• Nie Znaleziono Wyników

2. Niech X ∼ Exp(2). Wyznaczyć E(X|X > 2).

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "2. Niech X ∼ Exp(2). Wyznaczyć E(X|X > 2)."

Copied!
2
0
0

Pełen tekst

(1)

procesy stochastyczne I rok matematyki II-go stopnia

lista 1 1. Udowodnić fakty podane na wykładach.

2. Niech X ∼ Exp(2). Wyznaczyć E(X|X > 2).

3. Niech X będzie ilością wyrzuconych orłów w dwóch rzutach monetą. Oblicz warunkową wartość oczekiwaną zmiennej losowej X pod warunkiem σ−ciała H = σ({(R, R)}).

4. Rozważmy schemat Bernoullie’go z prawdopodobieństwem sukcesu równym p. Jaka jest oczeki- wana liczba sukcesów w pierwszym doświadczeniu, jeśli wiadomo, że w serii n doświadczeń zaszło k sukcesów?

5. Zmienna losowa (X, Y ) ma gęstość g(x, y) = x 2

3

exp (−x(y + 1)) I {x>0,y>0} . Wyznaczyć E(Y |X) oraz E(Y 2 |X).

6. Niech Ω = [ 0, 1] i prawdopodobieństwo na Ω zadaje miara Lebesgue’a. Znajdź warunkową wartość oczekiwaną E(f |F ), gdzie f : Ω → R oraz

• F = σ h 0, 1 2 i , Q ∩ [ 0, 1]  i

f (x) =

( − √

x x ∈ Q ∩ [ 0, 1]

√ x x 6∈ Q ∩ [ 0, 1]

• F = σ h 0, 1 4 h , h 1 4 , 1 i i f (x) = √ x,

• F = σ h 0, 1 2 h , h 1 3 , 1 i i f (x) = x

7. Niech (Ω, F , P ) = ([0; 1], B([0; 1]), m L ), ξ i η zmienne losowe zadane następująco

ξ(x) =

 

 

 

 

1 x ∈ h 0, 1 3 h 2 x ∈ h 1 3 , 2 3 h 3 x ∈ h 2 3 , 1 i

η(x) =

1

2 x x ∈ h 0, 1 2 h 2 x ∈ h 1 2 , 1 i Opisz σ(ξ). Wyznacz E(η|ξ = x) i E(η|ξ).

8. Niech wektor (X, Y ) ma rozkład jednostajny na trójkącie o wierzchołkach (0, 0), (1, 0), (0, 1).

Wyznacz gęstość warunkową f X|Y (x|y) a następnie wyznacz E(X|Y ).

9. Niech (Ω, F , P ) = ([0; 1], B([0; 1]), m L ), ξ i η zmienne losowe zadane następująco

ξ(x) =

x + 1 2 x ∈ h 0, 1 2 h 1 x ∈ h 1 2 , 1 i

η(x) =

 

 

 

 

1

2 x ∈ h 0, 1 3 h

1 x ∈ h 1 3 , 1 2 h

x 2 x ∈ h 1 2 , 1 i

Opisz σ(ξ). Wyznacz E(η|ξ = x) i E(η|ξ).

(2)

10. Niech X, Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie. Pokaż, że E(X|X + Y ) = X+Y 2 .

11. Uogólnić wynik poprzedniego zadania na przypadek n-zmiennych losowych.

12. Niech Ω = [0, 1] × [0, 1], P - miara Lebesgue’a. Wyznacz E(f |G) w przypadkach:

• f = X, G = σ(Y ),

• f = X − Y , G = σ(X + Y ),

• f = X 2 Y , G = σ(Y ).

13. Rozpatrzmy Ω = [0, 1], σ-ciało zbiorów borelowskich i P miarę Lebesgue’a na [0, 1]. Opisz σ(Y ) i znajdź E[X|Y ], jeśli

(a) X(x) = cos π 2 x, Y (x) = sin πx, (b) X(x) = e x , Y (x) = cos 2 πx,

(c) X(x) = e 2x , Y (x) =

 

 

 

 

2 x ∈ h 0, 1 2 i 3 x ∈ i 1 2 , 3 4 h x x ∈ h 3 4 , 1 i

14. Niech Ω = [0, 1], Σ będzie σ-ciałem zbiorów mierzalnych Ω, zaś P będzie miarą Lebesgue’a na [0, 1]. Wyznaczyć E(f |H), gdzie f (x) = x i H jest σ-ciałem generowanym przez

(a) {[0, 1 2 ], [ 1 4 , 1]};

(b) {[0, a], [b, 1]}, gdzie a, b ∈ R;

Rozważyć w punkcie (14b) różne warianty odpowiedzi.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Twierdzenie 17 (Warunkowa

[r]

Niech A będzie gwiaździstym względem zera, pochłaniającym podzbiorem przestrzeni liniowej X, którego przecięcia z każdą prostą są domknięte2. Wykaż, że jeśli zbiór A

Twierdzenie orzeka- jπce o tym, øe C jest cia≥em algebraicznie domkniÍtym nosi nazwÍ zasadniczego twierdzenia algebry.. Po raz pierwszy zosta≥o ono sformu≥owane przez Girarda w

[r]

[r]

[r]

Operator A −1 jest ograniczony na mocy twierdzenia. o