• Nie Znaleziono Wyników

Ci¡gªo±¢ funkcji jednej zmiennej

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Ci¡gªo±¢ funkcji jednej zmiennej"

Copied!
8
0
0

Pełen tekst

(1)

Ci¡gªo±¢ funkcji jednej zmiennej

Denicja 1. (Otoczenia punktu)

Przedziaª (x

0

− r, x

0

+ r) nazywamy otoczeniem punktu x

0

o promieniu r i oznaczamy O(x

0

, r) O(x

0

, r) := (x

0

− r, x

0

+ r).

Przedziaª (x

0

−r, x

0

] nazywamy otoczeniem lewostronnym punktu x

0

o promieniu r i oznaczamy O(x

0

, r) Przedziaª [x

0

, x

0

+ r) nazywamy otoczeniem prawostronnym punktu x

0

o promieniu r i oznaczamy O(x

+0

, r)

Je»eli promie« otoczenia nie b¦dzie miaª znaczenia, otoczenie punktu x

0

b¦dziemy oznacza¢

krótko przez O(x

0

), O(x

+0

), O(x

0

).

Denicja 2. (Warunek Heinego na ci¡gªo±¢ funkcji w punkcie)

Funkcj¦ f : D → R, D ⊂ R nazywamy ci¡gª¡ w punkcie x

0

∈ D wtedy i tylko wtedy, gdy

xn:N→D

lim

n→∞

x

n

= x

0

⇒ lim

n→∞

f (x

n

) = f (x

0

).

Denicja 3. (Warunek Cauchy'ego na ci¡gªo±¢ funkcji w punkcie)

Funkcj¦ f : X → R okre±lon¡ na otoczeniu O(x

0

) punktu x

0

nazywamy ci¡gª¡ w tym punkcie, je»eli:

ε>0

δ>0

x∈O(x0)



|x − x

0

| < δ ⇒ |f (x) − f (x

0

)| < ε  .

Mówi¡c inaczej: funkcja f jest ci¡gªa w punkcie x

0

, gdy maªe zmiany argumentu x wzgl¦dem tego punktu powoduj¡ maªe zmiany warto±ci funkcji f(x) wzgl¦dem f(x

0

).

Denicja 4. Funkcj¦ f : D → R, D ⊆ R nazywamy nazywamy ci¡gª¡ na zbiorze A ⊆ D, je»eli jest ci¡gªa w ka»dym punkcie tego zbioru, czyli

x1∈A

ε>0

δ(ε,x1)>0

x2∈A

|x

1

− x

2

| < δ ⇒ |f (x

1

) − f (x

2

)| < ε.

Funkcj¦ f nazywamy ci¡gª¡, je±li jest ona ci¡gªa na caªej swojej dziedzinie.

Denicja 5. (jednostajna ci¡gªo±¢ funkcji)

Funkcj¦ f : D → R, D ⊆ R nazywamy jednostajnie ci¡gª¡ na zbiorze A ⊆ D, je»eli

(2)

Uwaga 1. Funkcja jednostajnie ci¡gªa jest ci¡gªa (mówimy, »e jednostajna ci¡gªo±¢ jest mocniejsza od ci¡gªo±ci).

Twierdzenie 1. (Cantora)

Funkcja ci¡gªa na przedziale domkni¦tym jest na nim jednostajnie ci¡gªa.

Twierdzenie 2. (warunek konieczny i wystarczaj¡cy ci¡gªo±ci funkcji w punkcie)óó Funkcja f jest ci¡gªa w punkcie x

0

wtedy i tylko wtedy, gdy:

lim

x→x0

f (x) = lim

x→x+0

f (x) = f (x

0

).

Denicja 6. (lewostronna ci¡gªo±¢ funkcji w punkcie x

0

)

Funkcj¦ okre±lon¡ przynajmniej na lewostronnym otoczeniu punktu x

0

O

(x

0

) (a tym samym i w punkcie x

0

) nazywamy lewostronnie ci¡gª¡ w punkcie x

0

wtedy i tylko wtedy, gdy

lim

x→x0

f (x) = f (x

0

).

Denicja 7. (prawostronna ci¡gªo±¢ funkcji w punkcie x

0

)

Funkcj¦ okre±lon¡ przynajmniej na prawostronnym otoczeniu punktu x

0

O

+

(x

0

) (a tym samym i w punkcie x

0

) nazywamy prawostronnie ci¡gª¡ w punkcie x

0

wtedy i tylko wtedy, gdy

lim

x→x+0

f (x) = f (x

0

).

Przykªad 1. .

Rysunek 1: a)funkcja lewostronnie ci¡gªa w punkcie x

0

b)funkcja prawostronnie ci¡gªa w punkcie

x

0

c) funkcja ci¡gªa w punkcie x

0

(3)

Rodzaje nieci¡gªo±ci funkcji Denicja 8. (nieci¡gªo±¢ I rodzaju:)

Funkcja f posiada w punkcie x

0

nieci¡gªo±¢ pierwszego rodzaju typu:

a) skok, gdy: lim

x→x0

f (x) 6= lim

x→x+0

f (x) , b) luka, gdy: lim

x→x0

f (x) = lim

x→x+0

f (x) 6= f (x

0

) .

Denicja 9. (nieci¡gªo±¢ II rodzaju)

Funkcja f posiada w punkcie x

0

nieci¡gªo±¢ drugiego rodzaju, gdy co najmniej jedna z granic lim

x→x0

f (x), lim

x→x+0

f (x) nie istnieje lub jest niewªa±ciwa.

Przykªad 2. Wyznacz punkty nieci¡gªo±ci funkcji i okre±l ich rodzaje:

a) f(x) = [x]- nieci¡gªo±¢ pierwszego rodzaju typu skok dla x ∈ Z

b) f(x) = |sgn x|- nieci¡gªo±¢ pierwszego rodzaju typu luka w punkcie x

0

= 0.

c) f(x) = (

1

x−2

dla x 6= 2

3 dla x = 2 -nieci¡gªo±¢ drugiego rodzaju w punkcie x

0

= 2.

(4)

Przykªad 3. Zbada¢ ci¡gªo±¢ funkcji, w punktach nieci¡gªo±ci okre±l rodzaj i typ nieci¡gªo±ci:

a) f(x) =

(

|x2−x−6|

|x+2|

dla x 6= −2

3 dla x 6= −2 w punkcie x

0

= −2;

b) g(x) =

( 2 cos(x − 2) + x dla x ≤ 2

x

2

dla x > 2, w punkcie x

0

= 2.

Rozwi¡zanie: liczymy granice jednostronne i warto±¢ funkcji w rozwa»anym punkcie a) lim

x→−2

f (x) = lim

x→−2

|x2−x−6|

|x+2|

= lim

x→−2

(x−3)(x+2)

−(x+2)

= lim

x→−2

−(x − 3) = 5;

lim

x→−2+

f (x) = lim

x→−2+

|x2−x−6|

|x+2|

= lim

x→−2+

−(x−3)(x+2)

x+2

= lim

x→−2+

−(x − 3) = 5.

Pomimo tego, »e granice jednostronne s¡ równe funkcja f nie jest ci¡gªa w punkcie x

0

= −2, gdy»

f (−2) = 3 6= 5. W punkcie x

0

= −2 mamy nieci¡gªo±¢ I rodzaju, typu luka. Jest to nieci¡gªo±¢

usuwalana.

b) lim

x→2

g(x) = lim

x→2

2 cos(x − 2) + x = 2 cos 0 + 2 = 4;

lim

x→2+

g(x) = lim

x→2+

x

2

= 2

2

= 4.

Tutaj granice jednostronne s¡ równe 4 oraz f(2) = 4. Zatem funkcja g(x) jest ci¡gªa w punkcie x

0

= 2.

Uwaga 2. Mówimy, »e funkcja jest ci¡gªa na przedziale:

• otwartym (a, b), je»eli jest ci¡gªa w ka»dym punkcie tego przedziaªu.

• domkni¦tym [a, b], je»eli jest ci¡gªa w ka»dym punkcie przedziaªu otwartego (a, b) oraz pra- wostronnie ci¡gªa w punkcie a i lewostronnie ci¡gªa w punkcie b.

Denicja 10. (funkcje elementarne)

Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: staªe, pot¦gowe, wykªadnicze, loga- rytmiczne, trygonometryczne oraz cyklometryczne.

Funkcje elementarne, to takie które mo»na otrzyma¢ z podstawowych funkcji elementarnych za pomoc¡ sko«czonej liczby dziaªa« arytmetycznych oraz operacji skªadania funkcji.

Twierdzenie 3. Ka»da funkcja elementarna jest ci¡gªa na ka»dym przedziale zawartym w swojej dziedzinie

Twierdzenie 4. (dziaªania arytmetyczne na funkcjach ci¡gªych)

Je»eli dwie funkcje f(x) i g(x) s¡ ci¡gªe w punkcie x

0

∈ D, to w tym punkcie równie» s¡ ci¡gªe funkcje

• f (x) ± g(x),

• f (x) · g(x),

f (x)g(x)

o ile g(x) 6= 0.

Twierdzenie 5. (o ci¡gªo±ci funkcji zªo»onej)

Je»eli funkcja f(x) jest ci¡gªa w punkcie x

0

i funkcja g(x) jest ci¡gªa w punkcie y

0

= f (x

0

) , to

(5)

Twierdzenie 6. (o ci¡gªo±ci funkcji odwrotnej)

Niech f : X → Y b¦dzie funkcj¡ odwracaln¡ (rosn¡c¡ lub malej¡c¡ oraz 'na') i ci¡gª¡. Wówczas funkcja odwrotna f

−1

: Y → X jest tak»e ci¡gªa.

Twierdzenie 7. (Weierstrassa)

Je»eli funkcja f ci¡gªa okre±lona jest na przedziale domkni¦tym [a; b], to jest ograniczona oraz przyjmuje warto±ci swoich kresów, tzn. istniej¡ takie argumenty c oraz d nale»¡ce do przedziaªu [a; b] , »e

f (c) = inf

x∈[a;b]

f (x) oraz f (d) = sup

x∈[a;b]

f (x).

Twierdzenie 8. (wªasno±¢ Darboux)

Niech f(x) b¦dzie funkcj¡ ci¡gª¡ i okre±lona na dowolnym przedziale liczb rzeczywistych. Je»eli w dwóch punktach x = a i x = b, (gdzie a < b) tego przedziaªu funkcja przyjmuje ró»ne warto±ci f (a) = A oraz f(b) = B, to dla dowolnej liczby y takiej, »e y ∈ (A; B) istnieje taki punkt x = c;

c ∈ (a, b) f(c)=y.

Mówi¡c inaczej: funkcja ci¡gªa okre±lona na dowolnym przedziale liczb rzeczywistych przyjmuje ka»d¡ warto±¢ po±redni¡ pomi¦dzy dwoma swymi warto±ciami.

Rysunek 2: Ilustracja geometryczna do twierdzenia Darboux

Uwaga 3. Je»eli funkcja f(x) jest funkcja ci¡gªa na przedziale domkni¦tym [a; b] i taka, »e f(a) · f (b) < 0 , to istnieje c ∈ (a; b) takie, »e f(c) = 0.

Denicja 11. (warunek Lipschitza)

Mówimy, »e funkcja f : D → R speªnia na D warunek Lipschitza ze staª¡ L ≥ 0, je»eli dla dowolnych x, y ∈ D mamy:

|f (x) − f (y)| ≤ L|x − y|.

Twierdzenie 9. Funkcja f jest jednostajnie ci¡gªa na zbiorze A ⊂ R wtedy i tylko wtedy, gdy

{xn},{yn}⊂A

lim

n→∞

(x

n

− y

n

) = 0 ⇒ lim

n→∞

(f (x

n

) − f (y

n

)) = 0.

(6)

Zadania

1. Wska» punkty, w których funkcje o podanych wykresach nie s¡ ci¡gªe:

a) b) c)

d) e) f)

2. Okre±l rodzaje nieci¡gªo±ci funkcji o podanych wykresach w punkcie x

0

= 1 :

a) b) c)

d) e) f)

3. W oparciu o denicj¦ Heine'go ci¡gªo±ci funkcji wykaza¢ ci¡gªo±¢ poni»szych funkcji we wska- zanych punktach:

a) f(x) = 1 − 2x + 3x

2

; x

0

∈ R, b) f(x) =  x

2

; dla x ≤ 3

3x; dla x > 3 x

0

= 3, c) f(x) = cos x; x

0

=

π2

.

4. W oparciu o denicj¦ Cauchy'ego ci¡gªo±ci funkcji wyka» ci¡gªo±¢ funkcji we wskazanych

punktach:

(7)

5. Zbadaj ci¡gªo±¢ funkcji w jej dziedzinie lub wskazanym punkcie x

0

. W przypadku, gdy funk- cja nie jest ci¡gªa okre±l rodzaj nieci¡gªo±ci w punktach nieci¡gªo±ci.

(a) f (x) =



|x2−x−6|

x+2

dla x 6= −2

5 dla x = −2 (b) f (x) =

2

x

dla −1 ≤ x ≤ 0 1 − x dla 0 < x ≤ 1 2 log x dla 1 < x < 2

(c) f (x) = sgn[x(x − 2)] w x

0

= 2 (d) f (x) =



1+x−1

x

dla x 6= 0

0 dla x = 0

(e) f(x) =



sin x

x

; dla x 6= 0

0; dla x = 0 (f) f(x) =



x3−1

x2−1

; dla x ∈ R \ {−1, 1}

1; dla x ∈ {−1, 1}

(g) f(x) =

1

[x]

; dla x < 0 1; dla x = 0



1

x

 ; dla x > 0 w x

0

= 0 (h) f(x) =

sin

x1

; dla x < 0 1; dla x = 0 x

2

cos

x1

; dla x > 0

(i) f(x) =  x arctg

x1

; dla x 6= 0

π2

; dla x = 0 (j) f(x) =

(

1

1+e1x

; dla x 6= 0 0; dla x = 0 6. Dobra¢ parametry tak, aby podane funkcje byªy ci¡gªe na caªej swojej dziedzinie:

(a) f (x) =



x2−4x+3

x−3

dla x 6= 3

a dla x = 3 (b) f (x) =

2 dla x ≤ 0

a

x

+ b dla 0 < x < 1

3 dla x ≥ 1

(c) f (x) =

2

x

dla x ∈ [0; 2)

ax − 2 dla x ∈ [2; 10) (x − 8)

2

+ x + b dla x ∈ [10; 20)

(d) f (x) =  ax + 1 dla x ≤

π2

sin x + b dla x >

π2

(e) f(x) =  a sin x + b cos x; dla |x| >

π4

1 + tg x; dla |x| ≤

π4

(f ) f (x) =

 

 

ax + b dla x < 1 log

a

x dla 1 ≤ x ≤ 4

π

arctgx−41

dla x > 4 7. Wykaza¢, »e dla dowolnych licz rzeczywistych a > b > c funkcja

f (x) = 1

x − a + 1

x − b + 1 x − c ma co najmniej dwa pierwiastki.

8. Uzasadni¢, »e funkcja f(x) = 2

x

− x

2

przyjmuje warto±¢ w =

101

na przedziale D = [1, 3].

9. Pokaza¢, »e równanie 3 sin

2

x − 2 cos

3

x = 0 posiada przynajmniej jedno miejsce zerowe w przedziale D = [

π6

;

π3

].

10. Uzasadni¢, »e podane równania maj¡ jednoznaczne rozwi¡zania we wskazanych przedziaªach:

a) x2

x

= 1 w (0, 1), b) arctg x =

x12

w (

13

, √ 3) ,

c) x w ( , d) x w (

(8)

11. Poka», »e funkcja f(x) = x

2

:

a) jest jednostajnie ci¡gªa na przedziale [0, 2];

b) nie jest jednostajnie ci¡gªa na przedziale [0, +∞).

12. Zbadaj jednostajn¡ ci¡gªo±¢ podanych funkcji na wskazanych zbiorach:

a) f(x) = e

x

na (0, 1), b) f(x) = sin

1x

na (0,

π2

] , c) f(x) = √

x na (0, +∞) d) f(x) = e

x

na (0, +∞)

13. Poka» jednostajn¡ ci¡gªo±¢ funkcji f(x) =

|x|+2|x|

na zbiorze R.

14. Poka» jednostajn¡ ci¡gªo±¢ funkcji f(x) = x + cos x na zbiorze R.

15. Poka», »e funkcja f(x) = sin x

2

nie jest jednostajnie ci¡gªa na zbiorze R.

16. Pokaza¢, »e funkcja speªniaj¡ca warunek Lipschitza jest jednostajnie ci¡gªa. Nast¦pnie wyka»

jednostajn¡ zbie»no±¢ danych funkcji na wskazanym zbiorze:

a) f(x) = √

x + 1 na [0, +∞), b) f(x) =

1+5xx

na [0, +∞),

c) f(x) = sin(sin x) na [0, +∞)

Cytaty

Powiązane dokumenty

Zauwa˙zmy, ˙ze poprzednio (przy definiowaniu granicy funkcji w punkcie) interesowali´smy si˛e jedynie proble- mem zbie˙zno´sci ci ˛ agu warto´sci funkcji... Rozwa˙zana

[r]

Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego..

Jeśli dziedzina funkcji trygonometrycznej zostanie zawężona do przedziału, w którym funkcja jest różnowartościowa, to wtedy można określić funkcję odwrotną do niej.

[r]

[r]

Wykazaliśmy, że ciąg liczb naturalnych, który ma skończoną granicę musi być od pewnego miejsca stały, więc granica jest równa pewnym wyrazom ciągu.. Jest to niezgodne z

Znaleźć kąt przecięcia się krzywych: a). Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji określonych wzorami:..