Zadanie 1. Bezpo±rednio z warunku Cauchy'ego wykaza¢, »e ci¡g { 1n } jest zbie»ny.

ANALIZA I

24 i 27 pa¹dziernika 2014 Semestr zimowy

Lista VI

Granice ciagów II Javier de Lucas

Zadanie 1. Bezpo±rednio z warunku Cauchy'ego wykaza¢, »e ci¡g { ¹ _n } jest zbie»ny.

Zadanie 2. Bezpo±rednio z warunku Cauchy'ego wykaza¢, »e ci¡g a n = P n k=1

1

k(k+1) jest zbie»ny.

Zadanie 3. Znale¹¢ granic¦ ci¡gu danego wzorem rekurencyjnym:

a _n+1 = 1

a ² _n , a ₁ > 0, a ₁ 6= 1.

Zadanie 4. Zbada¢ zbie»no±¢ ci¡gów:

(a) a _n = cos

 πn ³ 2n ² + n



, (b) b _n = n

2n + 1 sin  2π 3 n

 . Zadanie 5. Zbada¢ zbie»no±¢ ci¡gu i znale¹¢ granic¦:

a _n =

n

X

i=1

√ 1

n ² + i . Zadanie 6. Zbada¢ zbie»no±¢ ci¡gu i znale¹¢ granic¦:

a _n =

v u u t

k

X

i=1

λ ⁿ _i ,

gdzie k ∈ N + , a λ i > 0 .

Zadanie 7. Obliczy¢ granic¦ ci¡gu o wyrazie ogólnym: u n = 1 + ² _n
n

, u n = 1 − _n ¹

n

, u _n = ⁿ⁺⁵ _n
n

, u n = 1 − _n ⁴
−n+3

, u n =

 n

+6 n

 n

, u n =

 n

+2 2n

+1

 n

Zadanie 8. Obliczy¢ granic¦ ci¡gu o wyrazie ogólnym u n = p n + √

n − p n − √

n , u _n =

q

n(n − √

n ² − 1) , u n = n( √

2n ² + 1 − √

2n ² − 1) , u n =

√ n q

n+ √

n+ √ n , u n = 2 ⁻ⁿ a cos nπ , u n = ^{n sin n!} _n

+1 , u n = n(ln(n + 1) − ln n) , u n = ^ln ( ¹⁺

)

1

n

, u n = ^log _log

ⁿ

8

n , u n = ²⁷ ₁₆

, u n = _n ^n!

, u n = ²

_n! ³

.

1