Kinematyka Kinematyka

Wykład 2

Kinematyka Kinematyka

Wrocław University of Technology

Ruch

Kinematyka podaje opis ruchu bez uwzględniania przyczyn i warunków, w jakich dany ruch powstaje.

Ruch ciała – zmiana połoŜenia w stosunku do innych ciał, które uwaŜamy za nieruchome. Ciała takie nazywa sięukładem odniesienia.

Poruszające sięciało jest cząstką(np. elektron) albo porusza sięjak cząstka (punkt materialny).

Punkt materialny to ciało modelowe, obdarzone pewnąmasąo rozmiarach takich, Ŝe podczas rozwaŜania danego ruchu moŜna zaniedbać(rozmiar zero wymiarowy).

Ruch

Podczas ruchu punkt materialny zmienia swoje połoŜenie w przestrzeni. Zbiór punktów po których porusza sięstanowi tor ruchu.

RUCH

PROSTOLINIOWY KRZYWOLINIOWY

- Płaski - Przestrzenny

Długośćprzebytego odcinka toru stanowi drogęciała.

PołoŜenie i przemieszczenie

PołoŜenie ciała, czyli współrzędnąpunktu, wyznacza sięwzględem pewnego punktu odniesienia, najczęściej początku osi.

POCZĄTEK

KIERUNEK DODATNI

KIERUNEK UJEMNY

ZmianępołoŜenia od punktu x₁do innego punktu x₂nazywa się przemieszczeniem ∆x:

∆x = x

₁

– x

₂

Przemieszczenie jest wektorem (posiada kierunek i wartość!)

Pochodne funkcji elementarnych

0 ) x ( '

f =

Funkcja stała:

f ( x ) = const

Funkcja potęgowa:

f ( x ) = x

ⁿ

f ' ( x ) = n ⋅ x

ⁿ⁻¹

x ) x (

f =

x 2 ) 1 x ( '

f =

x ) x (

f = f ' ( x ) = 1

x ) 1 x (

f =

x

2

) 1 x ( '

f = −

Pochodne funkcji elementarnych

Funkcja wykładnicza:

e

x

) x (

f = f ' ( x ) = e

^x

x ) 1 x ( '

f =

Funkcja logarytmiczna:

x ln ) x (

f =

Funkcje trygonometryczne:

x sin ) x (

f = f ' ( x ) = cos x

x cos )

x (

f = f ' ( x ) = − sin x tgx

) x (

f = 1 tg x

x cos ) 1 x ( '

f =

₂

= +

²

ctgx )

x (

f = 1 ( 1 ctg x )

) x ( '

f = − = − +

²

Prędkość

1

2 x

x x= −

∆

∆ t = t

₂

− t

₁

Prędkość średnia

START STOP

t x t

t x v

_śr

x

∆

= ∆

−

= −

1 2

1 2

Prędkość

Graficzna interpretacja pochodnej

nachylenie krzywej

Nachylenie = prędkośćśrednia

Prędkość

Szybkość średnia

Prędkośćchwilowa

t droga s

_śr

cała

= ∆

dt dx t

t x t t x t

v x

t

x t

=

∆

−

∆

= +

∆

= ∆

→

∆

→

∆

) ( ) lim (

lim

0 0

Prędkośćchwilowa

Przyspieszenie

t v t

t

t v t a

_śr

v

∆

= ∆

−

= −

1 2

1

2

) ( )

(

• Przyspieszenie średnie w określonym przedziale czasu definiuje sięjako zmianęprędkości podzieloną przez zmianęczasu.

• W układzie SI jednostkąprzyspieszenia jest m/s².

Przyspieszenie

Przyspieszenie chwilowe występuje wtedy gdy ∆t => 0

2 2

0

) ) (

(

"

) ) (

( ) ' ( ) lim (

dt t x t d

dt x t t dv t v

t v t t a v

x t

= = = =

∆

−

∆

= +

→

∆

Nachylenie prostej p₁p₂= przyspieszenie średnie

nachylenie w punkcie p₁= przyspieszenie chwilowe w p₁

Ruch jednostajnie przyspieszony

0

0

−

= −

∆

= ∆

t x x t v

_śr

x

2

0x x

śr

v v = v +

t a v

v

_x

=

_0x

+

_x

⋅ ^v

śr

= ( ^v

x

+ ^v

x

+ ^a

x

⋅ ^t ) = ^v

x

+ ^a

x

⋅ ^t 2 1 2

1

0 0

0

t x t x

a

v

_{0x x} ⁰

2

1 ⋅ = −

+

0 0 ²

2 1 a t t

v x

x = +

_x

+

_x

→

t v a

_x

= v

^x

−

^0x

→

Ruch jednostajnie przyspieszony

ZaleŜnośćpomiędzy przemieszczeniem ciała poruszającego się ze stałym przyspieszeniem a prędkością:

2 0

0

2

1 a t t

v x

x = +

_x

+

_x

t a v

v

_x

=

_0x

+

_x

⋅

x x x

a v t = v −

⁰

2 0 0

0

0

2

1 





 

 −

 +





 

 −

+

=

x x x x x

x x

x

a

v a v

a v v v

x x

) (

2

₀

2 0

2

v a x x

v

_x

=

_x

+

_x

−

→

→

Ruch w przestrzeni - połoŜenie

PołoŜenie punktu w przestrzeni jest określone przez współrzędne.

W układzie kartezjańskim współrzędne punktu A to (x₁, y₁, z₁).

Z

Y

X

A

0

z₁

x₁

y₁

r r = [x

₁

, y

₁

, z

₁

] r

Ruch w przestrzeni - przemieszczenie

Przemieszczenie ∆r z punktu B = (x₂, y₂, z₂) do punktu A = (x₁, y₁, z₁):

∆r = (x₁-x₂, y₁-y₂, z₁-z₂)

Z

Y

X

A

0

z₁

x₁

y₁ z₂ B

x₂ y₂

∆r

Ruch w przestrzeni - prędkość

t r t t

r v

_śr

r

∆

= ∆

−

= −

v v v v

1 2

1 2

Prędkość średnia:

Prędkośćchwilowa:

dt r d t

t r t t r t

v r

t t

v v

v v v

∆ =

−

∆

= +

∆

= ∆

→

∆

→

∆

) ( ) lim (

lim

0 0

dt v dz dt

v dy dt

v

_x

= dx ,

_y

= ,

_z

=

dt k j dz dt i dy dt dx dt

r

v = d = ˆ + ˆ + ˆ v

v

] , , [ v

_x

v

_y

v

_z

v v =

2 2 2

z y

x

v v

v v

v v = = + +

Ruch w przestrzeni - przyspieszenie

t v t t

v a_śr v

∆

= ∆

−

= −

v v v v

1 2

1 2

Przyspieszenie średnie:

Przyspieszenie chwilowe:

dt v d t

t v t t v t

a v

t t

v v

v v v

∆ =

−

∆

= +

∆

= ∆

→

∆

→

∆

) ( ) lim (

lim

0 0

2 2 2

2 2

2

,

, dt

z d dt a dv dt

y d dt a dv dt

x d dt

a

_x

= dv

^x

=

_y

=

^y

=

_z

=

^z

=

z k j d y i d x k d

j dv i dv

dv v

a d

^x

ˆ

^y

ˆ

^z

ˆ ˆ ˆ ˆ

2 2 2

2 2

2

+ +

= +

+

=

= v v

]

,

,

[ a

_x

a

_y

a

_z

a v =

Spadek swobodny

Spadek swobodny to ruch ciała wyłącznie pod wpływem siły cięŜkości.

W chwili początkowej ciało spoczywa i następnie puszczone porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym pod wpływem siły grawitacyjnego oddziaływania Ziemi i tego ciała.

Przyśpieszenie z jakim spada swobodnie ciało jest stałe i wynosi g = 9,81 m/ s². Kierunek ruchu jest pionowy, więc drogę w spadku swobodnym zaznaczamy symbolem h.

Wzór na drogę dla spadku swobodnego przyjmuje postać:

v₀= 0 m/s s = h a = g

2 t h g

⋅

2

=

Rzut poziomy

v₀

x y

Rzut poziomy

x y

g a a

y x

=

=0

t v x x

v v

x x x

0 0

0

+

=

= w kierunku osi x:

w kierunku osi y:

2 0

0 0

2 1gt t v y y

gt v v

y y y

+ +

= +

=

Rzut poziomy – tor ruchu

x = v

₀

t

y = h + ½ g t

²

Eliminując czas t t = x/v₀

y = h + ½ g (x/v₀)²

y

x h

Parabola

v₀₁ v₀₂> v₀₁

2 2

2

0

1 x

v h g

y 





  + 

=

Równanie toru ruchu:

Rzut poziomy – czas ruchu

g t 2 h

= y = h + ½ g t

²

Ruch będzie trwał do momentu gdy y = 0

y

x h t_p=0

t_k= t_c Całkowity czas zaleŜy tylko od

wysokości początkowej h!

t_c= t_k- t_p

2

2 0 = h + 1 gt

_c

Rzut ukośny

v_i

x y

α

v_ix v_iy

Prędkość początkowa: v_i= v_i[α]

Składowe prędkości:

Kierunek x: v_ix= v_icos α Kierunek y: v_iy= v_isin α

PołoŜenie początkowe: x = 0, y = 0

Rzut poziomy – tor ruchu

x y

• Ruch jest przyspieszony (a = g = 9.81m/s²)

• Składowa pozioma prędkości jest stała

• Ruch w pionie i poziomie są niezaleŜne.

9.81m/s²

Rzut poziomy – równania ruchu

PRZYSPIESZENIE

PRĘDKOŚĆ

POŁOśENIE

= 0 a

x

81

2

.

9 s

g m a

_y

= =

α

i

cos

x

v

v = v

_y

= v

_i

sin α + gt

α cos t v

x =

_i ²

2 sin 1 gt t

v

y =

_i

α +

X

ruch jednostajny

Y

ruch przyspieszony

Rzut poziomy – tor ruchu

Eliminując czas t

y

x - równanie paraboli

2 2 2

2 2

2

cos tan 2

cos 2 cos

sin

v x x g

y

v gx v

x y v

i i i

i

α α

α α α

+

=

+

=

y = bx + ax

²

2

2 sin 1 cos

gt t

v y

t v x

i i

+

=

=

α α

α

icos v t= x

Rzut poziomy – czas trwania ruchu

y

x Wysokość końcowa wynosi y= 0 po

upływie czasu ∆t

t = 0

∆t g

t ₌ ² v

ⁱ

^sin α

∆

t g

v

_i

+ ∆

= sin 1 2

0 α

2

1 2

sin gt

t v

y =

_i

α +

)

2

2 ( sin 1

0 = v

_i

∆ t α + g ∆ t

Rzut poziomy – zasięg rzutu

Gdy ciało spadnie oznacza to, Ŝe y = 0.

Stanie się to w czasie trwania rzutu ∆t.

Z α

y

cos t v x =

_i

α cos t v Z =

_i

∆

g t ₌ ² v

ⁱ

^sin α

∆

( ) ^{2 α 2 sin α cos α}

sin =

g

Z 2 v

ⁱ²

sin α cos α

=

g Z ₌ v

ⁱ²

sin( 2 α )

Rzut poziomy – zasięg ruchu

0.50 75

0.00 0

0 90

0.87 60

1.00 45

0.87 30

0.50 15

sin (2 α) α (deg)

• Największy zasięg jest dla kąta wyrzutu 45⁰

• Zasięgi są takie same dla kątów α

and (90

⁰

– α)

g

Z ₌ v

ⁱ²

sin( 2 α )

Rzut poziomy – rozkład prędkości

prędkość końcowa = prędkości początkowej (zasada zachowania energii)

Z

Rzut poziomy – tor ruchu

g t_g =vⁱsin

α

Na maksymalnej wysokości v_y= 0

2

1 2

sin gt

t v

y =

_i

α + gt

v

v

_y

=

_i

^sin α +

2 t_g = ∆t

g

i

gt

v +

= ^sin α 0

2

1 2

sin

_g

g

i

t gt

v

H = α +

^{2 2 2} ₂²

2 sin )

( sin

g gv g

H v

ⁱ

α ₊

ⁱ

α

= −

2 2 2

2 sin

g

H ₌ gv

ⁱ

α

Przyspieszenie styczne

Przyspieszenie styczne charakteryzuje szybkość zmiany liczbowej wartości prędkości ruchu.

dt a v

_s

= dv

gdy to ruch nazywa się jednostajnym;

gdy to jest to ruch jednostajnie zmienny.

= 0 a v

s

≠ 0

= const a v

_s

Przyspieszenie normalne

Przyspieszenie styczne charakteryzuje szybkość zmiany kierunku prędkości ruchu.

R a

_n

v

=

2

v

W ruchu prostoliniowym:

a v

_n

= 0

n

s

a

a a v v v

+

=

Przyspieszenie całkowite:

Ruch po okręgu

n

s

a

a v v

⊥

W ruchu po okręgu przyspieszenie normalne a_nnazywa przyspieszenie dośrodkowym a_d.

R

a

_d

a

_s

Zawsze spełniony jest warunek, Ŝe

Ruchem jednostajnym po okręgu nazywa się ruch w którym

R a v

a

_{s d}

2

0 =

= v

v

Ruch po okręgu

dt d α ω ≡

Prędkość kątowa (pseudowektor)

Parametry ruchu po okręgu:

• okres ruchu

• częstotliwość obiegu

Związki między wielkościami kątowymi i liniowymi w ruchu po okręgu

Przyspieszenie kątowe (pseudowektor)

dt d ω ε ≡

ω π

= 2 T

π ω 2 1 =

≡ T f

R v

v v

v = ω × ^a

s

^R

v v

v = ε ×