dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I0.inż. 18 października 2014
Układy równań liniowych
Informacje pomocnicze
Definicja. Układ równań liniowych
A · X = B,
w którym A jest macierzą kwadratową nieosobliwa (detA 6= 0) nazywa się układem Cramera.
Twierdzenie. Układ Cramera posiada dokładnie jedno rozwiązanie:
x1 x2 ... xn
= 1
det A
det A1 det A2
... det An
,
gdzie wyznaczniki det Aj, j = 1, 2, . . . n otrzymujemy poprzez zastąpienie w macierzy A j−tej kolumny kolumną wyrazów wolnych.
Rozważmy teraz ogólna postać układu m równań liniowych z n niewiadomymi postaci:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
... ... ... ...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
, (U RL)
gdzie aij, bi ∈ R dla każdego i ∈ {1, 2, . . . m}, j ∈ {1, 2, . . . n}.
Twierdzenie.(Kroneckera-Capellego)
Układ równań liniowych (U RL) posiada co najmniej jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy rz A = rz AU (tzn. rząd macierzy głównej tego układu jest równy rzędowi jego macierzy uzupeł- nionej). Ponadto, jeśli:
• rz A = rz AU = n to układ dokładnie jedno rozwiązanie(oznaczony);
• rz A = rz AU < n to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań (nieoznaczony) zależnych od n − r, gdzie r = rz A;
• rz A 6= rz AU, to układ ten nie posiada rozwiązań i nazywamy go sprzecznym.
Operacje elementarne w metodzie eliminacji Gaussa
Uwaga! Poniższe operacje elementarne są wykonywane jedynie na wierszach (w przeciwień- stwie do operacji elementarnych wykonywanych na macierzach, za pomocą których wyznaczaliśmy rząd macierzy).
1
dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I0.inż. 18 października 2014
Operacje elementarne wykonywane na wierszach rozszerzonej macierzy układu równań liniowych AU:
• mnożenia dowolnego wiersza przez liczbę różną od 0;
• zamiany między sobą dwóch wierszy;
• dodania do dowolnego wiersza innego wiersza przemnożonego przez dowolną liczbę.
• skreślenie wiersza złożonego z samych zer;
• skreślenie wiersza proporcjonalnego do innego wiersza.
Zadania
1. Stosując wzory Cramera rozwiąż poniższe układy równań liniowych:
(a)
2x + y = −1
−x + 3y = 11 (b)
x + 3y − 4z = 0 2x − y + z = 2 5x + y − 3z = −1 (c)
−3x + 5y + 5z = 16 17x − 6z = 15
−x + 8y + 6z = 25
(d)
x + y + 2z = 5 x + y + z = 6 2x + y + z = 3
(e)
x + 2y + 3z = 14 3x + y + 2z = 11 2x + 3y + z = 11
(f)
x + 2y + 3z − 2w = 6 2x − y − 2z − 3w = 8 3x + 2y − z + 2w = 4 2x − 3y + 2z + w = −8
2. Korzystając z twierdzenia Kroneckera - Capelliego w podanych układach równań liniowych określić liczbę rozwiązań oraz parametrów równania:
(a)
x + y − 4z = 0 2x + 2y − 8z = 1 5x + 5y − 20z = 3
(b)
x − 3y + z = 0 2x + y − z = 1 5x − y − z = 2 x − 10y + 4z = −1
x + y + 2z = 1
(c)
x − y + 2z − t = 1 2x − 3y − z + t = −1
x + 7y − t = 4
(d)
7x − 18y − 18z = −30 2x − 9y − 18z = −36 4x − 9y − 6z = −6
−7x + 9y − 12z = −34
(e)
−5x − 9y + 6z = −16 4x − 3y + 15z = 4
−10x − 18y + 12z = −32
(f)
7x + 13y − z = −10 7x + 15y + z = −24
−6x − 6y − 10z = 8 11y − 17z = −15
(g)
x + 2y + 3z = 0
−x + y − 2z = 1 x + 5y + 4z = 0
(h)
x + 2y + 3z − 2t + u = 4 3x + 6y + 5z − 4t + 3u = 5 x + 2y + 7z − 4t + u = 11 2x + 4y + 2z − 3t + 3u = 6
2
dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I0.inż. 18 października 2014
3. Stosując metodę eliminacji Gaussa rozwiązać podane układy równań:
(a)
4x + y + z − t = 10 y + 3z + t = 8 x − 2y − 2z + 2 = 4
(b)
x + 2y + z + t = 7 2x − y − z + 4t = 2 5x + 5y + 2z + 7t = 1
(c)
x − 2y + z = 4 x + y + z = 1 2x − 3y + 5z = 10 5x − 6y + 8z = 19
(d)
2x + 3y + 2z − t = 3 2x + y + z + 2s + 3t = 6
3x − z + s + t = 3 y + 4s + t = 1 2x + y + z − 2s + 5t = 8
(e)
x + y + z + u + v = 1 x − y + z − u + v = 5 x + z + v = 3 x + y + v = 1
(e)
x + y + z + t = 4 2x − y + z = 2 4x + y + 3z + 2t = 8 3x − 3y + z − t = 0 4. W zależności od parametru a określ liczbę rozwiązań podanych układów równań:
(a)
ax + y + z = 1 x + ay + z = 1 x + y + az = 1
(b)
x + y + z = 1 ax + y + z = 2 x + y + az = 4
(c)
x + az = 1 x + 2y + z = 4 x + 3y − z = 0 3x + 8y − z = 4
5. Producent do wykonania pewnego podzespołu używa czterech różnych elementów. Elementy te zostały dostarczone w czterech partiach w ilościach uwidocznionych w tabelce:
element a b c d kwota do zapłaty
dostawa 1 10 5 5 15 140
dostawa 2 10 10 5 10 135
dostawa 3 5 20 15 5 185
dostawa 4 5 10 10 20 175
Jaka była cena poszczególnych elementów, jeżeli ceny za dostawy zapisane są w ostatniej kolumnie?
Odpowiedzi:
1. a)
(x = −2,
y = −3; b)
x = 117, y = 437, z = 5;
c)
x = 3, y = −1, z = 6
d)
x = −3, y = 10, z = −1;
e)
x = 1, y = 2, z = 3;
f)
x = −2, y = 1, z = 2, w = −1.
2. a) brak rozwiązań, b) jedno rozwiązanie, c) nieskończenie wiele rozwiązań, 1 parametr, d) nieskończenie wiele rozwiązań, 2 parametry, e) brak rozwiązań, f) jedno rozwiązanie, g) brak rozwiązań, h) nieskończenie wiele rozwiązań, 2 parametry.
3. a)
x = 2, y = 2a − 1, z = −a + 3, t = a.
b)brak rozwiązań, c)
x = 1, y = −1, z = 1.
d)
x = 1, y = 0, z = 1, s = 0, t = 1
e)
x = a − b + 3, y = −a − 2, z = −a, u = a, v = b e) brak rozwiązań.
4. a) a = 1 nieskończenie wiele rozwiązań, dwa parametry, a = −2 brak rozwiązań, a ∈ R \ {−2, 1}
jedno rozwiązanie; b) a = 1 brak rozwiązań, a 6= 1 jedno rozwiązanie; c) a = 5 brak rozwiązań, a-5 jedno rozwiązanie.
5. a = 5, b = 2, c = 7, d = 3.
3
