Pochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodne funkcji elementarnych:
Lp. Wzór 1 Wzór 2 Uwagi
1. (c)
0= 0 c ∈ R
2. (x
α)
0= αx
α−1(
α)
0= α
α−1·
0α ∈ R \ {0}
3. ( √
nx)
0=
1nn√ xn−1
√
n0
=
0nn√
n−1
n ∈ N \ {0, 1}; x > 0 4. (sin x)
0= cos x (sin )
0= (cos ) ·
05. (cos x)
0= − sin x (cos )
0= (− sin ) ·
06. (tg x)
0=
cos12x(tg )
0=
cos20x 6=
π2+ kπ, k ∈ N 7. (ctg x)
0= −
sin12x(ctg )
0= −
sin20x 6= kπ, k ∈ N 8. (a
x)
0= a
x· ln a (a
)
0= a
· ln a ·
0a > 0 9. (e
x)
0= e
x(e
)
0= e
·
010. (ln x)
0=
1x(ln )
0=
0
x > 0
11. (log
ax)
0=
x ln a1(log
a)
0=
ln a0a > 0, a 6= 0; x > 0 12. (arcsin x)
0=
√ 11−x2
(arcsin )
0=
√01−2
|x| < 1 13. (arccos x)
0=
√−11−x2
(arccos )
0=
√−01−2
|x| < 1 14. (arctg x)
0=
1+x12(arctg )
0=
1+0215. (arcctg x)
0=
1+x−12(arcctg )
0=
−01+2
Podstawowe wzory rachunku ró»niczkowego:
Je±li funkcje f, g : D → R, D ⊂ R s¡ ró»niczkowalne w punkcie x
0∈ D to funkcje f +g, f −g, f ·g,
fg(o ile g(x
0) 6= 0 ) s¡ ró»niczkowalne w x
0∈ D oraz zachodz¡ wzory:
1) (f ± g)
0(x
0) = f
0(x
0) ± g
0(x
0);
2) (f · g)
0(x
0) = f
0(x
0) · g(x
0) + f (x
0) · g
0(x
0);
3)
fg0(x
0) =
f0(x0)g(xg02)−f (x(x0) 0)g0(x0), o ile g(x
0) 6= 0;
4) (g ◦ f)
0(x
0) = g
0f (x
0)f
0(x
0);
5) f
−1(f (x
0)) =
f0(x10)o ile f
0(x
0) 6= 0 .
Rodzaj przeksztaªce« wykorzystywanych w obliczaniu granic za pomoc¡ reguªy L'Hospitala
Rodzaj nieoznaczono±ci Stosowane przeksztaªcenie Otrzymana nieoznaczono±¢
0 · ∞ f · g =
f1g
lub f · g =
g1f
0
0
lub
∞∞∞ − ∞ f − g =
1 g−1
f 1 f g
0 0
1
∞, ∞
0, 0
0f
g= e
g ln f0 · ∞
Równanie stycznej do wykresu funkcji:
Je±li funkcja f jest ró»niczkowalna w punkcie x
0to istnieje niepionowa styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x
0, y
0) postaci:
y − y
0= f
0(x
0)(x − x
0).
Asymptoty funkcji a) Asymptota pionowa
Prosta x = x
0jest asymptot¡ pionow¡ lewostronn¡ (prawostronn¡) wykresu funkcji f(x), je±li lim
x→x−0
f (x) = ±∞ ( lim
x→x+0
f (x) = ±∞)
Mówimy, »e prosta x = x
0jest asymptot¡ obustronn¡ funkcji f(x) gdy jest jednocze±nie asymptot¡
lewostronn¡ i prawostronn¡.
Rysunek 1: asymptota pionowa x = x
0a)lewostronna b)prawostronna c)obustronna b) Asymptota pozioma
Prosta y = y
0jest asymptot¡ poziom¡ lewostronn¡ (prawostronn¡) wykresu funkcji f(x), je±li
x→−∞
lim f (x) = y
0x→+∞
lim f (x) = y
0,
gdzie y
0∈ R.
Mówimy, »e prosta y = y
0jest asymptot¡ poziom¡ obustronn¡ funkcji f(x) gdy jest jednocze±nie asymptot¡ poziom¡ lewostronn¡ i prawostronn¡.
Rysunek 2: asymptota pozioma y = y
0a)lewostronna b)prawostronna c)obustronna c) Asymptota uko±na
Prosta y = ax + b gdzie (a, b ∈ R, a 6= 0) jest asymptot¡ uko±n¡ lewostronn¡ (prawostronn¡)
wykresu funkcji f(x), je±li lim
x→−∞
[f (x) − (ax + b)] = 0 ( lim
x→+∞
[f (x) − (ax + b)] = 0 ), gdzie a = lim
x→∓∞
f (x)
x i b = lim
x→∓∞
[f (x) − ax].
Uwaga. Granice a, b musz¡ by¢ wªa±ciwe.
Mówimy, »e prosta y = y
0jest asymptot¡ poziom¡ obustronn¡ funkcji f(x) gdy jest jednocze±nie asymptot¡ poziom¡ lewostronn¡ i prawostronn¡.
Rysunek 3: asymptota uko±na y = ax + b a)lewostronna b)prawostronna c)obustronna Uwaga. Istnienie asymptoty poziomej wyklucza istnienie asymptoty uko±nej.
Badanie przebiegu zmienno±ci funkcji (etapy):
1) wyznacz dziedzin¦ funkcji,
2) zbadaj podstawowe wªasno±ci funkcji tj. parzysto±¢, nieparzysto±¢, okresowo±¢, punkty prze- ci¦cia wykresu funkcji z osiami wspóªrz¦dnych,
3) wyznacz asymptoty (pionowe, poziome, uko±ne) oraz oblicz granice na kra«cach przedziaªu okre±lono±ci i w otoczeniu punktów nieci¡gªo±ci (granice jednostronne),
4) zbadaj pierwsz¡ pochodn¡, a) oblicz pochodn¡ funkcji,
b) wyznacz miejsce zerowe-tu mog¡ by¢ ekstrema lokalne funkcji,
c) okre±l znak pochodnej wyznaczamy przedziaªy monotoniczno±ci oraz ekstrema lokalne funkcji,
5) zbadaj drug¡ pochodn¡;
a) wyznacz miejsca zerowe- tu mog¡ by¢ punkty przegi¦cia,
b) okre±l znak drugiej pochodnej-wyznaczamy przedziaªy wkl¦sªo±ci i wypukªo±ci funkcji oraz punkty przegi¦cia funkcji,
6) zbierz otrzymane informacje o funkcji w tabeli
7) sporz¡d¹ wykresu funkcji.
Zadania
1. Korzystaj¡c ze wzorów na pochodn¡ funkcji elementarnych, oblicz:
1) f (x) = 5x
23− 3x
52+ 2x
−32) f (x) =
13x
3−
32x
4+
135x
63) f (x) = √
5x
34) f (x) = (4x
2− 2x √
x)(2x + √
x) 5) f (x) = 3
xx
3+ x
2log
5x 6) f (x) = 2
x3
x+ x
2− 1 7) f (x) =
x4√ x3
√4
x
8) f (x) =
sin x+cos xsin x−cos x
9) f (x) =
x22x−3x+12+410) f (x) =
2x−1311) f (x) = e
x2+412) f (x) = cos 2x 13) f (x) = (5x − x
5)
1014) f (x) = √
x
2+ 2x − 10 15) f (x) = tg
2(3x − 4) 16) f (x) = ln
5 3x+4x2+117) f (x) = x
2cos e
3x18) f (x) = 5
sin x19) f (x) = 6 √
arctg x 20) f (x) = ln q
1+sin x
1−sin x
21) f (x) = ln arctg e
2x2. Dla funkcji danych wzorem f(x) = ln tg x
2, g(x) = √
5x
3oblicz f
0(x), g
0(x) oraz f
0( p
π4
), g
0(0).
3. Oblicz pochodn¡ a» do 6 rz¦du z funkcji:
a) y = e
2x, b) y = x
6− 4x
3+ 15x
2− 16x + 5 , c) y = cos x.
4. Oblicz podane granice korzystaj¡c z reguªy de L'Hospitala:
a) lim
x→2 x2−4
x−2
, b) lim
x→0 sin 5x
x
, c) lim
x→0 sin 2x
sin 3x
, d) lim
x→0 x−sin x
x3
, e) lim
x→+∞
ln x
x
, f) lim
x→+∞
x3−2x+1
4x3+2
, g) lim
x→+∞
x4
ex2
, h) lim
x→0+
x ln x, i) lim
x→2+
(x − 2)e
x−21, j) lim
x→0−
(
x sin x1−
x12), k) lim
x→1
x
x−11, l) lim
x→0+
tg x · ln x, 5. Wyznaczy¢ wszystkie mo»liwe asymptoty podanych funkcji (pozioma, pionowa, uko±na):
(a) f (x) =
1−x1 2(b) f (x) =
4x+32x+4(c) f (x) =
xx32+8−4(d) f (x) =
x2x−62−4. 6. Napisz równanie stycznej do wykresu danej funkcji w podanym punkcie:
a) y = x
2+ 5x − 1, (x
0, y
0) = (1, 5), b) y =
3x−42x−3, (x
0, y
0) = (2, 2), c) y = √
1 + x
3, w punkcie o rz¦dnej y
0= 3, d) y = 2 √
x
2+ 5; w punkcie o odci¦tej x
0= 2, e) y =
x8x−12−2x, w punkcie o odci¦tej x
0= 1 f) y = x
3− 7 √
x; w punkcie o odci¦tej x
0= 1.
7. Oblicz jaki k¡t tworzy z osi¡ OX styczna do krzywej y = x
2− 3x − 6 w x = 1.
8. Wyznacz ekstrema lokalne i zbadaj monotoniczno±¢ poni»szych funkcji:
a) f(x) = −x
3+ x
2− x , b) f(x) = x
5− 15x
3, c) f(x) = 3x
4− 20x
3+ 48x
2− 48x − 2, d) f(x) = 5x √
x + 9, e) f(x) = x √
4x − x
2, f) f(x) =
(x−1)3x22, g) f(x) =
xx22−4+4, h) f(x) =
4x4x2−3x−12+1, i) f(x) =
(x+2)x+32, j) f(x) =
ln xx, k) f(x) = 2x
2− ln x, l) f(x) = x
2e
−x. 9. Okre±l przedziaªy wypukªo±ci i punkty przegi¦cia funkcji:
a) f(x) = 2x
3+ 3x
2− 4x + 10, b) f(x) =
1+x12, c) f(x) = x
2ln x,
d) f(x) = arctg
x1, e) f(x) =
x2x−1, f) f(x) = x
4− 4x
3+ 4x
2. 10. Wyznacz ekstrema globalne funkcji na odpowiednich przedziaªach:
a) f(x) = 2x
3− 3x
2+ 1, x ∈ [0, 10] , b) f(x) =
x1+ 4x
2, x ∈ [
14, 1] . 11. Zbadaj przebieg zmienno±ci funkcji:
a) f(x) = x
3+ x
2− 16x − 16 b) f(x) = x
4− 2x
2+ 3 c)f(x) =
x2x2−42, d) f(x) =
3−xx2, e) f(x) =
2x2x−2x+12−x.
12. Korzystaj¡c z ró»niczki funkcji obliczy¢ przybli»one warto±ci podanych funkcji:
a) √
37.999, b) arctg 1, 005, c) sin 29
0, e) e
0,04, f )
√3,981De nicja 1. (iloraz ró»nicowy)
Niech x
0∈ R oraz niech funkcja f(x) b¦dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu O(x
0; r) , gdzie r > 0. Ilorazem ró»nicowym funkcji f(x) w punkcie x
0odpowiadaj¡cym przyrostowi argumentu o
|∆x| gdzie 0 < |∆x| < r, nazywamy:
∆f
∆x = f (x
0+ ∆x) − f (x
0)
∆x .
∆f nazywamy przyrostem warto±ci funkcji, a ∆x przyrostem argumentu.
Uwaga 1. Iloraz ró»nicowy jest tangensem k¡ta nachylenia siecznej wykresu funkcji f przechodz¡- cej przez punkty (x
0; f (x
0)) i (x
0+ ∆x; f (x
0+ ∆x)) do dodatniej cz¦±ci osi Ox.
De nicja 2. (pochodna funkcji w punkcie)
Je±li funkcja f : D → R, D ⊂ R okre±lona jest w pewnym otoczeniu punktu x
0∈ D i istnieje granica ilorazu ró»nicowego:
f
0(x
0) = lim
∆x→0
f (x
0+ ∆x) − f (x
0)
∆x ,
to granic¦ f
0(x
0) nazywamy pochodn¡ funkcji f(x) w punkcie x
0. Asymptoty funkcji
a + ∞ = ∞, −∞ < a ≤ ∞ a · ∞ = ∞, 0 < a ≤ ∞
a
∞
= 0, −∞ < a < ∞
0a+= ∞, 0 < a ≤ ∞
a
0+
= −∞, −∞ ≤ a < 0
0a−= −∞, 0 < a ≤ ∞
a
0−
= ∞, −∞ ≤ a < 0
a
∞= 0, 0
+≤ a < 1 a
∞= ∞, 1 < a ≤ ∞
∞
a= 0, −∞ ≤ a < 0 ∞
a= ∞, 0 < a ≤ ∞ Przykªad. Zbadaj istnienie asymptot dla funkcji
f (x) = 2x − 5
x − 3 .
Rozwi¡zanie:
a) asymptota pionowa Poniewa» dziedzin¡ funkcji f(x) jest zbiór R\{3}, wi¦c asymptota pionowa mo»e istnie¢ tylko w x
0= 3. Liczymy odpowiednie granice jednostronne. Poniewa»:
lim
x→3−
f (x) = lim
x→3− 2x−5
x−3
=
10−
= −∞;
oraz lim
x→3+
f (x) = lim
x→3+ 2x−5
x−3
=
10+
= +∞;
St¡d istnieje granica lewostronna i prawostronna pionowa x = 3, Zatem istnieje granica obustronna pionowa x = 3.
b) asymptota pozioma W celu zbadania asymptoty poziomej liczymy granice:
x→−∞
lim f (x) = lim
x→−∞
2x−5
x−3
= lim
x→−∞
x(2−x5)
x(1−x3)
= lim
x→−∞
2−5x 1−3x
= 2 oraz
x→+∞
lim f (x) = lim
x→+∞
2x−5
x−3
= lim
x→+∞
x(2−x5)
x(1−x3)
= lim
x→−∞
2−5x 1−3x
= 2
St¡d istnieje granica lewostronna i prawostronna pozioma y = 2, Zatem istnieje granica obustronna pozioma y = 2.
c) asymptota uko±na brak asymptoty uko±nej, gdy» istnieje asymptota pozioma.
Przykªad. Zbadaj istnienie asymptoty pionowej, uko±nej dla funkcji
f (x) = x
3+ 1 x
2+ 1 . Rozwi¡zanie:
a) asymptota pionowa Poniewa» dziedzin¡ funkcji f(x) jest zbiór R wi¦c asymptota pionowa nie istnieje
b) asymptota pozioma W celu zbadania asymptoty poziomej liczymy granice:
x→−∞
lim f (x) = lim
x→−∞
x3+1
x2+1
= lim
x→−∞
x2(x+ 1
x2) x2(1+1
x2)
= lim
x→−∞
x+1
x2
1+ 1
x2
= −∞;
oraz
x→+∞
lim f (x) = lim
x→+∞
x3+1
x2+1
= lim
x→+∞
x2(x+ 1
x2) x2(1+1
x2)
= lim
x→+∞
x+1
x2
1+ 1
x2
= +∞.
St¡d nie istnieje ani granica lewostronna, ani prawostronna pozioma.
c) asymptota uko±na W celu zbadania asymptoty uko±nej liczmy granice (jednocze±nie dla −∞
oraz dla +∞): a = lim
x→−∞
f (x)
x
= lim
x→±∞
x3+1
x3+x
= lim
x→−∞
x3(1+ 1
x3) x3(1+ 1
x2)
= lim
x→−∞
1+ 1
x3
1+ 1
x2
= 1.
Jest to granica wªa±ciwa wi¦c liczymy b :
x→±∞
lim f (x) − ax = lim
x→±∞
x3+1
x2+1
− 1 · x = lim
x→±∞
x3+1−x3−x
x2+1
= lim
x→±∞
−x+1
x2+1
= lim
x→±∞
x2(−1x +1
x2) x2(1+1
x2)
