1 + ¥ + ¥ b 0 r + ¥ e + d w a

(1)

ROZWIĄZANIE PRANDTLA

dla klina gruntu w granicznym stanie naprężenia

1. Dane Modelem gruntu jest ośrodek rozdrobniony Coulomba:

1) niespoisty (c = 0, ϕ > 0) i nieważki ( γ = 0),

2) w płaskim stanie odkształcenia (2D – bardzo długa konstrukcja), 3) zalegający w postaci nieskończonego klina opisanego kątami:

ε (do poziomu), - ϕ < ε < ϕ , β (do pionu),

4) spełniający w każdym punkcie klina naprężeniowe równania równowagi statycznej, 5) spełniający w każdym punkcie klina warunek stanu granicznego („uplastycznienie”),

czyli w naprężeniach stycznych i normalnych τ = σ·tgϕ, 6) obciążony równomiernie na krawędziach:

q = const ukośnie pod kątem α

o

do normalnej, -ϕ < α

o

< ϕ q

1

= const ukośnie pod kątem δ do normalnej, - ϕ < δ < ϕ ,

przy czym zakładamy, że q jest zadane, a q

1

jest szukane (albo odwrotnie).

Szczegóły przedstawiono na Rys.1.

Prezentowana sytuacja może zostać obrócona o dowolny kąt, ponieważ nie ma tu uprzywilejowanego kierunku, takiego jak kierunek pionowy dla ciężkich materiałów ( γ > 0); dlatego zakładamy,

że np. q > q

1

, bez utraty ogólności.

Rys.1. Klin Prandtla w stanie granicznym (tutaj: β, α

o

< 0 natomiast δ, ε > 0).

Komentarz:

zaskakujące, ale duże problemy stwarza tutaj A kąt tarcia wewnętrznego ϕ .

W tym zagadnieniu jest to kąt tarcia wewnętrznego w założonym płaskim stanie odkształcenia, a więc dla dosyć specyficznie narzuconej powierzchni ścięcia; ten kąt można (a właściwie wręcz należy) wyznaczyć po prostu w aparacie bezpośredniego ścinania (aparacie skrzynkowym) z uniemożli- wionym przemieszczeniem w jednym kierunku, co odpowiada warunkom wymuszonej powierzchni ścięcia.

Inaczej mówiąc, w zagadnieniu Prandtla ignoruje się naprężenie (główne) σ

²

w kierunku prostopadłym do rozpatrywanej płaszczyzny, które występuje w warunku stanu granicznego w dowolnym przypadku 3D (punkty reprezentujące naprężenia w stanie granicznym leżą na nieskończonym ostrosłupie Coulomba-Mohra, a więc σ

²

jest na ogół powiązane z σ

¹

oraz σ

³

) – por. Rys.2:

β

ε

q

1

+

+ ∞

+ ∞ 0

δ α

o

z

x

A

B

ρ

ω

(2)

Rys.2. Warunek stanu granicznego w 3D.

2. Ogólne uwagi

Jedna z liczb (a nie funkcji położenia) q albo q

1

jest znana, natomiast druga jest do wyznaczenia.

W modelu sprężystym oba obciążenia mogłyby być dowolne, bo obowiązuje zasada superpozycji, również mogłyby być np. uwzględniane osobno, a potem rozwiązania dodane. Tutaj są one powią- zane warunkiem uplastycznienia, analogicznie jak naprężenie okólne σ

r

i osiowe σ

z

w ”trójosiówce” w stanie plastycznego płynięcia próbki – przy ścinaniu; dla zadanego osiowego σ

z

może być tylko jedno okólne σ

^r

, dla zadanego okólnego σ

^r

może być tylko jedno osiowe σ

^z

.

Kąty dodatnie mają zwrot przeciwny do ruchu wskazówek zegara, rozpatrywane naprężenia ściskające są dodatnie. Równaniami równowagi statycznej w ośrodku nieważkim są równania różniczkowe cząstkowe:

0 , ,

0 ,

,

z x x

x z z

= τ + σ

= γ

= τ +

σ (1)

Warunkiem stanu granicznego jest równanie algebraiczne:

( ^σ ⁺ ^σ ) ^⋅ ^ϕ

= τ

⋅ + σ

−

σ ) 4 sin

(

_z _x ² ² _z _x

(2) Chociaż są 3 równania na 3 niewiadome funkcje (naprężenia σ

y

= σ

2

są z założenia pominięte), to poza kilkoma prostymi przypadkami np. parcia gruntu na ścianę Coulomba, nie udaje się rozwiązać równań (1),(2) drogą analityczną – tym bardziej dla γ > 0.

Jak widać model jest statycznie wyznaczalny, nie analizuje przemieszczeń ośrodka.

Rozwiązania można znaleźć w sposób przybliżony metodami numerycznymi, tzw. metodą charakte- rystyk. Wynika z tych rozwiązań w szczególności, że zadanie jest sformułowane nieprawidłowo (!).

Można bowiem przyjąć, że zadane q jest stałe wzdłuż krawędzi 0A, ale wcale nie wiadomo, dlaczego szukane q

1

na krawędzi 0B miałoby wyjść również stałe. Obliczenia numeryczne wykazują, że

obciążenie to jest trochę zmienne wzdłuż tej krawędzi klina: ma wartość asymptotyczną q

1

, ale generalnie stopniowo trochę maleje przy zbliżaniu się do naroża „0”.

Poszukiwanie stałej wartości q

1

wzdłuż całej krawędzi 0B klina jest więc tylko postępowaniem przybliżonym.

3. Założenie Prandtla

Założenie, że poszukiwane q

1

= const na całej krawędzi 0B ma znacznie szerszy kontekst.

Prandtl wprowadził walcowy (biegunowy) układ współrzędnych 2D z odległością ρ od naroża „0” oraz z kątem ω liczonym do pionu, Rys.1.

Nie wchodząc w szczegóły: równania (1) zawierają wówczas przetransformowane składowe

naprężenia σ

ρ

, σ

ω,

τ

ρω

zamiast σ

^z

, σ

^{x ,}

τ oraz odpowiednio pochodne cząstkowe w nowych zmiennych

∂ / ∂ρ oraz ∂ / ∂ω zamiast ∂ / ∂ z oraz ∂ / ∂ x.

Podstawowym uproszczeniem Prandtla jest założenie, że

Oznacza to, że kąt ϕ

^3D

wyznaczany w

„trójosiówce” może być inny niż kąt ϕ

^2D

wyznaczany w aparacie skrzynkowym – i rzeczywiście tak jest:

ϕ

2D

≅ ϕ

3D

+ 2

^o

÷4

^o

w gruntach luźnych, ϕ

2D

≅ ϕ

3D

+ 4

^o

÷9

^o

w gruntach zagęszcz.

Warto o tym pamiętać, nie tylko w

kontekście rozwiązania Prandtla.

(3)

Tak jest już z założenia wzdłuż krawędzi 0A, 0B, bo to też są (skrajne) promienie. W ośrodku

nieważkim jest to do przyjęcia również dla kątów ω pośrednich, zawartych między krawędziami klina.

W takim razie, w klinie pozostaje wyłącznie zależność naprężeń od jednej zmiennej – kąta ω . A zatem układ równań różniczkowych cząstkowych (1),(2) przekształca się w układ równań różniczkowych zwyczajnych, bo znikają wszystkie pochodne ∂ / ∂ρ , a zostają jedynie ∂ / ∂ω .

Jest to zagadnienie znacznie prostsze do rozwiązania, co wcale nie znaczy jednak, że jest proste.

Założenie Prandtla zupełnie nie nadawałoby się do ośrodka „ciężkiego” z γ > 0, bo np. klin A0B na Rys.1 może być półpłaszczyzną, oś pionowa wychodząca z bieguna 0 jest też promieniem, a wzdłuż niej naprężenia liniowo rosną z głębokością.

4. Rozwiązanie Prandtla

Z podobieństwa (jednokładności) wszystkich kół Mohra, stycznych do obwiedni τ = ±σ⋅tgϕ, można się spodziewać, że q

1

jest proporcjonalne do q i rzeczywiście, rozwiązaniem otrzymanym przez Prandtla jest:

(Pr) aq

1

q K

q = ⋅ (3a) K

aq(Pr)

jest współczynnikiem parcia gruntu wg Prandtla,

współczynnikiem dla parcia czynnego skoro q

1

< q.

Definiujemy ważny parametr Θ zwany kątem wachlarza Prandtla:

= + + − (4) gdzie

ω

αo

obliczamy z równania: sin(ω

αo

) = sin(α

o

)/sin(ϕ) ω

δ

obliczamy z równania: sin( ω

δ

) = sin( δ )/sin( ϕ ).

Jeśli Θ ≥ 0 (zazwyczaj tak jest dla rozwartego kąta A0B), to:

{ − ⋅ Θ ⋅ ϕ }

ω ⋅

⋅ ϕ + α

ω

⋅ ϕ

−

= δ

α

δ

exp 2 tg

cos sin cos

cos sin K cos

o o

(Pr)

aq

(5a)

Jeśli Θ ≤ 0, to:

) m cos(

sin ) n cos(

) m cos(

sin ) n cos(

cos sin cos

cos sin K cos

o o

(Pr)

aq

+ ϕ ⋅

⋅ ϕ

⋅ − ω

⋅ ϕ + α

ω

⋅ ϕ

−

= δ

α

δ

(5b) gdzie

kąt n obliczamy z równania: sin(n) = sin( ϕ ) ⋅ sin(m), przy czym m = π /2 + Θ .

5. Interpretacja „kinematyczna”

Stanowi granicznemu towarzyszy płaszczyzna ścięcia (poślizgu) pod kątem π/4 ± ϕ/2 względem

naprężeń głównych σ

1

, σ

3

. W klinie te kierunki główne σ

i

są jednak generalnie zmienne i lokalne

poślizgi w sąsiednich punktach składają się na linie o dosyć złożonym kształcie, Rys.2.

(4)

Rys.3. Linie poślizgu

Występują dwie rodziny prostoliniowych równoległych linii poślizgu (ścięcia):

• klin „odporu” A0A

W

• klin „parcia” B0B

W

oraz krzywoliniowa strefa przejściowa B

w

0A

w

zwana wachlarzem Prandtla (prostoliniowe promienie wychodzące z naroża 0 oraz spirale logarytmiczne), która w sposób ciągły i gładki (ciągłe styczne) łączy te dwie rodziny z sąsiadujących klinów.

Wartość kąta B

w

0A

w

wynosi Θ ≥ 0, czyli kąt Θ jest rozwartością wachlarza Prandtla.

Dla możliwego przypadku Θ ≤ 0, wachlarz Prandtla fizycznie nie występuje, linie poślizgu są wyłącznie liniami prostymi, przechodzącymi z klina „odporu” do klina „parcia”. Te kliny, w pewnym sensie, przenikają się i jest zgodność z założeniem Ponceleta.

Ponieważ lokalne ścięcie (uplastycznienie) jest zakładane w każdym punkcie klina, więc narysowane powyżej linie poślizgu de facto występują nieskończenie gęsto.

6. Przykłady zastosowań Przykład 1: Zgodność z teorią Coulomba dla parcia czynnego.

Jest to przypadek sztywnej, pionowej, gładkiej „ściany Coulomba”: ε = β = α

o

= δ = 0.

Klin gruntu jest ćwiartką dolną płaszczyzny, tj. x > 0, z > 0, por. Rys.4.

Zatem również ω

αo

= 0, ω

δ

= 0 i w końcu we wzorze (4) jest Θ

= 0, a rozwiązania (5a) i (5b) pokrywają się. Znane jest q, a szukane jest q

1

, przy czym q

1

< q i zachodzi stan graniczny, czyli q

1

oznacza parcie czynne gruntu e

a

na gładką, pionową ścianę. Bezpośrednie podstawienie do (5) potwierdza, że:

ϕ +

ϕ

⋅ −

=

⋅

= 1 sin

sin q 1

K q

q ₁ ^(Pr) _aq _,

co pokrywa się z ogólnym wzorem Coulomba:

e

a

= K

a

⋅ (γ⋅z + q) = q⋅ K

a

dla γ = 0.

Rys.4. Klin odłamu Coulomba.

„Zwykły” trójkątny klin odłamu dla parcia czynnego wg Coulomba składa się tutaj z klina „parcia” przy ścianie i klina „odporu” przy powierzchni, ale w sumie dają one jeden trójkąt i prostoliniowe linie

B

0 A

B

w

A

w

π /4+ ϕ/2 q

0 B

A

q

1

(5)

Wachlarz Prandtla nie występuje lub redukuje się do jednej linii o zerowej grubości, 0A

w

= 0B

w

. W tym przypadku – całkiem wyjątkowo – można z rozwiązania dla γ = 0 wyprowadzić wzór na parcie czynne gruntu ważkiego, ponieważ zachodzi zasada superpozycji w stanie granicznym naprężenia

¹

: e

a

= ( γ⋅ z + q) ⋅ K

a

.

Przykład 2: W teorii Prandtla parcie bierne natychmiast wynika z parcia czynnego.

Dotychczas zakładano, że zadane jest q, a szukane jest q

1

, przy czym q

1

< q oraz że cały klin jest

„uplastyczniony” (wewnętrzne mikro-poślizgi składające się ma makro-poślizgi).

W domyśle:

q jest przyłożonym obciążeniem gruntu, a q

1

jest mniejszym od niego parciem gruntu na sztywną ścianę 0B

w

, która ma możliwość przemieszczeń ”od gruntu”

(parcie gruntu na ścianę jest małe, bo zaczyna on pracować na ścinanie).

Nic nie stoi na przeszkodzi, aby odwrócić sytuację:

zadane jest q

1

, a szukane jest q, przy czym jak poprzednio q > q

1

oraz że cały klin jest

„uplastyczniony” (wewnętrzne mikro-poślizgi składające się ma makro-poślizg).

W domyśle:

q

1

jest przyłożonym obciążeniem gruntu, a q jest większym od niego odporem gruntu na ścianę, która ma możliwość przemieszczeń „do gruntu”

(parcie gruntu na ścianę wzrośnie, bo trzeba pokonać opór gruntu na ścinanie).

A zatem od razu z (3a) otrzymuje się

(Pr) aq

1

K

q = q (3b)

lub po prostu q = q

₁

⋅ K

^(Pr)_pq

gdzie

_(Pr)

aq (Pr)

pq

K

K = 1

Zachodzi więc (jak i u Coulomba) zawsze: K

p

⋅ K

a

= 1 ,

co nie jest prawdziwe u Ponceleta i Müllera-Breslaua (też PN-83/B-03010).

W odróżnieniu od teorii Rankine’a, Coulomba, czy Ponceleta, parcie bierne i parcie czynne są u Prandtla właściwie tym samym przypadkiem, problem tylko jak obrócić klin gruntu (co jest znane, a co szukane)

²

. Dobrze koresponduje to z doświadczeniem, bo ścięcie (poślizg) w próbce jest jednym zjawiskiem fizycznym i jedno jest graniczne koło Mohra. Czy nazwać to stanem czynnym, czy stanem biernym, decyduje dla σ

¹

> σ

³

:

• czy σ

^z

= σ

¹

oraz σ

^x

= σ

³

… ten przypadek oznacza parcie czynne na pionowa ścianę,

• czy σ

^x

= σ

¹

oraz σ

^z

= σ

³

… ten przypadek oznacza parcie bierne na pionowa ścianę.

Przykład 3: Z klinem ważkim są kłopoty (prawie) nie do pokonania.

Ciężar własny γ > 0 wyklucza dopuszczalność podstawowego założenia Prandtla z pkt.3,

bo na przykład kierunek pionowy jest jednym z promieni ρ wychodzących z naroża 0, a tutaj naprę- żenia rosłyby z głębokością, więc metoda jest nieskuteczna.

1) Jeśli obciążenia zewnętrzne q lub q

1

są „bardzo duże” w stosunku do obciążeń od ciężaru własnego γ > 0 (np. cienka warstwa gruntu lub niska ściana oporowa), to całkowite pominięcie ciężaru własnego mogłoby być czasem dopuszczalne.

1

Zachodzi ona, jeśli kierunki główne staniu naprężenia są zgodne, por. Przykład 3.

2

Obracać tym klinem można swobodnie, bo jeśli ośrodek jest nieważki, to nie ma kierunku wyróżnionego przez

pionową siłę grawitacji; widać to również w (4), że rozwiązanie nie zależy osobno od ε oraz β odniesionych do

kierunku pionowego i poziomego, zależy tylko od ε - β.

(6)

2) Zwykle jednak jest odwrotnie, a wtedy wpływ γ > 0 szacuje się inną metodą (dla q = 0) i dodaje do oddziaływań od q z rozwiązania Prandtla.

Takim przybliżonym szacowaniem może być również całkowanie rozwiązania Prandtla dla q = const, co jest przedstawione poniżej.

Niech ε będzie nachyleniem terenu, a parametrem opisu parcia gruntu jest długość L = 0B, liczona wzdłuż ściany.

Jeśli za stałe obciążenie (naprężenie) pionowe przyjąć dq = γ⋅dz⋅cos(ε) = γ⋅dL⋅cos(β)⋅cos(ε), ale przyłożyć je na pewnej głębokości wewnątrz klina A0B, wzdłuż linii równoległej do 0A, to poniżej punktu P spowoduje ono parcie czynne na ścianę przybliżone wzorem

dq

1

= K

aq(Pr)

⋅dq wg (3).

Należy zsumować skutki działania wszystkich takich pasków dq w całym zakresie od 0 do L, czyli powyżej rozpatrywanego odcinka L.

Jeśli przyjąć = ∙ cos β ⋅cos ε , to Rys.5. Model przybliżony dla γ> 0.

= !

_"

=

_$^#

∙ % ∙ cos β ⋅cos ε dL = ∙ % ∙

Przybliżony charakter rozwiązania wynika stąd, że w bilansie sił pionowych pomija się część sił pionowych przenoszonych przez ścianę o nachylonej lub szorstkiej powierzchni; parcia gruntu są zatem zawyżone.

W warunkach Coulomba jest to oczywiście metoda ścisła, bo gładka pionowa ściana nie przejmuje od zasypki żadnych sił pionowych i „schodząc” na niższe poziomy mamy rzeczywiście stałe obciążenia od warstewek obliczeniowych dq = γ⋅dz = γ⋅dL.

Komentarz:

Takie dodawanie rozwiązań w ramach stanów granicznych wymaga dużej ostrożności – w odróżnię- niu od np. liniowej sprężystości. Na ogół bowiem zasada superpozycji tutaj nie zachodzi.

Jeśli klocek o ciężarze N

1

leży na poziomej szorstkiej powierzchni o współczynniku tarcia kinematycznego µ, a siła T

1

= µ⋅N

1

przesuwa go ruchem jednostajnym w prawo, to jest to stan

graniczny (poślizg). Oczywiście, siła T

2

= −µ⋅ N

1

będzie tak samo przesuwała w lewo (poślizg) klocek o ciężarze N

1

.

Jeśli skleić ze sobą takie dwa klocki (ciężar 2N

1

) i przyłożyć obie siły poziome, to nie spowoduje to stanu granicznego, ponieważ T = T

1

+ T

2

= 0. Suma stanów granicznych nie jest tutaj stanem

granicznym. Ale w przypadku, gdy obie siły działają w tę samą stronę, suma stanów granicznych jest stanem granicznym, bo: T = µ⋅N , jeśli T = T

¹

+ T

2

, N = 2N

1

, przy czym tutaj T

1

= µ⋅N

¹

, T

2

= µ⋅N

¹

. Bardziej ogólnie: to samo przenosi się na naprężenia, jeśli kierunki główne i znaki (zwroty) są identyczne, oba σ

¹

są równoległe i oba σ

³

są równoległe wzajemnie do siebie

³

:

(

₎^"

= ∙ (

_"^"

, (

₎

= ∙ (

_"

oraz (

₎

= (

₎^"

+ (

₎

, (

_"

= (

_"^"

+ (

_"

powodują, że również (

₎

= ∙ (

_"

.

dq A 0

B H

P

dq

1

z β

L

dz dL

ε

dz

(7)

Przykład 4: Nośność ławy fundamentowej R

k

Nie od razu to widać, ale powszechnie stosowany normowy wzór w EC7-1 na nośność ławy R

k

[kN/m]

jest w zasadzie rozwiązaniem Prandtla dla klina w płaskim stanie przemieszczenia, czyli ma ścisły związek ze … ścianami oporowymi.

Wyprowadza się go w wersji dla naprężeń, czyli dla q

f

= R

k

/B, tj.:

!

_*

= + ∙ ,

_-

+ !

_"

∙ , + ½ ⋅γ⋅B⋅ , [kPa] (6) 1. Zakładamy, że c = 0.

Jeśli tak nie jest, to N

c

łatwo otrzymać z tzw. zasady odpowiadających stanów naprężeń

(Wykład 7), N

c

= ctg ϕ⋅ (N

D

– 1); a zatem uwzględnienie spójności c > 0 następuje w sposób ścisły i ten wpływ po prostu się sumuje w (6).

2. Zakładamy, że γ = 0.

Przypadek γ > 0 można uwzględnić wyłącznie metodami przybliżonymi, co omawiano w poprzed- nim przykładzie. Sumowanie tego wpływu jest tylko przybliżone, więc różne źródła mogą

przyjmować różną postać współczynnika N

γ

.

3. Trzeba wykazać, że !

_*

= !

_"

∙ , , czyli wyznaczyć N

q

.

Obciążenie q pod ławą na szerokości B przedłuża się do nieskończoności w prawo, bo o nośności ławy decyduje i tak strona przeciwna, gdzie q

1

jest mniejsze i tam nastąpi wyparcie gruntu z pod- łoża pod ławą. Minimalna głębokość zagłębienia fundamentu wynosi h

f

,

co daje obciążenie q

1

= γ⋅ h

f

;

pomija się wytrzymałość gruntu obok fundamentu, stanowi on jedynie balast.

W tym przypadku znane są: q

1

, ε = 0, β = - π /2, α

^o

= 0, δ = 0.

Zatem również ω

αo

= 0, ω

δ

= 0 i w końcu we wzorze (4) jest Θ = 0 – (-π/2) = π/2 > 0.

Oczywiście szukamy !

_*

= ! =

_/⁰¹

∙ !

_"

1 + ¥ + ¥ b 0 r + ¥ e + d w a

ROZWIĄZANIE PRANDTLA

dla klina gruntu w granicznym stanie naprężenia

1. Dane Modelem gruntu jest ośrodek rozdrobniony Coulomba:

1) niespoisty (c = 0, ϕ > 0) i nieważki ( γ = 0),

2) w płaskim stanie odkształcenia (2D – bardzo długa konstrukcja), 3) zalegający w postaci nieskończonego klina opisanego kątami:

ε (do poziomu), - ϕ < ε < ϕ , β (do pionu),

4) spełniający w każdym punkcie klina naprężeniowe równania równowagi statycznej, 5) spełniający w każdym punkcie klina warunek stanu granicznego („uplastycznienie”),

czyli w naprężeniach stycznych i normalnych τ = σ·tgϕ, 6) obciążony równomiernie na krawędziach:

q = const ukośnie pod kątem α

do normalnej, -ϕ < α

< ϕ q

= const ukośnie pod kątem δ do normalnej, - ϕ < δ < ϕ ,

przy czym zakładamy, że q jest zadane, a q

jest szukane (albo odwrotnie).

Szczegóły przedstawiono na Rys.1.

Prezentowana sytuacja może zostać obrócona o dowolny kąt, ponieważ nie ma tu uprzywilejowanego kierunku, takiego jak kierunek pionowy dla ciężkich materiałów ( γ > 0); dlatego zakładamy,

że np. q > q

, bez utraty ogólności.

Rys.1. Klin Prandtla w stanie granicznym (tutaj: β, α

< 0 natomiast δ, ε > 0).

Komentarz:

zaskakujące, ale duże problemy stwarza tutaj A kąt tarcia wewnętrznego ϕ .

Inaczej mówiąc, w zagadnieniu Prandtla ignoruje się naprężenie (główne) σ

w kierunku prostopadłym do rozpatrywanej płaszczyzny, które występuje w warunku stanu granicznego w dowolnym przypadku 3D (punkty reprezentujące naprężenia w stanie granicznym leżą na nieskończonym ostrosłupie Coulomba-Mohra, a więc σ

jest na ogół powiązane z σ

oraz σ

) – por. Rys.2:

β

ε

q

q

+

+ ∞

+ ∞

+ ∞ 0

δ α

z

x

A

B

ρ

ω

Rys.2. Warunek stanu granicznego w 3D.

2. Ogólne uwagi

Jedna z liczb (a nie funkcji położenia) q albo q

jest znana, natomiast druga jest do wyznaczenia.

W modelu sprężystym oba obciążenia mogłyby być dowolne, bo obowiązuje zasada superpozycji, również mogłyby być np. uwzględniane osobno, a potem rozwiązania dodane. Tutaj są one powią- zane warunkiem uplastycznienia, analogicznie jak naprężenie okólne σ

i osiowe σ

w ”trójosiówce” w stanie plastycznego płynięcia próbki – przy ścinaniu; dla zadanego osiowego σ

może być tylko jedno okólne σ

, dla zadanego okólnego σ

może być tylko jedno osiowe σ

.

Kąty dodatnie mają zwrot przeciwny do ruchu wskazówek zegara, rozpatrywane naprężenia ściskające są dodatnie. Równaniami równowagi statycznej w ośrodku nieważkim są równania różniczkowe cząstkowe:

0 , ,

0 ,

,

= τ + σ

= γ

= τ +

σ (1)

Warunkiem stanu granicznego jest równanie algebraiczne:

( σ + σ ) ⋅ ϕ

= τ

⋅ + σ

−

σ ) 4 sin

(

(2) Chociaż są 3 równania na 3 niewiadome funkcje (naprężenia σ

= σ

są z założenia pominięte), to poza kilkoma prostymi przypadkami np. parcia gruntu na ścianę Coulomba, nie udaje się rozwiązać równań (1),(2) drogą analityczną – tym bardziej dla γ > 0.

Jak widać model jest statycznie wyznaczalny, nie analizuje przemieszczeń ośrodka.

Rozwiązania można znaleźć w sposób przybliżony metodami numerycznymi, tzw. metodą charakte- rystyk. Wynika z tych rozwiązań w szczególności, że zadanie jest sformułowane nieprawidłowo (!).

Można bowiem przyjąć, że zadane q jest stałe wzdłuż krawędzi 0A, ale wcale nie wiadomo, dlaczego szukane q

na krawędzi 0B miałoby wyjść również stałe. Obliczenia numeryczne wykazują, że

obciążenie to jest trochę zmienne wzdłuż tej krawędzi klina: ma wartość asymptotyczną q

, ale generalnie stopniowo trochę maleje przy zbliżaniu się do naroża „0”.

Poszukiwanie stałej wartości q

wzdłuż całej krawędzi 0B klina jest więc tylko postępowaniem przybliżonym.

( ^σ ⁺ ^σ ) ^⋅ ^ϕ