3. Pokaza´c, ˙ze w przestrzeni dystrybucji D 00 prawdziwa jest równo´s´c (sin at) δ (1) = −aδ.

1. Wiedz ˛ ac, ˙ze L {J ⁰ (t)} (s) = ^√ _s ¹

+1 wyznaczy´c odwrotn ˛ a transformat ˛e Laplace’a funkcji F (s) = √ s ² + α ² 2. Pokaza´c, ˙ze w przestrzeni dystrybucji D ₀ ⁰ prawdziwa jest równo´s´c

t ^k δ ^(k) = (−1) ^k k!δ.

3. Pokaza´c, ˙ze w przestrzeni dystrybucji D ₀ ⁰ prawdziwa jest równo´s´c (sin at) δ ⁽¹⁾ = −aδ.

4. Rozwi ˛ aza´c w przestrzeni dystrybucji równanie ró˙zniczkowe

D ³ y + 3D ² y + 3Dy + y = δ ⁽⁴⁾ (t − 1) . 5. Rozwi ˛ aza´c w przestrzeni dystrybucji równanie ró˙zniczkowe

tDy + 2y = 0.

6. Rozwi ˛ aza´c w przestrzeni dystrybucji równanie ró˙zniczkowe t ² D ² y + 4tDy + 2y = δ.

7. Przedyskutowa´c szeregowy układ RLC w przypadku impulsu wej´sciowego U (t) = U 0 · 1 ⁺ (t).

8. Obliczy´c pochodne w sensie dystrybucyjnym do rz ˛edu drugiego wł ˛ acznie, dla funkcji:

(a) f (x) = 2 |x − 2| − 3 |x + 1|;

(b) f (x) = [x].

9. Udowodni´c, ˙ze [t · 1 ⁺ (t)] ∗ [e ^t · 1 ⁺ (t)] = (e ^t − t − 1) · 1 ⁺ (t).

10. Udowodni´c, ˙ze [1 + (t) · sin t] ∗ [1 ⁺ (t) · cos t] = ¹ 2 1 + (t) · t sin t.

11. Wyznaczy´c transformat ˛e Fouriera funkcji f (t) = 1 + (t − a) − 1 ⁺ (t − b) dla a < b.

12. Wyznaczy´c transformat ˛e Fouriera funkcji f (t) = t ^k e ^−at 1 + (t).

13. Funkcj ˛e f (x) = x ² − 2x ⁴ rozwin ˛ a´c w przedziale (0, 1) na szereg Fouriera-Bessela.

14. Funkcj ˛e f (x) = 1 + x ⁴ rozwin ˛ a´c w przedziale (0, 2) na szereg Fouriera-Bessela.

15. Wyznaczy´c transformat ˛e Mellina funkcji f (x), je´sli:

(a) f (x) = _1+2x ^x

; (b) f (x) = ₁₊ ¹ √ x ’ (c) f (x) = ^x+2 _x+1 .

16. Rozwi ˛ aza´c równania ró˙znicowe:

(a) x n+2 + 3x n+1 + x n = 1, x 0 = −1, x ¹ = 1;

(b) x n+3 − 3x ⁿ⁺² + 3x n+1 − x ⁿ = 1, x 0 = 0, x 1 = 0, x 2 = 1.

17. Niech e f _c (p) b ˛edzie tzw. sko´nczonym przekształeniem cosinusowym okre´slonym wzorem f e c (p) =

Z a

0

f (x) cos pπx a dx,

za´s e f _s (p) b ˛edzie sko´ nczonym przekształeceniem sinusowym okre´slonym wzorem f e _s (p) =

Z a

0

f (x) sin pπx

a dx.

Wyznaczy´c e f c (n) i e f s (n), gdzie n jest liczb ˛ a naturaln ˛ a, dla funkcji:

(a) f (x) = 1;

(b) f (x) = x;

(c) f (x) = e ^kx ; (d) f (x) = cos kx;

(e) f (x) = sin kx.