyilorazem ró˙znicowym funkcji f mi ˛edzy punktami x0 i x1.
pochodna
Niech f : (a, b) → R, x0∈ (a, b). Je˙zeli istnieje granica
x →xlim0If(x0,x ),
to nazywamy j ˛apochodn ˛a funkcji f w punkcie x0, oznaczamy f0(x0). Mówimy wtedy, ˙ze f jest ró˙zniczkowalna w punkcie x0.
tak wi ˛ec...
f0(x0) = lim
x →x0
f (x ) − f (x0) x − x0 = lim
h→0
f (x0+h) − f (x0)
h .
Ilustracja graficzna
Styczna
Istnieje styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x0,f (x0)) wtedy i tylko wtedy, gdy f ma pochodn ˛a w x0.Gdy tak jest, to równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x0,f (x0)) jest nast ˛epujace:
y = f0(x0) ·x + (f (x0) −f0(x0) ·x0)).
Styczna
Istnieje styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x0,f (x0)) wtedy i tylko wtedy, gdy f ma pochodn ˛a w x0. Gdy tak jest, to równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x0,f (x0)) jest nast ˛epujace:
y = f0(x0) ·x + (f (x0) −f0(x0) ·x0)).
pochodna funkcji
Je˙zeli f ma pochodn ˛a w ka˙zdym punkcie dziedziny, to funkcj ˛e (a, b) 3 x 7→ f0(x )
nazywamypochodn ˛a funkcji f i oznaczamy f0. druga pochodna i nast ˛epne
Je˙zeli funkcja f0 jest ró˙zniczkowalna (tzn. ró˙zniczkowalna w ka˙zdym punkcie), to jej pochodn ˛a oznaczamy f00i nazywamy drug ˛a pochodn ˛a funkcji f . Itd.
pochodna funkcji
Je˙zeli f ma pochodn ˛a w ka˙zdym punkcie dziedziny, to funkcj ˛e (a, b) 3 x 7→ f0(x )
nazywamypochodn ˛a funkcji f i oznaczamy f0. druga pochodna i nast ˛epne
Je˙zeli funkcja f0 jest ró˙zniczkowalna (tzn. ró˙zniczkowalna w ka˙zdym punkcie), to jej pochodn ˛a oznaczamy f00i nazywamy drug ˛a pochodn ˛a funkcji f . Itd.
funkcja i jej pochodna
Wzory. Cz ˛e´s´c I
(xα)0= αxα−1, (sin x )0 =cos x , (cos x )0 = −sin x , (tg x )0 = cos12x, (ctg x )0 = − 1
sin2x, (ax)0 =axln a, (logax )0= x ln a1 , (arc sin x )0 = √1
1−x2, (arc cos x )0 = −√1
1−x2, (arc tg x )0= 1+x12, (arcctg x )0 = −1+x12.
Wzory. Cz ˛e´s´c I
(xα)0= αxα−1, (sin x )0 =cos x , (cos x )0 = −sin x , (tg x )0 = cos12x, (ctg x )0 = − 1
sin2x, (ax)0 =axln a, (logax )0= x ln a1 , (arc sin x )0 = √1
1−x2, (arc cos x )0 = −√1
1−x2, (arc tg x )0= 1+x12, (arcctg x )0 = −1+x12.
Wzory. Cz ˛e´s´c I
(xα)0= αxα−1, (sin x )0 =cos x , (cos x )0 = −sin x , (tg x )0 = cos12x, (ctg x )0 = − 1
sin2x, (ax)0 =axln a, (logax )0= x ln a1 , (arc sin x )0 = √1
1−x2, (arc cos x )0 = −√1
1−x2, (arc tg x )0= 1+x12, (arcctg x )0 = −1+x12.
Wzory. Cz ˛e´s´c I
(xα)0= αxα−1, (sin x )0 =cos x , (cos x )0 = −sin x , (tg x )0 = cos12x, (ctg x )0 = − 1
sin2x, (ax)0 =axln a, (logax )0= x ln a1 , (arc sin x )0 = √1
1−x2, (arc cos x )0 = −√1
1−x2, (arc tg x )0= 1+x12, (arcctg x )0 = −1+x12.
Wzory. Cz ˛e´s´c I
(xα)0= αxα−1, (sin x )0 =cos x , (cos x )0 = −sin x , (tg x )0 = cos12x, (ctg x )0 = − 1
sin2x, (ax)0 =axln a, (logax )0= x ln a1 , (arc sin x )0 = √1
1−x2, (arc cos x )0 = −√1
1−x2, (arc tg x )0= 1+x12, (arcctg x )0 = −1+x12.
Wzory. Cz ˛e´s´c I
(xα)0= αxα−1, (sin x )0 =cos x , (cos x )0 = −sin x , (tg x )0 = cos12x, (ctg x )0 = − 1
sin2x, (ax)0 =axln a, (logax )0= x ln a1 , (arc sin x )0 = √1
1−x2, (arc cos x )0 = −√1
1−x2, (arc tg x )0= 1+x12, (arcctg x )0 = −1+x12.
Wzory. Cz ˛e´s´c I
(xα)0= αxα−1, (sin x )0 =cos x , (cos x )0 = −sin x , (tg x )0 = cos12x, (ctg x )0 = − 1
sin2x, (ax)0 =axln a, (logax )0= x ln a1 , (arc sin x )0 = √1
1−x2, (arc cos x )0 = −√1
1−x2, (arc tg x )0= 1+x12, (arcctg x )0 = −1+x12.
Wzory. Cz ˛e´s´c I
(xα)0= αxα−1, (sin x )0 =cos x , (cos x )0 = −sin x , (tg x )0 = cos12x, (ctg x )0 = − 1
sin2x, (ax)0 =axln a, (logax )0= x ln a1 , (arc sin x )0 = √1
1−x2, (arc cos x )0 = −√1
1−x2, (arc tg x )0= 1+x12, (arcctg x )0 = −1+x12.
Wzory. Cz ˛e´s´c I
(xα)0= αxα−1, (sin x )0 =cos x , (cos x )0 = −sin x , (tg x )0 = cos12x, (ctg x )0 = − 1
sin2x, (ax)0 =axln a, (logax )0= x ln a1 , (arc sin x )0 = √1
1−x2, (arc cos x )0 = −√1
1−x2, (arc tg x )0= 1+x12, (arcctg x )0 = −1+x12.
Wzory. Cz ˛e´s´c I
(xα)0= αxα−1, (sin x )0 =cos x , (cos x )0 = −sin x , (tg x )0 = cos12x, (ctg x )0 = − 1
sin2x, (ax)0 =axln a, (logax )0= x ln a1 , (arc sin x )0 = √1
1−x2, (arc cos x )0 = −√1
1−x2, (arc tg x )0= 1+x12, (arcctg x )0 = −1+x12.
Wzory. Cz ˛e´s´c I
(xα)0= αxα−1, (sin x )0 =cos x , (cos x )0 = −sin x , (tg x )0 = cos12x, (ctg x )0 = − 1
sin2x, (ax)0 =axln a, (logax )0= x ln a1 , (arc sin x )0 = √1
1−x2, (arc cos x )0 = −√1
1−x2, (arc tg x )0= 1+x12, (arcctg x )0 = −1+x12.
Wzory. Cz ˛e´s´c II. Kilka szczególnych przypadków poprzednich wzorów, które warto zapami ˛eta´c.
(1)0 =0, (a)0 =0, (x )0=1, (√
x )0 = 2√1x, (x1)0= −x12, (ex)0 =ex, (ln x )0 = 1x,
Wzory. Cz ˛e´s´c II. Kilka szczególnych przypadków poprzednich wzorów, które warto zapami ˛eta´c.
(1)0 =0, (a)0 =0, (x )0=1, (√
x )0 = 2√1x, (x1)0= −x12, (ex)0 =ex, (ln x )0 = 1x,
Wzory. Cz ˛e´s´c II. Kilka szczególnych przypadków poprzednich wzorów, które warto zapami ˛eta´c.
(1)0 =0, (a)0 =0, (x )0=1, (√
x )0 = 2√1x, (x1)0= −x12, (ex)0 =ex, (ln x )0 = 1x,
Wzory. Cz ˛e´s´c II. Kilka szczególnych przypadków poprzednich wzorów, które warto zapami ˛eta´c.
(1)0 =0, (a)0 =0, (x )0=1, (√
x )0 = 2√1x, (x1)0= −x12, (ex)0 =ex, (ln x )0 = 1x,
Wzory. Cz ˛e´s´c II. Kilka szczególnych przypadków poprzednich wzorów, które warto zapami ˛eta´c.
(1)0 =0, (a)0 =0, (x )0=1, (√
x )0 = 2√1x, (x1)0= −x12, (ex)0 =ex, (ln x )0 = 1x,
Wzory. Cz ˛e´s´c II. Kilka szczególnych przypadków poprzednich wzorów, które warto zapami ˛eta´c.
(1)0 =0, (a)0 =0, (x )0=1, (√
x )0 = 2√1x, (x1)0= −x12, (ex)0 =ex, (ln x )0 = 1x,
Wzory. Cz ˛e´s´c II. Kilka szczególnych przypadków poprzednich wzorów, które warto zapami ˛eta´c.
(1)0 =0, (a)0 =0, (x )0=1, (√
x )0 = 2√1x, (x1)0= −x12, (ex)0 =ex, (ln x )0 = 1x,
Wzory. Cz ˛e´s´c III.
Działania na pochodnych
Je˙zeli funkcje f i g maj ˛a pochodne, to równie˙z f ± g, fg, gf(je˙zeli g0(x ) 6= 0) maj ˛a pochodne i zachodz ˛a wzory
(f ± g)0 =f0± g0, (fg)0=f0g + fg0, (gf)0 = f0g−fgg2 0.
Uwaga
(fg)06= f0g0 (gf)0 6= gf00.
Szczególne przypadki (af )0 =af0, (af)0 = −aff20.
Wzory. Cz ˛e´s´c III.
Działania na pochodnych
Je˙zeli funkcje f i g maj ˛a pochodne, to równie˙z f ± g, fg, gf(je˙zeli g0(x ) 6= 0) maj ˛a pochodne i zachodz ˛a wzory
(f ± g)0 =f0± g0, (fg)0=f0g + fg0, (gf)0 = f0g−fgg2 0.
Uwaga
(fg)06= f0g0 (gf)0 6= gf00.
Szczególne przypadki (af )0 =af0, (af)0 = −aff20.
Wzory. Cz ˛e´s´c III.
Działania na pochodnych
Je˙zeli funkcje f i g maj ˛a pochodne, to równie˙z f ± g, fg, gf(je˙zeli g0(x ) 6= 0) maj ˛a pochodne i zachodz ˛a wzory
(f ± g)0 =f0± g0, (fg)0=f0g + fg0, (gf)0 = f0g−fgg2 0.
Uwaga
(fg)06= f0g0 (gf)0 6= gf00.
Szczególne przypadki (af )0 =af0, (af)0 = −aff20.
Wzory. Cz ˛e´s´c III.
Działania na pochodnych
Je˙zeli funkcje f i g maj ˛a pochodne, to równie˙z f ± g, fg, gf(je˙zeli g0(x ) 6= 0) maj ˛a pochodne i zachodz ˛a wzory
(f ± g)0 =f0± g0, (fg)0=f0g + fg0, (gf)0 = f0g−fgg2 0.
Uwaga
(fg)06= f0g0 (gf)0 6= gf00.
Szczególne przypadki (af )0 =af0, (af)0 = −aff20.
Wzory. Cz ˛e´s´c III.
Działania na pochodnych
Je˙zeli funkcje f i g maj ˛a pochodne, to równie˙z f ± g, fg, gf(je˙zeli g0(x ) 6= 0) maj ˛a pochodne i zachodz ˛a wzory
(f ± g)0 =f0± g0, (fg)0=f0g + fg0, (gf)0 = f0g−fgg2 0.
Uwaga
(fg)06= f0g0 (gf)0 6= gf00.
Szczególne przypadki (af )0 =af0, (af)0 = −aff20.
Wzory. Cz ˛e´s´c III.
Działania na pochodnych
Je˙zeli funkcje f i g maj ˛a pochodne, to równie˙z f ± g, fg, gf(je˙zeli g0(x ) 6= 0) maj ˛a pochodne i zachodz ˛a wzory
(f ± g)0 =f0± g0, (fg)0=f0g + fg0, (gf)0 = f0g−fgg2 0.
Uwaga
(fg)06= f0g0 (gf)0 6= gf00.
Szczególne przypadki (af )0 =af0, (af)0 = −aff20.
Wzory. Cz ˛e´s´c III.
Działania na pochodnych
Je˙zeli funkcje f i g maj ˛a pochodne, to równie˙z f ± g, fg, gf(je˙zeli g0(x ) 6= 0) maj ˛a pochodne i zachodz ˛a wzory
(f ± g)0 =f0± g0, (fg)0=f0g + fg0, (gf)0 = f0g−fgg2 0.
Uwaga
(fg)06= f0g0 (gf)0 6= gf00.
Szczególne przypadki (af )0 =af0, (af)0 = −aff20.
Wzory. Cz ˛e´s´c IV.
Pochodna zło˙zenia
Je˙zeli f ma pochodn ˛a w punkcie x , a g ma pochodn ˛a w punkcie f (x ), to
(g ◦ f )0(x ) = g0(f (x )) · f0(x ).
Pochodna funkcji odwrotnej
Je˙zeli f jest odwracalna i ma pochodn ˛a w x oraz f−1jest ró˙zniczkowalna w f (x ) =: y , to
(f−1)0(y ) = 1 f0(f−1(y )).
Wzory. Cz ˛e´s´c IV.
Pochodna zło˙zenia
Je˙zeli f ma pochodn ˛a w punkcie x , a g ma pochodn ˛a w punkcie f (x ), to
(g ◦ f )0(x ) = g0(f (x )) · f0(x ).
Pochodna funkcji odwrotnej
Je˙zeli f jest odwracalna i ma pochodn ˛a w x oraz f−1jest ró˙zniczkowalna w f (x ) =: y , to
(f−1)0(y ) = 1 f0(f−1(y )).
Kilka twierdze ´n
Warunek konieczny istnienia pochodnej
Je˙zeli f jest ró˙zniczkowalna w x0, to jest ci ˛agła w x0.
Twierdzenie Rolle’a
Je˙zeli f jest ci ˛agła w przedziale [a, b] i ró˙zniczkowalna w przedziale (a, b) oraz f (a) = f (b), to istnieje taki punkt ξ ∈ (a, b), ˙ze f0(ξ) =0.
Twierdzenie Lagrange’a
Je˙zeli f jest ci ˛agła w przedziale [a, b] i ró˙zniczkowalna w przedziale (a, b), to istnieje taki punkt ξ ∈ (a, b), ˙ze f0(ξ) = f (b)−f (a)
b−a .
Kilka twierdze ´n
Warunek konieczny istnienia pochodnej
Je˙zeli f jest ró˙zniczkowalna w x0, to jest ci ˛agła w x0.
Twierdzenie Rolle’a
Je˙zeli f jest ci ˛agła w przedziale [a, b] i ró˙zniczkowalna w przedziale (a, b) oraz f (a) = f (b), to istnieje taki punkt ξ ∈ (a, b), ˙ze f0(ξ) =0.
Twierdzenie Lagrange’a
Je˙zeli f jest ci ˛agła w przedziale [a, b] i ró˙zniczkowalna w przedziale (a, b), to istnieje taki punkt ξ ∈ (a, b), ˙ze f0(ξ) = f (b)−f (a)
b−a .
Kilka twierdze ´n
Warunek konieczny istnienia pochodnej
Je˙zeli f jest ró˙zniczkowalna w x0, to jest ci ˛agła w x0.
Twierdzenie Rolle’a
Je˙zeli f jest ci ˛agła w przedziale [a, b] i ró˙zniczkowalna w przedziale (a, b) oraz f (a) = f (b), to istnieje taki punkt ξ ∈ (a, b), ˙ze f0(ξ) =0.
Twierdzenie Lagrange’a
Je˙zeli f jest ci ˛agła w przedziale [a, b] i ró˙zniczkowalna w przedziale (a, b), to istnieje taki punkt ξ ∈ (a, b), ˙ze f0(ξ) = f (b)−f (a)
b−a .
Ilustracja graficzna Twierdzenia Rolle’a
Ilustracja graficzna Twierdzenia Lagrange’a
Zastosowanie Twierdzenia Lagrange’a do dowodzenia nierówno´sci
wyka˙z, ˙ze 1 −x +11 <ln(1 + x ) < x , dla x > 0
Niech f (x ) = ln(x + 1). Funkcja f spełnia zało˙zenia twierdzenia Lagrange’a na przedziale [0, x ], tak wi ˛ec
ln(1 + x ) − ln(1 + 0)
x − 0 =f0(ξ), dla pewnego ξ ∈ (0, x ). St ˛ad ln(1+x )x = 1+ξ1 , czyli ln(1 + x ) =1+ξx . Zatem
x
1 + x <ln(1 + x ) < x
1 + 0 =x .
Zastosowanie Twierdzenia Lagrange’a do dowodzenia nierówno´sci
wyka˙z, ˙ze ex >1 + x , dla x > 0
Niech f (x ) = ex. Funkcja f spełnia zało˙zenia twierdzenia Lagrange’a na przedziale [0, x ], tak wi ˛ec
ex− e0
x − 0 =f0(ξ), dla pewnego ξ ∈ (0, x ). St ˛ad exx−1 =eξ, czyli ex− 1 = xeξ>xe0=x . Zatem
ex >1 + x .
Zastosowanie pochodnej do okre´slania monotoniczno´sci funkcji
Załó˙zmy, ˙ze f jest ró˙zniczkowalna w przedziale (a, b). Je˙zeli f0 >0 w przedziale (a, b) to f jest silnie rosn ˛aca w tym przedziale,
f0 ≥ 0 w przedziale (a, b) to f jest niemalej ˛aca w tym przedziale,
f0 <0 w przedziale (a, b) to f jest silnie malej ˛aca w tym przedziale,
f0 ≤ 0 w przedziale (a, b) to f jest nierosn ˛aca w tym przedziale.
Zastosowanie drugiej pochodnej do okre´slania wypukło´sci funkcji
Załó˙zmy, ˙ze f jest dwukrotnie ró˙zniczkowalna w przedziale (a, b). Je˙zeli
f00≥ 0 w przedziale (a, b) to f jest wypukła w tym przedziale,
f00≤ 0 w przedziale (a, b) to f jest wkl ˛esła w tym przedziale.
Ekstremum funkcji. Punkt przegi ˛ecia.
Ekstremum lokalne funkcji Je˙zeli
f (x ) < f (x0), dla x z pewnego s ˛asiedztwa punktu x0, to mówimy, ˙ze f mamaksimum lokalne w punkcie x0, f (x ) > f (x0), dla x z pewnego s ˛asiedztwa punktu x0, to mówimy, ˙ze f maminimum lokalne w punkcie x0. Punkt przegi ˛ecia
Je˙zeli
f jest wypukła w lewostronnym s ˛asiedztwie punktu x0a wkl ˛esła w prawostronnym s ˛asiedztwie punktu x0, lub
f jest wkl ˛esła w lewostronnym s ˛asiedztwie punktu x0a wypukła w prawostronnym s ˛asiedztwie punktu x0, to mówimy, ˙ze f ma w x0punkt przegi ˛ecia.
Ekstremum funkcji. Punkt przegi ˛ecia.
Ekstremum lokalne funkcji Je˙zeli
f (x ) < f (x0), dla x z pewnego s ˛asiedztwa punktu x0, to mówimy, ˙ze f mamaksimum lokalne w punkcie x0, f (x ) > f (x0), dla x z pewnego s ˛asiedztwa punktu x0, to mówimy, ˙ze f maminimum lokalne w punkcie x0. Punkt przegi ˛ecia
Je˙zeli
f jest wypukła w lewostronnym s ˛asiedztwie punktu x0a wkl ˛esła w prawostronnym s ˛asiedztwie punktu x0, lub
f jest wkl ˛esła w lewostronnym s ˛asiedztwie punktu x0a wypukła w prawostronnym s ˛asiedztwie punktu x0, to mówimy, ˙ze f ma w x0punkt przegi ˛ecia.
Ekstrema lokalne
punkty przegi ˛ecia
Warunek konieczny istnienia ekstremum.
Je˙zeli f jest rózniczkowalna w x0oraz ma w x0ekstremum lokalne, to f0(x0) =0.
Uwaga
Je˙zeli f0(x0) =0, to f nie musi mie´c w x0ekstremum lokalnego.
f nie musi mie´c pochodnej w punkcie, w którym ma ekstremum.
Warunek konieczny istnienia ekstremum.
Je˙zeli f jest rózniczkowalna w x0oraz ma w x0ekstremum lokalne, to f0(x0) =0.
Uwaga
Je˙zeli f0(x0) =0, to f nie musi mie´c w x0ekstremum lokalnego.
f nie musi mie´c pochodnej w punkcie, w którym ma ekstremum.
Warunek konieczny istnienia ekstremum.
Je˙zeli f jest rózniczkowalna w x0oraz ma w x0ekstremum lokalne, to f0(x0) =0.
Uwaga
Je˙zeli f0(x0) =0, to f nie musi mie´c w x0ekstremum lokalnego.
f nie musi mie´c pochodnej w punkcie, w którym ma ekstremum.
Ilustracja 1. do Uwagi
Ilustracja 2. do Uwagi
Warunek konieczny istnienia punktu przegi ˛ecia.
Je˙zeli f jest dwukrotnie ró˙zniczkowalna w x0oraz ma w x0 punkt przegi ˛ecia, to f00(x0) =0.
Uwaga
Je˙zeli f00(x0) =0, to f nie musi mie´c w x0punktu przegi ˛ecia.
Warunek konieczny istnienia punktu przegi ˛ecia.
Je˙zeli f jest dwukrotnie ró˙zniczkowalna w x0oraz ma w x0 punkt przegi ˛ecia, to f00(x0) =0.
Uwaga
Je˙zeli f00(x0) =0, to f nie musi mie´c w x0punktu przegi ˛ecia.
Warunek wystarczaj ˛ acy istnienia ekstremum
Twierdzenie pierwsze Je˙zeli
f0(x ) > 0 dla x z pewnego lewostronnego s ˛asiedztwa punktu x0oraz f0(x ) < 0 dla x z pewnego prawostronnego s ˛asiedztwa punktu x0, to f ma w x0maksimum lokalne, f0(x ) < 0 dla x z pewnego lewostronnego s ˛asiedztwa punktu x0oraz f0(x ) > 0 dla x z pewnego prawostronnego s ˛asiedztwa punktu x0, to f ma w x0minimum lokalne.
Twierdzenie drugie
Je˙zeli f jest dwukrotnie ró˙zniczkowalna (i druga pochodna jest ci ˛agła) w pewnym otoczeniu punktu x0oraz
f0(x0) =0 i f00(x0) >0, to f ma w x0mimimum lokalne, f0(x0) =0 i f00(x0) <0, to f ma w x0maksimum lokalne.
Warunek wystarczaj ˛ acy istnienia ekstremum
Twierdzenie pierwsze Je˙zeli
f0(x ) > 0 dla x z pewnego lewostronnego s ˛asiedztwa punktu x0oraz f0(x ) < 0 dla x z pewnego prawostronnego s ˛asiedztwa punktu x0, to f ma w x0maksimum lokalne, f0(x ) < 0 dla x z pewnego lewostronnego s ˛asiedztwa punktu x0oraz f0(x ) > 0 dla x z pewnego prawostronnego s ˛asiedztwa punktu x0, to f ma w x0minimum lokalne.
Twierdzenie drugie
Je˙zeli f jest dwukrotnie ró˙zniczkowalna (i druga pochodna jest ci ˛agła) w pewnym otoczeniu punktu x0oraz
f0(x0) =0 i f00(x0) >0, to f ma w x0mimimum lokalne, f0(x0) =0 i f00(x0) <0, to f ma w x0maksimum lokalne.
Warunek wystarczaj ˛ acy istnienia punktu przegi ˛ecia
Je˙zeli
f00(x ) > 0 dla x z pewnego lewostronnego s ˛asiedztwa punktu x0oraz f00(x ) < 0 dla x z pewnego prawostronnego s ˛asiedztwa punktu x0,
lub
f00(x ) < 0 dla x z pewnego lewostronnego s ˛asiedztwa punktu x0oraz f00(x ) > 0 dla x z pewnego prawostronnego s ˛asiedztwa punktu x0,
to f ma w x0punkt przegi ˛ecia.
Wzór Taylora
Je˙zeli f ma ci ˛agł ˛a pochodn ˛a rz ˛edu n − 1 w przedziale [a, b], oraz jest n krotnie ró˙zniczkowalna w przedziale (a, b), to istnieje taki punkt ξ ∈ (a, b), ˙ze
f (b) = f (a) + f0(a)
1! (b − a) + f00(a)
2! (b − a)2+ . . . +f(n−1)(a)
(n − 1)!(b − a)n−1+ f(n)(ξ)
n! (b − a)n.
Wzór Maclaurina
Je˙zeli f ma ci ˛agł ˛a pochodn ˛a rz ˛edu n − 1 w przedziale [0, x ], oraz jest n krotnie ró˙zniczkowalna w przedziale (0, x ), to istnieje taki punkt ξ ∈ (0, x ), ˙ze
f (x ) = f (0) + f0(0)
1! x +f00(0)
2! x2+ . . . +f(n−1)(0)
(n − 1)!xn−1+f(n)(ξ) n! xn.
Szereg Taylora
Je˙zeli f ma pochodn ˛a dowolnego rz ˛edu w pewnym otoczeniu punktu a, to dla dowolnego n ∈ N i dowolnego b z tego otoczenia istnieje taki punkt ξ ∈ (a, b), ˙ze
f (b) = f (a) + f0(a)
1! (b − a) + f00(a)
2! (b − a)2+ . . . +f(n−1)(a)
(n − 1)!(b − a)n−1+ f(n)(ξ)
n! (b − a)n. Je˙zeli
n→∞lim f(n)(ξ)
n! (b − a)n=0 to
f (b) = f (a) +
∞
X
n=1
f(n)(a)
n! (b − a)n.
Szereg Maclaurina
Je˙zeli f ma pochodn ˛a dowolnego rz ˛edu w pewnym otoczeniu punktu 0, to dla dowolnego n ∈ N i dowolnego x z tego otoczenia istnieje taki punkt ξ ∈ (0, x ), ˙ze
f (x ) = f (0) + f0(0)
1! x +f00(0)
2! x2+ . . . +f(n−1)(0)
(n − 1)!xn−1+f(n)(ξ) n! xn. Je˙zeli
n→∞lim f(n)(ξ)
n! xn =0 to
f (x ) = f (0) +
∞
X
n=1
f(n)(0) n! xn.
Szereg Maclaurina wybranych funkcji
ex =1 + 1!x + x2!2 +x3!3 + . . . ,dla x ∈ R, sin x = 1!x −x3!3 +x5!5 −x7!7 + . . . ,dla x ∈ R, cos x = 1 − x2!2 +x4!4 −x6!6 + . . ., dla x ∈ R,
ln(x + 1) = x − x22 +x33 −x44 + . . ., dla x ∈ (−1, 1].
Reguła de L’Hospitala
Załó˙zmy, ˙ze funkcje f i g s ˛a okre´slone w pewnym (mo˙ze by´c jednostronnym) s ˛asiedztwie Sx0 punktu x0( x0mo˙ze by´c równy
±∞) oraz g(x) 6= 0 dla x ∈ Sx0, f i g s ˛a ró˙zniczkowalne w Sx0, g0(x ) 6= 0 dla x ∈ Sx0,ponadto albo
limx →x0f (x ) = limx →x0g(x ) = 0 lub
limx →x0f (x ) = ±∞ i limx →x0g(x ) = ±∞
(gdy s ˛asiedztwo jest jednostronne, to granice te˙z) wówczas je˙zeli istnieje (wła´sciwa lub nie) granica
x →xlim0
f0(x ) g0(x ) to
x →xlim0 f (x )
g(x ) = lim
x →x0
f0(x ) g0(x ).
Reguła de L’Hospitala
Załó˙zmy, ˙ze funkcje f i g s ˛a okre´slone w pewnym (mo˙ze by´c jednostronnym) s ˛asiedztwie Sx0 punktu x0( x0mo˙ze by´c równy
±∞) oraz g(x) 6= 0 dla x ∈ Sx0, f i g s ˛a ró˙zniczkowalne w Sx0, g0(x ) 6= 0 dla x ∈ Sx0, ponadto albo
limx →x0f (x ) = limx →x0g(x ) = 0 lub
limx →x0f (x ) = ±∞ i limx →x0g(x ) = ±∞
(gdy s ˛asiedztwo jest jednostronne, to granice te˙z) wówczas je˙zeli istnieje (wła´sciwa lub nie) granica
x →xlim0
f0(x ) g0(x ) to
x →xlim0 f (x )
g(x ) = lim
x →x0
f0(x ) g0(x ).
Reguła de L’Hospitala
Załó˙zmy, ˙ze funkcje f i g s ˛a okre´slone w pewnym (mo˙ze by´c jednostronnym) s ˛asiedztwie Sx0 punktu x0( x0mo˙ze by´c równy
±∞) oraz g(x) 6= 0 dla x ∈ Sx0, f i g s ˛a ró˙zniczkowalne w Sx0, g0(x ) 6= 0 dla x ∈ Sx0, ponadto albo
limx →x0f (x ) = limx →x0g(x ) = 0 lub
limx →x0f (x ) = ±∞ i limx →x0g(x ) = ±∞
(gdy s ˛asiedztwo jest jednostronne, to granice te˙z) wówczas je˙zeli istnieje (wła´sciwa lub nie) granica
x →xlim0
f0(x ) g0(x ) to
x →xlim0 f (x )
g(x ) = lim
x →x0
f0(x ) g0(x ).
Reguła de L’Hospitala
Załó˙zmy, ˙ze funkcje f i g s ˛a okre´slone w pewnym (mo˙ze by´c jednostronnym) s ˛asiedztwie Sx0 punktu x0( x0mo˙ze by´c równy
±∞) oraz g(x) 6= 0 dla x ∈ Sx0, f i g s ˛a ró˙zniczkowalne w Sx0, g0(x ) 6= 0 dla x ∈ Sx0, ponadto albo
limx →x0f (x ) = limx →x0g(x ) = 0 lub
limx →x0f (x ) = ±∞ i limx →x0g(x ) = ±∞
(gdy s ˛asiedztwo jest jednostronne, to granice te˙z) wówczas je˙zeli istnieje (wła´sciwa lub nie) granica
x →xlim0
f0(x ) g0(x ) to
x →xlim0 f (x )
g(x ) = lim
x →x0
f0(x ) g0(x ).
