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TWO DIMENSIONAL FLOWS WITH THE FREE SURFACE D e b a b r a t a Sen, G r a d u a t e S t u d e n t M e m o r i a l U n i v e r s i t y o f N e w f o u n d l a n d J a c e k S. P a w l o w s k i N a t i o n a l R e s e a r c h C o u n c i l Canada A s s o c . V i s i t i n g P r o f e s s o r M e m o r i a l U n i v e r s i t y o f N e w f o u n d l a n d 1 . F o r m u l a t i o n The p r e s e n t n o t e d i s c u s s e s an a t t e m p t t o d e v e l o p a r e l a t i v e l y s i m p l e , b u t p o s s i b l y o f a l a r g e s c o p e o f a p p l i c a b i l i t y , a l g o r i t h m f o r s o l v i n g b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s r e l a t e d t o t h e e x t r e m e b e h a v i o u r o f f l o a t i n g b o d i e s i n w a v e s . The t w o - d i m e n s i o n a l , a c y l i c i r r o t a t i o n a l f l o w o f an. i d e a l f l u i d , w i t h a f r e e s u r f a c e f o r m e d i n t h e p r e s e n c e o f t h e g r a v i t y f o r c e , i s c o n s i d e r e d . I n a d d i t i o n t o t h e f r e e s u r f a c e , t h e m a t e r i a l b o u n d a r i e s o f t h e f l u i d d o m a i n a r e c o n s t i t u t e d by t h e w e t t e d s u r f a c e o f a p a r t l y o r e n t i r e l y s u b m e r g e d i m p e r m e a b l e body a n d an I m p e r m e a b l e b o t t o m . I n o r d e r n o t t o p r e c l u d e a g e n e r a l i z a t i o n t o t h r e e d i m e n s i o n s , t h e p r o b l e m i s f o r m u l a t e d i n t e r m s o f a t'irae d e p e n d e n t s y s t e m o f t w o c o u p l e d i n t e g r a l e q u a t i o n s r e s u l t i n g f r o m t h e a p p l i c a t i o n o f G r e e n ' s s e c o n d i d e n t i t y i n a f i n i t e c o n t r o l f l u i d d o m a i n t o t h e v e l o c i t y p o t e n t i a l 43 o f t h e f l u i d f l o w a n d t o t h e f u n d a m e n t a l s o l u t i o n Uvv(1>.Q^ o f L a p l a c e ' s e q u a t i o n ; w i t h WP.Q) d e n o t i n g t h e d i s t a n c e b e t w e e n a p o i n t P i n t h e c o n t r o l f l u i d d o m a i n D a n d a p o i n t Q o n t h e b o u n d a r y o f D . The d o m a i n P i s d e t e r m i n e d by t w o c o n t r o l b o u n d a r i e s , r e p r e s e n t e d by v e r t i c a l l i n e s e x t e n d i n g f r o m t h e b o t t o m t o t h e f r e e s u r f a c e , a n d p l a c e d i n s u c h a manner t h a t t h e w e t t e d s u r f a c e o f t h e body i s e i t h e r c o n t a i n e d e n t i r e l y i n , o r c o i n c i d e s w i t h one o f t h e c o n t r o l b o u n d a r i e s ( a v e r t i c a l w a l l c a s e ) . S i m i l a r o r e q u i v a l e n t p r o b l e m s w e r e I n v e s t i g a t e d by s e v e r a l a u t h o r s , a r e c e n t r e v i e w o f r e l a t e d w o r k c a n be f o u n d i n 2. D e t a i l s o f I n t e r e s t F o r a p a r t i c u l a r I n s t a n t i n t i m e , t h e s y s t e m o f i n t e g r a l e q u a t i o n s c a n be s o l v e d i n a d i s c r e t i z e d f o r m , i f e i t h e r t h e v e l o c i t y p o t e n t i a l <p , o r i t s n o r m a l d e r i v a t i v e A <i> a r e known on e v e r y s e g m e n t o f «t> . S i n c e t h e i m p e r m e a b i l i t y c o n d i t i o n d e t e r m i n e s J ^ C p on t h e b o t t o m and on t h e w e t t e d s u r f a c e o f t h e b o d y , i t i s n e c e s s a r y t o c h o o s e a m e t h o d f o r d e t e r m i n i n g t h e n e c e s s a r y d a t a on t h e f r e e s u r f a c e a n d on t h e c o n t r o l b o u n d a r i e s . I n a d d i t i o n , t h e e v o l u t i o n o f t h e f r e e s u r f a c e r e s t r i c t e d t o m u s t be f o l l o w e d s o t h a t BD c o u l d be r e d e f i n e d f o r t h e c o n s e c u t i v e t i m e i n s t a n t s . I n t h e p r e s e n t f o r m u l a t i o n " ^ b i s d i v i d e d i n t o a number o f s t r a i g h t l i n e , c o n s t a n t s o u r c e d e n s i t y p a n e l s w i t h c e n t r a l c o l l o c a t i o n p o i n t s . On t h e f r e e s u r f a c e t h e m o t i o n o f t h e c o l l o c a t i o n p o i n t s i s r e s t r i c t e d t o v e r t i c a l d i s p l a c e m e n t s . T h e r e f o r e t h e f o r m u l a t i o n i s E u l e r i a n a n d e x c l u d e s m u l t i v a l u e d wave e l e v a t i o n s . T h i s a s s u m p t i o n i s n o t c o n s i d e r e d t o be t o o r e s t r i c t i v e , a n d i n c o m p a r i s o n w i t h t h e s e m i - L a g r a n g i a n f o r m u l a t i o n ( 2 ) , i s s u p p o s e d t o c o n t r i b u t e t o a b e t t e r s t a b i l i t y o f t h e s o l u t i o n on t h e f r e e s u r f a c e .
T Z t r N e v e r t h e l e s s a t t h e p r e s e n t s t a g e o f t h e d e v e l o p m e n t o f t h e a l g o r i t h m i t I s f o u n d n e c e s s a r y t o a p p l y t h e i n s t a b i l i t y s m o o t h i n g o r i g i n a l l y u s e d i n ( 2 ) . y j x » I n g e n e r a l t h e d a t a m i s s i n g on t h e c o n t r o l b o u n d a r i e s c a n be p r o v i d e d f o r e i t h e r by I n t r o d u c i n g a r e l a t i o n b e t w e e n <b andJt-<t> v a l u e s , t o l)e s a t i s f i e d on t h e s u r f a c e s , o r by s p e c i f y i n g t h e e v o l u t i o n o f t h e b o u n d a r y d a t a t h e r e . The f o r m e r a p p r o a c h a p p l i e d t o t h r e e d i m e n s i o n a l a x l s y m m t r l c p r o b l e m s i s a c c o m p l i s h e d by t h e m a t c h i n g o f t h e s o u g h t f o r s o l u t i o n w i t h a known f o r m o f t h e s o l u t i o n i n t h e c o m p l e m e n t o f D w i t h r e s p e c t t o t h e i n f i n i t e f l u i d d o m a i n e . g . ( i ) , ( 3 ) . i n a s t r i c t l y t w o - d i m e n s i o n a l f o r m u l a t i o n , h o w e v e r , t h e f i n i t e a s y m p t o t i c wave h e i g h t m u s t be t a k e n i n t o a c c o u n t . U s i n g t h e p r e s e n t a l g o r i t h m t h e p r o p a g a t i o n o f a h a r m o n i c a l l y e x c i t e d wave was i n v e s t i g a t e d . The A i r y wave
p o t e n t i a l was a p p l i e d a t one o f t h e c o n t r o l b o u n d a r i e s , a n d a t t h e o t h e r t h e E u l a r l a n t i m e d e r i v a t i v e o f <(> was d e t e r m i n e d f r o m t h e a s s u m p t i o n t h a t 9 r e p r e s e n t s a g e n e r a l o u t g o i n g wave f o r m o f t h e same c e l e r i t y a s t h e e x c i t i n g A i r y wave. No a p p r e c i a b l e d a m p i n g o r r e f l e c t i o n e f f e c t s w e r e o b s e r v e d f o r s t e e p waves o v e r 6 t o 10 p e r i o d s , see F i g u r e 1 . A q u a d r a t i c p o l y n o m l n a l s m o o t h i n g scheme was a p p l i e d a t t h e i n t e r s e c t i o n p o i n t o f t h e f r e e s u r f a c e w i t h t h e e x c i t e d c o n t r o l b o u n d a r y . 3. An Example o f A p p l i c a t i o n The a l g o r i t h m was a p p l i e d t o e v a l u a t e t h e i n t e r a c t i o n o f p r o g r e s s i n g p e r i o d i c waves w i t h a v e r t i c a l w a l l . The w a l l was c h o s e n t o c o i n c i d e w i t h one o f t h e c o n t r o l b o u n d a r i e s , w h e r e a s t h e waves w e r e e x c i t e d by A i r y wave p o t e n t i a l s i n t h e manner d e s c r i b e d a b o v e . The r e s u l t s a r e shown I n F i g u r e s 2 t o H, i n t e r m s o f p r e s s u r e s on t h e w a l l a t t h e s t i l l w a t e r l e v e l and a t t h e b o t t o m , i n F i g u r e 2, e x p e r i m e n t a l d a t a and v a l u e s o b t a i n e d f r o m t h e l i n e a r and a p e r t u r b a t i o n , t h i r d o r d e r s o l u t i o n f o r s t a n d i n g waves ( i l ) ! v n o ! ? ° ' ' " / ? ^ ° ? ' " P ^ ' ' ^ ^ ° " - p r e s e n t e d I n F i g u r e 3 no e x p e r i m e n t a l d a t a w e r e a v a i l a b l e . R e f e r e n c e s : 1 . D.G. Domraermuth a n d D.K. ïue, " S t u d y o f N o n l i n e a r Syi?ïïynam'l'cs!°?^86!'' I n t e r a c t i o n s " , I 6 t h . Symposium o n N a v a l
2. M.S. L o n g u e t - H i g g i n s and E.D. C o k e l e t , "The D e f o r m a t i o n o f f l 9 7 6 ) ^^""^^ °" W a t e r " . P r o c . R. S o c . L o n d . , A 350 1-26
3. W.H.'Lin, J.N. Newman and D.K. ïue, " N o n l i n e a r F o r c e d M o t i o n ^984 ^^ ^"^ ^*^'*^®^"' ' 5 ^ ^ Symposium on N a v a l H y d r o d y n a m i c s ,
S^?flï^°*i^''°
N a g a l , - " P r e s s u r e s o f S t a n d i n g Wave o n V e r t i c a l w a l l , J o u r n a l o f W a t e r w a y s and H a r b o u r s D i v i s i o n , F e b r u a r y ,I'lfiure i : p r o g r e e s i v e wave, H/\ - 0 . 1 , d/X =0.3 1 p r e s e n t iiietliod 3 t h e o r e t i « M 1 (J*" o r d e r ) 2 t h e o r e t l c a l ( l l n e a r ) U expcrimoi'i..Tl 1 p r e s e n t ' mr-lhoil 2 t h e o r e t i t r . i l ( I iiH'.Tr) »• 7" •-F i g u r e 3 : p r e s s u r e a t z - 0
A =i2iih~^ d " / U i c m — 1 ; i. fi'i ( d/ N -0.816 hfS -0.0-?2) s! 00 e! 00 7'. 00 e'. 00 9'. 00 To. 00 t / T run-up on t h e w a l l 10.00 t / T p r e s s u r e a t z = 0 t / T p r e s s u r e a t z " -d o . - • ^ — ~ — , . 1 1 — I • 7. so e.50 9. so 10.50 11.50 rj.SO 13.50 r u n up on t l i e w a l l t / T p r e s s u r e a t z =» 0 o a 7H , , , , — . - T . T.50 0.50 9.S0 10.50 11.50 13.50 I 3 . S 0 t / T p r e s s u r e a t z = -d I g u r c 6a : w a l l l o c a t e d a t 2 X f r o m t h e e x c i t a t i o n boundary F l R u r o 6b : w a l l l o c a t e d a t 3.25 X f r o m t h e e x c i t a t i o n boundnry
