Kolokwium z TCiWdTD, dn. 26.11.2012

(1)

Kolokwium z TCiWdTD, dn. 26.11.2012

Zad. 1. (za 3 pkt.) Wyrazi´c całk˛e

 () = Z 

0  √

 −  ² 

za pomoc ˛ a funkcji  Eulera. Wyznaczy´c  (4).

Zad. 2. (za 3 pkt.) Funkcj ˛e

 () =

½  dla  ∈ 0 ^ ₂ ®

 −  dla  ∈ ¡ _

2   ®

rozwin ˛ a´c na szereg Fouriera sinusów w przedzialeh0 i. Niech  () oznacza sum˛e tego szeregu. Wyznaczy´c  ¡ ₅

2  ¢ . Zad. 3. (za 3 pkt.)

Pokaza´c, ˙ze Z +∞

0  ^{−−}  = _1+ ¹ oraz Z 0

−∞

 ^{−+}  = _1− ¹ . Nast ˛epnie, korzystaj ˛ ac z powy˙zszych równo´sci, wyznaczy´c F ⁻¹ n

1 1+

²

o

() oraz F ^−(2+1) n

1 1+

²

o

() dla  ∈ N, gdzie F ^− oznacza -krotne zło˙zenie odwrotnej transformaty Fouriera ze sob ˛ a.

Zad. 4. (za 3 pkt.)

Stosuj ˛ ac transformat ˛e Laplace’a rozwi ˛ aza´c zagadnienie Cauchy’ego:

 ⁰⁰⁰ + 3 ⁰⁰ =  ^2   ¡ 0 ⁺ ¢

= 0  ⁰ ¡ 0 ⁺ ¢

= 0  ⁰⁰ ¡ 0 ⁺ ¢

= 0.

Zad. 5. (za 3 pkt.)

Pokaza´c, ˙ze dla  ≥  prawdziwy jest wzór dla transformaty Laplace’a L

∙

 ^  ^  ()

 ^

¸

() = ( −1) ^  ^

 ^ [ ^  ()] ,

gdzie L [] =  ,  ∈  ^ .

(2)

Kolokwium z TCiWdTD, dn. 26.11.2012

Zad. 1. (za 3 pkt.) Wyrazi´c całk˛e

 () = Z 

0 ( − ) √

 −  ² 

za pomoc ˛ a funkcji  Eulera. Wyznaczy´c  (4).

Zad. 2. (za 3 pkt.) Funkcj ˛e

 () =

½  dla  ∈ 0 ^ ₂ ®

 −  dla  ∈ ¡ _

2   ®

rozwin ˛ a´c na szereg Fouriera sinusów w przedzialeh0 i. Niech  () oznacza sum˛e tego szeregu. Wyznaczy´c  ¡ ₅

2  ¢ . Zad. 3. (za 3 pkt.)

Pokaza´c, ˙ze Z +∞

0  ^{−−}  = _1+ ¹ oraz Z 0

−∞

 ^{−+}  = _1− ¹ . Nast ˛epnie, korzystaj ˛ ac z powy˙zszych równo´sci, wyznaczy´c F ⁻¹ n

1 1+

²

o

() oraz F ^−2 n

1 1+

²

o

() dla  ∈ N, gdzie F ^− oznacza -krotne zło˙zenie odwrotnej transformaty Fouriera ze sob ˛ a.

Zad. 4. (za 3 pkt.)

Stosuj ˛ ac transformat ˛e Laplace’a rozwi ˛ aza´c zagadnienie Cauchy’ego:

 ⁰⁰⁰ − 5 ⁰⁰ =  ^2   ¡ 0 ⁺ ¢

= 0  ⁰ ¡ 0 ⁺ ¢

= 0  ⁰⁰ ¡ 0 ⁺ ¢

= 0.

Zad. 5. (za 3 pkt.)

Pokaza´c, ˙ze dla  ≥  prawdziwy jest wzór dla transformaty Laplace’a L

Kolokwium z TCiWdTD, dn. 26.11.2012

Kolokwium z TCiWdTD, dn. 26.11.2012

Zad. 1. (za 3 pkt.) Wyrazi´c całk˛e

 () = Z 

0

 √

 −  2 

za pomoc ˛ a funkcji  Eulera. Wyznaczy´c  (4).

Zad. 2. (za 3 pkt.) Funkcj ˛e

 () =

½  dla  ∈ ­ 0  2 ®

 −  dla  ∈ ¡ 

2   ®

rozwin ˛ a´c na szereg Fouriera sinusów w przedzialeh0 i. Niech  () oznacza sum˛e tego szeregu. Wyznaczy´c  ¡ 5

2  ¢ . Zad. 3. (za 3 pkt.)

Pokaza´c, ˙ze Z +∞

0

 −−  = 1+ 1 oraz Z 0

−∞

 −+  = 1− 1 . Nast ˛epnie, korzystaj ˛ ac z powy˙zszych równo´sci, wyznaczy´c F −1 n

1 1+

o

() oraz F −(2+1) n

1 1+

o

() dla  ∈ N, gdzie F − oznacza -krotne zło˙zenie odwrotnej transformaty Fouriera ze sob ˛ a.

Zad. 4. (za 3 pkt.)

Stosuj ˛ ac transformat ˛e Laplace’a rozwi ˛ aza´c zagadnienie Cauchy’ego:

 000 + 3 00 =  2   ¡ 0 + ¢

= 0  0 ¡ 0 + ¢

= 0  00 ¡ 0 + ¢

= 0.

Zad. 5. (za 3 pkt.)

Pokaza´c, ˙ze dla  ≥  prawdziwy jest wzór dla transformaty Laplace’a L

∙

     ()

 

¸

() = ( −1)   

  [   ()] ,

gdzie L [] =  ,  ∈   .

Kolokwium z TCiWdTD, dn. 26.11.2012

Zad. 1. (za 3 pkt.) Wyrazi´c całk˛e

 () = Z 

0

( − ) √

 −  2 

za pomoc ˛ a funkcji  Eulera. Wyznaczy´c  (4).

Zad. 2. (za 3 pkt.) Funkcj ˛e

 () =

½  dla  ∈ ­ 0  2 ®

 −  dla  ∈ ¡ 

2   ®

rozwin ˛ a´c na szereg Fouriera sinusów w przedzialeh0 i. Niech  () oznacza sum˛e tego szeregu. Wyznaczy´c  ¡ 5

2  ¢ . Zad. 3. (za 3 pkt.)

Pokaza´c, ˙ze Z +∞

0

 −−  = 1+ 1 oraz Z 0

−∞

 −+  = 1− 1 . Nast ˛epnie, korzystaj ˛ ac z powy˙zszych równo´sci, wyznaczy´c F −1 n

1 1+

o

() oraz F −2 n

1 1+

o

() dla  ∈ N, gdzie F − oznacza -krotne zło˙zenie odwrotnej transformaty Fouriera ze sob ˛ a.

Zad. 4. (za 3 pkt.)

Stosuj ˛ ac transformat ˛e Laplace’a rozwi ˛ aza´c zagadnienie Cauchy’ego:

 000 − 5 00 =  2   ¡ 0 + ¢

= 0  0 ¡ 0 + ¢

= 0  00 ¡ 0 + ¢

= 0.

Zad. 5. (za 3 pkt.)

Pokaza´c, ˙ze dla  ≥  prawdziwy jest wzór dla transformaty Laplace’a L

∙  

  (   ())

¸

() = ( −1)       ()

  ,

gdzie L [] =  ,  ∈   .

 −  ² 

½  dla  ∈ 0 ^ ₂ ®

 −  dla  ∈ ¡ _

rozwin ˛ a´c na szereg Fouriera sinusów w przedzialeh0 i. Niech  () oznacza sum˛e tego szeregu. Wyznaczy´c  ¡ ₅

 ^{−−}  = _1+ ¹ oraz Z 0

 ^{−+}  = _1− ¹ . Nast ˛epnie, korzystaj ˛ ac z powy˙zszych równo´sci, wyznaczy´c F ⁻¹ n

() oraz F ^−(2+1) n

() dla  ∈ N, gdzie F ^− oznacza -krotne zło˙zenie odwrotnej transformaty Fouriera ze sob ˛ a.

 ⁰⁰⁰ + 3 ⁰⁰ =  ^2   ¡ 0 ⁺ ¢

= 0  ⁰ ¡ 0 ⁺ ¢

= 0  ⁰⁰ ¡ 0 ⁺ ¢

 ^  ^  ()

 ^

() = ( −1) ^  ^

 ^ [ ^  ()] ,

gdzie L [] =  ,  ∈  ^ .

 −  ² 

½  dla  ∈ 0 ^ ₂ ®

 −  dla  ∈ ¡ _

rozwin ˛ a´c na szereg Fouriera sinusów w przedzialeh0 i. Niech  () oznacza sum˛e tego szeregu. Wyznaczy´c  ¡ ₅

 ^{−−}  = _1+ ¹ oraz Z 0

 ^{−+}  = _1− ¹ . Nast ˛epnie, korzystaj ˛ ac z powy˙zszych równo´sci, wyznaczy´c F ⁻¹ n

() oraz F ^−2 n

() dla  ∈ N, gdzie F ^− oznacza -krotne zło˙zenie odwrotnej transformaty Fouriera ze sob ˛ a.

 ⁰⁰⁰ − 5 ⁰⁰ =  ^2   ¡ 0 ⁺ ¢

= 0  ⁰ ¡ 0 ⁺ ¢

= 0  ⁰⁰ ¡ 0 ⁺ ¢

∙  ^

 ^ ( ^  ())

() = ( −1) ^  ^  ^  ()

 ^ ,

gdzie L [] =  ,  ∈  ^ .