Widmo energetyczne neutrin i antyneutrin elektronowych w stanie NSE

(1)

Widmo energetyczne neutrin i antyneutrin

elektronowych w stanie NSE

Andrzej Odrzywolek

Instytut Fizyki UJ, Zakład Teorii Względności i Astrofizyki

08.09.2008, środa, 13:15

(2)

Źródła neutrin i antyneutrin

Źródła neutrin na Ziemi

1 reaktory jądrowe

2 skorupa, płaszcz i jądro Ziemi

3 akceleratory

4 materiay β-radioaktywne

5 neutrina atmosferyczne Kosmiczne źródła neutrin

1 Słońce

2 supernowe, rozbłyski gamma i nowe (w tym rentgenowskie)

3 gwiazdy, białe karły i gwiazdy neutronowe

4 dyski akrecyjne

5 kosmologiczne neutrina reliktowe (supernowe i wielki wybuch)

(3)

Co wiemy na temat emisji neutrin z rozpoznanych źródeł?

Neutrina jako mechanizm chłodzenia

1 Szczegółowa i dobrze ugruntowana wiedza

2 większość procesów opisana już w latach 60-tych w ramach modelu Fermiego

3 po ugruntowaniu modelu Weinberga-Salama i SN1987A jeden z najsolidniejszych fundamentów współczesnej astrofizyki

Średnia energia neutrin

1 pomimo, że prace oryginalne często zawierają tego typu informacje, modele astrofizyczne zwykle ją pomijają

2 wyjątek stanowią rekacje β z udziałem jąder, gdzie średnia energia i strumień neutrin są niezbędne aby równocześnie oszacować chłodzenie neutrinowe i neutronizację materii

3 bywa że średnia energia jest „zgadywana”; zwykle błędnie

(4)

Po co nam widmo energetyczne neutrin?

Kiedy strumień i średnia energia nie wystarczają?

1 oddziaływanie (podgrzewanie) neutrinowe

2 transport neutrin

3 oscylacje neutrin

4 nukleosynteza z udziałem neutrin

5 katalizowane antyneutrinami spalanie wodoru

6 detekcja neutrin w detektorach

(5)

Dotychczasowe prace zawierające widmo neutrin

Bardzo precyzyjnie znane widmo energetyczne

1 neutrina Słoneczne

2 geoneutrina

3 rozpady β pojedynczych jąder w warunkach laboratoryjnych Znane widmo energetyczne

1 neutrina reliktowe

2 neutrina reaktorowe

3 neutrina z kolapsu grawitacyjnego Znane średnie energie/ rozkład na zapachy

1 złaczenia gwiazd neutronowych

2 protogwiazdy neutronowe

(6)

Procesy produkujące neutrina

Procesy termiczne

1 anihilacja par: e⁺+ e⁻ → ν + ¯ν

2 rozpad plazmonu: γ∗ → ν + ¯ν

3 fotoprodukcja: γ + e⁻ → e⁻+ ν + ¯ν

4 brehmstrahlung, rekombinacja (A, Z )^∗→ (A, Z ) + ν + ¯ν Procesy jądrowe

e⁻+ (A, Z ) −→ (A, Z −1) + ν_e

↑ ↓

ν¯e+ e⁻+ (A, Z ) ←− (A, Z −1) e⁺+ (A, Z −1) −→ (A, Z ) + ¯νe

↑ ↓

ν_e+ e⁺+ (A, Z −1) ←− (A, Z )

(7)

Przykład: protony i neutrony

Proces URCA z udziałem nukleonów

(A = 1, Z = 1) ≡¹H ≡ p, (A = 1, Z = 0) ≡ n

e⁻+p −→ n + ν_e ν¯_e+ e⁻+ p ←− n

e⁺+n −→ p + ¯νe

νe+ e⁺+n 8 p

Różnica masy Q = 1.3 MeV (neutron jest cięższy!)

Dla jąder atomowych zdarza się że rozpad jest możliwy nawet gdy produkt jest cięższy o ile stan początkowy jest wzbudzony i jego energia E > Q + me !

(8)

Rozpad swobodnego neutronu

Szybkość rozpadu neutronu λ_n ∝ |M|²

Z

δ(E_e+ E_ν_¯_e − Q)d³p_ed³p_¯_ν_e Uwagi metodyczne:

1 funckja δ (zasada zachowania energii) może być wykorzystana aby z całki wyeliminować energię i pęd antyneutrina lub elektronu

2 100% podręczników i większość publikacji eliminuje antyneutrina i całkuje po energii elektronu

3 jeżeli postapimy przeciwnie zyskujemy (1) znacznie prostsze granice całkowania (2) widmo energetyczne antyneutrin (3) zamiast 4 różnych wzorów właściwie jedno wyrażenie dla β⁻, β⁺, ⁻, ⁺

(9)

Rozpad swobodnego neutronu c.d.

Szybkość rozpadu neutronu

Pamiętając, że : d³pe ∝ p_e²dpe, d³pν_¯e ∝ p²_¯_ν

edpν_¯e, E_e²= p_e²+ m²_e, E_ν_¯_e ' p_ν_¯_e oraz E_e+ E_ν_¯_e = Q mamy:

λ_n≡ ln 2 t¹

2

∝ |M|²

Z Q−me

0

E_ν²_¯_e(Q − E_ν_¯_e) q

(Q − E_ν_¯_e)²− m²_e d E_¯_ν_e

element macierzowy |M|² przejścia n → p jest bezpośrednio zwiazany z czasem połowicznego rozpadu neutronu t1

2, mierzonym doświadczalnie

ten sam element macierzowy występuję w wychwycie pozytonu przez neutron i elektronu przez proton jeżeli neutrony są zanurzone w gazie elektronowym, to produkty rozpadu (e⁻) nie będą miały dowolnych energii, gdyż „nie ma na nie miejsca”: stany końcowe są już obsadzone

(10)

Blokowanie produkowanych elektronów

Godne uwagi przekształcenie 1 − 1

1 + e^x = e^x

1 + e^x = 1 e^−x

1

1 + e^x = 1 1 + e^−x

Blokowanie elektronów produkowanych w rozpadzie β⁻

Jeżeli część stanów końcowych jest już zajęta przez elektrony w równowadze termodynamicznej, to na rozpad zostaje:

d³pe → d³pe

1 − 1

1 + e^(E^e^−µ^e^)/kT

Ponieważ E_e = Q − E_ν_¯_e mamy:

1 − 1

1 + e^(E^e^−µ^e^)/kT = 1

1 + e^(E^νe^¯ ^−Q+µ^e^)/kT

(11)

Ogólna postać widma energetycznego z rozpadu neutronu

d λ_n

d E_ν_¯_e = ln 2 t1

2

1 m⁵_e

E_ν_¯²_e(Q − E_ν_¯_e)^q(Q − E_ν_¯_e)²− m_e² 1 + exp^E^¯^νe^−Q+µ_kT ^e

Θ(Q − m_e− E_ν_¯_e)

Widmo energetyczne d λn/d Eν¯e wyrażone w MeV⁻¹ s⁻¹, jeżeli wsystkie wielkości Q, m_e, µ_e, kT , E_ν_¯_e również są podane w MeV;

czas połowicznego rozpadu neutronu t¹

2 ' 1083. . . 1187 sekund.

(12)

Widma antyneutrin dla procesu pn-URCA

Rozpad β⁻:

d λ

d E_ν_¯_e = ln 2 t¹

2

1 m⁵_e

E_ν_¯²

e(Q − E_ν_¯_e)^q(Q − E_ν_¯_e)²− m_e² 1 + exp^E^¯^νe^−Q+µ_kT ^e

Θ(Q − m_e− E_ν_¯_e)

Wychwyt e⁺ :

d λ d Eν¯e

= ln 2 t¹

2

1 m⁵_e

E_ν_¯²

e(E_ν_¯_e − Q)^q(E_ν_¯_e − Q)²− m_e² 1 + exp^E^¯^νe^−Q+µ_kT ^e

Θ(E_ν_¯_e − Q − m_e)

Ponieważ obydwa procesy, β⁻ i ⁺ operują równocześnie widmo jest faktycznie sumą powyższych wyrażeń.

(13)

Widma neutrin dla procesu pn-URCA

Rozpad β⁺ jest niemożliwy, ale wzór formalnie istnieje i jest poprawny – daje tożsamościowo zero:

d λ

d E_ν_e = ln 2 t1

2

1 m⁵_e

E_ν²

e(−Q − E_ν_e)^q(−Q − E_ν_e)²− m²_e 1 + exp^E^νe^−Q+µ_kT ^e

Θ(−Q−m_e−E_ν_e) ≡ 0

Wychwyt e⁻ :

d λ

d E_ν_e = ln 2 t¹

2

1 m⁵_e

E_ν²

e(E_ν_e + Q)^q(E_ν_e + Q)²− m_e² 1 + exp^E^νe^+Q−µ_kT ^e

Θ(E_ν_e + Q − m_e)

Widmo w tym wypadku pochodzi w całości od wychwytu elektronu.

(14)

4 w 1

Formalnie można zapisać wszystkie 4 widma neutrin i antyneutrin elektronowych dla pary URCA o różnicy mas Q w jednym wzorze:

d λ d Eν

= ln 2 t¹

2

1 m⁵_e

±E_ν²(E_ν± Q)^q(E_ν ± Q)²− m²_e 1 + exp^E^ν^±Q±µ_kT ^e

Θ(±E_ν ± Q − m_e)

ale praktyka pokzauje, że lepiej mieć je wszystkie cztery zapisane osobno . . .

(15)

Widmo neutrin słonecznych w ekstremalnych warunkach

7Be + e⁻→⁷Li + ν_e

Φ(Eν_e, Q, kT , µe) =E_ν²_e(Eν_e− Q)p(Eν_e− Q)²− me2

1 + exp (Eν_e− Q − µe)/kT Θ(Eν_e− Q − me)

0 500 1000 1500 2000 2500

0 1. ´ 10^-155 2. ´ 10^-155 3. ´ 10^-155 4. ´ 10^-155 5. ´ 10^-155

EΝ @keVD Phasespacefactor@arb.unitsD kT=1.35 keV, Μ=0

0 500 1000 1500 2000 2500

0 1. ´ 10⁹ 2. ´ 10⁹ 3. ´ 10⁹ 4. ´ 10⁹

EΝ @keVD Phasespacefactor@arb.unitsD kT=0.135 MeV, Μ=0

0 500 1000 1500 2000 2500

0 5. ´ 10¹¹ 1. ´ 10¹² 1.5 ´ 10¹² 2. ´ 10¹² 2.5 ´ 10¹²

EΝ @keVD Phasespacefactor@arb.unitsD kT=1.35 keV, Μ=1 MeV

0 500 1000 1500 2000 2500

0 2. ´ 10¹¹ 4. ´ 10¹¹ 6. ´ 10¹¹ 8. ´ 10¹¹ 1. ´ 10¹² 1.2 ´ 10¹² 1.4 ´ 10¹²

EΝ @keVD Phasespacefactor@arb.unitsD kT=0.135 MeV, Μ=1 MeV

(16)

Dodatkowe komplikacje dla jąder

Uwaga pojęciowa

Z punktu widzenia mechaniki kwantowej rozróżnienie pomiędzy stanami wzbudzomymi danego jądra a różnymi jądrami to sprawa wygodnego nazewnictwa i pojęć fizycznych. Jeżeli jednak

potraktujemy każdy stan wzbudzony jako inne jądro atomowe, to wszystkie wzory są identyczne jak dla pary proton-neutron !

Widmo neutrin/antyneutrin identyczne jak dla p(n) z tym, że:

Q ≡ ∆Q = E_i − E_j gdzie E_i, E_j energie stanu wzbudzonego jądra początkowego i końcowego zawierające masy jąder. W ogólności wszystkie reakcje mogą być możliwe:

e⁻+ (A, Z )^∗ → (A, Z − 1)^∗+ ν_e e⁺+ (A, Z )^∗ → (A, Z + 1)^∗+ ¯νe

(A, Z )^∗ → (A, Z − 1)^∗+ e⁺+ ν_e (A, Z )^∗ → (A, Z + 1)^∗+ e⁻+ ¯ν_e

(17)

Zawartość p, n i jąder oraz obsadzenia stanów

wzbudzonych

Dotychczas pomijaliśmy celowo istotne pytanie: Aby obliczyć strumień νe/¯νe pochodzący od np. neutronów musimy wiedzieć ile ich jest. Skąd wziąć abundancje?

Np: jeżeli w materii nie ma neutronów, to emisja (widmo) antyneutrin jest równa tożsamościowo zero niezależnie od tego jakie wartości przyjmuje temperatura (kT) i potencjał chemiczny (µ)!

ponieważ interesują nas stany wzbudzone musimy też znać prawdopodobieństwo ich obsadzenia

W znakomitej większości wypadków (np. Słońce) odpowiedź polega na licznych założeniach oraz modelach numerycznych opisujących ewolucję od momentu powstania obiektu, aż do momentu obserwacji. Godny uwagi wyjątek to NSE.

(18)

Co to jest NSE ?

Nuclear Statistical Equilibrium - „nuklearna równowaga

statystyczna” została wprowadzona do astrofizyki przez Hoyle’a i Fowlera, a w formie prezentowanej niżej przez Clifforda&Taylera.

Definicja NSE

NSE to stan materii (fotony, elektrony, pozytony, nukleony i jądra atomowe) który daje minimalną wartość energii swobodnej, przy ustalonych wartościach gęstości ρ, temperatury T oraz stosunku całkowitej liczby elektronów do liczby barionów Ye. Ye przyjmuje wartości pomiędzy 0 a 1.

NSE jest więc rozwiązaniem matematycznym które daje abundancje wszystkich (!) nuklidów. Fizyczne NSE wymaga:

1 utrzymania stałych wartości ρ, T , Ye przez odpowiednio długi czas

2 istnienia reakcji które będą w stanie przeprowadzić układ do stanu równowagi

(19)

Czy przybliżenie NSE jest fizycznie uzasadnione?

ad. „utrzymania stałych wartości ρ, T , Ye przez odpowiednio długi czas”

dla SN Ia i T > 6 × 10⁹ czas wymagany do osiągnięcia NSE wynosi około 10⁻⁴ sekundy. Cała eksplozja trwa kilka sekund.

W tym czasie Y_e spada od Y_e = 0.5 do około Y_e = 0.47 dla pre-supernowych i i T > 4 × 10⁹ czas wymagany do osiągnięcia NSE wynosi kilka godzin, ewolucja od godzin do tygodni. W tym czasie Ye spada od Ye = 0.5 do około Y_e = 0.43

dla każdej temperatury i gęstości można znaleźć takie Y_e dla którego strumień neutrin i antyneutrin jest identyczny. Wtedy Y˙e = 0, czyli Y_e = const. Strumienie ν_e i ¯νe mogą

przyjmować dowolnie duże wartości w takiej sytuacji bez naruszenia stanu NSE!

(20)

Kinetyczna równowaga β Y

_e

= const

0.2 0.3

0.4 0.4

0.45 0.45

0.45

0.5 0.5

0.55

0.55 0.6

0.6

0.7 0.7

0.8 0.8

0.9

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

6 8 10 12 14

(21)

Czy przybliżenie NSE jest fizycznie uzasadnione?

ad. istnienia reakcji które będą w stanie przeprowadzić układ do stanu równowagi

reakcje zachodzące poprzez oddziaływania silne i

elektromagnetyczne jak fotodezintegracja, wychwyt neutronu, reacje z udziałem ciężkich jonów, cząstek α itp

Komentarz Clifforda&Taylera (1967) : zakładamy, że gdzieś we Wszechświecie musi istnieć miejsce gdzie zachodzi NSE.

Obecnie znamy takie miejsca:

1 supernowe typu Ia

2 pre-supernowe

3 rozbłyski X (wybuchy na pow. gwiazd neutronowych i w dyskach akrecyjnych)

4 skorupy gwiazd neutronowych (aczkolwiek jest to bardzo uproszczony opis)

5 kosmologiczna nukleosynteza (jako poglądowy model)

(22)

Istniejące kody NSE

1 F. X. Timmes (www.cococubed.com, kilkanaście nuklidów)

2 MPA Garching group (kilkanaście nuklidów, równoległy)

3 generator on-line

(http://www.webnucleo.org/pages/nse/0.1/, 3000 nuklidów)

4 UChicago group (447 nuklidów) Ograniczenia istniejących kodów

1 bardzo trudna integracja z bazami danych jądrowych: ręczny parsing lub pliki XML (webnucleo)

2 drastycznie spadająca wydajność przy niskich temperaturach

3 ograniczony zakres Y_e, zwykle Y_e= 0.4 . . . 0.5, dla kolapsu grawitacyjnego Ye = 0.0 . . . 0.5, dla rozbłysków X Y_e< 0.55.

4 konieczność wyliczenia wszystkich abundancji nawet jeżeli potrzebujemy jedną

5 problemy z precyzją numeryczną

(23)

NSE

Równania równowagi

Suma abundancji:

N

X

i =0

Xi = 1

Ilość elektronów na barion:

N

X

i =0

Zi

A_i Xi = Y_e

Abundancje:Xk = 1 2Gk(T )

1 2ρNAλ³

A_k−1

Ak5/2X_n^A^k^−Z^kX_p^Z^ke^Qk^kT.

Jądrowa funkcja rozdziału: G_k(T ) =

imax

X

i =0

(2J_ik+ 1)e⁻^Eik^kT

Układ dwóch równań na zawartość neutronów X_n i protonów X_p

(24)

NSE a bazy Groebnera

Z matematycznego punktu widzenia stan NSE jest opisany układem dwóch równań wielomianowych (niewiadome X_n, X_p) wysokiego stopnia.

Taki system wielomianowy jest potencjalnie rozwiązywalny analitycznie metodami bazy Groebnera. Szczególnie interesujące może być rozwiązanie nad ciałem liczb wymiernych; z fizycznego punktu widzenia rozwiązanie powinno istnieć niezależnie od tego czy parametry są rzeczywiste czy wymierne.

Próby w Mathematice

Niestetym jak dotąd nie udało mi się rozwiązać systemu zawierającego więcej niż 3 nuklidy. Pozostaje rozwiązanie numeryczne . . .

(25)

Zależność stanu NSE od temperatury

protony, neutrony 4He

56Ni ⁵⁴Fe

,,fotodezintegracja ⁴He’’

,,fotodezintegracja ciŒ¿kich j„der’’

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.000

0.500

0.100

0.050

0.010

0.005

0.001

kT@MeVD

Abundancja

Ye=0.5 lg Ρ = 5 kgm³

(26)

Zależność stanu NSE od Y

_e

w pełnym zakresie

80Zn 78Ni

n

53Ar

79Cu 82Ge

66Ni 56Fe

54Fe

56Ni

3Li

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Ye

Abundancja

kT=0.5 MeV, lg Ρ=15.kgm³

(27)

Zależność stanu NSE dla Y

_e

< 0.5

79Cu

78Ni

80Zn 81Ga

82Ge

80Ge

84Se

68Ni ⁶⁶Ni ⁶⁴Ni 58Fe

56Fe 54Fe

56Ni

53Fe

55Co

0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.4 0.41 0.42 0.43 0.44 0.45 0.46 0.47 0.48 0.49 0.5

1.000

0.500

0.100

0.050

0.010

0.005

0.001

Ye

Abundancja

(28)

NSE dla małych gęstości

48Ca n

p 4He

50Ti ⁵⁴Cr

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1.000

0.500

0.100

0.050

0.010

0.005

0.001

Ye

Abundancja

(29)

Nuklidy brane pod uwagę

1 8 16 20 28 50 62

1 8 16 20 28

(30)

Obszary dominacji

Neutrina termiczne (anhilacja, rozpad plazmonu) – czerwony Nukleony - niebieski

Jądra atomowe – zielony

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

6 8 10 12 14

kT @MeVD lgΡ@kgm3D

T₉

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

6 8 10 12 14

kT @MeVD T₉

lgΡYe

Ye=0.1

(31)

Obszary dominacji

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

6 8 10 12 14

kT @MeVD lgΡ@kgm3D

T9

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

6 8 10 12 14

kT @MeVD T9

lgΡYe

Ye=0.399

(32)

Obszary dominacji

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

6 8 10 12 14

kT @MeVD lgΡ@kgm3D

T9

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

6 8 10 12 14

kT @MeVD T9

lgΡYe

Ye=0.449

(33)

Obszary dominacji

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

6 8 10 12 14

kT @MeVD lgΡ@kgm3D

T9

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

6 8 10 12 14

kT @MeVD T9

lgΡYe

Ye=0.499

(34)

Obszary dominacji

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

6 8 10 12 14

kT @MeVD lgΡ@kgm3D

T9

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

6 8 10 12 14

kT @MeVD T9

lgΡYe

Ye=0.55

(35)

Obszary dominacji

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

6 8 10 12 14

kT @MeVD lgΡ@kgm3D

T9

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

6 8 10 12 14

kT @MeVD T9

lgΡYe

Ye=0.87

(36)

Strumień energii (chłodzenie neutrinowe)

(37)

Strumień energii (chłodzenie neutrinowe)

(38)

Strumień energii (chłodzenie neutrinowe)

(39)

Strumień energii (chłodzenie neutrinowe)

(40)

Strumień energii (chłodzenie neutrinowe)

(41)

Strumień energii (chłodzenie neutrinowe)

(42)

Interesujące widma ¯ ν

_e

(wybór)

0.01 0.1 1 10 100

10¹⁸ 10²² 10²⁶ 10³⁰ 10³⁴ 10³⁸

EΝe@MeVD F@s-1MeV-1cm-3D

kT=0.3 MeV, lgΡ=7@kgm³D, Ye=0.5

(43)

Interesujące widma ν

_e

(wybór)

0.01 0.1 1 10 100

10¹⁸ 10²² 10²⁶ 10³⁰ 10³⁴ 10³⁸

EΝ_e@MeVD F@s-1MeV-1cm-3D

(44)

Interesujące widma ν

_e

(wybór)

0.01 0.1 1 10 100

10¹⁸ 10²² 10²⁶ 10³⁰ 10³⁴ 10³⁸

(45)

Interesujące widma ν

_e

(wybór)

0.01 0.1 1 10 100

10¹⁸ 10²² 10²⁶ 10³⁰ 10³⁴ 10³⁸

(46)

Interesujące widma ν

_e

(wybór)

0.01 0.1 1 10 100

10¹⁸ 10²² 10²⁶ 10³⁰ 10³⁴ 10³⁸

(47)

Interesujące widma ν

_e

(wybór)

0.01 0.1 1 10 100

10¹⁸ 10²² 10²⁶ 10³⁰ 10³⁴ 10³⁸

EΝe@MeVD F@s-1MeV-1cm-3D