З представлення (1) бачимо, що якщо , то це відповідає точкам, які лежать завжди на промені, що проходить через середину зони контакту ролика зі злитком. Таким чином, в нерухомій системі координат на цьому промені маємо .  Розглянемо задачу визначення т

Враховуючи ці умови, представимо розв’язок рівняння (4) у вигляді . (19) Підставимо розв’язок (19) в рівняння (4). Порівнюючи коефіцієнти при однакових функціях і знайдемо рівняння для визначення , : , (20) , (21) . (22) Загальний розв’язок рівняння (20) такий . (23) Якщо підставити значення (21) у (22), знайдемо рівняння для знаходження . (24) Аналогічне рівняння отримаємо для знаходження , якщо підставимо значення з (22) у формулу (21). Введемо заміну . (25) Тоді рівняння (24) перепишеться так , (26) де верхніми індексами позначені похідні по змінній . Загальний розв’язок рівняння (26) має вигляд [2] , (27) де – функції Кельвіна, – натуральні числа. Підставивши вираз для в рівняння (21), знайдемо . (28)   1  2  0 , _n cos _n sin n r r n r n         

_

_  _ cos n sin n

 

1 n r  _n2

_{ }

r 2 01 01 2 1 0 d d dr r dr     2 2 1 1 1 2 2 2 1 n n n n d d n n dr r dr r a         2 2 2 2 2 1 2 2 1 n n n n d d n n dr r dr r a          01 C01 C02lnr    2 n  1 n 









4 3 2 2 4 1 3 1 2 2 1 1 2 2 4 1 4 2 3 1 2 2 4 2 0 n n n n n d d d d r r n r r n n r dr dr dr dr a              _  _ _   _      2 n  1 n  n n x r r a    





 



4 3 2 2 4 2 4 1 2 1 1 2 1 1 4 1 0 IV III II I n n n n n x  x   n x  x  n  n x   x

 

















1 1 2 3 4

n r C bern n nr C bein n nr C kern n nr C kein n nr

        

, , ,

n n n n

ber bei ker kei n

 

1 n r 

 

















2 1 2 3 4

n r C bein n nr C bern n nr C kein n nr C kern n nr

Константи знаходимо з граничних умов (8) і (16) або (17). Задоволимо умову (8). В результаті отримаємо такі рівняння , (29) , (30) . Для того, щоб задовольнити граничну умову (16), представимо її у вигляді . (31) Розкладемо всі функції від в правій частині в ряди Фур’є: , (32) , (33) де позначено . (34) 1, 2, 3, 4 n n n n C C C C 1 1 1 01 02 1 1 1 ln _в C C R R           _  _      



   



1 1 1 1 1 1 1 1 2 n n n n n n n n n

C ber R bei R ber R

R                        



   



1 2 1 1 1 1 1 1 2 n n n n n n n n n

C bei R bei R ber R

R             _  _   _      



   



1 3 1 1 1 1 1 1 2 n n n n n n n n n

C ker R kei R ker R

R             _  _   _      



   



1 4 1 1 1 1 1 1 0 2 n n n n n n n n n

C kei R kei R ker R

R             _  _   _      



   



1 1 1 1 1 1 1 1 2 n n n n n n n n n

C bei R bei R ber R

R                        



   



1 2 1 1 1 1 1 1 2 n n n n n n n n n

C ber R bei R ber R

R             _  _   _      



   



1 3 1 1 1 1 1 1 2 n n n n n n n n n

C kei R kei R ker R

R             _  _   _      



   



1 4 1 1 1 1 1 1 0 2 n n n n n n n n n

C ker R kei R ker R

. (35) Підставляючи знайдені розклади в (31) і прирівнюючи коефіцієнти при однакових функціях зліва і справа, знайдемо , (36) . (37)  0  0  2,  k S S R            _    _   0  0 01 02 2 1 2 2 2 1 ln cos sin k k k k S S C C R R k R k                   _    __   _  _ 



   0 0 0   01 02 2 1 2 1 1 sin sin 2 ln cos k k k n k n k C C R n R n k                      _  _ _  



 



    0   0 1 2 1 1 sin sin cos k n k k n k n R n k n k n               _{ }  _       

 

    0   0 2 2 1 sin sin sin k k k n k n R n k n k n             _  _  _{ }   _   _



 0 2 0 01 2 02 2 2 ln 1 _k 1 R _k C C R                   _   _            4 0 0 0 2 0 1 2 1 sin 1 2 k k зов зл зл k k a k R k                _       _ 



  



   



2 1 2 1 2 1 2 2 2 n n n n n n n n n

C ber R bei R ber R

R                        



   



2 2 2 1 2 1 2 2 2 n n n n n n n n n

C bei R bei R ber R

R             _  _   _      



   



2 3 2 1 2 1 2 2 2 n n n n n n n n n

C ker R kei R ker R

R             _  _   _      



   



2 4 2 1 2 1 2 2 2 n n n n n n n n n

C kei R kei R ker R

R             _  _   _       0 0 4 01 02 2 2 sin 2 sin ln k k зл зл n n n C C R a n n                       1 2 2 2 3 2 1 k k k k k k k k k k k

C ber R C bei R C ker R        

_

_        0   0 4 2 sin sin k k k k n k n C kei R k n k n         _{ }  _      



   



2 1 2 1 2 1 2 2 2 n n n n n n n n n

C bei R bei R ber R

R             _  _   _      



   



2 2 2 1 2 1 2 2 2 n n n n n n n n n

C ber R bei R ber R

. Система рівнянь (29), (30), (36), (37) складає повну систему рівнянь для знаходження всіх невідомих коефіцієнтів при Зауважимо, що в праві частини рівнянь (36) і (37) входять всі невідомі для Якщо обмежитись в розкладі (19) деякою обмеженою кількістю членів, наприклад , то для знаходження невідомих при можна отримати систему рівнянь. Для цього розв’яжемо систему рівнянь (29), (36) відносно і . Знайдемо , (38) , (39) де введені позначення . (40) Якщо підставити вирази для і в праву частину першого рівняння (37), то вона перепишеться так , (41)  



   



2 3 2 1 2 1 2 2 2 n n n n n n n n n

C kei R kei R ker R

R             _  _   _      



   



2 4 2 1 2 1 2 2 2 n n n n n n n n n

C ker R kei R ker R

R             _  _   _         4 0 1 2 2 2 1 k зл n k k k k k k k b C bei R C ber R           

_

_         0   0 3 2 4 2 sin sin k k k k k k k n k n C kei R C ker R k n k n           _{ }  _     01, 02, n1, n2, n3, n4 C C C C C C 1, 2,.... n  1, 2,.... n  0, 1, ..., n N 4 N Cn1,Cn2, Cn3,Cn4 n1, 2, ..., N 4 N 01 C C₀₂   0  0 4 02 2 0 1 2 k зов в зл в зл a C         _                    0 1 2 2 2 3 2 4 2 1 sin k k k k k k k k k k k k k k k

C ber R C bei R C ker R C kei R k            _    _ 



01 02 1 1 1 ln в C C R R        _  _   0 2 2 2 1 1 1 ; ln k R R R R               _  _     01 C C₀₂









4 0 0 0 0 2 0 2 sin 2 k k в зл зов в в зл зл зл n n a a n                  _    _          _      

















1 2 2 2 3 2 4 2 1 k nk k k k k k k k k k k k k k

де позначено Переносячи всі члени з невідомими коефіцієнтами в ліву частину рівняння при всіх значеннях (аналогічно і в другому рівнянні (37) при всіх ), отримаємо систему рівнянь в звичайній формі для знаходження всіх невідомих. Введемо позначення (43) де , , , , , (44) , , . Тоді система рівнянь (30) запишеться так (45) 0 0 0 0

2 sin sin sin( ) sin( ) , k nk n k k n k n nk k n k n                2 0 0 0 2 2 sin sin 2 . 2 k kk k k k k           n n 4 N                 1 1 1 2 2 2 3 _{3 3} 4 4 4 ; ; , j j j j j j j j _j j _j j j j j a b C C a b C A B C _{a b} C a b                    _{ } _{ }           _{   }   _{   }  













1 1 1 1 1 1 1 1 2 j j j j j j j j j

a ber R bei R ber R

R             _  _  _  _    













1 2 1 1 1 1 1 1 2 j j j j j j j j j

a bei R bei R ber R

R             _  _  _  _    













1 3 1 1 1 1 1 1 2 j j j j j j j j j

a ker R kei R ker R

R             _  _  _  _    













1 4 1 1 1 1 1 1 2 j j j j j j j j j

a kei R kei R ker R

R             _  _  _  _     1

_

_

_

_

_

_

1 1 1 1 1 1 1 2 j j j j j j j j j

b bei R bei R ber R

R             _  _  _  _    













1 2 1 1 1 1 1 1 2 j j j j j j j j j

b ber R bei R ber R

R              _  _  _  _    













1 3 1 1 1 1 1 1 2 j j j j j j j j j

b kei R kei R ker R

R             _  _  _  _    













1 4 1 1 1 1 1 1 2 j j j j j j j j j

b ker R kei R ker R

Аналогічно введемо наступні позначення (46) , (47) , (48) (49) (50)                 1 1 2 2 3 3 4 4 ; , jk jk jk jk jk _jk jk _jk jk jk d e d e D E d e d e             _{ } _{ }                 4 0 0 0 0 2 0 2 sin 2 k k j в зл зов в в зл зл зл j j a F a j                  _    _          _      4 0 j зл j G  b       













2 1 2 2 1 2 1 2 2 , , , 2 k jk k k jk j k jj j j j j j j ber R k j d j

ber R bei R ber R k j

R                     _{ } _   _  _  _        













2 2 2 2 1 2 1 2 2 , , , 2 k jk k k jk j k jj j j j j j j bei R k j d j

bei R bei R ber R k j

R                        _   _  _  _        













2 3 2 2 1 2 1 2 2 , , , 2 k jk k k jk j k jj j j j j j j ker R k j d j

ker R kei R ker R k j

R                        _   _  _  _        













2 4 2 2 1 2 1 2 2 , , , 2 k jk k k jk j k jj j j j j j j kei R k j d j

kei R kei R ker R k j

R                        _   _  _  _            













0 2 1 0 2 2 1 2 1 2 2 , , , 2 k jk k k jk j k jj j j j j j j bei R k j e j

bei R bei R ber R k j

R                         _   _  _  _             













0 2 2 0 2 2 1 2 1 2 2 , , , 2 k jk k k jk j k jj j j j j j j ber R k j e j

ber R bei R ber R k j

R                        _   _  _  _            

_

_

_

_

_

_

0 2 3 0 ₂ 2 1 2 1 2 2 , , , 2 k jk k k jk j k jj j j j j j j kei R k j e j

kei R kei R ker R k j

причому (51) Тоді система рівнянь (37) запишеться у вигляді (52) Таким чином, ми отримали систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно невідомих . Ця система значно спроститься, якщо в праву частину граничних умов (16) не будуть входити члени типу . Можна припустити, що в області контакту температура поверхні приблизно постійна і прийняти там , де – деяка приведена температура злитку. Тоді гранична умова (16) запишеться так . (53) Проводячи аналогічні перетворення, як і вище, знайдемо незалежних систем рівнянь для знаходження невідомих при кожному значенні . Цю систему можна записати у вигляді (54)        

_

_

_

_

_

_

0 2 4 0 2 2 1 2 1 2 2 , , , 2 k jk k k jk j k jj j j j j j j ker R k j e j

ker R kei R ker R k j

де додатково позначено (55) , , , , . Таким чином, отримано аналітичний розв’язок задачі, який дозволяє досліджувати температурні поля, що виникають в роликах МБРС в процесі їх експлуатації в залежності від різних теплофізичних параметрів та умов експлуатації. Література. 1. Б. Боли и Дж. Уэйнер. Теория температурних напряжений. – М.: МИР, 1964, – 517с. 2. Справ очник по специальным функциям. Под редакцией М. Абрамовича и И. Стиган. – М.: Наука, 1979, – 830с.                 1 1 2 2 3 3 4 4 ; . n n n n n _n n _n n n a b a b A B a b a b                  _{ }  _{ }        _   _              2 1 2 1 2 1 2 2 2 n n n n n n n n n

a ber R bei R ber R

R            _  _  _  _           2 2 2 1 2 1 2 2 2 n n n n n n n n n

a bei R bei R ber R

R            _  _  _  _           2 3 2 1 2 1 2 2 2 n n n n n n n n n

a ker R kei R ker R

R            _  _  _  _           2 4 2 1 2 1 2 2 2 n n n n n n n n n

a kei R kei R ker R

Mykhaylo Mykhaylyshyn

INVESTIGATION OF TEMPERATURE FIELDS IN ROLLERS OF CONTINUOUS STEEL TEEMING MACHINE

The temperature state of a long roller of continuous steel teeming machine for planar workpiece teeming is investigated. Analytical solution which allows studying temperature fields in rollers during their service is obtained.

Keywords: continuous steel teeming machines, temperature