ALGEBRA M2 - Lista 3 Suma prosta, wartości i wektory własne Zad.1. Wykazać, że
Rn[x] = Lin(w0) ⊕ Lin(w1) . . . ⊕ Lin(wn) gdzie wk(x) = xk dla k ∈ N ∪ {0}.
Zad.2. Wykazać, że R3 = W1⊕ W2, gdzie
W1 = Lin(e1, e2) oraz W2 = Lin(e1+ e2+ e3), oraz e1, e2, e3 są wektorami bazy kanonicznej.
Zad.3. Wykazać, że R3 = W1⊕ W2, gdzie
W1 = {(x1, x2, x3) : x1+ x2+ x3 = 0} oraz W2 = Lin(1, 1, 1)
Zad.4. Znaleźć bazę i wymiar sumy algebraicznej W1+ W2 podprzestrzeni przestrzeni R4, gdzie
W1 = Lin((1, 1, 1, 0, ), (0, 1, 1, 1)) oraz W2 = Lin((0, 1, −1, 2), (2, 1, 1, −1)).
Sprawdzić, czy jest to suma prosta, tzn. czy W1+ W2 = W1⊕ W2.
Zad.5. Niech V = W1⊕W2i niech T1 ∈ L(W1), T2 ∈ L(W2). Sumą prostą przekształceń T1 oraz T2 nazywamy przekształcenie T ∈ L(V ) zdefiniowane wzorem
T (v) = T (w1+ w2) = T1(w1) + T2(w2)
gdzie v = w1+ w2 jest jednoznacznym przedstawieniem wektora v jako sumy wektorów w1 ∈ W1 oraz w2 ∈ W2. Piszemy wtedy T = T1⊕ T2. Skonstruować przykład sumy prostej dwóch nietrywialnych przekształceń liniowych dla zadania 2.
Zad.6. W zadaniu 5 załóżmy, że dim(V ) < ∞. Niech M1 będzie macierzą przek- ształcenia T1 w bazie {e1, . . . , en}, natomiast M2 macierzą przekształcenia T2 w bazie {f1, . . . , fm}. Pokazać, że macierz przekształcenia T1⊕T2w bazie {e1, . . . , en, f1, . . . , fm} ma postać blokowo-diagonalną
M = M1 0 0 M2
Wyznaczyć macierz sumy prostej przekształceń liniowych dla przykładu skonstruowanego w zadaniu 5.
Zad.7. Wyznaczyć rzeczywiste wartości własne i odpowiadające im przestrzenie wek- torów własnych dla macierzy
1 2 2 1
, 2 3 0 2
,
0 0 1 0 1 0 1 0 0
,
1 1 0 2 2 0 0 0 1
,
0 1 0
−2 0 0 0 0 1
1
Zad.8. Wyznaczyć zespolone wartości własne i odpowiadające im przestrzenie wektorów własnych dla macierzy
1 −5 2 −1
,
1 0 0
0 1 −1
0 1 1
,
0 8 0
0 0 −2 2 8 −2
,
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
Zad.9. Wykazać, że jeżeli V jest skończenie wymiarową przestrzenią liniową, to wielo- miany charakterystyczne (a więc także wartości własne) macierzy przekształcenia T ∈ L(V ) we wszystkich bazach są takie same. Wykazać także, że v jest wektorem własnym przekształcenia T wtedy i tylko wtedy gdy wektor vB współrzędnych wektora v w bazie B jest wektorem własnym macierzy MB(T ) przekształcenia T w bazie B.
Zad.10. Dla danego przekształcenia liniowego znaleźć wartości własne i odpowiadaj˛ace im wektory własne:
(a) T : R2 → R2, gdzie T (x, y) = (x + 2y, x − y) (b) T : R3 → R3, gdzie T (x, y, z) = (y, x, z)
(c) T : C3 → C3, gdzie T (x, y, z) = (x + 2y + z, −2x + y, z) Zad.11. Niech T : R2[x] → R2[x], gdzie
(T (f ))(x) = (x + 1)f0(x).
Wyznaczyć wartości własne i wektory własne tego przekształcenia.
Zad.12. Niech T będzie symetrią przestrzeni R2 względem prostej y = x. Korzystając z interpretacji geometrycznej T , odczytać jego wektory własne i wartości własne oraz napisać macierz tego przekształcenia w bazie wektorów własnych.
Zad.13. Wykazać, że liczba zero jest wartością własną macierzy A wtedy i tylko wtedy gdy macierz A jest osobliwa, tzn. detA = 0.
Zad.14. Znając wartości własne macierzy A ∈ Mn(K), wyznaczyć wartości własne macierzy A2 oraz, w przypadku gdy A jest nieosobliwa, macierzy A−1.
Zad.15. Mówimy, że macierz A ∈ Mn(K) ma postać diagonalną (lub, że jest diag- onalizowalna) jeżeli istnieje macierz podobna do A, która jest macierza diagonalną.
Wykazać, że A ma postać diagonalną wtedy i tylko wtedy gdy A ma n liniowo nieza- leżnych wektorów własnych.
Zad.16. Zdiagonalizować macierz rzeczywistą
4 0 6
2 1 4
−1 0 −1
Zad.17. Zbadać, czy istnieje postać diagonalna macierzy rzeczywistej
1 1 0 0 1 0 0 0 2
2
