Kolokwium z topologii
7 czerwca 2008
1. Udowodnij, »e je±li (X, d) jest przestrzeni¡ metryczn¡, E ⊆ X jest zbiorem g¦stym, a f : E −→ R jest funkcj¡ lipschitzowsk¡ ze staª¡ L, to istnieje funkcja ˜f : X −→ R lipschitzowska ze staª¡ L i taka, »e ˜f (x) = f (x)dla x ∈ E.
2. Udowodnij, »e je±li podzbiór A przestrzeni metrycznej (X, d) jest caªkowicie ogra- niczony, to jego domkni¦cie A te» jest caªkowicie ograniczone.
3. Czy zbiór funkcji
1
a + x : a > 0
jest zwarty w C(R+)z metryk¡ supremum? (R+= (0, ∞))
ci±lej: Niech fa : R+ −→ R, fa(x) = a+x1 . Czy zbiór {fa : a > 0} z metryk¡
supremum jest zwarty?
4. Podaj odpowiedzi na poni»sze pytania; odpowiedzi nie uzasadniaj.
(a) Czy przeliczalna suma zbiorów zwartych jest zawsze przestrzeni¡ zupeªn¡?
(b) Czy ka»dy homeomor zm h : X −→ Y mo»na przedªu»y¢ do homeormor zmu
˜h : ˜X −→ ˜Y, gdzie ˜X i ˜Y s¡ uzupeªnieniami X, Y ?
(c) Czy przestrze« ci¡gów {0, 1, 2}N z metryk¡ produktow¡ jest zwarta?
(d) Czy ka»da przestrze« caªkowicie ograniczona jest homeomor czna z podzbio- rem kostki Hilberta?
(e) Czy ka»da przestrze« z metryk¡ dyskretn¡ jest zupeªna?
(f) Jaki b¦dzie wynik meczu Polska-Niemcy w niedziel¦?
Uwagi: Za ka»de z zada« 1., 2., 3. mo»na uzyska¢ 5 punktów. W zadaniu 4. punkt przyznawany jest za ka»d¡ poprawn¡ odpowied¹ i odejmowany za ka»d¡ bª¦dn¡. Brak odpowiedzi nie jest punktowany. W razie potrzeby wynik kolokwium jest zaokr¡glany w gór¦ do najbli»szej liczby nieujemnej. Czas pisania 90 minut.
Powodzenia!
Agata i Mateusz Kwa±niccy
