• Nie Znaleziono Wyników

(x − a)2+ (y − b)2= R2}, to ( x = a + r cos α y = b + r sin α r ∈ [0, R], α ∈ [0, 2π), dA = r dr dα

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "(x − a)2+ (y − b)2= R2}, to ( x = a + r cos α y = b + r sin α r ∈ [0, R], α ∈ [0, 2π), dA = r dr dα"

Copied!
2
0
0

Pełen tekst

(1)

Współrz˛edne biegunowe

α (x, y)

x y

R

Niech A := {(x, y); x2+y2≤ R}. Wówczas, aby obliczy´cRAf (x, y) dA mo˙zemy u˙zy´c współrz˛ednych biegunowych ( x = r cos α

y = r sin α r ∈ [0, R], α ∈ [0, 2π), dA = rdrdα, Zatem,

Z

A

f (x, y) dA = Z

0

Z R

0

f (x, y) r dr dα.

W szczególno´sci,

• Je˙zeli A := {(x, y) ∈ R2; (x − a)2+ (y − b)2= R2}, to ( x = a + r cos α

y = b + r sin α r ∈ [0, R], α ∈ [0, 2π), dA = r dr dα,

• Je˙zeli A := {(x, y) ∈ R2; xa22 +yb22 = 1}, to ( x = a r cos α

y = b r sin α r ∈ [0, 1], α ∈ [0, 2π), dA = abr dr dα,

Współrz˛edne cylindryczne

Niech zbiór A b˛edzie walcem

z

R c d

x y

wówczas, aby obliczy´cRAf (x, y) dA mo˙zemy u˙zy´c współrz˛ednych cylindrycznych

x = r cos α y = r sin α

z = z r ∈ [0, R], α ∈ [0, 2π), z ∈ [c, d] dA = rdrdαdz,

W szczególno´sci,

(2)

• Je˙zeli podstaw ˛a walca jest okr ˛ag o ´srodku w punkcie (a, b), to

x = a + r cos α y = b + r sin α

z = z, r ∈ [0, R], α ∈ [0, 2π), z ∈ [c, d] dA = rdrdαdz,

• Je˙zeli podstaw ˛a walca jest elipsa xa22 +yb22 = 1, to

x = a r cos α y = b r sin α

z = z, r ∈ [0, 1], α ∈ [0, 2π), z ∈ [c, d] dA = abrdrdαdz,

Współrz˛edne sferyczne - system matematyczny

R R

β α

r ∈ [0, R]

α ∈ [0, π]

β ∈ [0, 2π)

Niech A := {(x, y); x2+ y2+ z2≤ R}. Wówczas, aby obliczy´cRAf (x, y, z) dA u˙zywamy współrz˛ednych sferycz- nych.

x = r cos β sin α y = r sin β sin α

z = r cos α dA = r2sin αdrdαdβ,

Współrz˛edne sferyczne - system geograficzny

R R

ϕ Θ

r ∈ [0, R]

ϕ ∈ [0, 2π) Θ ∈ [−π2,π2]

Niech A := {(x, y); x2+ y2+ z2≤ R}. Wówczas, aby obliczy´cRAf (x, y, z) dA u˙zywamy współrz˛ednych sferycz- nych.

x = r cos Θ cos ϕ y = r cos Θ sin ϕ

z = r sin Θ dA = r2cos Θ

- k ˛at Θ jest liczony jako k ˛at dodatni dla punktów powy˙zej płaszczyzny OXY, a k ˛at ujemny dla punktów wzi˛etych poni˙zej płaszcyzny OXY.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Jaka byªa ±rednia roczna warto±¢?. rmy w ci¡gu pierwszych 3 lat od wej±cia

Poniższy diagram ilustruje kompleks, którego podległa przestrzeń jest homeomorficzna z butelką Kleina:... Niech L będzie

[r]

6. Efekty brzegowe są do zaniedbania. b) Korzystając ze związku między natężeniem pola E a potencjałem V oblicz różnicę potencjałów między okładkami oraz wyprowadź wzór

jest funk j¡ Lips hitza lokalnie, je»eli speªnia warunek Lips hitza w ka»dym punk ie

Przerabianie zada« z tej listy na ¢wi zenia h jest

For “small” R d and long rigid beams it can happen that locally r +r < 0 which looks non physical on the contact between subsoil and foundation (tension is impossible!); it is

Zmiana znaku R d powoduje odpo- wiednią zmianę znaku delt  i i automatycznie zmiany znaków Q,M; czyli wystarczy jeden raz przeliczyć przypadek górniczy (rys3. Ponieważ P