SIMR Analiza 2, zadania: całka powierzchniowa, potencjał, wzór Gaussa, wzór Stokesa 1. Sprwdź czy pola wektorowe −→
F = [P, Q, R] jest potencjalne. Jezeli jest to znajdź potencjał tego pola. Korzystając z niego oblicz
Z
K
P dx + Qdy + Rdz po dowolnej krzywej kawałkami gładkiej, zorientowanej o początku w punkcie A i końcu w punkcie B:
(a) −→
F = [x2, y2, z2] , A(0, 0, 0) , B(1, 1, 1) (b) −→
F = [6xyz , 3x2z + z , 3x2y + y + 4z] , A(1, 0, 0) , B(2, 1, 1) (c) −→
F = [12x2yz , 3xyz + z , xy2z + y] , A(1, 2, 0) , B(−1, 1, 1) (d) −→
F = [yx + z , ln x + z , x + y + z] , A(1, 0, 0) , B(2, 1, −1)
2. Oblicz moment bezwładności względem osi Oz jednorodnej powierzchni S:
(a) z = x2 + y2, z ¬ 4;
(b) z = x + y, x + y ¬ 1, x 0,y 0;
(c) z = √
x2 + y2 , x2 + y2 ¬ 1 ; (d) x2 + y2 + z2 = 4, z √
3
3. Znajdź środek ciężkości powierzchni S o gęstości ρ(x, y, z):
(a) z = x2 + y2 , z ¬ 1 , ρ = z;
(b) z = √
x2 + y2 , x2 + y2 ¬ 4 , ρ = x2; (c) z = √
1 − x2 − y2 , ρ = 1;
(d) z = y +√
1 − x2 , −1 ¬ y ¬ 1 , ρ = 1;
4. Obliczyć strumień pola wektorowego −→
F przez powierzchnię zorientowaną S : (a) −→
F = [x, y, z] , S : z = x2 + y2 , z ¬ 1 zorientowana do góry (b) −→
F = [−yz, xz, x2] , S : z = √
x2 + y2 , |x| ¬ 1 , |y| ¬ 1 zorientowana do dołu
(c) −→
F = [x + y2, y, 2] , S : z = √
1 − x2 − y2 zorientowana do góry (d) −→
F = [x − y, xy, z] , S : z = xy , 0 ¬ x ¬ 1 , 0 ¬ y ¬ x zorientowana do góry 5. Korzystająć z twierdzenia Gaussa obliczyć strumień pola wektorowego −→
F przez zamkniętą powierzchnię S zorientowaną na zewnątrz, będącą brzegiem zbioru V :
(a) −→
F = [x2, y2, z2] , V : z x2 + y2 , z ¬ 1 (b) −→
F = [2x, 2y, 2z] , V : z √
x2 + y2 , z ¬ 1 (c) −→
F = [xy, x2y, x3z] , V : z ¬√
1 − x2 − y2 , z 0 (d) −→
F = [xz, yz, z2] , V : z x2 , z ¬ 1 , y + z ¬ 1
