WYKŁAD 6 3.

WYKŁAD 6 3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ

ZMIENNEJ

3.1. Ciągi liczbowe - ograniczoność, monotoniczność, zbieżność ciągu.

Liczba e. Twierdzenie o trzech ciągach.

3A+B1 (Definicja: nieskończoność). Symbole    definiujemy jako , , symbole formalne spełniające następujące warunki :

1) x      (symbol , x oznacza dowolny);

2) x 0,

  x

 ; 3) x   ,x ,x ; 4)0 , , 0 0

x   x x ; 5)      ; 6) x ,x x      ; ( ) , x

7) ( ) ^,0

, 0

x x

x

   

        ; 8) x 0,

  x

 ;

9) 1

0, ,0 1

x x x

x

 

       ; 10) x^  ,x^ 0;1   ; x 11) (     ; 12) ()^x 0, x 0      . )^x ,0 x

3A+B2 (Uwaga). Wyrażenia 0 ^{0 0}

,0 , , ,1 , ,0 0

 

     

 itp. nazywamy

wyrażeniami nieoznaczonymi.

3A3 (Definicja: otoczenie). Otoczeniem B x (lub ( )₀ O x( )₀ ) punktu x ₀ nazywamy dowolny przedział (otwarty) zawierający ten punkt, w szczególnym przypadku, otoczeniem B x_r( )₀ (lub O x r( , )₀ ) o promieniu r  punktu 0 x₀ nazywamy zbiór B x_r( )₀ ^def(x₀ r x, ₀  . r)

3A4 (Definicja: sąsiedztwa).

4.1. Sąsiedztwem B x( )₀ (lub S x( )₀ ) punktu x ₀ nazywamy dowolny zbiór

0 0 0

( ) ( , ) ( , )

B x   x  x  , gdzie  x₀  , w w szczególnym przypadku, sąsiedztwem B xr( )₀ (lub S x r( , )₀ ) o promieniu r  nazywamy zbiór 0

0 0 0 0 0 0

( ) ( , ) ( , ) ( , )

def

B xr S x r  x r x  x x r .

4.2. Sąsiedztwem (otoczeniem)  nazywamy zbiór B  ( ) ( )

def

S   ( ,N) (M, )

    dla M N M N; ,  .

4.3. Sąsiedztwem  nazywamy zbiór ( ) ( ) ( , ),

def

B    S M   M ; analogicznie ( ) ( ) ( , )

def

B     S N .

3A5 (Definicja: funkcja). Niech X i Y będą dwoma niepustymi zbiorami. Wtedy funkcja f odwzorowująca zbiór X w zbiór Y jest przyporządkowaniem każdemu elementowi x ze zbioru X dokładnie jednego elementu y ze zbioru Y (piszemy wtedy f X:  lub Y X ^f , lub Y y f x x( ),  , przy czym każdy element X x nazywamy argumentem funkcji f, a element y YX  taki, że y f x( ) nazywamy wartością funkcji f dla argumentu x (x nazywamy zmienną niezależną, a y f x( ) zmienną zależną). Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f, a zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji f. Jeżeli X  ,Y  , to funkcje odwzorowujące X w Y nazywamy funkcjami rzeczywistymi jednej zmiennej rzeczywistej lub funkcjami jednej zmiennej, lub funkcjami liczbowymi, lub po prostu funkcjami.

3A6 (Definicja: granica funkcji). Niech f będzie funkcją liczbową określoną przynajmniej na dowolnym sąsiedztwie B x( )₀ punktu x . Wtedy liczba b ₀ (skończona lub nieskończona) jest granicą funkcji f w punkcie x , jeżeli dla ₀ dowolnego otoczeniu ( )B b punktu b istnieje sąsiedztwo B x( )₀ punktu x takie, ₀ że jeżeli xB x( )₀  f x( )B b( ). Zapisujemy to w następującej postaci:

0

lim ( )

x x f x b

  lub

( ) _{x x}0

f x _  , lub ( )b f x  gdy b x , co mówi nam, że x₀ ( )

f x dąży do b gdy x dąży do x . ₀

3A7 (Definicja: ciąg liczbowy). Ciągiem liczbowym (rzeczywistym) nazywamy funkcję odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych ( f :  ). Wartość tej funkcji f n( )^def dla liczby naturalnej n nazywamy n-a_n tym (ogólnym) wyrazem ciągu i oznaczamy przez a_n. Ciąg o takich wyrazach oznaczamy odpowiednio przez (a_n). Zbiór





3A+B8 (Przykłady):

8.1) dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy:

1) sin ; ;_{1 2}; ;_{3 2} ; _{2 1};

n 2 k k k

a  n a a a a a _ a ?

2) 1 _{1 2 3 4 5 6 2 1 2}

; ; ; ; ; ; ; ;

n 2 k k

a En  a a a a a a a _ a ? E(x) – część całkowita liczby x;

8.2) znaleźć wzór określający n-ty wyraz ciągu:

1) (a_n) ( 1,0,1,2,3,...);

2) 1 1 1

( ) 1, , , ,...

2 4 8 an   ; 3) ( )a_n (2,4,...);

4) 1 1 1 1

( ) , , , ,...

2 6 12 20 an   ;

5) (a_n)(1,2,3,4,2007,2008, 2,...).

3A9 (Definicja: ograniczoność). Ciąg (a jest _n)

9.1) ograniczony z dołu, jeżeli ( m )( n ) :a_n m, tzn. zbiór { }a jest _n ograniczony z dołu (symbol  oznacza istnieje);

9.2) ograniczony z góry, jeżeli ( M )( n ) :a_n M , tzn. zbiór { }a jest _n ograniczony z góry;

9.3) ograniczony, jeżeli (m M,  )( n ) :ma_n M , tzn. zbiór { }a jest _n ograniczony.

3A+B10 (Ćwiczenie). Zbadać ograniczoność ciągów 3A+B8 oraz podanych ciągów:

10.1) a_n n²   ; n 2

10.2) 1 1 1

1 2 ...

an

n n n n

   

   ;

10.3) 1

(1 )ⁿ an

  n .

3A11 (Twierdzenie). Ciąg (a jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy _n) ( K 0)( n ) : a_n  . K

Dowód wynika z 3A9, jeżeli Kmax{m M, }.  3A12 (Definicja: monotoniczność). Ciąg (a_n) jest

12.1) rosnący, jeżeli a₁a₂ a₃   ... ( n )a_n a_n1; 12.2) niemalejący, jeżeli a₁a₂ a₃    ... ( n )a_n a_n1; 12.3) malejący, jeżeli ( n )a_n a_n1;

12.4) nierosnący, jeżeli ( n )a_n a_n1.

Ciągi rosnące, malejące, nierosnące i niemalejące nazywamy ciągami monotonicznymi; tak samo nazywany (A+B) ciągi monotoniczne od numeru

n 0 .

3A+B13 (Ćwiczenie). Zbadać monotoniczność (od pewnego miejsca) ciągów podanych w 2A+B8, 2A+B10, oraz ciągu ( )a , gdzie _n a_n n² 6n . 5

Niech  0, ( )B b      dla (b ,b ) b , ( )B       ( , ) ( , ), ( ) ( , ),

B     B    ( ) ( , ). Wtedy z definicji 3A6 wynika 3A14 (Definicja: granica i zbieżność ciągu).

14.1. Granica właściwa ciągu: ciąg jest zbieżny do granicy właściwej b  , co wówczas zapisujemy w następujący sposób lim _n

n

a b



 lub a_n , lub _n b krótko a_n  i mówimy, że b a dąży do b , wtedy i tylko wtedy, gdy _n

( 0)(  n n_ )( n :nn_) a_n   . b 14.2. Granice niewłaściwe ciągu:

1) lim _n

n

a



   ( 0)(  n n_ )( n :nn_) a_n  ;

2) lim _n

n

a



   ( 0)(  n n_ )( n :nn_)a_n  ;

3) lim _n

n

a

    ( 0)(  n n_ )( n :nn_)a_n  .

Ciągi, które mają granice niewłaściwe    nazywamy ciągami , , rozbieżnymi odpowiednio do    (w niektórych podręcznikach takie , , ciągi nazywa się ciągami zbieżnymi do    ). Ciągi, które nie mają , , granicy właściwej ani niewłaściwej nazywamy ciągami rozbieżnymi.

3A+B15 (Twierdzenie o jednoznaczności granicy). Każdy ciąg zbieżny ma dokładnie jedną granicę.

3A+B16 (Fakt). Granica ciągu zbieżnego do granicy właściwej lub niewłaściwej nie zależy od wartości skończenie wielu jego wyrazów.

3A17 (Definicja: podciąg). Podciągiem ciągu (a_n) nazywamy dowolny ciąg ( )b , gdzie _n

n kn

b a i ( )k jest dowolnym rosnącym ciągiem liczb naturalnych: _n

1 2 1

( , ,..., ,...)

n k

a  a a a .

3A+B18 (Twierdzenie o granicy podciągu). Każdy podciąg ciągu zbieżnego (do granicy właściwej lub niewłaściwej) jest zbieżny do tej samej granicy.

3A+B19 (Ćwiczenie). Zbadać zbieżność lub znaleźć granice podanych ciągów:

19.1) a_n q qⁿ,  ; 19.2)

1 1

1

2 2

2

1

0 1

0 0

1

0 1

... , 0, 0

...

m m

m

n m m

m

a n a n a

a a b

b n b n a





  

  

   ;

19.3) a  _n ( 1)ⁿ; 19.4) a  _n ( 2)ⁿ;

19.5) !

n n

a n

 n ; 19.6) sin( )

n 2

a  n .

3A+B20 (Twierdzenie o ograniczoności ciągu zbieżnego). Jeżeli ciąg jest zbieżny do granicy właściwej, to jest ograniczony. Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa (znależć przykład).

3A+B21 (Ćwiczenie: równoważność granic). Uzasadnić, że lim _n 0

n

a



  lim _n 0

n a

  .

3A+B+C22 (Twierdzenie o arytmetyce granic ciągów). Jeżeli ciągi (a i ( )_n) b _n są zbieżne do granic właściwych, to

22.1) lim ( _{n n}) lim _n lim _n

n a b n a n b

      ; 22.2) lim ( _n) lim _n,

n ca cn a c

    ;

22.3) lim ( _{n n}) ( lim _n) ( lim _n)

n a b n a n b

      ;

22.4)

lim

lim lim

n n n

n n n

n

a a

b b







 

 

  , o ile lim _n 0

n b

  ; 22.5) lim ( _n)^p ( lim _n) ,^p

n a n a p Z

    ;

22.6) lim ^k _n ^k lim _n, \ {1}

n a n a k

    .

3A+B23 (Twierdzenie o trzech ciągach (o dwóch policjantach – humor)). Jeżeli ciągi ( )a_n , ( )b_n , ( )c_n spełniają warunki:

n n n

a  b c dla każdego n oraz limn_{0 n} lim _n

n a n c b

    , to istnieje lim _n

n b b

  . Schemat dowodu:

1) lim _n

n a b

    ( 0)( n_ )   b a_n     b , n n_;

2) lim _n

n c b

    ( 0)( m_ )      b c_n b , dla n ,nm_. Stąd wynika, że dla n , nN max{ ,n m_{ }}     to jest b  c_n b ,

lim _n .

n b b

 

 3A+B+C24 (Ćwiczenie). Uzasadnić podane równości:

24.1)

2 2 2

1 1 1

lim 1

1 2

n^ n n n n

 

   

 

  

  ;

24.2) lim ⁿ 1,

n n

  (wskazówka:

2 2

1 /2

2 2 2

( 1) ( 1)

(1 ) ( 1)

2 4 4

n n a nn

n n n n n a n n

a    ^  ^{ } a  ^ n  ^ n n 

0 ⁿ n 1 2

    n ).

3A+C25 (Twierdzenie o ciągu monotonicznym i ograniczonym). Ciąg ograniczony i monotoniczny jest zbieżny. Dokładniej, jeżeli ciąg (a jest _n) niemalejący dla n oraz ograniczony z góry, to jest zbieżny do granicy n₀ właściwej asup{a_n:nn₀}. Podobnie ciąg ( )a nierosnący dla _n n i n₀ ograniczony z dołu jest zbieżny do granicy właściwej inf{a_n:nn₀}.

3A+B26 (Uwaga: definicja kresów zbioru). Niech zbiór A  będzie niepusty.

Wtedy kres dolny inf

def

m A i kres górny sup

def

M  A definiujemy następująco:

inf A  m x m oraz x0  m  dla      x A,  0, x₀ A; supAM  x M oraz x0 M  dla        x A,  0, x₀ A; Jeżeli zbiór A nie jest ograniczony z dołu (góry) to inf

def

A    (sup

def

A   ).

3A+C27 (Twierdzenie  określenie liczby e). Ciąg 1 1

n

en

n

 

   jest rosnący i ograniczony z góry, a zatem jest zbieżny. Granicę tego ciągu oznaczamy przez e:

lim 1 1 2,7182

def n

e n

 n

 

    

Logarytm o podstawie e nazywamy logarytmem naturalnym i oznaczamy przez ln: ( )f x lnx. Funkcję wykładniczą o podstawie e nazywamy eksponentą i oznaczamy przez exp: exp

def x

xe .

3A+C28 (Fakt). Niech ciąg (a będzie rozbieżny do granicy niewłaściwej _n) , lub

   , a ciąg ( )b dąży do 0. Wtedy _n

1 1

lim 1 lim (1 )

n

n a

b

n n n

n

b e

 a 

 

   

 

  .

3A+B29 (Twierdzenie o dwóch ciągach o granicach niewłaściwych). Jeżeli ciągi (a i ( )_n) b spełniają warunki _n a_n  dla każdego n , b_n n , to n₀

1) lim _n lim _n ,

n a n b

       2) lim _n lim _n .

n b n a

      

3A+B30 (Uwaga: dodatek do 3A+B1). Mamy

0 a

   dla 0 a   co jest skróconą wersją twierdzenia:

1) lim , gdzie 0<a +

lim .

2) lim 0, gdzie 0 dla

n n n

n n n n

n

a a a

b b n b







      

Podobnie 0

a

   dla 0 a   oraz x^  dla 00 ^   , itp. x 1

3A+C31 (Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa o ciągach ograniczonych). Jeżeli ciąg jest ograniczony, to ma podciąg zbieżny do granicy właściwej. Jeżeli nie jest ograniczony, to ma podciąg rozbieżny do  lub  .

3A+B32 (Definicja: punkty skupienia ciągu).

32.1. Liczba rzeczywista a jest właściwym punktem skupienia ciągu, jeżeli istnieje podciąg tego ciągu zbieżny do granicy a.

32.2. Symbol  lub  jest niewłaściwym punktem skupienia ciągu, jeżeli istnieje podciąg tego ciągu rozbieżny do   lub .

3A+B33 (Definicja: granica dolna i górna ciągu). Niech S oznacza zbiór punktów skupienia ciągu ( )a_n (właściwych i niewłaściwych). Wtedy 33.1) granicę dolną ciągu (a_n) określamy wzorem lim inf ,

def n n

a S

 

33.2) granicę górną ciągu (a określamy wzorem lim_n) sup .

def

n an S

 

Jeżeli   , S supS  , infS  .

3A+B34 (Ćwiczenie). Znaleźć granice górne i dolne ciągów podane w 3A+B8, 3A+B10, 3A+B13 oraz uzasadnić podane równości:

34.1) lim ( 3)ⁿ ,

n

   lim ( 3)ⁿ ;

n   

34.2) lim _n ,

n

a   lim _n ,

n a

   gdzie

1

(( 1) 1) 2 .

E n n

an

  

 

 

  

3B35 (Definicja: punkty skupienia zbioru). Punkt b (skończony lub nieskończony) nazywamy punktem skupienia zbioru A  , jeżeli każde

otoczenie ( )B b tego punktu ma co najmniej jeden element zbioru A różny od b, tzn.istnieje ciąg ( )a punktów tego zbioru taki, że lim_{n n} .

n a b

 

3B36 (Uwaga). Podobnie można zbadać ciągi ( )c liczb zespolonych _n c , w _n szczególności granicę właściwą c ciągu c , co zapisujemy c = lim_{n n}

n c

 , a definiujemy następująco:

  

c = lim _n 0 ( | _n | )

n c  n n_ n n_ c c 

           ,

gdzie |c_n  oznacza moduł liczby zespolonej c| c_n c.