Ci¡gªo±¢ funkcji jednej zmiennej
Denicja 1. (Otoczenia punktu)
Przedziaª (x
0− r, x
0+ r) nazywamy otoczeniem punktu x
0o promieniu r i oznaczamy O(x
0, r) O(x
0, r) := (x
0− r, x
0+ r).
Przedziaª (x
0−r, x
0] nazywamy otoczeniem lewostronnym punktu x
0o promieniu r i oznaczamy O(x
−0, r) Przedziaª [x
0, x
0+ r) nazywamy otoczeniem prawostronnym punktu x
0o promieniu r i oznaczamy O(x
+0, r)
Je»eli promie« otoczenia nie b¦dzie miaª znaczenia, otoczenie punktu x
0b¦dziemy oznacza¢
krótko przez O(x
0), O(x
+0), O(x
−0).
Denicja 2. (Warunek Heinego na ci¡gªo±¢ funkcji w punkcie)
Funkcj¦ f : D → R, D ⊂ R nazywamy ci¡gª¡ w punkcie x
0∈ D wtedy i tylko wtedy, gdy
∀
xn:N→Dlim
n→∞
x
n= x
0⇒ lim
n→∞
f (x
n) = f (x
0).
Denicja 3. (Warunek Cauchy'ego na ci¡gªo±¢ funkcji w punkcie)
Funkcj¦ f : X → R okre±lon¡ na otoczeniu O(x
0) punktu x
0nazywamy ci¡gª¡ w tym punkcie, je»eli:
∀
ε>0∃
δ>0∀
x∈O(x0)|x − x
0| < δ ⇒ |f (x) − f (x
0)| < ε .
Mówi¡c inaczej: funkcja f jest ci¡gªa w punkcie x
0, gdy maªe zmiany argumentu x wzgl¦dem tego punktu powoduj¡ maªe zmiany warto±ci funkcji f(x) wzgl¦dem f(x
0).
Denicja 4. Funkcj¦ f : D → R, D ⊆ R nazywamy nazywamy ci¡gª¡ na zbiorze A ⊆ D, je»eli jest ci¡gªa w ka»dym punkcie tego zbioru, czyli
∀
x1∈A∀
ε>0∃
δ(ε,x1)>0∀
x2∈A|x
1− x
2| < δ ⇒ |f (x
1) − f (x
2)| < ε.
Funkcj¦ f nazywamy ci¡gª¡, je±li jest ona ci¡gªa na caªej swojej dziedzinie.
Denicja 5. (jednostajna ci¡gªo±¢ funkcji)
Funkcj¦ f : D → R, D ⊆ R nazywamy jednostajnie ci¡gª¡ na zbiorze A ⊆ D, je»eli
Uwaga 1. Funkcja jednostajnie ci¡gªa jest ci¡gªa (mówimy, »e jednostajna ci¡gªo±¢ jest mocniejsza od ci¡gªo±ci).
Twierdzenie 1. (Cantora)
Funkcja ci¡gªa na przedziale domkni¦tym jest na nim jednostajnie ci¡gªa.
Twierdzenie 2. (warunek konieczny i wystarczaj¡cy ci¡gªo±ci funkcji w punkcie)óó Funkcja f jest ci¡gªa w punkcie x
0wtedy i tylko wtedy, gdy:
lim
x→x−0
f (x) = lim
x→x+0
f (x) = f (x
0).
Denicja 6. (lewostronna ci¡gªo±¢ funkcji w punkcie x
0)
Funkcj¦ okre±lon¡ przynajmniej na lewostronnym otoczeniu punktu x
0O
−(x
0) (a tym samym i w punkcie x
0) nazywamy lewostronnie ci¡gª¡ w punkcie x
0wtedy i tylko wtedy, gdy
lim
x→x−0
f (x) = f (x
0).
Denicja 7. (prawostronna ci¡gªo±¢ funkcji w punkcie x
0)
Funkcj¦ okre±lon¡ przynajmniej na prawostronnym otoczeniu punktu x
0O
+(x
0) (a tym samym i w punkcie x
0) nazywamy prawostronnie ci¡gª¡ w punkcie x
0wtedy i tylko wtedy, gdy
lim
x→x+0
f (x) = f (x
0).
Przykªad 1. .
Rysunek 1: a)funkcja lewostronnie ci¡gªa w punkcie x
0b)funkcja prawostronnie ci¡gªa w punkcie
x
0c) funkcja ci¡gªa w punkcie x
0Rodzaje nieci¡gªo±ci funkcji Denicja 8. (nieci¡gªo±¢ I rodzaju:)
Funkcja f posiada w punkcie x
0nieci¡gªo±¢ pierwszego rodzaju typu:
a) skok, gdy: lim
x→x−0
f (x) 6= lim
x→x+0
f (x) , b) luka, gdy: lim
x→x−0
f (x) = lim
x→x+0
f (x) 6= f (x
0) .
Denicja 9. (nieci¡gªo±¢ II rodzaju)
Funkcja f posiada w punkcie x
0nieci¡gªo±¢ drugiego rodzaju, gdy co najmniej jedna z granic lim
x→x−0
f (x), lim
x→x+0
f (x) nie istnieje lub jest niewªa±ciwa.
Przykªad 2. Wyznacz punkty nieci¡gªo±ci funkcji i okre±l ich rodzaje:
a) f(x) = [x]- nieci¡gªo±¢ pierwszego rodzaju typu skok dla x ∈ Z
b) f(x) = |sgn x|- nieci¡gªo±¢ pierwszego rodzaju typu luka w punkcie x
0= 0.
c) f(x) = (
1x−2
dla x 6= 2
3 dla x = 2 -nieci¡gªo±¢ drugiego rodzaju w punkcie x
0= 2.
Przykªad 3. Zbada¢ ci¡gªo±¢ funkcji, w punktach nieci¡gªo±ci okre±l rodzaj i typ nieci¡gªo±ci:
a) f(x) =
(
|x2−x−6||x+2|
dla x 6= −2
3 dla x 6= −2 w punkcie x
0= −2;
b) g(x) =
( 2 cos(x − 2) + x dla x ≤ 2
x
2dla x > 2, w punkcie x
0= 2.
Rozwi¡zanie: liczymy granice jednostronne i warto±¢ funkcji w rozwa»anym punkcie a) lim
x→−2−
f (x) = lim
x→−2−
|x2−x−6|
|x+2|
= lim
x→−2−
(x−3)(x+2)
−(x+2)
= lim
x→−2−
−(x − 3) = 5;
lim
x→−2+
f (x) = lim
x→−2+
|x2−x−6|
|x+2|
= lim
x→−2+
−(x−3)(x+2)
x+2
= lim
x→−2+
−(x − 3) = 5.
Pomimo tego, »e granice jednostronne s¡ równe funkcja f nie jest ci¡gªa w punkcie x
0= −2, gdy»
f (−2) = 3 6= 5. W punkcie x
0= −2 mamy nieci¡gªo±¢ I rodzaju, typu luka. Jest to nieci¡gªo±¢
usuwalana.
b) lim
x→2−
g(x) = lim
x→2−
2 cos(x − 2) + x = 2 cos 0 + 2 = 4;
lim
x→2+
g(x) = lim
x→2+
x
2= 2
2= 4.
Tutaj granice jednostronne s¡ równe 4 oraz f(2) = 4. Zatem funkcja g(x) jest ci¡gªa w punkcie x
0= 2.
Uwaga 2. Mówimy, »e funkcja jest ci¡gªa na przedziale:
• otwartym (a, b), je»eli jest ci¡gªa w ka»dym punkcie tego przedziaªu.
• domkni¦tym [a, b], je»eli jest ci¡gªa w ka»dym punkcie przedziaªu otwartego (a, b) oraz pra- wostronnie ci¡gªa w punkcie a i lewostronnie ci¡gªa w punkcie b.
Denicja 10. (funkcje elementarne)
Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: staªe, pot¦gowe, wykªadnicze, loga- rytmiczne, trygonometryczne oraz cyklometryczne.
Funkcje elementarne, to takie które mo»na otrzyma¢ z podstawowych funkcji elementarnych za pomoc¡ sko«czonej liczby dziaªa« arytmetycznych oraz operacji skªadania funkcji.
Twierdzenie 3. Ka»da funkcja elementarna jest ci¡gªa na ka»dym przedziale zawartym w swojej dziedzinie
Twierdzenie 4. (dziaªania arytmetyczne na funkcjach ci¡gªych)
Je»eli dwie funkcje f(x) i g(x) s¡ ci¡gªe w punkcie x
0∈ D, to w tym punkcie równie» s¡ ci¡gªe funkcje
• f (x) ± g(x),
• f (x) · g(x),
•
f (x)g(x)o ile g(x) 6= 0.
Twierdzenie 5. (o ci¡gªo±ci funkcji zªo»onej)
Je»eli funkcja f(x) jest ci¡gªa w punkcie x
0i funkcja g(x) jest ci¡gªa w punkcie y
0= f (x
0) , to
Twierdzenie 6. (o ci¡gªo±ci funkcji odwrotnej)
Niech f : X → Y b¦dzie funkcj¡ odwracaln¡ (rosn¡c¡ lub malej¡c¡ oraz 'na') i ci¡gª¡. Wówczas funkcja odwrotna f
−1: Y → X jest tak»e ci¡gªa.
Twierdzenie 7. (Weierstrassa)
Je»eli funkcja f ci¡gªa okre±lona jest na przedziale domkni¦tym [a; b], to jest ograniczona oraz przyjmuje warto±ci swoich kresów, tzn. istniej¡ takie argumenty c oraz d nale»¡ce do przedziaªu [a; b] , »e
f (c) = inf
x∈[a;b]
f (x) oraz f (d) = sup
x∈[a;b]
f (x).
Twierdzenie 8. (wªasno±¢ Darboux)
Niech f(x) b¦dzie funkcj¡ ci¡gª¡ i okre±lona na dowolnym przedziale liczb rzeczywistych. Je»eli w dwóch punktach x = a i x = b, (gdzie a < b) tego przedziaªu funkcja przyjmuje ró»ne warto±ci f (a) = A oraz f(b) = B, to dla dowolnej liczby y takiej, »e y ∈ (A; B) istnieje taki punkt x = c;
c ∈ (a, b) f(c)=y.
Mówi¡c inaczej: funkcja ci¡gªa okre±lona na dowolnym przedziale liczb rzeczywistych przyjmuje ka»d¡ warto±¢ po±redni¡ pomi¦dzy dwoma swymi warto±ciami.
Rysunek 2: Ilustracja geometryczna do twierdzenia Darboux
Uwaga 3. Je»eli funkcja f(x) jest funkcja ci¡gªa na przedziale domkni¦tym [a; b] i taka, »e f(a) · f (b) < 0 , to istnieje c ∈ (a; b) takie, »e f(c) = 0.
Denicja 11. (warunek Lipschitza)
Mówimy, »e funkcja f : D → R speªnia na D warunek Lipschitza ze staª¡ L ≥ 0, je»eli dla dowolnych x, y ∈ D mamy:
|f (x) − f (y)| ≤ L|x − y|.
Twierdzenie 9. Funkcja f jest jednostajnie ci¡gªa na zbiorze A ⊂ R wtedy i tylko wtedy, gdy
∀
{xn},{yn}⊂Alim
n→∞
(x
n− y
n) = 0 ⇒ lim
n→∞
(f (x
n) − f (y
n)) = 0.
Zadania
1. Wska» punkty, w których funkcje o podanych wykresach nie s¡ ci¡gªe:
a) b) c)
d) e) f)
2. Okre±l rodzaje nieci¡gªo±ci funkcji o podanych wykresach w punkcie x
0= 1 :
a) b) c)
d) e) f)
3. W oparciu o denicj¦ Heine'go ci¡gªo±ci funkcji wykaza¢ ci¡gªo±¢ poni»szych funkcji we wska- zanych punktach:
a) f(x) = 1 − 2x + 3x
2; x
0∈ R, b) f(x) = x
2; dla x ≤ 3
3x; dla x > 3 x
0= 3, c) f(x) = cos x; x
0=
π2.
4. W oparciu o denicj¦ Cauchy'ego ci¡gªo±ci funkcji wyka» ci¡gªo±¢ funkcji we wskazanych
punktach:
5. Zbadaj ci¡gªo±¢ funkcji w jej dziedzinie lub wskazanym punkcie x
0. W przypadku, gdy funk- cja nie jest ci¡gªa okre±l rodzaj nieci¡gªo±ci w punktach nieci¡gªo±ci.
(a) f (x) =
|x2−x−6|x+2
dla x 6= −2
5 dla x = −2 (b) f (x) =
2
xdla −1 ≤ x ≤ 0 1 − x dla 0 < x ≤ 1 2 log x dla 1 < x < 2
(c) f (x) = sgn[x(x − 2)] w x
0= 2 (d) f (x) =
√1+x−1x
dla x 6= 0
0 dla x = 0
(e) f(x) =
sin xx
; dla x 6= 0
0; dla x = 0 (f) f(x) =
x3−1x2−1
; dla x ∈ R \ {−1, 1}
1; dla x ∈ {−1, 1}
(g) f(x) =
1
[x]
; dla x < 0 1; dla x = 0
1x
; dla x > 0 w x
0= 0 (h) f(x) =
sin
x1; dla x < 0 1; dla x = 0 x
2cos
x1; dla x > 0
(i) f(x) = x arctg
x1; dla x 6= 0
−
π2; dla x = 0 (j) f(x) =
(
11+e1x
; dla x 6= 0 0; dla x = 0 6. Dobra¢ parametry tak, aby podane funkcje byªy ci¡gªe na caªej swojej dziedzinie:
(a) f (x) =
x2−4x+3x−3
dla x 6= 3
a dla x = 3 (b) f (x) =
2 dla x ≤ 0
a
x+ b dla 0 < x < 1
3 dla x ≥ 1
(c) f (x) =
2
xdla x ∈ [0; 2)
ax − 2 dla x ∈ [2; 10) (x − 8)
2+ x + b dla x ∈ [10; 20)
(d) f (x) = ax + 1 dla x ≤
π2sin x + b dla x >
π2(e) f(x) = a sin x + b cos x; dla |x| >
π41 + tg x; dla |x| ≤
π4(f ) f (x) =
ax + b dla x < 1 log
ax dla 1 ≤ x ≤ 4
π
arctgx−41