• Nie Znaleziono Wyników

Co to takiego analiza niestandardowa ? W. A. Uspienskij

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Co to takiego analiza niestandardowa ? W. A. Uspienskij"

Copied!
60
0
0

Pełen tekst

(1)

################################################################################

Co to takiego analiza niestandardowa ?

W. A. Uspienskij

Tytuł oryginału : „Что такое нестандартный анализ ?”

Moskwa Nauka 1987

************************************************************************************************

Tłumaczenie : R. Waligóra Pierwsze tłumaczenie : 2014

Ostatnia modyfikacja : 2014-03-30 Tłumaczenie całości książki.

////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

Wstęp ogólny

1) Skróty i oznaczenia zastosowane w tłumaczeniu (własne ).

Dopiski własne oznaczono symbolami (* ... *)

************************************************************************************************

Przedsłowie

Słowo „niestandardowa” w tytule niniejszej książki, wywołuje zapewne pewien naturalny sprzeciw.

A co to jest jeszcze do tego „analiza niestandardowa” ?

Czyżby standardowa analiza matematyczna, wiernie służąca naszym nauczycielom, przestała nas już zadowalać ? Czy należy odejść od zgromadzonej w przeciągu trzech stuleci bogactwa ?

Wszystkie takie pytania zmuszają nas do wyjaśnienia miejsca analizy niestandardowej we współczesnej matematyce.

Miejsce to jest nader skromne. Analiza niestandardowa nie ma zamiaru zastępować analizy standardowej.

Wszystkie istniejące „standardowe” wyniki pozostają w mocy. Oprócz tego, analiza niestandardowa nie pretenduje, aby otrzymać zasadniczo nowe wyniki – wszystkie wyniki otrzymane za pomocą jej metod, mogą być dowiedzione również za pomocą standardowych metod.

Zatem, po co jest nam ona potrzebna ? Można powiedzieć, ze odróżnienie niestandardowego sposobu wykładu od standardowego polega tylko na „wyrażeniach, które przy naszej metodzie są bardziej proste i bardziej dogodne dla sztuki wykładu” ( Leibniz )

Trudno powiedzieć, dlaczego tak jest – doświadczenie w zastosowaniu analizy niestandardowej póki, co jest jeszcze małe.

Jednakże jest to istotnie prawdziwe ( nawet w niewielkim stopniu ), to analiza niestandardowa zasługuje na naszą uwagę.

Interesującym jest zauważyć, że analiza niestandardowa – ta „modna nowinka” – w istocie nie jest taką nowością.

Jego początki można wskazać w tym czasie, w którym rodziła się standardowa analiza matematyczna – w pobliżu końca XVII wieku. Problem w tym, że sama analiza matematyczna pojawiła się – w pracach jednego ze swoich twórców – Leibniza – w tej formie, która niestety jest obecnie bliższa temu, co obecnie nazywa się „analizą niestandardową” niż współcześnie rozumianej „analizie standardowej” ( zobacz również paragraf 12 )

W istocie, zatem nowość jest tym, co zapomniano dawniej.

W niniejszej książce próbujemy pokazać, na czym polega istota analizy niestandardowej, dając czytelnikom możliwość wyrobienie sobie pojęcia o tym, na ile analiza niestandardowa może okazać się użyteczna.

(2)

************************************************************************************************

Rozdział 1 Kilka przykładów.

Czy gryfy i jednorożce należą do parzystokopytnych ? Jak zbudowane są ich układy krwionośne ?

Jak przebiega reakcja chemiczna pomiędzy kamieniem filozoficznym i flogistonem ?

Czytelnik zaznajomiony w poważnymi naukowymi pracami, analizę takich i podobnych zagadnień uzna za oburzające.

Jednakże poszczególne prace związane z analizy niestandardowej mogą wywierać na nieprzygotowanym czytelniku ( nawet na przygotowanym czytelniku, ale stricte w obszarze standardowej matematyki ) podobne wrażenia.

Oto kilka przykładów.

Przykład 1. Obliczmy pochodną funkcji y = x2. Nadajmy argumentowi x przyrost dx, przechodząc od punktu x do punktu x + dx. Wyjaśnijmy na ile przy tym zmienia się wartość samej funkcji. W punkcie x jest ona równa x2. W punkcie x + dx równa się ona :

( x + dx ) = x2 + 2x dx + (dx )2 Zatem, zmienia się ona o : dy = 2x dx + (dx )2 (rys. 1 )

Rys. 1

Stosunek przyrostu dy funkcji y = x do przyrostu dx argumentu x jest równy :

Jeśli dx jest nieskończenie małe ( zapisując dx ≈ 0 ), to człon dx w sumie 2x + dx można zaniedbać, zatem szukana pochodna ( jako stosunek przyrostu funkcji do przyrostu argumentu , jeśli ten ostatni jest nieskończenie mały ) jest równa 2x.

Przykład 2. W analogiczny sposób obliczmy pochodna funkcji y = √x. Przyrost dy jest równy √x + dx – √x, iloraz dy/dx jest równy :

Biorąc dx nieskończenie małym, iż pochodna będzie równa : 1/ √x + √x = 1/2√x

Przykład 3. Przykład ten odnosi się nie do obliczenia czegoś tam, a do definicji pojęcia całki. Tak, więc, co to jest całka : b

f(x) dx a

od funkcji f po odcinku [a, b] ?

Rozbijmy odcinek [a, b] na nieskończenie dużą liczbę H, części o nieskończenie małych długościach dx ( tak, że b = a + Hdx ).

(3)

Rozpatrzmy dalej sumę :

składającą się z nieskończonej liczby członów, a dokładnie z H członów. Wartość tej sumy, pomnożona przez dx będziemy przyjmowali jako powyżej określoną całkę.

Przykład 4. Dowód równomiernej ciągłości funkcji, ciągłej na odcinku. Ciągłość funkcji f w punkcie x oznacza, że dla dowolnego nieskończenie bliskiego punktu x’ wartość f(x’) jest nieskończenie bliska wartości f(x), mówiąc inaczej, dla każdego x’ :

x' ≈ x ⇒ f(x’) ≈ f(x) (1)

gdzie zapis α ≈ β oznacza nieskończona bliskość liczb α i β. Ponieważ z definicji funkcja f jest ciągła w każdym punkcie x, to (1) jest spełnione dla wszystkich x i dla wszystkich x’. Zatem, nieskończona bliskość dowolnych dwóch argumentów pociąga za sobą nieskończoną bliskość wartości funkcji, a to oznacza ciągłość równomierną.

Przykład 5. Budowa zbioru niemierzalnego. Każdą liczbę rzeczywistą x, spełniającą nierówność 0 ≤ x ≤ 1, rozłożymy jako nieskończony rozkład binarny. W celu zapewnienia jednoznaczności wykluczamy rozkłady o nieskończonej liczbie kolejnych jedynek. Ustalmy dowolną nieskończenie dużą liczbę naturalną ν i wybieramy te liczby rzeczywiste, dla których ν-człon rozkładu jest równy 1. Zbiór wszystkich wybranych w ten sposób liczb rzeczywistych jest niemierzalny według Lebesgue’a.

Przykład 6. Rozkład sinusa i nieskończony iloczyn. Wychodząc od równości :

„ex = ( 1 + x /i )i (2) gdzie i oznacza nieskończenie dużą liczbę” ( łac. Infinitus – nieskończony, nie mylić z oznaczeniem jednostki urojonej łac.

Imaginarus – wyobrażony ), „rozpatrzymy wyrażenie :

ex – e–x = ( 1 + x /i )i – ( 1 – x /i )i „ (3)

Dalej wykorzystamy podzielność członu an – z2n na człony postaci a2 – 2az cos(2kπ/n) + z2, przy czym zakładamy : a = ( 1 + x/i ) , z = ( 1 – x/i ) , n = i.

„Ponieważ wielkość 2kπ/i jest nieskończenie mała, to :

cos(2k/i)π = 1 – (2k2/i2 )π2” (4)

Dlatego funkcja ex – e–x będzie podzielna przez 1 + (x2/k2π2 ) – (x2/i2 ), gdzie człon x2/i2 może być opuszczony bez żadnej obawy, ponieważ nawet po pomnożeniu przez i pozostaje on nieskończenie mały. Oprócz tego, pierwszy czynnik będzie równy x. Na tej podstawie po ułożeniu takich czynników w określonej kolejności otrzymamy :

itd.”

Dokonując w tożsamości 95) podstawienia x = z√–1, ostatecznie otrzymujemy :

Student matematyki, którego odpowiedź na egzaminie analizy matematycznej zawierałaby metodę przedstawioną w dowolnym z powyższych przykładów, zapewne otrzymałby ocenę niedostateczną.

Jednakże obliczenia pochodnej wykorzystany w przykładach 1 i 2, pokazany jest w paragrafie 7, rozdziału 2 książki Martina Davis’a „Analiza niestandardowa w zastosowaniach” [3] ( Martin Davis - Applied nonstandard analysis ; John Wiley & Sons 1977 ), przykłady 4 I 5 wzięto również z tej książki ( twierdzenia 5.8 i paragraf 9, rozdział 2 ), a definicja całki ( z pewnymi nieistotnymi zmianami i pewną nieścisłością, którą poprawimy w paragrafie 8 ) z książki [38] Keisler H. J. Elementary Calculus. Przykład 6 odtwarza rozumowanie Eulera, zawarte w paragrafie 155 – 158 pierwszego tomu jego pracy „Introductio in Analysin infinitorum (1784 )

Tekst wzięty w cudzysłów przy przedstawieniu przykładu 6 należy bezpośrednio do Eulera, wzór kończący (6) jest znanym wzorem Eulera dla sinusa i jest on słuszny przy dowolnym zespolonym z.

Jeśli przykłady 1 i 2 chociaż mogą szokować pewną naiwną nieścisłością, ale wszystko w nich odpowiada intuicji,

przykład 4 jest na pierwszy wzgląd zdrowemu rozsądkowi - pozostaje niezrozumiałe, dlaczego podanego rozumowania nie

(4)

można zastosować nie do odcinka, a powiedzmy do interwału, dla którego, jak wiadomo, twierdzenie o równomiernej ciągłości jest niesłuszne.

Przykłady 3 i 6 ( jeśli nie wiemy, ze ostatni z nich należy do Eulera ) stwarzają jeszcze dziwniejsze wrażenie, a przykład 5 wydaje się po prostu abrakadabrą.

Analiza niestandardowa, prawie cała składa się z podobnej abrakadabry, ale mającej w jej ramach ścisły matematyczny sens. ( dla przykładów 1 – 6 sens ten skomentujemy w rozdziale 8 ). W szczególności pozwala ona z nowego punktu widzenia spojrzeć na wiele analiz prowadzonych w ramach klasycznej analizy matematycznej, które wydają się nieścisłe, ale które doprowadziły do postępu, a następnie na drodze niewielkich uściśleń sprawić, aby stały się one zadowalającymi z perspektywy współczesnych kryterii ścisłości.

Rozdział 2 Co to takiego – nieskończenie małe ?

Pierwsze, co należy uściślić w podanych w poprzednim rozdziale „niestandardowych” rozważaniach – to pojęcie wielkości nieskończenie małej. Jeden z zasadniczych momentów analizy niestandardowej związany jest z tym, że

nieskończenie małe rozpatrywane są nie jak wielkości zmienne ( tj. jako funkcje, dążące do zera, jak uczą nas współczesne podręczniki ), a jak wielkości stałe. Warto zauważyć, ze takie podejście jest zgodny zarówno z intuicją badacza, jak i z rzeczywista historią narodzin analizy matematycznej. Co tyczy się intuicji, to wystarczy otworzyć dowolny podręcznik fizyki, aby natknąć się na nieskończenie małe przyrosty, nieskończenie małe objętości itp. Wszystkie te wielkości są rozumiane nie jako zmienne, a po prostu jako wielkości bardzo małe – prawie równe zero. Byłoby nieprawidłowe przyjmować, iż tego typu analizy intuicyjne są obecne tylko w podręcznikach do fizyki. Czy bowiem matematycy nie przyjmują ( poglądowo) element długości ds jako „nieskończenie małą drogę” ?

Matematyk, zestawiając odpowiednie równanie różniczkowe, powie, że w nieskończenie małym czasie dt punkt przebył nieskończenie małą drogę ds, a ilość materii radioaktywnej zmienia się o nieskończenie małą wielkość dN.

Co zaś tyczy historii analizy matematycznej, to w najbardziej jaskrawej formie przedstawione podejście pojawiło się u jednego z twórców tej dyscypliny – Leibniza. W maju 1984 roku upłynęło 300 lat od dnia, w którym symbole dx i dy po raz pierwszy pojawiły się na stronach publikacji matematycznej, a dokładnie na stronach artykułu Leibniza [7]

Właśnie to Leibniz lepiej niż inni odczuwał wielkości nieskończenie małe, jako wielkości stałe ( chociaż robił to w postaci wyobrażeniowej), wielkości specyficzne, to Leibniz sformułował zasady operowania takimi wielkościami w postaci określonych rachunków.

Zatem będzie nam chodziło o liczby nieskończenie małe. Jaka liczbę należy nazwać nieskończenie małą ? Oczywiście, w pierwszej kolejności będzie to zero !

Jednakże fakt taki nie jest interesujący – interesujące będzie znaleźć liczbę nieskończenie małą, nie równą zero ( np. liczbę dodatnią ).

Zatem jaką dodatnią liczbę większą od zera należy nazywać nieskończenie małą ?

Pierwsza, naiwna odpowiedź jest taka – liczbę dodatnią ε nazywamy nieskończenie małą, jeśli jest ona mniejsza od wszystkich liczb dodatnich ( Rys. 2).

Rys. 2

Łatwo jednakże zrozumieć, że w takim sensie liczb dodatnich nie ma – liczba mniejsza od wszystkich innych liczb dodatnich i sama będąc dodatnia, powinna być mniejsza sama od siebie.

Spróbujmy poprawić sytuację, wymagając, aby ε była najmniejsza pośród wszystkich pozostałych liczb dodatnich, ale była ona większa od zera tj. aby ε była najmniejszą liczbą w zbiorze liczb dodatnich.

Na osi liczbowej takie ε powinno być przedstawione przez punkt leżący najbardziej po lewej w zbiorze (0, +∞) ( rys. 3)

Rys. 3

Taką „definicje” liczby nieskończenie małej często podaje się uczniom, którzy dopiero, co rozpoczynają naukę analizy matematycznej. Niestety liczby ε o wskazanych własnościach nie mogą istnieć – jeśli ε jest dodatnia, to liczba ε/2 będzie

(5)

liczbą dodatnią, mniejszą od ε. ( zgodnie ze standardowymi własnościami nierówności dla każdego a > 0 spełniona jest nierówność 0 < ½ a < a ).

Tak więc, jeśli nie chcemy odchodzić od znanych nam własności liczb rzeczywistych ( np. od możliwości podzielenia dowolnej liczby przez 2 lub od możliwości pomnożenia dowolnej nierówności przez liczbę dodatnią ), ale chcemy posiadać liczby nieskończenie małe, to podana definicja nieskończenie małej nie jest odpowiednia.

Bardziej zadowalająca definicja liczby nieskończenie małej ε > 0, którą będziemy posługiwali się dalej, jest taka : Będziemy dodawali liczbę samą ze sobą, otrzymując liczbę ε, ε + ε, ε + ε + ε, ... itd.

Jeśli wszystkie otrzymane liczby okażą się mniejsze od 1, to liczbę ε będziemy nazywali nieskończenie małą.

Innymi słowy, jeśli ε jest nieskończenie mała, to ile byśmy tylko razy nie odkładali odcinak o długości ε wzdłuż odcinka o długości 1, nie wyczerpiemy go do końca (rys. 4)

Rys. 4

Nasze wymagania co do nieskończenie małej ε możemy przepisać następująco :

Zatem, jeśli liczba ε jest nieskończenie mała, to liczba 1/ε jest nieskończenie wielka w tym sensie, że jest ona większa od dowolnej z liczb : 1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, ....

Tak więc, jeśli będziemy mierzyli odcinek o długości 1/ε z pomocą etalonu długości ( tj. będziemy odkładali kolejno odcinki o długości jednostkowej ), to proces pomiaru nigdy się nie zakończy.

Z powyższej analizy można się przekonać, że istnienie nieskończenie małych jest sprzeczne z tzw. aksjomatem Archimedesa, który mówi, że dla dowolnych dwóch odcinków A i B można odłożyć mniejszy z nich (np. A ) dowolną liczbę razy, tak aby w sumie otrzymać odcinek, przewyższający co do długości odcinek dłuższy (B)

( na rysunku 5 odłożono odcinek A 4 razy )

Rys. 5

Podane sformułowanie dotyczy odcinków, jeśli przyjmiemy ( jak to się robi standardowo), ze długości odcinków są liczbami, to dochodzimy do następującego sformułowania aksjomatu Archimedesa :

Dla dowolnych dwóch liczb a, b dla których 0 < a < b, jedna z nierówności a + a > b, a + a + a > ....

jest spełniona obowiązkowo. W dalszej kolejności, jeśli będziemy mówili o aksjomacie Archimedesa, to będziemy mieli na myśli właśnie to sformułowanie.

Z takiego sformułowania widać, ze w zbiorze liczb rzeczywistych ( gdzie aksjomat ten jest spełniony ) nieskończenie małe nie występują – aby się o tym przekonać, wystarczy przyjąć a = ε, b = 1. Dalej przekonamy się, ze w istocie aksjomat Archimedesa jest równoważny stwierdzeniu o nie występowaniu nieskończenie małych elementów, nie równych zero.

Wniosek z tego wszystkiego jest następujący : jeśli chcemy rozpatrywać nieskończenie małe, to należy rozszerzyć zbiór R – liczb rzeczywistych do pewnego większego zbioru R*. Elementy tego nowego zbioru będziemy nazywali liczbami hiprrzeczywistymi. W zbiorze tym aksjomat Archimedesa nie jest spełniony i istnieją nieskończenie małe liczby ( w sensie poniższej definicji ) – takie, ze ile razy byψmy je nie dodawali wzajemnie, suma cały czas pozostaje mniejsza niż 1.

Podobnie jak standardowa analiza matematyczna zajmuje się badaniem zbioru liczb rzeczywistych R, analiza

niestandardowa bada zbiór liczb hiperrzeczywistych R*. Otrzymane w wyniku takiego badania wyniki wykorzystuje się dla analizy własności R ( w ten sposób mogą być otrzymane „niestandardowe” dowody własności zwyczajnych liczb

rzeczywistych )

Porządek w R jest archimedesowy, a w R* niearchimedesowy tzn. że w R aksjomat Archimedesa jest spełniony, a w R*

nie. Z tego powodu standardowa analiza nazywana jest czasami archimedesowską, a analiza niestandardowa – niearchimedesowską.

Zatem dla zbudowania analizy niestandardowej należy rozszerzyć zbiór liczb rzeczywistych do szerszego zbioru liczb hiperrzeczywistych. Zanim to jednak zrobimy pomówimy o samych liczbach rzeczywistych i ich pochodzeniu.

(6)

Do tej pory zakładaliśmy milcząco, że pojęcie liczby rzeczywistej jest nam znane. Tym niemniej nienależny zapominać, że pojęcie liczby rzeczywistej ma długą historię, sięgającą początków jeszcze w starożytnej Grecji ( o czym przypomina nazwa „aksjomat Archimedesa” ), historia ta kończy się dopiero w XIX wieku. Historia ta pomoże nam lepiej zrozumieć miejsce liczb hiperrzeczywistych pośród różnorodnych systemów liczbowych.

Najbardziej pierwotnym i podstawowym systemem liczbowym jest oczywiście układ liczb naturalnych.

Znane stwierdzenie niemieckiego matematyka L. Kroneckera (1823 – 1891 ) „Die genze zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles anderes ist menschenwerk” ( Bóg stworzył liczby całkowite, wszystko inne jest dziełem człowieka ) w jeszcze większym stopniu może być odniesione do liczb naturalnych ( sam Kronecker miał raczej na myśli te liczby, przekład jest zbyt dosłowny )

Liczb naturalnych okazuje się zbyt mało : próbując szukać rozwiązania równania 3 + x = 2 w zbiorze liczb naturalnych, przekonujemy się, że nie ma ono rozwiązania i nasze żądanie zdefiniowania operacji odejmowania okazuje się

niezadowalające. Dlatego też rozszerzamy zbiór liczb naturalnych do zbioru liczb całkowitych W takiej procedurze obecnie jest dla nas ważna następująca sprawa :

w jaki sposób zdefiniowaliśmy dodawanie i mnożenie na zbiorze liczb całkowitych ?

To, ze 2 + 2 = 4 można zobaczyć, dodając dwa koszyki w których są po dwa jabłka. Jednakże dlaczego przyjmujemy, że : (–2) + (–2) = –4 ?

Dlaczego przyjmujemy, że (–1) (–1) = 1 ?

Zagadnienie nie jest tak trywialne, jak może się wydawać. Znalezienie prawidłowej odpowiedzi będzie prostsze, jeśli sformułujemy pytanie nieco inaczej : co złego stanie się, jeśli przyjmiemy np. że (–1) • (–1) = 1 ?

Odpowiedź jest prosta : w tym przypadku dobrze znane własności dodawania i mnożenia liczb naturalnych

( komutatywność, asocjatywność i inne ) nie będą spełnione w zbiorze liczb całkowitych. Można pokazać, ze standardowa definicja operacji nad liczbami ujemnymi jest jedyną możliwą, jeśli tylko chcemy zachować znane własności operacji dodawania i mnożenia.

Należy się tutaj zastanowić głębiej i zapytać :

Jakie właściwie własności dodawania i mnożenia chcemy zachować ?

Jeśli bowiem chcielibyśmy zachować wszystkie własności, to wprowadzenie liczb ujemnych byłoby nie tylko zbyteczne ale i szkodliwe : własność „równanie x + 3 = 2 nie posiada rozwiązań” słuszna dla liczb naturalnych, staje się niesłuszna dla liczb całkowitych !

Jeśli nie chcemy zachować niczego, to całe zagadnienie staje się nie tyle łatwe, co po prostu puste : możemy zdefiniować operacje prowadzone z liczbami ujemnymi jak nam się podoba. Prawidłowy wybór jest tutaj jak zwykle sprawą

lawirowania pomiędzy Scyllą ślepego ulegania tradycji i Charybdą bezpłodnego nowatorstwa.

Powracając do historii rozwoju pojęcia liczby, widzimy że wprowadzenie liczb ujemnych nie jest całkowicie satysfakcjonujące :

Równanie 2 • x = 3 tak jak i wcześniejsze równanie nie posiada rozwiązania. To pobudza nas aby wprowadzić liczby wymierne (ułamki). Ale i to okazuje się niewystarczające : od liczb wymiernych musimy przejść do liczb rzeczywistych.

W wyniku tego procesu otrzymujemy ciąg zbiorów : N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

( liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych, rzeczywistych )

W takim ciągu inkluzji każdy kolejny zbiór zawiera w sobie zbiór poprzedni, a operacje wykonywane w zbiorze węższym są przedłużane na zbiór szerszy, zachowując przy tym swoje użyteczne własności.

Taki ciąg zbiorów chcielibyśmy przedłużyć o jeszcze jedno ogniwo, otrzymując ciąg : N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ R*

Wybiegając nieco do przodu, powiemy że nowy krok takiego rozszerzenia będzie miał wiele wspólnego z poprzednim – przedłużymy mianowicie na R* operacje wykonywane w R, zachowując przy tym ich własności. Będą jednakże miały miejsce dwie zasadnicze różnice.

Po pierwsze , rozszerzenie to ( tj. przejście od R do R* ) można zrealizować na wiele możliwych sposobów tj. można zbudować istotnie różne zbiory R*, pośród których ani jeden z nich nie jest wyróżniony. Jednocześnie należy pamiętać, ze wszystkie kroki rozszerzenia układu liczb od N do R były w pewnym sensie jednoznaczne.

Po drugie istnieje pewna różnica naszych celów. Jeśli pierwotnie ( tj. poruszając się od N do R ) budowaliśmy nowy układ liczbowy głownie po to, aby analizować jego własności oraz jego zastosowania, to budowany układ R* nie jest na tyle po to aby badać jego własności, ale raczej po to, aby z jego pomocą analizować własności R.

Przy tym być może różnica ta nie jest zbyt duża – wcześniej też rozszerzenie układu liczbowego było jednym ze sposobów otrzymania nowych wiadomości o starych obiektach ( np. mamy dział matematyki zwany analityczną teorią liczb )

Oprócz tego zbiór R* można rozpatrywać (być może ) jako odpowiadający rzeczywistości fizycznej nie gorzej niż zbiór R ( zobacz paragraf 12 )

Zatem powróćmy do stojącego przed nami zadania : należy rozszerzyć zbiór R do większego zbioru R*, zawierającego nieskończenie małe, zachowując przy tym wszystkie użyteczne własności R. Centralne zagadnienie polega na tym, jakie konkretne własności liczb rzeczywistych chcielibyśmy zachować ?

Na to pytanie nie odpowiemy od razu, najpierw skupimy się na najprostszych własnościach liczb rzeczywistych.

(7)

W pierwszej kolejności chcielibyśmy, aby liczby hiperrzeczywiste można było dodawać, mnożyć, odejmować i dzielić, tak aby te operacje posiadały standardowe własności, nazywane aksjomatami ciała. Sformułujmy je dokładnie.

Pośród liczb hiperrzeczywistych powinny być wyróżnione liczby 0 i 1, powinny być zadane operacje dodawania x + y, mnożenia x • y, brania elementu przeciwnego –x, elementu odwrotnego 1/x ( przy x ≠ 0 ).

Przy tym wszystkim powinny być spełnione następujące własności :

Zbiór z operacjami spełniającymi takie własności nazywa się ciałem. Zatem warunki 1 – 9 można krótko sformułować tak : R* powinno być ciałem liczbowym.

Oprócz operacji arytmetycznych, na liczbach hiperrzeczywistych powinniśmy zadać porządek. Oznacza to, że dla dowolnych dwóch różnych liczb hiperrzeczywistych a i b powinniśmy określić jaka z nich jest większa

( tj. określić - albo a > b, albo b < a )

Przy tym powinny być spełnione następujące własności : 10) jeśli a > b, b > c, to a > c

11) jeśli a > b, to a + c > b + c dla dowolnego c 12) jeśli a > b, c > 0, to a c > b c

jeśli a > b, c < 0, to a • c < b • c

Ciało w którym wprowadzono porządek o powyższych własnościach, nazywa się ciałem uporządkowanym.

Zatem, można powiedzieć, ze R* powinno być ciałem uporządkowanym.

Chcemy aby pośród liczb hiperrzeczywistych zawarte były wszystkie liczby rzeczywiste. Przy takiej operacji porządki określone na R i R* powinny być zgodne – jeśli suma dwóch liczb rzeczywistych x i y jest równa z, to suma x i y,

rozpatrywanych jako liczby hiperrzeczywiste, również powinna być równa z. ( byłoby bardzo dziwne, jeśli po przejściu do zbioru R*, równość 2 + 2 = 4 przestała być słuszna ! )

Dokładnie tak powinna wyglądać sprawa i z innymi operacjami oraz z porządkiem – jeśli x, y ∈ R i x > y ( w ogólnym sensie ), to x powinno być większe od y również jako liczba hiperrzeczywista !

Takie warunki zgodności można krótko wyrazić tak : ciało uporządkowane R* powinno być rozszerzeniem ciała uporządkowanego R.

Tym nie wyczerpujemy własności liczb rzeczywistych, które chcielibyśmy zachować. Jednakże dalej należałoby powiedzieć o tym czego nowego oczekujemy od R*. Czego nie omówiliśmy do tej pory – nieskończenie małych ( dokładniej należałoby powiedzieć – nieskończenie małych różnych od zera, ponieważ 0 również będzie nieskończenie małą liczbą, według naszej definicji )

Co to takiego liczba nieskończenie mała ( dokładniej – nieskończenie mały element ciała uporządkowanego ) ?

Definicja. Element x 0 ciała uporządkowanego nazywamy nieskończenie małym, jeśli x < 1, x + x < 1 , x + x + x < 1 itd.

Definicja ta odnosi się do nieujemnych x, ujemne x nazywamy nieskończenie małym, jeśli – x(= | x | ) jest nieskończenie małe.

Jak widzieliśmy istnienie niezerowych nieskończenie małych jest sprzeczne z aksjomatem Archimedesa. Słuszne jest i stwierdzenie odwrotne – jeśli dla uporządkowanego ciała nie spełniony jest aksjomat Archimedesa tj. istnieją takie x, y > 0, że x < y, x + x < y , x + x + x < y itd., to istnieją niezerowe nieskończenie małe. Taką będzie np. liczba x/y : mnożąc nierówność x + x + ... + x < y przez liczbę dodatnią 1/y, otrzymujemy na mocy własności 912) iż x/y + x/y + ... + x/y < 1.

Zatem, istnienie niezerowych nieskończenie małych jest równoważne naruszeniu aksjomatu Archimedesa, dla liczb hiperrzeczywistych. Ciała uporządkowane, w których słuszny jest aksjomat Archimedesa i nie ma nieskończenie małych, nazywa się ciałami archimedesowsko uporządkowanymi lub prosto – ciałami archimedesowskimi.

Ciała w których aksjomat Archimedesa nie jest spełniony i występują nieskończenie małe, nazywamy ciałami niearchimedesowskimi.

(8)

Z użyciem takich pojęć nasze wymaganie możemy sformułować tak : układ liczb hiperrzeczywistych powinien być ciałem niearchimedesowskim, będącym rozszerzeniem uporządkowanego ciała liczb rzeczywistych.

W tym miejscu pojawia się pytanie : czy spełniliśmy już nasze oczekiwania ? Czy można zbudować układ liczbowy spełniający takie oczekiwania ?

( mało tego - dalej sformułujemy znacznie silniejsze warunki, które okażą się również spełnione )

Rozdział 3 Pierwsze zaznajomienie z prostą hiperrzeczywistą.

Rozpoczniemy od tego, co w konstrukcyjnych zadaniach geometrycznych nazywamy analizą – zakładając, że niearchimedesowskie rozszerzenie ciała uporządkowanego liczb rzeczywistych istnieje, zbadamy jego własności.

Niech R* - będzie niearchimedesowskim rozszerzeniem R. Jego elementy nazywamy liczbami hiperrzeczywistymi.

Pośród nich , w szczególności zawarte są również wszystkie liczby rzeczywiste. Aby odróżnić je od tych liczb hiperrzeczywistych, które nie są liczbami rzeczywistymi, liczby rzeczywiste będziemy nazywali standardowymi, a pozostałe liczby hiperrzeczywiste ( elementy zbioru R*\ R ) – niestandardowymi.

Zgodnie z naszym założeniem pośród liczb hiperrzeczywistych istnieją nieskończenie małe. Są one oczywiście niestandardowe. Rozpatrzmy dowolną dodatnią liczbę nieskończenie małe ε. Jest ona mniejsza od dowolnej liczby standardowej dodatniej a. Niech jednak ε ≥ a. Ponieważ a jest standardowe, a dla liczb standardowych słuszny jest aksjomat Archimedesa, to możemy znaleźć taką liczbę naturalną n, że :

Ale wtedy :

co jest sprzeczne z nieskończoną małością ε. Otrzymana sprzeczność pokazuje, że ε < a.

Zatem, nieskończenie małe liczby dodatnie są mniejsze od wszystkich standardowych liczb dodatnich.

( w analogiczny sposób ujemne nieskończenie małe liczby są większe od wszystkich standardowych liczb ujemnych ) Zatem, jeśli próbujemy wyobrazić sobie liczby nieskończenie małe na osi liczbowej, to musielibyśmy wcisnąć je na tyle blisko zera, aby wszystkie dodatnie liczby standardowe znajdowały się po prawej od nich, a liczby ujemne – po lewej.

Wskazana własność może służyć jako definicja nieskończonej małości : jeśli liczba ε > 0 jest mniejsza od wszystkich standardowych liczb dodatnich, to jest ona nieskończenie mała.

W istocie w tym przypadku dla dowolnego naturalnego n :

ponieważ ε jest mniejsze od standardowej liczby 1/n.

Oczywiście poprzez nieskończenie małe nie wyczerpujemy wszystkich liczb naturalnych. Przykładowo 1 + ε ( ε > 0 – nieskończenie małe ) również jest liczba niestandardową ( jeśli byłaby ona standardowa, to również ε = ( 1 + ε ) – 1 – była by liczbą standardową jako różnica dwóch liczb standardowych ). Jednakże nie jest ona nieskończenie małą ( ponieważ jest większa od 1 ).

Bardziej wyraźny przykład – liczba hiperrzeczywista 1/ε, gdzie ε - liczba nieskończenie mała, różna od zera ( stwierdzenie

„różna od zera” jest ważna, ponieważ 1/x zgodnie z definicją ciała jest określona tylko przy x ≠ 0, w analizie niestandardowej, tak jak i w standardowej nie można dzielić przez zero )

Liczba 1/ε stanowi przykład „nieskończenie dużej” liczby hiperrzeczywistej.

Definicja. Liczbę hiperrzeczywistą A > 0, nazywamy nieskończenie dużą, jeśli :

( liczbę ujemną B nazywamy nieskończenie dużą, jeśli nieskończenie duży jest jej moduł | B | = – B ) Pokażemy teraz, że przy nieskończenie małym ε > 0 liczba A = 1/ε będzie ( dodatnią ) nieskończenie dużą.

(9)

W istocie – mnożąc obie części nierówności :

przez 1/ε, otrzymujemy :

czego właśnie wymagaliśmy.

Ławo zauważyć, że dodatnia nieskończenie duża liczba A jest większa od dowolnej liczby standardowej : jeśli a – jest dowolną liczbą standardową, to możemy znaleźć taką liczbę naturalną n, że

1 + ... + 1 > a -- n razy --

a tym bardziej A > a. W analogiczny sposób, każda ujemna nieskończenie duża liczba hiperrzeczywista jest mniejsza od dowolnej ujemnej liczby standardowej.

Łatwo zauważyć, że jeśli A – jest liczbą nieskończenie dużą, to 1/A – jest liczba nieskończenie mała różną od 0.

To pokazuje, że archimedesowsko uporządkowane ciało można zdefiniować jako ciało uporządkowane, w którym istnieją elementy nieskończenie duże ( Wcześniej było to ciało w którym występują nieskończenie małe )

Liczby hiperrzeczywiste, nie będące nieskończenie dużymi będziemy nazywali skończonymi. Definicja równoważna : liczba A jest skończona, jeśli a < A < b dla pewnych liczb standardowych a, b.

Wszystkie liczby standardowe, są oczywiście skończone. Przykład liczby skończonej, ale nie standardowej już podaliśmy – jest to liczba ε + 1, gdzie ε > - nieskończenie mała.

Ogólnie, jeśli a – jest liczbą standardową, a ε - nieskończenie małą, różną od zera, to a + ε - jest skończoną liczbą

niestandardową. W istocie jest ona skończona, ponieważ – 1 < ε < 1 ( ε nieskończenie mała ), a zatem a – 1 < a + ε < a + 1 Jeśli liczba ta byłaby standardowa, to i liczba ε = ( a + ε ) – a – była by liczbą standardową, jako różnica dwóch liczb standardowych.

Okazuje się, że w ten sposób można otrzymać wszystkie skończone liczby hiperrzeczywiste. Słuszne jest następujące twierdzenie :

Jeśli s – jest skończoną liczbą hiperrzeczywistą, to możemy znaleźć liczbę standardową v i nieskończenie małą ε, dla których s = v + ε.

W istocie. Niech s – będzie skończoną liczbą hiperrzeczywistą. Na mocy jej skończoności znajdziemy ( standardowe ) liczby rzeczywiste a, b, dla których a < s < b.

Rozpatrzmy dwa zbiory ( standardowych ) liczb rzeczywistych : zbiór L wszystkich standardowych x, mniejszych od s, jak również zbiór R – wszystkich standardowych x, większych niż s.

Zbiór zawiera a, a zbiór R zawiera b, dlatego też oba te zbiory nie są puste. Zbiory te nie przecinają się ( zgodnie z definicją porządku, żadna liczba nie może być jednocześnie większa i mniejsza niż s )

Dowolna liczba należąca do L jest mniejsza od dowolnej liczby należącej do R : jeśli p < s i s < q, to p < q.

Na mocy znanej własności liczb rzeczywistych ( „aksjomatu zupełności w formie Dedekina” ) możemy znaleźć „liczbę rozdzielającą” v, tj. taka liczbę, że p ≤ v dla wszystkich p ∈L i v ≤ q dla wszystkich q ∈ R.

( można wziąć v równe granicy górnej L lub granicy dolnej R )

Pozostaje teraz dowieść, że różnica ε = s – v będzie nieskończenie mała. Dowiedziemy np. że ε jest mniejsza od dowolnej dodatniej liczby standardowej, tj. że s – v < z lub s < v + z.

Jeśli tak nie jest i v + z ≤ s, to v + ½ z < v + z ≤ s, tj. v + ½ z ∈ L. Jest to jednakże sprzeczne z tym, że v – jest liczbą rozdzielającą, ponieważ v + ½ z > v, a wszystkie elementy L powinny być nie większe niż v.

W analogiczny sposób dowodzimy, że ε = s – v – jest większa od wszystkich ujemnych liczb standardowych.

Rys. 6

Zatem, każda skończona liczba hiperrzeczywista może być przedstawiona w postaci v + ε, gdzie v – liczba standardowa, ε - nieskończenie mała. Takie przedstawienie jest jednoznaczne. Jeśli bowiem v + ε = v’ + ε’, to v – v’ = ε’ – ε.

(10)

Lewa część tej równości jest standardowa, a prawa nieskończenie mała ( | ε – ε’ | < z dla dowolnej liczby standardowej z, ponieważ :

| ε – ε’ | ≤ | ε | + | ε’ | < ½ z + ½ z = z

| ε | < ½ z , | ε’ | < ½ z na mocy nieskończonej małości ε i ε’ )

Ponieważ pośród liczb standardowych nie ma nieskończenie małych, oprócz zera, to v – ν’ = ε – ε’ = 0, czego chcieliśmy dowieść. Własność ta pozwala nam sformułować następujące stwierdzenie :

Standardową cześć St(x) skończonej liczby hiperrzeczywistej x nazywamy taką liczbę standardową v, ze x = v + ε dla nieskończenie małego ε.

Spróbujemy teraz „ogarnąć wzrokiem” prosta hiperrzeczywstą. Na początku widać, że rozbija się ona na trzy części ( od lewej na prawą ) : ujemne nieskończenie duże, skończone, dodatnie nieskończenie duże (rys. 7)

... ___________________________ ... .... ––––––––––––––– ... .... _________________ ...

ujemne nieskończenie duże skończone dodatnie nieskończenie duże

Rys. 7

Z daleka „końcowa cześć” prostej hiperrzeczywistej wygląda jak zwykła prosta rzeczywista. Jeśli jednak popatrzymy bliżej, to można zobaczyć, że wraz z każdą liczbą standardową a umiejscowiony jest zbiór nieskończenie bliskich mu liczb hiperrzeczywistych, dla których a jest częścią standardową. Zbiór ten ( na cześć Leibniza ) nazywa się monadą liczby standardowej a. Zatem, zbiór skończonych liczb hiperrzeczywistych rozbija się na nieprzecinające się klasy – monady, odpowiadające standardowym liczba rzeczywistym.

Łatwo sprawdzić, że suma i różnica nieskończenie małych, są nieskończenie małe, iloczyn nieskończenie małej i skończonej liczby hiperrzeczywistej jest nieskończenie mały. Podamy teraz proste dowody tych własności, tak aby czytelnik mógł stopniowo przywyknąć do stylu rozumowań prowadzonych w analizie niestandardowej.

Niech ε, ε’ – będą nieskończenie małe. Dowiedziemy, że ε + ε’ i εε’ – są liczbami nieskończenie małymi, tj. że

| ε + ε’ | < p, | ε– ε’ | < p, dla dowolnej liczby standardowej p > 0.

Mamy bowiem :

| ε + ε’ | ≤ | ε | + | ε’ | oraz | ε– ε’ | ≤ | ε | + | ε’ | Dalej mamy :

| ε | < ½ p i | ε’ | < ½ p

ponieważ ε i ε’ – są nieskończenie małe. Dlatego też :

| ε | + | ε’ | < p

skąd wynika wymagana własność.

Niech teraz ε będzie nieskończenie małe, a a – skończone. Ponieważ a jest skończone, to | a | jest mniejsze od pewnej liczby standardowej A. Wtedy | ε • a | < | ε | • | A |

Dowiedziemy, że | ε | • | A | < p dla dowolnej liczby standardowej p > 0. W istocie mamy :

| ε | < p / | A |

ponieważ ε jest nieskończenie małe, a p / | A | - jest standardową liczbą >0. Zatem ε • a – jest nieskończenie małe.

Zapewne podobne stwierdzenia o wielkościach nieskończenie małych, są znane czytelnikowi z podręczników analizy matematycznej. Jednakże taka zbieżność nie powinna przysłaniać nam zasadniczej różnicy – w podręczniku do analizy chodzi o ciągi liczb rzeczywistych ( które nazywa się nieskończenie małymi, jeśli ich granica jest równa zero ), a nam obecnie nie chodzi o ciągi, a o nowe liczby – liczby hiperrzeczywiste.

Dwie liczby hiperrzeczywiste nazwiemy nieskończenie bliskimi, jeśli ich różnica jest nieskończenie mała. Z podanych powyżej własności nieskończenie małych wynika, że relacja nieskończonej bliskości jest relacją równoważności.

Przypomnijmy, że oznacza to, iż relacja ta jest refleksywna ( każde x jest nieskończenie bliskie samemu sobie ), symetryczna ( jeśli x jest nieskończenie bliskie y, to y jest nieskończenie bliskie x ) i tranzytywna ( jeśli x jest nieskończenie bliskie y, a y jest nieskończenie bliskie z , to x jest nieskończenie bliskie z ).

Każda relacja równoważności rozbija zbiór, na którym jest ona określona na nieprzecinające się klasy, przy czym dowolne dwa elementy jednej klasy są równoważne, a dowolne dwa elementy dwóch różnych klas nie są równoważne. W

szczególności nasza relacja rozbija R* na nieprzecinające się klasy, przy czym elementy jednej klasy są nieskończenie bliskie wzajemnie, a elementy różnych klas – nie.

Klasy zawierające standardowe liczby rzeczywiste, reprezentują sobą wspomniane już monady.

(11)

Zapoznaliśmy się już z budową R* „z bliska”, teraz spojrzymy ja budowę R* z „daleka”. Rozważmy drugą relacje równoważności na R*, mówimy, że liczby hiperrzeczywiste x i y „znajdują się w jednej galaktyce”, jeśli ich różnica – jest skończoną liczbą hiperrzeczywistą. Jest jasne, że otrzymujemy relacje równoważności na zbiorze wszystkich liczb hiperrzeczywistych ( jeśli x – y i y – z są skończone, to ich suma, równa x – z – jest skończona)

Relacja taka rozbija wszystkie liczby hiperrzeczywiste na klasy, które naturalnie będzie nazwać galaktykami. Takie rozbicie jest „grubsze”, niż rozbicie na monady – każda galaktyka przedstawia sobą sumę nieskończonej liczby monad.

Jedną z galaktyk jest zbiór wszystkich liczb hiperrzeczywistych ( taką galaktykę naturalnie będzie nazwać „naszą galaktyką” ), dowolna inna galaktyka albo składa się z nieskończenie dużych liczb dodatnich, albo składa się z nieskończenie dużych liczb ujemnych.

Galaktyki „nie mieszają się” : jeśli G1 i G2 – są dwiema galaktykami, to albo G1 leży najbardziej po lewej G2

( tj. dowolna liczba należąca do G1 jest mniejsza od dowolnej liczby z G2 ), albo na odwrót. Pomiędzy dowolnymi dwiema galaktykami istnieje trzecia ( aby ją znaleźć, weźmiemy x i y należące do G1 i G2 i rozpatrzymy galaktykę, zawierającą ich sumę ½ ( x + y )), a zatem istnieje nieskończenie wiele pośrednich ( weźmiemy dalej galaktykę leżącą pomiędzy pierwszą i trzecia itd. ) Pośród takich galaktyk nie ma największej ( „leżącej najbardziej po prawej” ), ani najmniejszej ( „leżącej najbardziej po lewej” ): jeśli galaktyka G zawiera x, a ω - jest nieskończenie dużą, to liczba x + ω będzie znajdowała się w galaktyce G’, umiejscowionej po prawej G, a liczba x – ω będzie znajdowała się w galaktyce G’’,

umiejscowionej po lewej G.

Tak jak w standardowym wykładzie analizy matematycznej, możemy rozróżniać nieskończenie małe ( lub nieskończenie duże ) różnych rzędów. Dokładniej – będziemy mówili, że nieskończenie mała ε jest nieskończenie małą wyższego rzędu, niż nieskończenie mała δ, jeśli stosunek ε/δ jest nieskończenie mały. W analogiczny sposób nieskończenie duża A ma wyższy rząd, niż nieskończenie duża B, jeśli A/B – jest nieskończenie duży. Zgodnie z takimi definicjami, dla dowolnej nieskończenie małej ε, można wskazać nieskończenie małą wyższego rzędu, np. ε2 , ε3 itd.

( analogicznie sprawa wygląda z nieskończenie dużymi )

Można powiedzieć, że rozpatrując otoczenie 0 poprzez mikroskop o dowolnym ( nawet nieskończonym ) powiększeniem zawsze będziemy widzieli połączone punkty, będące w istocie różnymi punktami. Jeśli mikroskop powiększa 1/ε razy, to ε będzie widoczne w skończonej odległości od zera, ale ε2 będzie łączyło się z punktem zerowym.

( przy tym wszystkie liczby standardowe, będą leżały nieskończenie daleko, poza naszym polem widzenia )

Rys. 8

Zwiększając powiększenie 1/ε2 zobaczymy, że ε jest teraz nieskończenie daleko od naszego pola widzenia, a ε2 jest dobrze odróżnialne od zera, ale tak jak wcześniej i teraz istnieją liczby nieodróżnialne od zera np. ε3.

Podamy jeszcze kilka „mikrofotografii” [na podstawie 38] różnych obiektów. Kierując obiektyw mikroskopu na dowolny punkt prostej rzeczywistej, nie zobaczymy niczego szczególnie nowego : po prostu w miejscu 0 wystąpi dowolna inna liczba rzeczywista. Wykres funkcji y = ( standardowa część x ) zdefiniowanej na skończonych hiperrzeczywistych x, przy oglądaniu bez mikroskopu, nie różni się niczym od wykresy funkcji y = x

Patrząc jednakże przez mikroskop ( z nieskończenie dużym powiększeniem ) na dowolny jego punkt, zobaczymy, że zbieżność jest tylko pozorna – w mikroskopie wykres wygląda jak linia pozioma ( wykres y = x i w mikroskopie prosta przechodząca pod kątem 45° do osi współrzędnych ) (rys. 9 )

(12)

Rys. 9 Rys. 10

Wykres funkcji y = x2 pod mikroskopem też wygląda jak prosta. ( rys. 10 )

W początku współrzędnych taki wykres jest horyzontalny, a w innych punktach ma niezerowe nachylenie. Nie przypadkowo wykorzystaliśmy słowa „wygląda jak” i „pokrywa się”.

Rys. 11

Jeśli zobaczymy przez jeszcze większe powiększenie, to możemy zobaczyć, że takie połączenie nie jest pełne – pomiędzy wykresem i prostą istnieje „nieskończenie mała przerwa” ( rys. 11 )

Do tej pory kierowaliśmy nasz mikroskop na skończoną część prostej hiperrzeczywistej ( lub na punkty płaszczyzny o skończonych współrzędnych ). „przyrząd” przeznaczony do analizy nieskończenie oddalonych fragmentów, należałoby raczej nazwać „teleskopem”. Kierując zatem taki teleskop na dowolną nieskończenie dużą liczbę hiperrzeczywistą, zobaczymy, coś mniej więcej takiego :

Rys. 12

Patrząc przez teleskop na wykres funkcji y = 1/x w punkcie nieskończenie dużym, zobaczymy, ze łączy się on z osią rzędnych (Ox ). Jednakże jeśli powiększymy ten obraz przez mikroskop, to zobaczymy iż prosta tego wykresu jest

„równoległa” do osi Ox (rys. 13)

(13)

Rys. 13

Rozdział 4. Przykład niearchomedesowskiego układu liczbowego.

Do tej pory mówiliśmy o prostej hiperrzeczywistej ( dokładniej, o dowolnym niearchimedesowskim rozszerzeniu

uporządkowanego ciała liczb rzeczywistych ), odkładając zagadnienie o tym, czy istnieje choćby jedno takie rozszerzenie.

Teraz spróbujemy zbudować takie rozszerzenie.

Pierwsza przychodząca do głowy myśl jest taka – postępując zgodnie z tradycją, nazwać nieskończenie małymi hiperrzeczywistymi liczbami ciąg liczb rzeczywistych, zbieżny do zera. Należy oczywiście mieć również mieć nie tylko takie liczby.

Jednakże najbardziej naturalna droga jest taka – przyjąć jako hiperrzeczywistą liczbę dowolny ciąg liczb rzeczywistych.

Wymagane jest, aby liczby rzeczywiste stanowiły przypadek szczególny liczb hiperrzeczywistych, możemy to łatwo osiągnąć, utożsamiając każdą liczbę rzeczywistą a z ciągiem złożonym z jednakowych elementów a, a, a, ...

W ten sposób otrzymujemy na pierwszy wzgląd ciekawą konstrukcje – wszystkie ciągi liczb rzeczywistych nazywamy liczbami hiperrzeczywistymi, pośród nich są liczby standardowe ( ciągi stałe ) oraz liczby dążące do zera.

Liczby hiperrzeczywiste można dodawać i mnożyć, tak jak to się zwykle robi z ciągami – człon po członie, przyjmując sumę ciągów :

a = a0 , a1 , … ; b = b0 , b1 , … a + b = a0 + b0 , a1 + b1 , … a iloczyn

a • b = a0 b0 , a1 b1 , …

( przy tym zerem jest ciąg złożony z samych zer, a jednością – ciąg złożony z samych jedynek )

Jednakże dalej czeka nas rozczarowanie – w ten sposób ciała nie otrzymamy. Dokładnie – nie uda się określić operacji brania odwrotności. Co np. możemy przyjąć jako odwrotność ciągu :

0, 1, 0, 1, ...

Jest jasne, ze znaleźć takie x, że ax = 1, można tylko jeśli w ciągu a nie ma zer. Próba eliminacji ciągów, które zawierają zera, nie prowadzi do niczego dobrego – po takiej decyzji, nie jest jasne jak określić dodawanie ( suma dwóch ciągów bez zer, może zawierać zera ). Trudności będziemy mieli również z określenia porządku – będziemy musieli np. rozstrzygnąć jaki z dwóch ( nie równych ) ciągów :

0, 1, 0, 1, ...

1, 0, 1, 0, ...

jest większy.

Widzimy więc, że idea aby określić liczby hiperrzeczywiste jako ciągi napotyka na poważne problemy, dla

przezwyciężenia których będziemy potrzebowali jakieś nowej idei. Do takiej konstrukcji jednakże jeszcze powrócimy.

Opiszemy teraz drugi sposób zbudowania układu liczb hiperrzeczywistych ( póki co dla nas „układ liczb hiperrzeczywistych” oznacza „niearchimedesowskie rozszerzenie uporządkowanego ciała liczb rzeczywistych” ) Podstawowa idea tej konstrukcji może być opisana w jednym zdaniu tak :

Nie mamy obiektów, ale mamy nazwy dla nich, zatem nazwy będą obiektami !

( co często stosuje się w logice matematycznej ) Taka idea konkretyzuje się w naszym przypadku w następujący sposób.

Wiemy, że w naszym ( póki co jeszcze nie zbudowanym i niewiadomo czy istniejącym ) rozszerzeniu powinna istnieć choćby jedna nieskończenie mała dodatnia liczba hiperrzeczywista. Oznaczmy ją przez ε. Ponieważ liczby

hiperrzeczywiste można mnożyć przez siebie ( i w szczególności przez liczby rzeczywiste ), to wraz z ε w naszym rozszerzeniu będą występować również liczby 2ε, 0,5ε i w ogólności liczby postaci aε, gdzie a – dowolna standardowa

(14)

liczba rzeczywista. Oprócz tego, liczbę ε można mnożyć przez siebie, dlatego też w naszym rozszerzeniu będą występować liczby

ε2 , ε3 , 2ε2 , 2ε2 + 2ε + 1, ...

i w ogólności wszystkie liczby hiperrzeczywiste postaci P(ε) , gdzie P(ε)- jest wielomianem ze standardowymi współczynnikami.

Zbiór liczb takiej postaci, jak łatwo zrozumieć, jest zamknięty ( w sensie algebraicznym ) względem dodawania, odejmowania i mnożenia. Jednakże dla liczb hiperrzeczywistych zdefiniowane jest jeszcze dzielenie. Dlatego w takim rozszerzeniu będą występowały liczby postaci P(ε)/ Q(ε) , gdzie P, Q – są wielomianami o współczynnikach

standardowych.

Po tym otrzymujemy zbiór liczb hiperrzeczywistych , zamknięty względem wszystkich operacji arytmetycznych : dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia.

W ten sposób, nie mając póki co poszukiwanego rozszerzenia mogliśmy już nadać niektórym jego elementom nazwy.

Takimi nazwami są zapisy postaci P(ε)/ Q(ε), gdzie ε - jest pewnym symbolem.

Oprócz tego, możemy wnioskować jaki z takich dwóch zapisów oznacza większa liczbę. W tym celu wystarczy

umiejętność określenia, czy dany zapis jest dodatnią , ujemną czy też zerową liczbą ( ponieważ a > b wtedy i tylko wtedy, kiedy a – b > 0 )

Wiedząc, że znak ułamka, można określić znając znaki licznika i mianownika, widzimy że wystarczy umieć określić znak P(ε). Robimy to następująco.

Łatwo zauważyć, że znak wielkości a0 + a1ε + ... pokrywa się ze znakiem a0, jeśli a0 0. Składniki a1ε + ... są bowiem nieskończenie małe, a dodając dodatnią ( ujemną ) liczbę z nieskończenie małym, otrzymujemy dodatnią ( ujemną ) liczbę.

Możliwy jest jednakże przypadek a0 = 0. Dla skonkretyzowania będziemy przyjmowali, że ε - jest dodatnią liczbą nieskończenie małą.

Z rozpatrywanego wielomianu wyprowadzimy najwyższa potęgę ε tj. zapiszemy go w postaci : εk ( ak + ak+1ε + … )

gdzie ak jest już różne od zera.

Teraz jest jasne, ze znak całego takiego wyrażenia określony jest przez znak wyrażenia w nawiasie ( przy mnożeniu przez dodatnią liczbę znak nie zmienia się ), a znak wyrażenia w nawiasie ( jak już wiemy ) określony jest przez znak liczby ak.

To co powiedzieliśmy powyżej zilustrujemy teraz na przykładzie. Niech mamy za zadanie porównać liczby : 1 + ε2 / 1 + ε oraz 2 + ε3 / 2 + ε2

lub innymi słowy, mamy porównać ich różnicę : ( 1 + ε2 / 1 + ε ) – ( 2 + ε3 / 2 + ε2 )

z zerem. Obliczając taka różnicę zgodnie z standardowymi zasadami, otrzymujemy :

Widać, że jest ona ujemna. To oznacza iż pierwsza liczba jest mniejsza od drugiej.

W istocie już zbudowaliśmy szukane rozszerzenie niearchimedesowskie. Należy tylko spojrzeć na nasze analizy z innej pozycji. Do tej pory wyrażenie P(ε)/Q(ε) rozpatrywaliśmy jako nazwy „prawdziwych” liczb hiperrzeczywistych ( wziętych niewiadomo skąd ). A teraz same one staną się liczbami hiperrzeczywistymi. Rozpatrzmy wyrażenia formalne postaci P(ε)/ Q(ε) , gdzie ε - jest pewnym symbolem, a P i Q – wielomiany o współczynnikach rzeczywistych, przy czym Q≠ 0.

Proklamując, iż obiektami, a w danym przypadku liczbami hiperrzeczywistymi są nazwy, a w danym przypadku wyrażenie lub zapisy postaci P(ε)/Q(ε), nie bylibyśmy zupełnie ściśli. Problem w tym, że oczywiście dwa różne zapisy mogą wyrażać jedną i tę samą liczbę ( innymi słowy, mogą być dwoma różnymi nazwami jednej i tej samej liczby ) :

przykładowo naturalnym jest przyjąć, ze zapis ( ε2 – 1 )/( ε – 1 ) wyraża tę samą liczbę, co ( ε + 1) / 1.

Dwa wyrażenia P(ε)/Q(ε) i R(ε)/ S(ε) będziemy nazywali równoważnymi, jeśli P(ε) • S(ε) = R(ε) • Q(ε)

( równość rozumiemy tutaj jako równość wielomianów tj. jako równość współczynników stojących przy jednakowych potęgach )

Łatwo sprawdzić, że taka definicja rzeczywiście zadaje relacji równoważności, rozbijająca wszystkie wyrażenia postaci P(ε)/Q(ε) na klasy. Takie klasy będziemy nazywali liczbami hiperrzeczywistymi. Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie liczb hiperrzeczywistych definiujemy zgodnie ze standardowymi zasadami.

Przykładowo, jeśli α - jest klasą, zawierająca P/Q, a β - klasą zawierająca R/S, to ich sumą nazywamy klasę, zawierającą ( PS + RQ )/ SQ

a iloczynem – klasę, zawierająca PR/QS.

(15)

Łatwo również sprawdzić, ze taka definicja jest poprawna, tj. nie jest zależna od wyboru elementów P/Q w klasie α i R/S w klasie β ( w wyniku czego otrzymujemy różne reprezentacje jednej i tej samej klasy )

W analogiczny sposób możemy zdefiniować branie odwrotności i przeciwieństwa, jak również zero i jedność.

Łatwo sprawdzić, ze wszystkie aksjomaty ciała przy tym będą spełnione. Przedstawiona konstrukcja jest dobrze znana w algebrze : zbudowane ciało nazywa się ciałem funkcji wymiernych o współczynnikach w R i oznaczamy go jako R(ε).

Pozostało nam tylko zdefiniować porządek, wskazując jak wybrać z dwóch liczb hiperrzeczywistych ( tj. z dwóch różnych klas równoważności ułamków ) większą liczbę. W tym celu należy odjąć jedną liczbę od drugiej i zdefiniować, czy taka różnica ( różna od zera, ponieważ liczby są różne ) będzie dodatnia lub ujemna. Aby określić, czy różna od zera liczba α będzie dodatnia czy też ujemna, weźmiemy jej reprezentantów P/Q.

Gdzie P i Q są różne od 0( Q jest różne od zera z definicji, P – dlatego, ze zgodnie z naszym założeniem, różnica nie jest równa 0 ).

Wyprowadzimy w liczniku i mianowniku ε w najwyższej możliwej potędze :

Liczba α będzie dodatnia, jeśli ak i bi mają jednakowe znaki, a ujemna, jeśli mają one różne znaki.

W charakterze ćwiczenia czytelnik może sprawdzić ( jest to łatwe), ze podana definicja jest poprawna ( tj. nie jest ważne jaka z równoważnych reprezentacji weźmiemy ) oraz, że spełnione są wszystkie aksjomaty ciała uporządkowanego.

Zbudowane w taki sposób ciało uporządkowanej R(ε) można rozpatrywać jako rozszerzenie ciała R : wystarczy utożsamić liczbę rzeczywistą x z klasą równoważności ułamków, zawierającą ułamek x/1.

Pozostało tylko pokazać, że aksjomat Archimedesa nie jest spełniony, ujawniając w ten sposób element nieskończenie mały. Tym elementem będzie, oczywiście ε ( dokładnie, klasa zawierająca ε/1 )

W istocie mamy : ε + ε + ... + ε < 1 --- n razy ---

ponieważ różnica 1 – nε jest dodatnia ( znak określony jest członem swobodnym , a 1 > 0 )

Zatem, szukane rozszerzenie zostało zbudowane. Na tym przykładzie można zilustrować niektóre pojęcia, omawiane już przez nas. Ułamek :

będzie nieskończenie mały, jeśli pierwszy niezerowy współczynnik at w liczniku będzie umiejscowiony bardziej na prawo niż pierwszy niezerowy współczynnik bs w mianowniku tj. jeśli t > s. Jeśli t < s, to ułamek będzie nieskończenie duży. Jeśli t = s, to ułamek będzie skończoną hiperrzeczywista liczbą, której standardowa część będzie równa at /bs.

Przykładowo :

ε1, ε22 , ε2 – 2ε3 / 1 + ε - nieskończenie małe.

1/ε, 1 + ε / ε2 + 2ε2 – nieskończenie duże

1 + ε / 1 + 2ε , ε2 + ε5 /2ε2 + 3ε4 – skończone liczby hiperrzeczywiste ( standardowa część pierwszej jest równa 1, a drugiej ½ )

(16)

Rozdział 5 Nowe wymagania związane z liczbami hiperrzeczywistymi.

Zatem zbudowaliśmy niearchimedesowskie rozszerzenie R(ε) ciała liczb rzeczywistych. Teraz postaramy się zrozumieć, czy jest ono wystarczające dla uzasadnienia przedstawionych wcześniej „analiz niestandardowych”.

Przykład z obliczeniem pochodnej funkcji y = x2 jest w pełni poprawny – należy powiedzieć tylko, że pochodną tej funkcji w punkcie standardowym x nazywa się standardowa część stosunku dy/dx :

st (dy/dx) = st( 2 x + dx ) = 2x

Gorzej jest z innymi przypadkami. Przy próbie zrożniczkowania pierwiastka należy obliczyć różnicę : sqrt( x + dx) – sqrt(x)

I w szczególności wyciągnąć pierwiastek z liczby hiperrzeczywistej x + dx. A w naszym ciele R(ε) nie zawsze możemy wyciągać pierwiastek. ( w charakterze ćwiczenia czytelnik może sprawdzić, ze nie istnieje w nim liczba hiperrzeczywista a dla której a3 = ε )

Jeszcze gorzej sprawa wygląda z definicją całki – należy tam bowiem dodawać wielkości postaci f(x), gdzie x – jest liczbą hiperrzeczywistą, jednocześnie funkcja f jest określone tylko na liczbach rzeczywistych.

Już z tych przykładów widać, ze czegoś nam brakuje. Musimy umieć obliczać „wartości” standardowych funkcji ( zadanych pierwotnie jako funkcje o argumentach i wartościach rzeczywistych ) na argumentach hiperrzeczywistych.

Innymi słowy, dla każdej funkcji : f : R R

powinniśmy mieć jej hiperrzeczywisty analog : f * : R* → R*

Przy tym, oczywiście wartości f* na liczbach standardowych powinny pokrywać się z odpowiednimi wartościami funkcji f.

Innymi słowy f* powinna być przedłużeniem f. Takie analogi mieliśmy dla operacji dodawania, odejmowania mnożenia i dzielenia. Ale to za mało – musimy mieć również analogi innych funkcji. Jeśli mielibyśmy je dla obliczenia pierwiastków, to moglibyśmy rozpatrywać funkcje :

sqrt(x)

( z argumentami i wartościami rzeczywistymi ), a następnie wziąć jej przedłużenie sqrt*(x) i zdefiniować pochodną jako standardową część stosunku :

( sqrt*(x + dx) – sqrt*(x) /dx

Zatem dla każdej standardowej funkcji f (z argumentami i wartościami rzeczywistymi ) musimy mieć jej przedłużenie hiperrzeczywiste f*. Jeśli od f* nic innego nie wymagamy, to sprawa jest trywialna – można przyjąć, że we wszystkich punktach rzeczywistych f* przyjmuje te same wartości, co f, a w punktach niestandardowych f* posiada wartości dowolne ( np. zero ). Jest jednakże jasne, że warunek ten jest niezadowalający – przy obliczeniu pochodnej pierwiastka np.

wymagamy, aby funkcja sqrt* posiadała następującą własność : sqrt*(b) – sqrt*(a) = b – a / sqrt*(b) + sqrt*(a)

Ponieważ trudno zawczasu przewidzieć, jakie właściwie własności mogą się nam przydać, byłoby porządne, aby funkcja f*

była jak najbardziej podobna do funkcji f – w ideale f* powinna posiadać wszystkie własności, które posiada f tj. by była ona jej „naturalnym rozciągnięciem” z R na R*.

Słowa „wszystkie własności” należy jednakże rozumieć prawidłowo. Przecież chcemy jedynie, aby f była określona tylko na liczbach rzeczywistych. Musimy zatem wydzielić niektórą klasę własności – klasę tych własności, które chcemy zachować. Prawidłowy wybór takiej klasy ma decydujące znaczenie dla powodzenia naszej konstrukcji systemu liczb hiperrzeczywistych. Jeśli taka klasa będzie zbyt wąska, to nie będzie pożytku z przedłużenia f*.

Jeśli klasa będzie zbyt szeroka, to sama możliwość budowy systemu liczb hiperrzeczywistych i definicji przedłużeń okaże się pod znakiem zapytania.

Zatem, nasze główne zadanie, to opisanie jakie własności funkcji standardowych chcemy zachować przy przejściu od liczb rzeczywistych do hiperrzeczywistych. Mamy dwie możliwości wykonania tego zadania. Pierwsza możliwość polega na zastosowaniu metod logiki matematycznej. Można powiedzieć, że przy przejściu od liczb rzeczywistych do

hiperrzeczywistych zachowują się wszystkie własności, które można wyrazić w „języku pierwszego rzędu”.

Taka drogę omówimy ( i w szczególności wyjaśnimy, co to takiego język pierwszego rzędu ) w dalszej kolejności.

Obecnie skupimy się na drugiej możliwości, która pozwala nam obejść się bez języka logiki. Oczywiście przy tym będziemy mieli do czynienia z pewnymi niedogodnościami, ale za to nie będziemy wymagali znajomości logiki matematycznej.

Przypomnę sytuacje w jakiej znajdujemy się obecnie. Zakładamy, że oprócz ciała R liczb rzeczywistych, mamy szersze ciało uporządkowane R* liczb hiperrzeczywistych, zawierające R jako podzbiór ( jeszcze raz podkreślam, że istnienie R* o wymaganych własnościach póki co jest tylko hipotezą, a nie dowiedzionym faktem )

Niech dla każdej funkcji f z argumentami rzeczywistymi istnieje naturalne rozszerzenie – „hiperrzeczywisty analog” – funkcja z argumentami i wartościami hiperrzeczywistymi. Przy tym funkcja f może być funkcja nie tylko jednej zmiennej rzeczywistej, ale dwóch trzech itp. Oczywiście funkcja f* powinna mieć tę samą liczbę argumentów.

Dla uproszczenia póki co nie będziemy rozpatrywali funkcji o pochodnych cząstkowych i będziemy przyjmowali, że f ( odpowiednio f* ) jest określona przy wszystkich rzeczywistych ( odpowiednio – hiperrzeczywistych ) argumentach.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Dla badania nowych zjawisk, zbiór wykorzystywanych metod matematycznych znacznie się rozszerzył – wraz z tradycyjnymi obszarami matematyki szeroko zaczęto stosować

Udowodnić, że przekrój dowolnej rodziny ideałów (podpierścieni, podciał) R jest ideałem (podpierścieniem, podciałem) R.. Udowodnić, że jeśli R jest skończony, to jest

Podajcie mi garść kądzieli, Zapalam ją; wy z pośpiechem, Skoro płomyk w górę strzeli, Pędźcie go z lekkim oddechem. O tak, o tak, daléj, daléj, Niech się na

Szczegółowe opisywanie czynów przestępczych wy- łącznie z perspektywy sprawców, którzy, być może znajdują się jeszcze w areszcie lub odbywają karę pozbawienia

Na chwilę obecną należy zapoznad się materiałami cw03, cw04 to znaczy dokładnie przeczytad i przeliczyd wszystkie przykłady oraz wykonad zadania.. W sprawie zadao

Uczniowie powinni skoncentrować się na słowach wiersza, by móc wyobrazić sobie obrazy poetyckie pokazane w tym wierszu.... Nauczyciel czyta powoli i wyraźnie tekst wiersza, potem

Lekoman to osoba, która uzależnia swój stan zdrowia czy nastrój od tego, czy zażył odpowiednie tabletki ( często dużą ich ilość ).. 3 najczęstsze przyczyny

Z kolei J. Barański, w artykule Antropologiczne tertium datur, w mniejszym stopniu